X Physique 1 PC 2010

Thème de l'épreuve La chaleur des planètes
Principaux outils utilisés mécanique céleste, diffusion thermique, mécanique des fluides

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
                 

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2010

FILIÈRE

PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est interdite pour cette épreuve.
Pour les applications numériques, on se contentera d'un seul chiffre 
significatif.

La chaleur des planètes
Ce problème étudie quelques aspects de la formation des planètes et de leur 
refroidissement.
I. Genèse des planètes telluriques
Les planètes telluriques telles que Mars ou la Terre se sont formées par la 
condensation de
nuages de poussières sous l'effet de l'interaction gravitationnelle, au cours 
d'un processus dit
d'accrétion.
I.1. Accrétion de petits corps par une planète en formation
I.1.1. Une planète supposée ponctuelle et de masse M est immobile dans le vide 
à l'origine O
d'un référentiel galiléen. Un point matériel de masse m arrive de l'infini avec 
une vitesse initiale
~
~
~v0 , de norme v0 . On définit b = kLk/mv
0 , où L est le moment cinétique en O de la masse m.
Donner l'interprétation géométrique de b à l'aide d'un schéma.
I.1.2. Les deux masses interagissent sous l'effet de la gravitation. On note G 
la constante
newtonienne de gravitation. On suppose m  M , de telle sorte que la masse M 
reste pratiquement immobile. Quelle est la nature de la trajectoire de la masse 
m ? On note rmin sa distance
minimale d'approche à l'origine. Exprimer b en fonction de rmin , v0 , G et M .
I.1.3. On considère maintenant le cas où la planète de masse M n'est plus 
ponctuelle mais
est assimilée à une sphère homogène de rayon R. Exprimer la vitesse de 
libération vl en fonction
de G, M et R. Montrer que la masse m arrivant de l'infini heurte la planète si
2

b  M2 initialement. Montrer que dans 
le cas de
l'accrétion galopante, le rapport M1 /M2 augmente au cours du temps. Commenter.
I.2. Chauffage par collision
I.2.1. L'hémisphère nord de Mars présente une vaste dépression, qui pourrait 
résulter d'une
collision avec un gros astéroïde. Calculer l'élévation globale moyenne de 
température résultant de
la collision avec un astéroïde de rayon r = 1000 km et de masse volumique  = 3 
× 103 kg · m-3 ,
arrivant de l'infini avec une vitesse initiale que l'on prendra nulle. La 
vitesse de libération de Mars
est vl = 5 km · s-1 , sa masse M = 6 × 1023 kg. On supposera que la capacité 
thermique massique
de Mars est constante, C  103 J · kg-1 · K-1 , et que toute l'énergie cinétique 
de l'astéroïde est
absorbée par Mars lors de la collision.
I.2.2. Expliquer pourquoi l'accrétion étudiée dans la partie I.1 s'accompagne 
nécessairement
d'une élévation de température importante. Quel mode de transfert thermique 
permet d'évacuer
une partie de l'énergie interne ?
I.3. Différenciation planétaire
La Terre est constituée pour deux tiers de sa masse de matériaux légers tels 
que les
silicates, de masse volumique 1 , et pour le tiers restant de matériaux lourds 
tels que le fer,
de masse volumique 2 . On prendra pour les applications numériques les valeurs 
approchées
1 = 4 × 103 kg · m-3 et 2 = 9 × 103 kg · m-3 . La température initiale de la 
Terre est élevée, et
son intérieur est partiellement fondu.
I.3.1. On assimile pour le moment la Terre à une sphère homogène de rayon R et 
de masse
volumique moyenne 1/m = (2/1 + 1/2 )/3. Exprimer l'intensité g(r) du champ de 
gravitation
à une distance r 6 R du centre de la Terre en fonction de r, R et de sa valeur 
à la surface
g0 = g(R).
I.3.2. On considère une petite bille de fer de volume V et de masse volumique 2 
à
la distance r du centre de la Terre. La bille est immergée dans le liquide de 
masse volumique m . Calculer la résultante des forces s'exerçant sur la bille. 
En déduire la variation
2

d'énergie potentielle du système lorsqu'elle tombe depuis la surface jusqu'au 
centre de la Terre.
La calculer numériquement pour une mole de fer de masse MFe  60 g. On donne R = 
6000 km,
g0 = 10 m · s-2 . Comparer la variation d'énergie potentielle à l'ordre de 
grandeur caractéristique
d'une enthalpie de réaction chimique.
I.3.3. Les matériaux les plus denses ont tendance à s'enfoncer vers le centre 
alors que les
matériaux moins denses migrent vers la surface. Ce processus conduit à la 
différenciation du
globe terrestre en un manteau externe, constitué des espèces les plus légères 
et recouvert d'une
fine écorce, et un noyau interne, constitué des espèces plus lourdes. Calculer 
le rayon du noyau.
Que peut-on dire, qualitativement, de la distribution de température dans le 
noyau à l'issue du
processus de différenciation planétaire ?

II. Refroidissement par conduction
On suppose dans cette partie que le manteau terrestre est indéformable. Le seul 
mécanisme
par lequel il peut évacuer son énergie interne est donc la diffusion thermique. 
On suppose pour
simplifier que le manteau est homogène et que sa température au temps initial t 
= 0 est uniforme,
de valeur Tc = 4000 K (valeur actuelle de la température à la limite entre le 
manteau et le noyau).
On suppose également qu'un mécanisme externe maintient la température de 
surface Ts constante
pour t > 0, avec Ts  Tc . On admet enfin (ce qu'on justifiera par la suite) que 
la courbure de la
planète est négligeable. Sa surface est par conséquent assimilée au plan 
d'équation z = 0, où z
est la profondeur comptée positivement à partir de la surface.
II.1. On suppose que la température T ne dépend que de la profondeur z et du 
temps t. Écrire
l'équation aux dérivées partielles régissant l'évolution de la température T 
(z, t) pour z > 0 et
t > 0. Cette équation fait apparaître un coefficient , dit coefficient de 
diffusivité thermique,
dont on donne la valeur numérique  = 10-6 m2 · s-1 .

II.2. On cherche une solution de cette équation de la forme T (z, t) = f (), où 
 = z/(2 t).
Écrire l'équation différentielle que doit vérifier f . Vérifier que la solution 
générale de cette équation est
Z

f () = A

exp(-s2 )ds + B,

0

où A et B sont des constantes d'intégration.
II.3. On donne l'intégrale
fonction de Tc et Ts .

R +
0

exp(-s2 )ds =

/2. Déterminer les expressions de A et B en

II.4. Donner l'expression du gradient de température en z = 0, dit gradient 
géothermique, à
l'instant t.
II.5. Les mesures actuelles de la température dans le sous-sol donnent un 
gradient géothermique
de 30 K · km-1 . En déduire que l'approximation qui consiste à négliger la 
courbure de la Terre
est justifiée. Estimer numériquement l'âge de la Terre, en années, suivant ce 
modèle. Une année
vaut approximativement 3 × 107 s. Le résultat obtenu vous paraît-il 
satisfaisant ?

3

III. Refroidissement par convection
Le modèle de la partie précédente est incomplet pour deux raisons. D'une part, 
le manteau
terrestre se comporte comme un fluide très visqueux, qui peut évacuer la 
chaleur par convection.
D'autre part, la radioactivité constitue une source importante d'énergie, qui 
ne peut être négligée.
Dans cette partie, on se propose de modéliser le phénomène de convection dans 
le manteau
terrestre. On modélise celui-ci comme un fluide contenu entre les plans z = 0 
et z = a. Comme
dans la partie précédente, z désigne la profondeur comptée à partir de la 
surface. Le champ de
vitesses eulérien du fluide ~v (~r, t) satisfait l'équation de Navier-Stokes
1 --
D~v
= - gradP + ~g +  ~v ,
Dt

où D/Dt désigne la dérivée particulaire,  la masse volumique du fluide, 
supposée ne dépendre
que de la température, P sa pression, ~g le champ de gravitation, supposé 
constant et uniforme,
 la viscosité cinématique du fluide, et  l'opérateur laplacien.
On admet que l'équation d'évolution de la température T (~r, t) dans le fluide 
est donnée par
l'équation de la diffusion thermique, dans laquelle on remplace la dérivée T /t 
par la dérivée
particulaire DT /Dt. Comme dans la partie II, on note  le coefficient de 
diffusivité thermique,
supposé constant et uniforme.
III.1. Chauffage par le bas
On modélise dans un premier temps le chauffage du manteau terrestre par le 
noyau. On note
Ts la température en z = 0 et Tc la température en z = a, supposées constantes, 
avec Tc > Ts .
III.1.1. Montrer que ces équations admettent une solution statique avec ~v = 
~0. On notera
P0 (z), 0 (z) et T0 (z) les valeurs de P ,  et T pour cette solution. 
Déterminer T0 (z) et dessiner
le profil de température.
III.1.2. Pour déterminer si la solution statique est stable, on étudie 
l'évolution au cours du
temps d'une petite perturbation. On pose P (~r, t) = P0 (z) + P1 (~r, t), (~r, 
t) = 0 (z) + 1 (~r, t),
T (~r, t) = T0 (z) + T1 (~r, t), et on traite P1 , 1 , T1 et la vitesse du 
fluide ~v comme des perturbations
du premier ordre. On suppose que la masse volumique  ne dépend que de la 
température, et on
note  = -(1/)(d/dT ) le coefficient de dilatation thermique, supposé 
indépendant de T dans
la gamme de température considérée. Linéariser l'équation de Navier-Stokes et 
l'équation de la
diffusion thermique. Vérifier qu'elles se mettent sous la forme
~v
t
T1
t

= -

1 --
gradP1 -  ~g T1 +  ~v
0 (z)

= - vz +  T1 ,

où  est une constante dont on donnera l'expression. Expliquer quels sont, dans 
le membre de
droite de ces équations, les termes qui favorisent la convection et ceux qui 
s'y opposent.

4

0
a /2
a
z
Figure 1. Cellules de convection.
III.1.3. La résolution complète de ces équations linéarisées, auxquelles il 
faudrait ajouter la
conservation de la masse, est complexe et montre que des rouleaux de 
convection, représentés
sur la figure 1, peuvent apparaître sous certaines conditions. Nous allons nous 
contenter d'une
solution simplifiée qui est correcte au milieu du manteau, au voisinage de z = 
a/2. On admet
que le champ de vitesses y est principalement vertical, vx = vy = 0, et on 
cherche une solution
ne dépendant que de x et t de la forme, en notation complexe
vz (x, t) = Re [A exp(t + ikx)]
T1 (x, t) = Re [B exp(t + ikx)]
P1 (x, t) = Re [C exp(t + ikx)] ,
où A, B et C sont des amplitudes complexes, et  et k sont réels. En insérant 
les trois relations
ci-dessus dans les équations obtenues à la question III.1.2, obtenir la 
relation entre  et k pour
que le système ait des solutions non nulles.
III.1.4. On cherche la condition sous laquelle peuvent apparaître des rouleaux 
de convection
cylindriques (voir figure 1), qui correspondent à la valeur k = /a. Montrer que 
pour cette valeur
de k, la solution statique est instable si le nombre de Rayleigh, défini par Ra 
= ga4 /, est
supérieur à un seuil qu'on précisera.
III.1.5. On donne les valeurs numériques a = 3000 km, Tc - Ts = 2000 K,  = 2 × 
10-5 K-1 ,
g = 10 m · s-2 ,  = 10-6 m2 · s-1 ,  = 1017 m2 · s-1 . Comparer la valeur de  à 
son ordre de
grandeur pour un liquide ordinaire. Calculer le nombre de Rayleigh et montrer 
que la convection
dans le manteau est possible. Quelle caractéristique de ce système compense sa 
grande viscosité ?
III.2. Chauffage interne
On étudie maintenant le chauffage du manteau terrestre par la radioactivité 
interne. On
note H la puissance par unité de masse dégagée par les désintégrations 
radioactives dans le
manteau terrestre, supposée constante et uniforme. On néglige le chauffage par 
le noyau, et on
considère par conséquent qu'il n'y a pas de transfert thermique à travers le 
plan z = a. Comme
précédemment, on note Ts la température en z = 0, supposée constante.
III.2.1. Comment est modifiée l'équation de la diffusion thermique en présence 
de la source
de chaleur ? On notera C la capacité thermique massique, supposée constante. 
Déterminer la
solution statique T0 (z) de cette équation en tenant compte des nouvelles 
conditions aux limites.
Dessiner le profil de température.
5

III.2.2. Comme dans la partie III.1., on étudie l'évolution d'une petite 
perturbation autour
de cette solution statique. Montrer que les équations obtenues à la question 
III.1.2. sont toujours
valables, à ceci près que  est une fonction de z. Exprimer la valeur de  au 
milieu du manteau
(z = a/2) en fonction de H, C,  et a.
III.2.3. Calculer numériquement le nombre de Rayleigh associé au chauffage 
interne. On
donne H = 8 × 10-12 W · kg-1 et C = 103 J · kg-1 · K-1 . Le chauffage interne 
suffit-il à produire
de la convection ?
III.2.4. La réaction radioactive la plus importante est la désintégration  du 
noyau 40 K, qui
a une demi-vie d'environ 109 années. Que peut-on en conclure sur l'importance 
de la convection
au début de l'histoire du globe terrestre ?
III.3. Épilogue
III.3.1. Des deux mécanismes de chauffage étudiés, lequel vous semble le plus 
important ?
III.3.2. La convection dans le manteau transporte l'énergie thermique depuis le 
noyau vers
les couches supérieures du manteau, à des profondeurs d'environ 30 km, où la 
température est
voisine de 1000 K. La convection conduit-elle à un gradient géothermique plus 
grand ou plus
petit que la conduction thermique seule, étudiée dans la partie II ?

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 PC 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) ; il a 
été
relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet sur la géothermie des planètes est composé de trois parties : la 
genèse des
planètes, leur refroidissement par conduction puis par convection. Les 
motivations de
fond sont de discuter en parallèle le processus de chauffage du manteau 
terrestre et
celui d'évacuation de l'énergie thermique associée vers la surface.
· La première partie est consacrée à la formation des planètes. La première 
souspartie aborde le mécanisme initial de cette formation par accrétion de 
points
matériels provenant de l'infini. Après une deuxième sous-partie très brève sur
l'énergie thermique résultant de l'accrétion, une troisième sous-partie 
s'intéresse
à la différenciation du noyau, c'est-à-dire à la séparation des éléments légers 
et
lourds en manteau et noyau, sous l'effet combiné de la gravitation et de la
poussée d'Archimède. Cette première partie constitue une entrée en matière
ardue puisqu'il faut être capable de restituer ou de retrouver de nombreux
résultats, en particulier de mécanique céleste, pour les utiliser immédiatement
dans des raisonnements assez fins et peu guidés.
· La deuxième partie envisage en parallèle le chauffage du manteau par le noyau
et l'évacuation de cette énergie vers la surface par conduction. Cette courte
partie suppose cette fois de bien maîtriser le cours sur la diffusion thermique,
l'équation de diffusion étant un prérequis. De plus, si la résolution de 
l'équation
est relativement guidée, elle nécessite une certaine aisance avec les équations
aux dérivées partielles.
· La troisième partie traite de l'apparition de rouleaux de convection dans le
noyau. Après une première sous-partie s'intéressant à la croissance d'une 
instabilité convective dans un manteau chauffé par diffusion par le noyau, une
deuxième envisage le même phénomène lorsque le chauffage du manteau se fait
par désintégration d'éléments radioactifs. Aux compétences déjà requises dans
la partie précédente s'ajoute cette fois la mécanique des fluides avec, en 
particulier, l'utilisation de la dérivée particulaire dans une autre équation 
que celle
de Navier-Stokes. Il faut également savoir traiter un problème de diffusion 
thermique avec sources. Enfin, l'ensemble de ce travail doit pouvoir être fait 
dans
une démarche de type perturbation.
Ce sujet est particulièrement intéressant dans les thématiques qu'il aborde, 
notamment la genèse des planètes par accrétion et la croissance d'une 
instabilité de
Rayleigh-Bénard. Cela le rend riche et donc susceptible de poser des 
difficultés puisqu'il allie, à un niveau avancé, maîtrise des savoirs, 
complexité des calculs et finesse
des raisonnements. Notons, par ailleurs, que la première partie, bien que 
difficile, est
entièrement traitable avec des outils de première année. À réserver aux 
candidats qui
veulent se mettre en difficulté.

Indications
I. Genèse des planètes telluriques

-
I.1.1 Utiliser la méthode de la droite d'action pour déterminer L quand la masse
est à l'infini.
I.1.2 Le moment cinétique et l'énergie cinétique sont conservés.
I.1.3 La vitesse de libération est la vitesse minimale que doit avoir un corps 
quand
il quitte la surface d'une planète pour atteindre l'infini.
I.1.4 Seuls les points matériels vérifiant l'inégalité de la question 
précédente atteignent la planète.
I.3.1 Appliquer le théorème de Gauss au champ gravitationnel.
I.3.2 L'enthalpie standard pour produire une mole d'eau est d'environ -300 kJ.
II. Refroidissement par conduction
II.3 Pour z fini, lorsque t tend vers 0, T tend vers Tc et  tend vers l'infini.
II.5 On peut négliger la courbure de la Terre si les variations de températures 
ont
lieu sur des distances caractéristiques petites devant le rayon terrestre.
III. Refroidissement par convection
III.1.2 Utiliser, en le justifiant, que
 (T0 + T1 ) - (T0 )
1
d

=
dT
(T0 + T1 ) - T0
T1
III.1.4 La solution statique est instable si la fluctuation avec k = /4 peut 
croître
exponentiellement.
III.2.1 En présence d'une source, il faut ajouter, dans l'équation de 
diffusion, un
terme H/C.

La chaleur des planètes
I. Genèse des planètes telluriques

I.1.1 Le point matériel arrivant de l'infini avec une vitesse -
v0 on peut, sans perte
de généralité, choisir un système d'axe cartésien centré sur la planète tel que

-

v =v -
e
0

0 x

À l'infini, le point matériel se déplace donc suivant une droite parallèle à 
l'axe (Ox)
située à une distance y0 de celui-ci. En terminant de fixer le système d'axe 
cartésien,

on peut donc poser comme condition initiale que le point matériel à la vitesse -
v0 en
un point P0 de coordonnées (x0 , y0 , 0) avec x0 qui tend vers moins l'infini 
(et y0 > 0).
En calculant le moment cinétique du point matériel par rapport à O en P0 puis en
prenant la limite, on en déduit b :

-
-- 

L (P0 ) = m OP0  -
v0 = -m v0 y0 -
ez
d'où

b = y0

b est la distance entre le point O et la direction de la vitesse initiale du 
point matériel.
y

-

v0

b
O

x

b est généralement appelé « paramètre d'impact ».
I.1.2 La trajectoire d'un point matériel soumis à l'attraction gravitationnelle 
d'un
corps peut être de trois types : une ellipse, une parabole ou une hyperbole.
Le point matériel provenant de l'infini, sa trajectoire n'est pas fermée, ce 
n'est donc
pas une ellipse. Par ailleurs, une trajectoire parabolique correspond à une 
vitesse à
l'infini nulle. Par conséquent, si l'on suppose v0 non nul,
La trajectoire du point matériel est une branche d'hyperbole.
Le point matériel, que l'on note P, est soumis à la seule attraction gravitation
-
nelle F de la masse M située en O,
-

m M -
F = -G
OP
OP3
-

Il en résulte que son moment M en O est nul :
-
 - -
 -

M = OP  F = 0

Ainsi, d'après le théorème du moment cinétique appliqué à P,

-
 -
-

-
dL
= 0
soit
L = L0
dt
-

où L0 est un vecteur constant. Or, lorsque P passe par le point de sa 
trajectoire le plus
-
proche de O, la distance OP vaut rmin et la vitesse est orthoradiale (normale à 
OP)
de norme notée v m , d'où

-
k L k = m rmin v m
vm
soit, pour b,
b = rmin
v0
Il reste à déterminer v m . Pour cela, appliquons le théorème de l'énergie 
cinétique au
point P. La masse m n'est soumise qu'à l'attraction gravitationnelle de M qui 
dérive
de l'énergie potentielle
mM
Ep = -G
OP
Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à P entre l'infini, où sa vitesse 
vaut v0 ,
et le point de la trajectoire le plus proche de O, où sa vitesse vaut v m , 
donne
1
1
mM
m v0 2 = m v m 2 - G
2
2
rmin
r
M
ce qui s'écrit aussi
v m = v0 2 + 2 G
rmin
r
M
On en déduit
b = rmin 1 + 2 G
rmin v0 2
I.1.3 La vitesse de libération est la vitesse minimale que doit avoir une masse 
m
lorsqu'elle quitte la surface d'une planète pour atteindre l'infini. Dans le 
cas limite
où la vitesse initiale de la masse est v , elle atteint l'infini avec une 
vitesse nulle.
Le théorème de l'énergie cinétique appliqué entre la surface de la planète, où 
OP = R
et v = v , et l'infini, où Ep = 0 et v = 0, donne
mM
1
m v 2 - G
=0
2
R
r
2GM
d'où
v =
R
La masse heurte la planète si la distance minimale d'approche rmin est plus 
petite
que le rayon de la planète. Or, d'après la question précédente
M
2
b2 = rmin
+ 2 G 2 rmin
v0
ce qui implique que b2 est une fonction strictement croissante de rmin . De ce 
fait,
l'inégalité rmin < R est équivalente à l'inégalité

M
GM
2
2
2
b < R +2G 2 R = R 1+2 2
v0
v0 R
dans laquelle on reconnaît l'expression de v . On en conclut que la masse m 
heurte
la planète si
 2

v
b2 < R2
+
1
v0 2