X Physique 1 PC 2009

Thème de l'épreuve Stabilité de la matière stellaire et interstellaire
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique des fluides
Mots clefs étoile, stabilité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2009

FILIÈRE

PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Stabilité de la matière, stellaire et interstellaire
Les nuages de gaz interstellaire que l'on trouve dans l'univers peuvent 
s'effondrer sous l'effet
de leur propre champ gravitationnel et donner lieu à des structures denses, 
dont la stabilité
même n'est pas nécessairement assurée. L'objet de ce problème est d'analyser 
certaines situations
conduisant à ce phénomène.
On admettra qu'une distribution de masse caractérisée par une masse volumique 
(~r) donne
--
lieu à un champ gravitationnel ~g(~r) dérivant d'un potentiel (~r) avec ~g (~r) 
= -grad  et tel que
div ~g = -4G.
Données numériques
G = 6, 7 × 10-11 m3 · kg-1 · s-2

Constante gravitationnelle :

NA = 6, 02 × 1023 mol-1

Nombre d'Avogadro :

c = 3, 0 × 108 m · s-1

Vitesse de la lumière dans le vide :

I. Première approche
I.1 Si l'on cherche à déterminer le champ gravitationnel ~g (~r) résultant 
d'une distribution de
masse volumique (~r), on peut s'appuyer sur une analogie électrostatique. 
Préciser, dans le cadre
de cette analogie, les quantités qui jouent les rôles de ~g(~r), de (~r) et de 
G.
I.2 Soit une boule de rayon R centrée à l'origine des coordonnées, dont la 
distribution de masse
est à symétrie sphérique. Soient (r) la masse volumique, m(r) la masse de la 
boule de rayon r
(pour r < R) et M la masse totale.
I.2.1 Déterminer, pour r  R, le champ gravitationnel ~g(~r) produit par cette 
boule de
matière.

1

I.2.2 Déterminer de même, pour r < R, le champ gravitationnel ~g(~r) à l'aide 
de m(r).
I.3 Soit une boule gazeuse de masse volumique  uniforme, de masse M et de rayon
R0 , initialement au repos. Elle s'effondre sous l'effet de son propre champ 
gravitationnel.
On suppose que ce mouvement garde à tout moment la symétrie sphérique ; on fait 
l'hypothèse qu'un élément quelconque du milieu gazeux, de masse µ, initialement 
à la distance r0 , a
un mouvement de chute libre, c'est-à-dire qu'il n'est soumis qu'à la force de 
gravitation du gaz
situé initialement à une distance du centre inférieure à r0 et qui se contracte.
I.3.1 On rappelle la loi de Kepler reliant, dans le cas d'une trajectoire 
elliptique d'un corps
attiré par une masse ponctuelle M0 , la période au demi-grand axe a :
= 2(a3 /GM0 )1/2 .
En déduire l'expression de la durée de chute g jusqu'à l'origine en fonction de 
G et . Cette
durée dépend-elle de r0 ?
I.3.2 Calculer g pour M = 2, 0 × 1030 kg et R0 = 7, 0 × 108 m (valeurs 
correspondant au
Soleil).
Même calcul pour un nuage intergalactique sphérique, de rayon 108 fois celui du 
Soleil et
possédant dix atomes d'hydrogène par cm3 .
I.3.3 Quelle force antagoniste, non prise en compte, peut freiner un tel 
effondrement et
éventuellement l'arrêter ?
I.4 On suppose que le gaz de la boule précédente possède une température 
moyenne T non nulle.
Ce gaz est supposé parfait, monoatomique et de masse molaire MA .
I.4.1 Donner l'expression de l'énergie cinétique totale Ucin du gaz en fonction 
de T, M, MA
et de la constante des gaz parfaits RGP .
I.4.2 L'énergie potentielle de gravitation Eg de la boule est donnée par :
Eg = -

3 GM 2
.
5 R0

Si Eg + 2Ucin < 0, on montre qu'un effondrement s'amorce. Déterminer le rayon 
critique Rc
tel que, à  fixé et pour R0 > Rc , ce phénomène se produit. Exprimer Rc en 
fonction de , T , et
des constantes G, MA et RGP .
I.4.3 Soit cS la vitesse des ondes acoustiques dans le gaz et S = R0 /cS une 
estimation du
temps mis par une perturbation acoustique pour aller de la surface au centre. 
Expliciter cS en
fonction de T, MA et RGP et exprimer S .
Montrer que S est supérieur à g pour R0 > RS où RS est une distance que l'on 
explicitera
en fonction de , T , et des constantes G, MA et RGP . Quelle interprétation 
dynamique vous suggère la comparaison de RS et Rc ?

2

II. Stabilité d'une étoile
On s'intéresse dans cette partie aux propriétés d'une étoile dense, comme le 
Soleil, que l'on
décrira comme une boule de gaz parfait à symétrie sphérique de masse totale M . 
On reprend les
notations de la partie I : (r), m(r), ~g(~r) et on en utilisera les résultats.
II.1 On suppose la distribution à l'équilibre.
II.1.1 Exprimer, à l'aide de m(r) et (r), la force de gravitation par unité de 
volume à la
distance r du centre.
II.1.2 Dans le fluide règne une pression locale P (r) avec P (R) = 0 à la 
surface. Exprimer la
dP
.
condition d'équilibre ; en déduire
dr
II.2 On s'intéresse à l'aspect énergétique. Soit Eg l'énergie potentielle de 
gravitation de toute
la boule et dEg la contribution à cette énergie de la couche sphérique de masse 
dm(r) située
entre r et r + dr.
II.2.1 Exprimer dEg à l'aide de m(r) et de dm(r) .
II.2.2 Montrer que dEg s'écrit dEg =
II.2.3 Montrer que Eg = -3
comprise entre r et r + dr.

Z R

dP
4r 3 dr.
dr

P dV où dV = 4r 2 dr est le volume de la couche sphérique

0

II.3 Rappeler l'expression de l'énergie interne molaire Umol d'un gaz parfait 
en fonction de la
capacité thermique molaire CV et de la température thermodynamique T . Soit  = 
CP /CV .
Exprimer Umol en fonction de , de T et de la constante des gaz parfaits RGP .
II.4 Déduire de cette expression et de la précédente une relation entre Eg et 
l'énergie interne
totale U du gaz. On supposera que  est uniforme.
II.5 Exprimer l'énergie totale E de la boule en fonction de U . Déterminer à 
quelle condition
portant sur  l'étoile est stable.
II.6 Que devient la relation entre Eg et U obtenue en II.4 pour  = 5/3. À quel 
type de gaz
correspond cette valeur ? À quelle forme d'énergie correspond alors U ?
II.7 Si la température T croît, écartant un peu le système de l'équilibre, les 
réactions nucléaires
s'accroissent et fournissent plus d'énergie. En utilisant II.5, comment 
interprétez-vous le retour
à l'équilibre, donc la stabilité, du Soleil ?

3

III. Évolution d'une perturbation
On suppose que l'univers est constitué de matière que l'on traitera comme un 
fluide non
visqueux, caractérisé par un champ de masse volumique (~r, t) , un champ de 
vitesse ~v (~r, t) et
un champ de pression P (~r, t). On appellera ~g(~r, t) le champ gravitationnel 
local.
On suppose qu'en plus de la pression et de la gravitation, il existe une autre 
force extérieure
de densité volumique f~V (~r, t) = (~r, t)~(~r, t) caractérisée ici par le 
champ vectoriel ~(~r, t).
III.1 Écrire l'équation locale traduisant la conservation de la masse.
III.2 Écrire l'équation d'Euler traduisant localement le principe fondamental 
de la
dynamique.
III.3 Écrire l'équation locale reliant ~g et .
III.4 On suppose que le milieu est suffisamment dilué pour négliger la pression 
:
P0 = P (~r, t)  0. On considère à un instant t0 une région de masse volumique 
uniforme
0 et au repos : ~v (~r, t0 ) = ~0 ; on note ~g0 (~r) le champ gravitationnel 
dans cette région, et on
suppose ~(~r, t) = -~g0 .
III.4.1 Montrer que  = 0 et ~v = ~0 est solution des équations précédentes pour 
t > t0
(solution statique).
III.4.2 À un instant donné, cette région est soumise à une perturbation ; son 
état est alors
caractérisé par le champ de vitesse ~v1 = ~v (~r, t), la masse volumique  = 0 + 
1 et le champ
~g = ~g0 + ~g1 ; on suppose toujours P = 0 et ~ = -~g0 .
Exprimer les trois équations qui relient ~v1 , 1 et ~g1 . Les linéariser par 
rapport à ces trois
variables. En déduire l'équation satisfaite par 1 .
Qu'en concluez-vous sur l'évolution de la perturbation ? Préciser le temps 
caractéristique
d'évolution.
III.5 La croissance d'une perturbation crée progressivement une surpression P1 .
III.5.1 Écrire l'équation d'Euler en tenant compte de cette pression et la 
linéariser.
III.5.2 La pression et la masse volumique du fluide sont liées par l'équation 
d'état P ().
 2 1
Montrer que 1 est solution de l'équation :
= c2S 1 + 4G0 1 où on exprimera cS en
t2
dP
fonction de
.
d
III.5.3 On cherche alors des solutions de l'équation précédente sous la forme
P1 (~r, t) = A exp i(~k · ~r - t). Exprimer la relation de dispersion (k) 
donnant  en fonction
de k.

4

III.5.4 Montrer qu'il existe un nombre d'onde critique kJ tel que, pour k < kJ 
, les perturbations sont exponentiellement amplifiées. Exprimer la longueur 
caractéristique associée
J = 2/kJ en fonction de G, 0 et cS .
Comparer cette longueur aux rayons Rc et RS déterminés en I.4.2 et I.4.3.
III.5.5 On désigne par masse de Jeans et on note MJ la masse de la boule de 
rayon J /2.
En donner l'expression. Traduire la stabilité du fluide par une condition sur 
sa masse totale M
et sur MJ .
IV. Univers en expansion et stabilité
L'Univers est en expansion uniforme. Une origine étant choisie (arbitraire, 
l'espace étant
homogène et isotrope) et un repère R d'observation déterminé, soit ~s le 
vecteur position d'un
point matériel de l'espace à l'instant de référence tR . À un instant t, ce 
point matériel se trouve en
~r(t) = a(t)~s où a(t) est un facteur d'échelle universel, avec a(tR ) = 1. Il 
est donc en mouvement
d~r
a
dans R avec la vitesse ~v =
= a~s = ~r.
dt
a
Dans cette partie, on suppose ~(~r, t)  ~0.
IV.1 On considère deux points matériels A et B repérés respectivement par ~rA 
et ~rB . Expliciter
leur vitesse relative ~vA - ~vB . En déduire que tout point, par exemple B, 
peut être choisi comme
« centre » de l'expansion.
IV.2 La matière constituant l'univers est, comme en III.4, considérée comme un 
fluide non
visqueux de masse volumique uniforme 0 (t), de pression P0 = 0 mais animé dans 
R d'une
a
vitesse locale ~v0 (~r, t) = ~r.
a
IV.2.1 L'équation obtenue en III.1 est satisfaite par la solution 0 (t) = a-3 
(t)0 où on a
posé 0 = 0 (tR ). Montrer que l'intégrale de 0 (t) sur une boule de rayon r(t) 
est une constante
au cours du temps. Quelle propriété physique ce résultat traduit-il ?
IV.2.2 Montrer que l'équation obtenue en III.2 est satisfaite par ~g0 (~r, t) = 
-
condition que aa2 soit une constante que l'on précisera.

4G0 (t)
~r à
3

IV.2.3 Une solution a(t), correspondant à un modèle cosmologique particulier, 
est telle que
a(t = 0) = 0. Déterminer cette solution en cherchant pour a(t) une dépendance 
temporelle de la
forme t .
IV.2.4 Exprimer H(t)  a/a en fonction de t.
On pose HR = H(tR ). Exprimer tR en fonction de HR .
Pourquoi appelle-t-on tR « âge de l'univers » ? Calculer l'âge que donne ce 
modèle avec la
valeur de HR que permet d'obtenir l'expérience : HR = 71 km · s-1 · Mpc-1 . Le 
parsec (symbole
« pc ») est une unité de longueur couramment utilisée en astronomie et adaptée 
aux grandes
échelles de distance : 1 pc = 3, 262 année-lumière ; son multiple Mpc est le 
mégaparsec.
5

IV.3. On cherche à déterminer l'évolution temporelle d'une perturbation, l'état 
de base étant
celui étudié en question IV.2 et caractérisé par {0 (t), ~v0 (~r, t), g0 (~r, 
t), P0 = 0} . On pose :
 = 0 + 1 (~r, t),

~v = ~v0 + ~v1 (~r, t),

~g = ~g0 + ~g1 (~r, t),

P = P0 = 0

et on ne retiendra dans les équations que les termes linéaires en 1 , ~v1 et 
~g1 .
IV.3.1 En utilisant l'opérateur de dérivation à l'ordre zéro :
l'équation de conservation de la masse (cf.III.1) conduit à :

d

~ montrer que
=
+ (~v0 · ),
dt
t

a
d1
+ 3 1 + 0 div ~v1 = 0 .
dt
a
On pose  =

1 (~r, t)
d
et  = . Montrer que  + div ~v1 = 0.
0 (t)
dt

IV.3.2 Montrer de même que l'équation d'Euler (cf. III.2) conduit à l'équation :
d~v1 a
+ ~v1 = ~g1 .
dt
a
IV.3.3 Écrire l'expression reliant ~g1 et 1 . Cette relation forme avec les 
deux équations
obtenues aux questions précédentes un système fermé. En éliminant ~g1 et ~v1 , 
montrer que 
satisfait l'équation différentielle :
a
 + 2  - 4G0  = 0 .
a
Indication. On utilisera le fait que ~r évoluant proportionnellement à a(t), on 
a pour tout
champ de vecteur V (~r, t) :
 ~
d
~ = - a div V
~ + div dV .
div V
dt
a
dt

IV.3.4 En utilisant l'expression de 0 (t) et celle de a(t) obtenue en IV.2.3 
expliciter l'équation différentielle de . L'équation admet des solutions de la 
forme t ; en donner la solution
générale.
Qu'en concluez-vous sur l'évolution temporelle d'une perturbation ? La comparer 
à celle obtenue en III.5.4.

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jimmy Mullaert (École Polytechnique) ; il a été relu
par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Les structures stellaires que l'on trouve dans l'univers ont une masse 
importante
et peuvent par conséquent s'effondrer sous l'effet de la gravitation. Cet 
effondrement
est compensé par d'autres forces répulsives qui permettent la stabilité de 
l'ensemble.
Ce sujet vise à comprendre pourquoi les étoiles comme l'univers tout entier sont
stables, et comment ils réagissent à de faibles perturbations, grâce à une 
linéarisation
des équations qui régissent leur dynamique.
· La première partie développe une analogie entre les interactions 
gravitationnelle
et électrostatique. On établit une estimation de la durée de l'effondrement, 
ainsi
qu'une taille limite au-delà de laquelle l'effondrement se produit, à partir 
d'un
argument énergétique.
· Dans la deuxième, on établit une relation entre l'énergie potentielle de 
gravitation d'une étoile et son énergie interne. L'étoile est assimilée à un 
gaz parfait.
Une condition de stabilité sur le coefficient de Laplace fournit une explication
à la stabilité du Soleil.
· La troisième est consacrée à l'étude de la stabilité de l'univers vis-à-vis 
de petites
perturbations de densité. Dans un premier temps, on néglige la pression, ce qui
conduit à une instabilité. Par la suite, la prise en compte du gradient de 
pression
dans l'équation d'Euler donne une équation des ondes modifiée avec un terme
d'ordre 0 (équation de Klein Gordon). La relation de dispersion fait apparaître
l'instabilité de Jeans vis-à-vis des grandes longueurs d'onde.
· Dans la dernière partie, on démontre l'instabilité d'un modèle d'univers en
expansion en suivant le même cheminement que dans la partie précédente.
En résumé, le sujet couvre une grande partie du programme de physique,
de la thermodynamique à la mécanique des fluides en passant par les phénomènes
de propagation et de dispersion. Il comporte quelques questions de cours, mais 
aussi
de difficiles questions d'interprétation qui testent efficacement le sens 
physique des
candidats.

Indications
Partie I
I.1 Utiliser l'équation locale fournie par l'énoncé.
I.2.1 Analyser les invariances et symétries du problème puis utiliser le 
théorème de
Gauss.
I.3.1 Montrer tout d'abord que la masse de gaz située à une distance inférieure 
à
celle de la masse µ est constante lors de la chute. Enfin, la chute libre peut
être assimilée à une demi-ellipse très aplatie.
Partie II
II.1.2 Le champ de force volumique qui résulte d'une pression non homogène est
-

--
f v = - grad P. Ici, le gradient est radial en raison de la symétrie sphérique.
II.2.3 Écrire l'énergie potentielle comme une intégrale des énergies 
élémentaires calculées ci-dessus. Réaliser une intégration par parties.
II.3 Exprimer la capacité thermique molaire CV à l'aide de  en utilisant la 
relation
de Mayer CP - CV = RGP .
II.4 Écrire l'énergie contenue dans la couronne comprise entre les rayons r et 
r+dr
en fonction de dr puis en fonction de dV. Intégrer entre r = 0 et r = R pour
obtenir E. Reconnaître l'intégrale qui apparaît dans l'expression de Eg .
Partie III
III.2 Ne pas oublier le gradient de pression.
III.3 La formule est donnée au début de l'énoncé.
III.4.2 Il faut négliger les termes d'ordre 2 pour que l'équation obtenue soit 
linéaire.
Utiliser également la question précédente pour simplifier l'expression. Afin
d'obtenir l'équation vérifiée par 1 , il faut dériver l'équation de conservation

de la masse et éliminer -
g1 et -
v1 grâce aux deux autres relations.
III.5.2 Linéariser la loi de comportement au voisinage de 0 .
III.5.3 C'est 1 qui est une onde plane. Utiliser l'équation de propagation pour 
en
déduire une condition sur  et k.
III.5.4 Si  est complexe, l'amplitude de l'onde plane augmente exponentiellement
au cours du temps.

IV.2.2
IV.2.3
IV.3.1
IV.3.2
IV.3.3

Partie IV
-

-
Exprimer r et v en fonction de a.
Injecter a(t) = A t dans l'équation précédente. Pour qu'un tel monôme en t
soit constant, il faut que la puissance de t soit nulle.
Il faut éliminer les termes d'ordre 2 et utiliser l'équation de conservation de
la masse qui fait apparaître la dérivée particulaire.

Utiliser l'équation d'Euler satisfaite par la vitesse -
v0 . Attention à l'opérateur

de dérivation d'ordre 0. La convection se fait ici à la vitesse -
v0 + -
v1 .
Procéder de même qu'à la question III.4.

Stabilité de la matière,
stellaire et interstellaire
I. Première Approche
I.1 Si on compare l'équation locale fournie par l'énoncé

div -
g = -4 G 
avec l'équation de Maxwell-Gauss,

-

div E =
0
on peut faire une analogie en identifiant charge volumique et masse volumique .
De même, on identifie les champs électrostatique et gravitationnel, ainsi que la
constante G et -1/40.
Il est bon de connaître les limites de cette analogie : la force électrostatique
peut être répulsive alors que la force gravitationnelle est toujours attractive.
I.2.1 Considérons un point M quelconque, différent de l'origine. Tout plan 
contenant

la droite (OM) est un plan de symétrie pour la densité . Comme -
g est un vecteur
polaire, il appartient à l'intersection de tous ces plans, c'est-à-dire

-

g =g-
er
En raison des invariances du problème par rotation autour de n'importe quel axe

passant par l'origine, la norme de -
g ne dépend que de la distance r à l'origine.
Finalement,

-

g (-
r ) = g(r) -
er
Considérons la boule B de centre l'origine et de rayon r > R. D'après la forme
gravitationnelle de l'équation de Gauss, on a
ZZZ
ZZZ

div -
g dV =
- 4 G(r) dV = -4 G M
B

B

Or, si l'on note S la surface de la sphère entourant B, avec sa normale 
orientée vers
l'extérieur, le théorème d'Ostrogradski permet d'écrire
ZZZ
ZZ

-

-
div -
g dV =
g · d  = 4 r2 g(r)
B

On en déduit

S

GM 
-

g (-
r)=- 2 -
er
r

On voit que dans le cas r > R, le champ obtenu est le même que celui créé
par une masse ponctuelle M placée à l'origine.
I.2.2 Le raisonnement précédent reste valable à condition d'adapter la masse 
contenue dans la sphère fictive qui ne vaut plus M, mais m(r).
G m(r) -
-

g (-
r)=-
er
r2

I.3.1 On remarque tout d'abord que la masse située à une distance à l'origine
inférieure à celle de la masse µ ne varie pas pendant la chute car l'étoile 
s'effondre
en gardant sa symétrie sphérique. On peut donc considérer que la masse µ est en
chute libre dans le champ de pesanteur d'une masse ponctuelle M0 . La 
trajectoire
est par conséquent une conique dont le centre de l'astre de masse M0 est l'un 
des
foyers. Comme la vitesse initiale est nulle, l'énergie de la particule est 
strictement
négative et la trajectoire est une ellipse. De plus, la vitesse orthoradiale 
initiale est
nulle, si bien que l'ellipse se réduit à un segment et les foyers en sont les 
extrémités.
Si on note a le demi grand axe et b le demi petit axe de l'ellipse, la 
demidistance c entre les foyers est reliée à l'excentricité e par
c = ea
et
a2 = b 2 + c2
Ainsi, si l'excentricité tend vers 1 et a reste fixé, alors c tend vers a et b 
tend
vers 0. On a bien une ellipse aplatie avec les foyers situés aux extrémités.
Attention, dire que l'on fait tendre l'excentricité vers 1 ne suffit pas : si on
laisse le paramètre de l'ellipse p = b2 /a constant et que l'on fait tendre
l'excentricité vers 1, on obtient une parabole.
Géométriquement, si on se donne deux points F et F , l'ellipse de foyer F
et F est le lieu des points M pour lesquels
MF + MF = Cte
Si on prend la constante égale à FF , on obtient le segment [FF ] et les foyers
de cette ellipse plate sont bien ses extrémités.
La particule est initialement à l'apogée de sa trajectoire. La hauteur de chute 
r0
est par conséquent égale au grand axe de l'ellipse. Dans ces conditions, la 
durée de la
chute est la moitié de la période de révolution donnée par la loi de Kepler. On 
obtient
s
R0 3
g = 
8 G M0
4
 R0 3 , on obtient
3
r
3
g =
32  G

Finalement, en remarquant que M0 =

Cette grandeur ne dépend plus de la hauteur initiale r0 , ce qui signifie que 
deux
masses identiques placées à des distances différentes de l'origine mettent le 
même
temps à rejoindre l'origine lors de l'effondrement.
On peut retrouver la formule donnant le temps de chute. Écrivons l'égalité des 
énergies massiques entre les positions r et r0 :
r2
G M0
G M0
-
=-
2
r
r0
r

dr
2 G M0 r0
c'est-à-dire
=-
-1
dt
r0
r
Séparons les variables et intégrons entre r = r0 et r = 0 :
Z g
Z 0
dr
r
g =
dt = -

2 G M0  r0
0
r0
-1
r0
r