X Physique 1 PC 2008

Thème de l'épreuve Échographie
Principaux outils utilisés ondes acoustiques, optique ondulatoire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2008

FILIÈRE

PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Échographie
L'échographie est une technique d'imagerie employant des ultrasons, 
c'est-à-dire des ondes sonores inaudibles pour l'oreille humaine, à des 
fréquences se situant entre 1 Mhz et 10 MHz
environ. Cette technique est utilisée de manière courante en médecine car elle 
permet des diagnostics non invasifs (et fort heureusement non destructeurs) 
pour les organes internes du corps
humain. Lors d'une échographie, les ultrasons sont générés sous forme 
d'impulsions successives
par un transducteur en céramique à partir d'une excitation électrique. Les 
ondes ultrasonores
sont ensuite réfléchies par les différents organes, donnant des échos 
enregistrés par le transducteur
qui sert aussi de récepteur.
L'affichage sur un écran prend alors en compte la position de l'écho et la 
luminosité d'un
point est proportionnelle à l'intensité de l'écho, donc de l'onde réfléchie. 
Plus la réflexion est
importante, plus l'image apparaît en blanc sur l'écran. On peut construire 
ainsi une image des
organes en modifiant l'angle d'émission des ultrasons et si la cadence de 
construction de l'image
est suffisante, on peut également distinguer leurs mouvements.
La propagation des ondes acoustiques dans un fluide est étudiée dans la 
première partie, en
limitant l'étude aux propagations unidimensionnelles. L'obtention des 
coefficients de réflexion
et de transmission de ce type d'ondes, à l'interface de deux milieux, fait 
l'objet de la deuxième
partie. Les résultats sont ensuite utilisés pour interpréter les signaux de 
l'échographie acoustique.
Enfin, quelques aspects techniques d'émission et de réception des ondes 
ultrasonores sont analysés
en quatrième partie.
Données numériques :
Masse molaire de l'air :
Constante des gaz parfaits :
Masse volumique de l'eau à 20 C :
Coefficient de compressibilité de l'eau à 20 C :

1

M = 29 g · mol-1
R = 8, 32 J · mol-1 · K-1
 = 1, 00 × 103 kg · m-3
 = 4, 57 × 10-10 Pa-1

Partie I
Propagation des ondes acoustiques
Soit un fluide de masse volumique 0 et de pression P0 à l'équilibre. On 
s'intéresse à des
situations hors équilibre unidimensionnelles, la masse volumique étant  = 0 
+µ(x, t), la pression
P = P0 + (x, t) et la distribution de vitesses ~v = v(x, t)~ex .
I.1 Écrire la relation de conservation de la masse. La linéariser par rapport 
aux variables µ et
v en supposant |µ(x, t)|  0 .
I.2 On suppose négligeables les effets de viscosité et de pesanteur. Écrire 
l'équation d'Euler à
« une dimension ». La linéariser par rapport à la vitesse v et à la « pression 
acoustique »
 en supposant |(x, t)|  P0 .
ã
Å
1 
I.3 L'évolution du fluide est supposée isentropique. Soit s =
le coefficient de com0 P S
pressibilité correspondant. Avec les mêmes hypothèses que ci-dessus, obtenir 
une relation
linéaire entre (x, t) et µ(x, t).
I.4 Obtenir l'équation aux dérivées partielles satisfaite par (x, t) et 
préciser la célérité c (ou
vitesse de propagation) des ondes de pression en fonction des données.
I.5 Quelle est l'équation de propagation pour la vitesse v(x, t) du fluide ?
I.6 Donner sans démonstration la forme de la solution générale de cette 
équation et l'interpréter.
I.7 On considère l'air comme un gaz parfait. Déterminer l'expression de s en 
fonction des
données. Calculer alors la vitesse des ondes acoustiques dans l'air à la 
température de
20 C, sachant que  = 1, 40.
I.8 À l'aide des données numériques, calculer la vitesse des ondes acoustiques 
dans l'eau à
20 C.
Partie II
Réflexion et transmission d'une onde sonore
II.1 Soit une onde progressive de la forme v(x, t) = f (x - ct) se propageant 
dans un milieu
de masse volumique 0 . Déterminer la pression acoustique (x, t) correspondante. 
Exprimer le

rapport Z = que l'on appelle « impédance acoustique » du milieu.
v
II.2 On étudie maintenant la propagation d'une onde sonore dans un tuyau. Ce 
tuyau est
rempli dans la région des x négatifs par un fluide (1) et dans la région des x 
positifs par un
autre fluide (2) ; ces fluides sont séparés en x = 0 par une membrane de grande 
souplesse et de
masse négligeable ; ils possèdent la même pression d'équilibre P0 . Les 
impédances acoustiques et
les célérités des deux fluides prennent respectivement les valeurs Z1 , c1 et 
Z2 , c2 (figure 1).
Dans le domaine x < 0, une onde progressive se propage dans le sens des x 
croissants, soit
vi (x, t)  vi (x - c1 t). On constate qu'en général il existe une onde 
réfléchie vr (x, t) et une onde
transmise vt (x, t) à l'interface, comme représentées sur la figure 1.

2

Justifier la continuité des vitesses des particules du fluide de part et 
d'autre de l'interface.
Pourquoi y a-t-il également continuité de la surpression ?

2 Z2 , c2

1 Z1 , c1
vi

vt

vr
x Ox

O
Figure 1

II.3 On définit les coefficients de réflexion et de transmission de l'énergie 
acoustique de l'onde
2
vr (0, t)
et T = 1 - R. Exprimer R et T en fonction de Z1
incidente à l'interface comme R =
vi (0, t)
et Z2 .
II.4 On reprend l'étude précédente, mais avec une interface constituée d'une 
paroi rigide,
mobile sans frottement, de section S égale à celle du tube et de masse M , dont 
on négligera
l'épaisseur pour simplifier l'écriture (figure 2). Quelle relation de 
continuité obtenue en II.2 est
conservée ? Comment est modifiée l'autre relation ?

1

2

M
S
vi

vt

vr
x Ox

O
Figure 2

II.5 On considère une onde incidente de la forme vi (x, t) = Ai exp[i(t - k1 
x)], Ai étant son
amplitude complexe. Préciser l'expression de l'onde réfléchie vr (x, t) et 
celle de l'onde transmise
vt (x, t) ; on désignera leurs amplitudes complexes respectivement par Ar et At 
.
Ar
et en intensité R = |r|2 . Montrer
Ai
que l'expression de R est formellement identique à celle obtenue en II.3 en 
remplaçant Z2 par
une impédance Z2 que l'on déterminera. Comment évoluent R et T avec  ? Quelle 
est l'influence
de la masse sur le coefficient de réflexion ? Commenter le résultat.
Déterminer le coefficient de réflexion en amplitude r =

3

Partie III
Principes de l'échographie
On admet que l'équation de propagation d'une onde sonore établie en partie I 
pour les fluides
décrit toujours la propagation d'ondes sonores (longitudinales) dans les 
milieux biologiques, liquides ou solides, que nous considérons dans la suite du 
problème. En particulier, on admet
que le coefficient de réflexion de l'énergie acoustique à l'interface entre 
deux milieux biologiques
vérifie la formule établie à la question II.3. C'est ce type d'écho qui nous 
intéresse dans la suite
du problème.
III.1 En général, un milieu biologique a des caractéristiques semblables à 
celle de l'eau, soit
0 = 1, 0×103 kg·m-3 et  = 4, 5×10-10 Pa-1 . Calculer l'impédance acoustique 
correspondante.
III.2 On donne dans le tableau ci-dessous quelques valeurs standards des 
impédances acoustiques en milieux biologiques.
Milieu
Z (kg · m-2 s-1 )

Air
440

Sang/Tissu
1, 66 × 106

Cerveau
1, 55 × 106

Muscle
1, 70 × 106

Foie
1, 65 × 106

Squelette
7, 8 × 106

En considérant l'interface entre l'air et un tissu biologique standard, montrer 
qu'il faut absolument éviter la présence d'une couche d'air entre le 
transducteur et la peau lors de l'échographie.
En pratique, un gel est utilisé comme contact entre l'appareil et la peau. 
Donner une estimation de son impédance acoustique.
Est-il possible de réaliser une échographie d'un poumon ?
III.3 Sur la figure 3, on présente une image obtenue lors d'une échographie 
foetale. A votre
avis, à quoi correspondent les zones blanches ? Justifier votre réponse. Est-il 
possible de réaliser
une échographie du cerveau ?
Quel est l'inconvénient, pour l'obtention d'une image, d'une zone de forte 
réflexion acoustique ?
III.4 En plus des effets analysés dans les questions précédentes, il existe 
d'autres artéfacts qui
rendent délicate l'analyse d'une image échographique, comme par exemple la 
formation d'images
en miroir à proximité d'une zone où l'impédance acoustique est très différente 
de celle de la partie
à étudier. Donner une interprétation de ce phénomène à l'aide d'un dessin.
III.5 Une utilisation importante des ondes ultrasonores en échographie concerne 
l'échographie
doppler, qui combine la technique échographique avec l'effet doppler. Ainsi, 
lorsque des globules
rouges réfléchissent une onde ultrasonore, les fréquences des ondes réfléchies 
sont différentes de
celle de l'onde incidente du fait de la vitesse non nulle du flux sanguin. De 
la mesure de ces
fréquences, on peut déduire cette vitesse.

4

Figure 3
III.5.1 Un transducteur immobile émet une onde ultrasonore de fréquence i . 
Elle se propage
dans la direction des x croissants à la vitesse c dans le fluide, supposé lui 
aussi immobile. Des
~ = -V ~ex (incidence
globules rouges se rapprochent du transducteur avec une vitesse constante V
nulle). Une onde est réfléchie et atteint un transducteur voisin de l'émetteur 
; elle possède la
fréquence r .
En conformité avec les résultats de la partie II, on suppose que, à la surface 
du globule,
l'amplitude de l'onde réfléchie est, à tout instant, proportionnelle à celle de 
l'onde incidente.
Déterminer r en fonction de i et V /c. En pratique V  c ; donner une expression 
approchée
de l'écart de fréquences r - i que l'on détecte.
III.5.2 Que devient cette relation lorsque l'onde ultrasonore présente un angle 
d'incidence 
avec la direction des globules rouges ?
III.5.3 Application numérique : on donne i = 3 MHz, r - i = 1, 5 kHz, et c = 1, 
5 km·s-1 .
Calculer la vitesse V sous incidence  nulle.
III.5.4 Le flux sanguin possède en réalité une distribution statistique de 
vitesses. Que cela
entraîne-t-il pour le signal global reçu ? Peut-on avoir accès à la 
distribution de vitesses ?
Partie IV
Quelques aspects des techniques d'échographie
En optique, un faisceau lumineux émis par une ouverture quelconque ne peut 
jamais être
rectiligne du fait du phénomène de diffraction. Le même effet physique est 
présent pour les ondes
ultrasonores émises par le transducteur lors d'une échographie. Cela entraîne 
une limitation
fondamentale à la résolution des images échographiques, donc à leur qualité. Ce 
sont divers
aspects de ce problème qui sont analysés dans cette partie.
5

Pour les applications numériques de cette partie, on adoptera :
­ vitesse de propagation dans le milieu d'intérêt : c = 1 500 m · s-1
­ fréquence ultrasonore : 0 = 3, 75 MHz.
IV.1 L'onde ultrasonore est générée par des transducteurs piézoélectriques ; 
capables de
détecter les ultrasons, ils servent aussi de récepteurs. On considère ici un 
transducteur plan,
rectangulaire de centre O, de dimension a selon Ox et b selon Oy avec a  b, et 
dont tous les
points vibrent en phase et avec la même amplitude (figure 4.a).
x

x

a
d

b

a

z

y

O
y

O

z

4.b

4.a

Figure 4. Schémas : a) Transducteur ; b) Barrette

IV.1.1 L'onde émise est analogue à celle produite par la diffraction d'une onde 
plane par une
pupille rectangulaire. En la considérant comme une pupille fente selon Oy, 
déterminer, à grande
distance dans le plan xOz, la répartition angulaire de l'intensité I() du 
faisceau émis,  étant
l'angle avec Oz et  la longueur d'onde ; on posera I(0) = I0 .
IV.1.2 On donne a = 0, 4 mm ; tracer l'allure du diagramme d'émission I().
IV.2 On souhaite augmenter la directivité de l'onde ultrasonore. Pour cela, on 
utilise une
« barrette » constituée de N transducteurs, identiques à celui présenté en 
IV.1, décalés les uns
des autres selon Ox de la distance d, la longueur totale D étant voisine de N 
d. La barrette est
ainsi analogue à un réseau de pas d (figure 4.b).
IV.2.1 On suppose que tous les transducteurs vibrent en phase. Déterminer les 
directions
principales d'émission en précisant le critère qui les détermine.
IV.2.2 On donne d = 0, 5 mm. Montrer que l'onde émise se décompose à grande 
distance en
trois faisceaux dont on calculera les directions angulaires.
IV.2.3 On montre que la largeur angulaire de chacun de ces faisceaux est 
déterminée par la
diffraction associée à la longueur totale D. La calculer pour D = 64 mm, 
correspondant à une
barrette de N = 128 éléments.
IV.2.4 Comparer l'intensité des faisceaux latéraux à celle du faisceau central.
6

IV.3 Les deux faisceaux secondaires (appelés lobes accessoires ou latéraux) de 
la question
précédente sont responsables d'une partie du bruit de fond de l'image 
échographique. Expliquer
brièvement pourquoi. On expliquera en particulier le fait que cet artefact peut 
être à l'origine
d'un dédoublement d'une structure réfléchissante (ainsi qu'on peut le 
distinguer sur la figure 3).
IV.4 Chaque transducteur est piloté par un circuit électronique qui permet en 
particulier
d'introduire un retard contrôlé, décalant temporellement le signal émis.
Dans cette question, on suppose que le dispositif électronique introduit un 
retard temporel
t identique entre deux transducteurs consécutifs (Ti , Ti+1 ) de la barrette, 
par suite entre les
ondes acoustiques émises. Quel est l'effet de ce retard sur les directions 
d'émission maximale ?
(on supposera 0 6 t < T , T étant la période du signal).
Quel est l'intérêt de ce processus de retard en échographie ?
IV.5 Comme une onde lumineuse, une onde ultrasonore peut être focalisée par un 
système
adapté. La qualité de la focalisation est déterminante pour la résolution des 
images échographiques ; elle est donc essentielle. On suppose que cette 
focalisation se produit géométriquement
au point F , sur l'axe médian Oz de la barrette, à la distance f .
IV.5.1 Comment se traduit dans le plan focal la distribution angulaire I() ?
IV.5.2 Montrer que, dans ce plan, l'extension spatiale transverse du faisceau 
(selon Ox) est
donnée par x  f /D. Quelle est sa valeur numérique pour f = D ?
IV.5.3 Une évaluation de l'extension longitudinale (selon Oz) est donnée par 
l'expression
Å ã2
f
. En déduire, avec les données précédentes, que la simple focalisation ne peut
z  7
D
conduire à une résolution longitudinale analogue à la transversale.
IV.6 Pour obtenir une résolution longitudinale satisfaisante, le signal 
électrique alimentant
les transducteurs est haché, les émissions ultrasonores, de fréquence centrale 
0 , s'effectuent par
impulsions, chacune de durée  . Chaque impulsion ultrasonore se propage, se 
réfléchit partiellement sur une interface ou un obstacle du milieu situé à la 
distance z du transducteur qui l'a
émis et l'écho revient aux divers transducteurs qui le détectent.
IV.6.1 Soient deux interfaces situées aux distances z1 et z2 du transducteur. 
Quel est l'intervalle temporel t qui sépare la réception des deux échos 
correspondant à une même impulsion ?
IV.6.2 Deux « obstacles » sont distants de e = 1 mm. Quelle est la valeur 
maximale max
de la durée  d'impulsion qui permet de détecter des échos temporellement 
séparés ? La calculer
numériquement. À combien de périodes d'oscillations de l'onde ultrasonore 
correspond cette
durée ? Le choix  = max permet-il d'atteindre la même résolution que celle 
obtenue pour x en
IV.5.2 ?
IV.6.3 Un transducteur possède une résonance mécanique : alimenté par une 
tension sinusoïdale d'amplitude constante dont on fait croître la fréquence, 
l'intensité du faisceau d'ultrasons
émis passe un maximum. Le transducteur se comporte donc comme un filtre 
passe-bande. Quelle
7

doit être sa bande passante pour transmettre une impulsion de durée max ? 
Pourquoi en pratique
faut-il amortir considérablement la résonance mécanique d'un transducteur ?
IV.7 Dans le cas d'une onde acoustique ultrasonore, on peut émettre une onde 
focalisée
via un dispositif électronique qui introduit un retard temporel sur le signal 
envoyé à chaque
transducteur (figure 5). Soit ti le retard correspondant au transducteur Ti de 
position xi par
rapport à l'axe Oz.
IV.7.1 On choisit les décalages temporels ti de manière à focaliser le faisceau 
ultrasonore
en un point précis, F sur la figure 5, situé à une distance f du transducteur. 
Donner, en fonction
de xi , f et c et à une constante additive près, l'expression des ti tels que 
les ondes émises par
les N transducteurs de la barrette soient constructives au point F .
IV.7.2 Quel est l'intérêt de cette technique en échographie ?
IV.7.3 L'écho émis par un obstacle placé en F revient vers l'ensemble des 
transducteurs.
Fonctionnant en récepteurs, ils délivrent chacun un signal. Quel retard 
temporel faut-il mettre
sur le signal du transducteur Ti pour que leur addition donne un signal maximal 
?

Figure 5. Schéma d'une barrette de transducteurs et circuits de retard associés

8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Langlois (Enseignant-chercheur à 
l'université) ; il a été relu par Jean-Christophe Tisserand (ENS Lyon) et 
Emmanuel Loyer
(Professeur en CPGE).

Ce sujet traite plusieurs aspects des techniques utilisées en échographie. Il 
comporte quatre parties relativement indépendantes :
· la première partie étudie la propagation d'une onde acoustique 
unidimensionnelle ;
· la deuxième concerne la réflexion et la transmission des ondes sonores à 
l'interface entre deux milieux ;
· la troisième utilise les résultats précédents pour les appliquer aux 
principes de
base de l'échographie ;
· enfin, la dernière partie aborde des techniques plus complexes d'émission et 
de
focalisation de faisceaux d'ondes ultrasonores.
Les deux premières parties sont très abordables : elles contiennent des 
questions
classiques sur la propagation et la réflexion-transmission des ondes sonores, 
qui constituent des applications directes du cours. Les deux parties suivantes, 
plus appliquées,
comportent de nombreuses questions qualitatives et demandent plus d'intuition 
et de
sens physique. Dans la troisième partie, on démontre la formule de l'effet 
Doppler,
tandis que la quatrième partie, bien qu'elle concerne toujours les ondes 
acoustiques,
nécessite de maîtriser aussi le cours d'optique ondulatoire (diffraction par 
une fente
et par un réseau). C'est donc un bon problème de révision, qui passe 
progressivement
des questions de cours à des applications demandant plus de réflexion.

Indications
Partie I
I.4 Dériver l'équation d'Euler par rapport à x, insérer l'équation de 
conservation
de la masse et enfin utiliser le résultat de la question I.3 pour relier µ à .
I.7 Utiliser le fait que PV = Cte pour une transformation isentropique.

Partie II
II.3 Attention : la relation entre (x, t) et v(x, t) établie à la question II.1 
n'est
valable que pour les ondes se propageant dans le sens des x croissants.

Partie III
III.3 Comparer les impédances des différents tissus biologiques.
III.4 Penser aux réflexions multiples entre les tissus.
III.5.1 La période du signal reçu par le globule en mouvement est différente de 
celle
émise par le transducteur immobile. Pour la calculer, considérer deux signaux
émis à une période d'intervalle, calculer la distance qu'ils parcourent et 
l'instant auquel ils atteignent le globule. Procéder de même pour l'onde 
réfléchie
et montrer que
Tr =

c-V
Ti
c+V

Partie IV
IV.2.4 Retrouver la formule donnant l'intensité diffractée par un réseau :

 2

d
sin
N
sin

I() = I0 sinc2 u 

d
sin  sin 

IV.4 Calculer la différence de marche supplémentaire introduite entre deux 
transducteurs par le retard temporel.

IV.5.2 L'énoncé parle indifféremment de résolution et d'extension spatiales du 
faisceau. Pour obtenir le résultat demandé, il faut calculer la résolution qui,
d'après le critère de Rayleigh, vaut la moitié de l'extension spatiale.
IV.6.1 Penser à tenir compte du trajet retour de l'onde.
IV.6.3 Faire l'analogie entre une impulsion électrique de durée finie et un 
train
d'ondes lumineuses.
IV.7.1 Calculer le temps mis par les signaux issus de chaque transducteur pour 
parvenir au point F.

I. Propagation des ondes acoustiques
I.1 La conservation de la masse se traduit par

+ div (-
v)=0
t
Puisque  = 0 + µ et que 0 est constant, on peut écrire
h
i µ
µ

+ div (0 + µ)-
v =
+ 0 div -
v + div (µ-
v)=0
t
t
--

Or, div (µ-
v ) = µ div -
v +-
v · grad µ est un terme du second ordre. En ne conservant
que les termes d'ordre 1, il vient donc

µ
v
+ 0
=0
t
x
I.2 Si l'on néglige les effets de la pesanteur, l'équation d'Euler s'écrit
"
#

-- -
--
-
v

-

+ ( v · grad ) v = - grad P
t

Projetons cette équation sur -
e . Comme v ne dépend que de x et de t, elle se réduit à
x

v
v
+v
t
x

=-

P
x

Or, P = P0 +  et P0 est uniforme, donc cette équation se réécrit

v
v

(0 + µ)
+v
=-
t
x
x
En éliminant les termes d'ordre supérieur à 1, il vient
0

v

=-
t
x

I.3 L'évolution est supposée isentropique. On peut écrire, au premier ordre,

1 
1  - 0
1 µ
S =

=
0 P S 0 P - P0
0 
d'où

(x, t) =

1
µ(x, t)
0  S

La pression s'équilibrant beaucoup plus rapidement que la température, les
transferts thermiques sont négligeables. En l'absence de viscosité, il n'existe
en outre aucune source d'irréversibilité : l'évolution est bien isentropique.
I.4 Dérivons l'équation d'Euler par rapport à x

 v
 v
 2
0
= 0
=- 2
x t
t x
x
et insérons l'équation de la conservation de la masse

µ
2
0
-
=- 2
t
t
x

En utilisant le résultat de la question précédente, on obtient finalement
2
1 2
=
2
t
0 S x2
On reconnaît l'équation de d'Alembert décrivant la propagation d'une onde de 
célérité
1
c= 
0  S
I.5 Dérivons maintenant l'équation d'Euler par rapport au temps

2v
 
1
 µ
=
0 2 = -
t
x t
0 S x t
En utilisant à nouveau l'équation de conservation de la masse, il vient
1 2v
2v
=
t2
0 S x2
I.6 La solution générale de l'équation de d'Alembert à une dimension est
v(x, t) = A f (x - c t) + B g(x + c t)

Les deux termes représentent des ondes progressives se propageant avec une 
célérité c,
respectivement dans la direction des x croissants et décroissants.
I.7 Au cours d'une évolution isentropique, un gaz parfait vérifie la loi de 
Laplace
PV = Cte
ce qui implique
P- = Cte
Différentions cette relation autour de 0 et P0
- dP -  P --1 d = 0
d
0
d'où, au premier ordre
=
dP
 P0
Finalement,

S =

1
 P0

On peut arriver plus rapidement au résultat en prenant la différentielle 
logarithmique de la loi de Laplace :
dP
d
-
=0
P

Utilisons maintenant la loi des gaz parfaits pour déterminer la pression de 
l'air à
la température T = 293 K :
0 R T
P0 =
M
r
1
 RT
Ainsi,
c= 
=
= 343 m.s-1
0  S
M
I.8 Dans l'eau, S = 4,57.10-10 Pa-1 , et la vitesse des ondes sonores est donc
c = 1,48.103 m.s-1