X Physique 1 PC 2007

Thème de l'épreuve Analyse d'un mouvement « collé-glissé » (stick-slip) et de l'une de ses conséquences, le chant des verres
Principaux outils utilisés mécanique générale, portraits de phase, lois de Coulomb
Mots clefs frottement solide, collé-glissé, chant des verres, oscillation entretenue

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2007 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Analyse d'un mouvement << collé-glissé >> (stick-slip)

et l'une de ses conséquences, le chant des verres

Le frottement solide joue un rôle considérable dans de nombreuses situations, 
statiques ou dyna--
miques. Nous allons analyser ici quelques aspects du mouvement d'un solide qui 
peut soit glisser
(<< slip >>) soit adhérer (<< stick >>) sur son support. Ce phénomène a pour 
origine le fait que les
coefficients de frottement statique et cinétique différent. Il est ainsi 
responsable du grincement
des portes, du crissement des craies sur le tableau noir, ou dans un registre 
plus harmonieux, de
la mise en vibration d'une corde de violon. Un tel type de mouvement est étudié 
dans les parties
1 et 2, et dans la partie 3 nous nous intéresserons a un phénomène de vibration 
qui trouve aussi
son origine dans le mouvement << collé--glissé >> : le chant des verres.

Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.

Dans tout le problème on désigne par a. la norme de tout vecteur d', et par d: 
la dérivée de
a:(t) par rapport au temps.

Définitions et rappels :

. Lois du frottement solide / solide (lois de Coulomb) : f et ]\_f étant 
respectivement les com--
posantes tangentielle et normale de l'action de contact exercée par un solide 
sur un autre,
,LL5 et ac les coefficients de frottement << statique >> et << cinétique >> 
avec ,LL5 > ,Lbc,

-- si la vitesse de glissement est nulle, alors H fll < ,LL5HN' H

-- si la vitesse de glissement est non nulle, alors f est de sens opposé a 
cette vitesse et de
module llfll = ucllNll

. Relation entre la déformation (allongement ou contraction relatif) 5l/l d'une 
tige solide
et la contrainte normale (force de traction ou de compression longitudinale par 
unité de
surface de section) F/ S :

ÿ_1E
_ S

l Y , Y désignant le module d'Young .

Données numériques :

Module d'Young du verre : Y = 70 GPa
Masse volumique du verre : pv : 3 >< 103 kg - m--3

I. Principe du mouvement « collé--glissé »

Une poutre rigide et homogène, de longueur L, de masse m et de section carrée 
s, est posée
en équilibre a l'horizontale sur deux supports (numérotés 1 et 2) séparés de la 
distance DO
(Figure 1). Les coefficients de frottement solide statique et cinétique entre 
cette poutre et chacun
des supports sont respectivement ,uS et ,uç, avec pas > ,uc. Le centre de 
gravité G de la poutre
se trouve initialement a la distance horizontale ao du support 1, avec ao < DO 
/ 2.

< L >
$
4---- a0 -->+ G
: Do > X
Figure ]

L1. La poutre est immobile. Calculer les forces de réaction verticales des 
supports sur la
poutre, RN1 et RN2, en fonction des données du problème.

I.2. Les supports 1 et 2 sont maintenant animés l'un vers l'autre de vitesses 
horizontales
et constantes, respectivement @@ / 2 et --vO / 2 selon Ox. La poutre ne peut se 
déplacer qu'en
translation horizontale selon cette même direction. La distance entre les deux 
supports s'écrit
donc : D(É) = DO -- Dot.

Que deviennent les forces RN1(t) et RN2(t) en fonction de a(t), distance 
horizontale entre le
centre de gravité G de la poutre et le support 1 a l'instant t ?

I.3. On suppose que la poutre glisse d'abord par rapport a un seul des deux 
supports. Préciser
lequel, déterminer les forces horizontales de frottement, d'intensités F1(t) et 
F2(É), qui agissent
sur la poutre lors de cette phase du mouvement.

1.4. Montrer que ce mouvement ne peut se perpétuer, et qu'il existe un instant 
151 où la poutre
se met a glisser sur l'autre support. Déterminer la distance D1 : D(t1) en 
fonction de CLO, ,uS et

Mc.

I.5. Justifier qu'il existe alors une phase du mouvement où nécessairement il y 
a glissement
sur les deux supports. Exprimer alors la somme des forces de frottement en 
fonction de a(t), D(t)
et des constantes du problème. Dans quel sens agit-elle? Donner le critère qui 
détermine la fin
de cette seconde phase en précisant le support sur lequel le glissement cesse. 
Soit t'1 l'instant
correspondant.

1.6. Décrire la phase suivante du mouvement. Elle se termine a l'instant 152. 
Montrer que
NC
D<æ> = (1 + --) [D -- a(tâ)l--
HS
1.7. On admettra que) pour une faible vitesse de rapprochement des supports et 
une distance
@@ suffisamment grande7 les modifications de D(t) et de a(t) durant la phase 
transitoire (cf. 1--5)

restent faibles en valeur relative. En les négligeant, montrer que D(t2) : 
"'--CD(t1). En déduire
Ms

un moyen simple d'évaluer le rapport ,uC/u5.
II. Analyse d'un mouvement d'osci11ation. Masse sur un tapis roulant

Dans cette partie) on considère le mouvement d'une masse m posée sur un tapis 
roulant se
déplaçant a une vitesse horizontale 170 : voë'oe , @@ > 0, par rapport au 
référentiel du laboratoire.
La masse est soumise a une force de rappel colinéaire au mouvement du tapis 
roulant et exercée
par un ressort de raideur [EUR. Les coefficients de frottement statique et 
cinétique entre la masse et
le tapis sont notés respectivement ,uS et ,uC. On repérera la position de la 
masse par son abscisse
a: dans le référentiel du laboratoire, l'origine correspondant a l'absence de 
déformation du ressort.

"v

F igure 2

11.1. Montrer qu'il existe une position d'équilibre dont on déterminera 
l'abscisse a:eq en fonc--
tion de ,uC,g et w2 : k/m.

II.2. On pose X = a: -- a:eq. Expliciter l'équation du mouvement de la masse; 
on distinguera
les situations X < vo et X > vo.

Montrer qu'une phase de mouvement avec collage7 pour laquelle X : @... peut 
s'établir si X
appartient a l'intervalle [X1, X2] dont on déterminera les bornes. À quelle 
condition peut--elle se
maintenir ?

11.3. La masse est posée sur le tapis sans vitesse initiale a l'abscisse XO, 
avec XO > 0.
Déterminer X (t) pour le début du mouvement. Montrer que ce type de mouvement 
se maintient
si X0 est inférieur a une valeur Xm que l'on déterminera.

II.4. On utilise Xm comme longueur caractéristique On pose qeq : greg/X..., q1 
: X1/Xm
et (12 : Xg/X.... Exprimer (11 et (12 en fonction de qeq et du rapport y : 
pts/Nc.

d .
II.5. On pose q(9) : X/Xm avec 9 : cat. Exprimer q'£d--g en fonction de X et 
oO. Transcrire

pour q(9) les équations différentielles du mouvement obtenues en II.2. Dans le 
plan (q; q' ) tracer
le portrait de phase correspondant au mouvement de conditions initiales (0,5 ; 
0). Quel est alors
le mouvement ?

II.6. On donne qeq : 0,5 et y = 2. Préciser dans le plan (q; q' ) les points 
représentatifs des
états avec collage.

II.7 . En procédant par étapes, tracer le portrait de phase correspondant aux 
conditions
initiales (2 , 0). Préciser ce qui se passe lorsque le point représentatif de 
l'état du système franchit
la ligne q' = 1 pour la première fois, puis la seconde fois.

Montrer que le mouvement devient périodique et préciser le cycle correspondant 
dans le plan
de phase (q; q' ) Ce cycle dépend--il des conditions initiales ?

II.8. Dans le cas général, calculer la période To de ce cycle avec collage en 
fonction de w
et (12.

L'étude précédente peut servir de modèle au fonctionnement d'un patin de frein 
s'appuyant
sur une roue en rotation, système pour lequel on désire savoir si l'alternance 
éventuelle de collage
et de glissement nuit a son efficacité.

II.9. Calculer le travail W des forces de frottement pendant un cycle du 
mouvement en
distinguant les deux types de cycle (avec ou sans phase de collage). En 
déduire, pour chacun
d'eux, la puissance moyenne correspondante et comparer les résultats. Quelle 
conclusion en tirez--
vous ? Pourquoi cherche--t--on a éviter le collage ?

III. Le chant des verres

En frottant légèrement le bord d'un verre a pied a l'aide d'un doigt humide, un 
son audible
est parfois émis. Même si cela reste imperceptible pour l'opérateur, le 
mouvement du doigt par
rapport au verre est de type << collé--glissé >>. L'alternance de mouvements << 
collés >> et << glissés >>
provoque la mise en vibration du verre a sa fréquence de résonance. Le 
mouvement pour le mode
fondamental, le seul auquel nous nous intéresserons, consiste en une 
déformation du bord de la
paroi du verre, de forme circulaire au repos, en une forme d'allure elliptique 
dont les axes de
symétrie restent fixes (axes 0913 et Oy de la figure 3).

F igure 3

Les déformations géométriques d'un verre étant en réalité fort complexes, il ne 
sera effectué
ici qu'une première approche en étudiant les oscillations libres d'un système 
plus simple, un tube
cylindrique.

La modélisation est donc celle d'un cylindre de révolution d'axe zz' , de rayon 
R et de
hauteur H. L'épaisseur de la paroi est a avec 0. << R. La déformation est 
supposée plane,
orthogonale a l'axe, et indépendante de z (déformation cylindrique) , sa 
composante radiale, en
coordonnées cylindriques (T, 9, z) est supposée de la forme :

5r(9,t) : 50 cos 29 cos wt avec 50 << R .

III.1. Analyse énergétique de la vibration

III.1.1 Justifier que l'expression de 5r(9,t) permet de décrire correctement 
l'allure géomé--
trique de la déformation représentée en figure 3.

III.1.2 Soit 5(t) le déplacement d'un point du bord du verre situé a un ventre 
de vibration
(sur l'axe 0:13 par exemple), ce déplacement est radial. Si l'on suppose que 
les déformations
restent dans le domaine élastique, justifier que l'énergie mécanique E d'un tel 
système peut

dé 2
s'écrire @ priori sous la forme E = A (--) + B52 où A et B sont deux constantes 
que l'on ne

dt

cherchera pas pour l'instant a expliciter.

III.1.3 Que vaut alors la fréquence propre au du mode en fonction de A et B si 
l'on suppose
qu'il n'y a pas d'amortissement ?

III.2. Énergie cinétique du tube cylindrique

III.2.1 Écrire la masse dm d'un élément de la paroi du tube situé entre 9 et 9 
+ d9. On
désignera par pu la masse volumique du verre.

III.2.2 Donner l'expression de la vitesse radiale instantanée du point de 
coordonnées au repos

(R, 9).

III.2.3 La déformation étudiée s'effectue sans modification du périmètre de la 
section du
tube (bord du verre). De ce fait, un point situé en dehors des axes 0:17 et Oy 
subira également
un léger déplacement tangentiel, soit 3(9, t) pour un point de coordonnées au 
repos (R, 9), avec
ls(9,t)l << R. On admettra sans démonstration que, compte tenu des hypothèses, 
la condition

ds 9,15
de conservation du périmètre peut s'écrire ( ) + 5r(9, t) = 0.

d9

Donner l'expression de ce déplacement tangentiel et la vitesse correspondante.

III.2.4 Calculer alors l'énergie cinétique totale EC du tube a l'instant t.

III.3. Analyse énergétique de la vibration. Énergie potentielle élastique

III.3.1 Considérons une petite portion de la paroi du tube de hauteur ôz (52 << 
R) et de
longueur lg au centre de la paroi, formant un segment d'anneau (figure 4).

l'.../'"

F igurc 4

Donner la longueur d'un << filament >> d'épaisseur du situé a la distance u de 
la ligne centrale
de cet élément en fonction du rayon de courbure au repos R de cette ligne.

Lors de la déformation, ce rayon de courbure passe de R a R' . Montrer que le 
changement
1 1

de longueur du filament est donné par (% : lg u (Ë -- Ê> .
III.3.2 En supposant la déformation homogène, exprimer la force de tension (ou 
de compres--
sion) 5F le long de ce filament (du, 5.2) en fonction du module d'Young Y du 
matériau.

III.3.3 Compte tenu de l'hypothèse ôg << R, calculer l'énergie potentielle 
élastique associée
a ce filament, puis celle associée au segment d'anneau de longueur lg et 
d'épaisseur &.

III.3.4 La déformation de l'anneau dépend en fait de 9. On admettra que la 
courbure (inverse

du rayon de courbure) d'une portion élémentaire de l'anneau (située entre 9 et 
9 + d9, donc pour

1 1 57" 57"

lequel lg : Rd9) qui a subi un déplacement radial 5r(9, 15) (<< R) est donné 
par ? : Ë_%
257"

où 57""£--2. En utilisant le résultat de la question précédente, exprimer 
l'énergie potentielle

élastique de l'anneau de hauteur 5.2.

111.4. Fréquence de vibration du tube

Pour passer de l'anneau de hauteur ôz au tube complet, il faut tenir compte des 
contraintes
latérales internes qui font que le tube ne se décompose pas en éléments << 
anneaux >> indépendants.
Mais dans cette géométrie de déformation particulière, on montre que l'on peut 
procéder comme
s'ils l'étaient, a condition de multiplier le résultat par le facteur (1 -- 
02)_1 où a est un coefficient
caractéristique du matériau.

Ondonne:R=3cm,H=5cm,a=1,4mm,0=0,2.

Calculer la fréquence du mode de vibration étudié.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Arnaud Riegert (ENS Ulm) ; il a été relu par 
JeanJulien Fleck (Professeur en CPGE) et David Chapot (Professeur agrégé).

Ce sujet traite d'un mouvement saccadé, le « collé-glissé », observé sous 
certaines
conditions dans les systèmes mettant en jeu des forces de frottement et dû à la
différence entre les valeurs des coefficients de frottement statique et 
cinématique
d'une surface sur une autre.
· La première partie permet de comprendre l'alternance de phases « collées » et
« glissées ». On analyse le mouvement d'une poutre posée sur deux supports
qui se rapprochent à vitesse constante ; la poutre glisse alternativement sur un
support puis sur l'autre.
· La deuxième partie est consacrée à l'étude des oscillations d'une masse 
accrochée à un ressort qui repose sur un tapis roulant. On envisage deux types 
de
cycles d'oscillation : l'un avec une phase de collage, l'autre sans. L'analyse 
du
mouvement s'effectue à partir du tracé d'un portrait de phase.
· Dans la troisième partie, on s'intéresse au « chant des verres » que l'on 
entend
lorsque l'on passe un doigt sur le bord de certains verres ; le mouvement « 
colléglissé » entretient la vibration du verre qui est à l'origine de ce son.
Ce court sujet est assez difficile et peu conventionnel. La première partie, qui
fait appel à des concepts simples en apparence, exige des raisonnements 
méthodiques
dans lesquels le candidat est peu ou pas guidé. Par ailleurs, l'utilisation 
répétée de
portraits de phase dans la deuxième partie peut déstabiliser ceux qui ne sont 
pas
familiers avec ces techniques. Enfin, le calcul de l'énergie potentielle 
élastique du
verre dans la troisième partie nécessite de bien distinguer les tailles des 
éléments
mésoscopiques étudiés ainsi que celles de leurs déformations infinitésimales.

Indications
Partie I
I.1 Appliquer à la poutre le principe fondamental de la dynamique et le théorème
du moment cinétique.
I.3 Écrire les (in)égalités données par les lois de Coulomb dans chacun des deux
cas possibles et repérer la condition la plus restrictive en gardant à l'esprit
que a0 < D0 /2 et RN1 > RN2 .
I.4 Jusqu'à quel instant l'inégalité |F1 (t)| 6 |RN1 (t)| est-elle vérifiée ?
I.5 Remarquer que la poutre ne peut pas ne plus glisser sur le support 2 : 
sinon,
son accélération dans le référentiel du laboratoire serait infinie. Calculer les
forces de frottement F1 (t) et F2 (t) pendant la phase où la poutre glisse sur
les deux supports. Remarquer que cette phase cesse lorsque la vitesse de
glissement s'annule sur l'un des deux supports.
I.6 Ne pas refaire de calcul mais remarquer que la situation est identique à 
celle
traitée dans les questions I.3 et I.4 si l'on permute les supports 1 et 2.

II.2

II.3
II.5

II.8

II.9

Partie II

Calculer la vitesse de glissement -
v g de la masse sur le tapis et en déduire

l'expression de la force de frottement selon le sens de -
v g . Pour la phase de
collage, l'inégalité sur la norme de la force de frottement donnée par la loi de
Coulomb permet d'obtenir un encadrement de X.
Noter que le mouvement se maintient si la vitesse X reste inférieure à v0 .
Calculer aussi q  pour obtenir des équations différentielles sur q. Les 
conditions initiales proposées correspondent au cas étudié à la question II.3.
2
Remarquer alors que q 2 + q  = Cte .
À l'aide du portrait de phase, distinguer les deux phases du mouvement.
La phase de collage correspond au parcours d'une distance à déterminer à la
vitesse v0 ; la phase de glissement est représentée par un ou plusieurs arcs de
cercle s'appuyant sur la droite q  = 1 et parcourus à la vitesse angulaire .

-
La puissance dissipée par les forces de frottement f s'exprime en fonction de
 
-
la vitesse de glissement grâce à P = f · -
v . Intégrer P sur le cycle limite et
g

diviser par la durée du cycle pour obtenir la puissance moyenne.
Partie III

III.1.3 S'il n'y a pas d'amortissement, l'énergie se conserve, donc dE/dt = 0.
III.2.1 Si a  R, on peut assimiler le volume de la coque à la surface coupée 
multipliée par a.
III.3.1 Le filament est un arc de rayon R + u ; il est intercepté par le même 
angle que
la ligne centrale de longueur 0 et de rayon R.
III.3.3 La force de tension dans le matériau est tangente au filament. 
Envisager une
variation dr de la déformation ; elle provoque une variation d de la longueur
du filament. Supposer pour simplifier que chaque extrémité du filament est
déplacée d'une longueur d/2 parallèlement à la force de tension orthoradiale
et calculer le travail W de cette force de tension pour le déplacement d/2 ;
en déduire l'énergie potentielle de l'élément de fil par W = -dEp .
III.3.4 Remarquer que r = -4 r.

Analyse d'un mouvement « collé-glissé »
(stick-slip) et de l'une de ses conséquences,
le chant des verres
I. Principe du mouvement « collé-glissé »
I.1 On introduit les axes Oy et Oz tels que (Ox, Oy, Oz) forme un trièdre 
direct et
que Oz soit orienté verticalement vers le haut. La poutre est soumise :

-

· à son poids P = m -
g = -m g -
ez ;
-

-

· à la réaction R1 = F1 ex + RN1 -
ez du support 1 où F1 et RN1 désignent respec-

tivement les composantes normale et tangentielle de R1 ;
-

· à la réaction R = F -
e +R -
e du support 2.
2

2 x

N2

z

Les forces normales RN1 et RN2 sont positives et le restent au cours du 
mouvement
tant que le contact entre la poutre et le support est maintenu.
a0 
D0 - a
0

z

x
y

--
RN1 

 G 
-

-

F1
F2

--
RN2

m-
g
-
-
La somme des forces appliquées à la poutre est nulle ; par projection sur 
ex et 
ez ,
on obtient respectivement
F1 + F2 = 0
et

RN1 + RN2 - m g = 0

(1)

Le théorème du moment cinétique appliqué à la poutre dans le référentiel du 
laboratoire par rapport à l'axe Gy s'écrit par ailleurs

dLGy
s
= 0 = a0 RN1 - (D0 - a0 ) RN2 -
(F1 + F2 )
dt
2
soit

a0 RN1 = (D0 - a0 ) RN2

(2)

En effet, les forces de frottement ont le même bras de levier s/2 par rapport au
point G car la poutre possède une section carrée de surface s. En combinant les
équations (1) et (2), il vient finalement
RN1 =

D0 - a0
mg
D0

et

RN2 =

a0
mg
D0

Attention : les moments des forces qui sont comptés positivement sont ceux
qui tendent à faire tourner la poutre autour de l'axe Gy selon la règle du
tire-bouchon de Maxwell, c'est-à-dire dans le sens horaire sur la figure.

-
I.2 Le point G est maintenant animé d'une vitesse (a(t)+v0 /2) 
ex dans le référentiel
-

du laboratoire et il possède une accélération a(t) ex . Le principe fondamental 
de la
dynamique en projection sur les axes Ox et Oz donne alors les équations
m a(t) = F1 (t) + F2 (t)
0 = RN1 (t) + RN2 (t) - m g

(3)

Par ailleurs, le moment cinétique de la poutre reste nul car celle-ci ne se 
déplace
qu'en translation horizontale ; le théorème du moment cinétique donne alors

s
a(t) RN1 (t) - [D(t) - a(t)] RN2 (t) -
[F1 (t) + F2 (t)] = 0
2

s
m a(t)
(4)
soit
a(t) RN1 (t) - [D(t) - a(t)] RN2 (t) =
2
Les équations (3) et (4) forment un système linéaire de deux équations à deux 
inconnues (RN1 et RN2 ) qui se résout en

m g [D(t) - a(t)] + m a(t) s/2

 RN1 (t) =
D(t)

m g a(t) - m a(t) s/2

 RN2 (t) =
D(t)
On peut s'attendre, d'une part, à ce que la poutre soit de petite épaisseur et,
d'autre part, à ce que l'accélération du point G soit au plus du même ordre
de grandeur 
que g ; dans ces conditions, il semble légitime de négliger le
terme m a(t) s/2 par rapport aux autres. On retrouve alors les expressions
de la question précédente en remplaçant a0 et D0 par a(t) et D(t).
I.3 Si la poutre reste fixe par rapport à l'un des deux supports, son centre de 
gravité
se déplace à la vitesse v0 /2 dans le référentiel du laboratoire et son 
accélération
est nulle ; on a donc nécessairement F1 (t) + F2 (t) = 0. Si la poutre est fixe 
par
rapport au support 1, les lois de Coulomb permettent d'écrire |F2 (t)| = µC RN2 
(t) et
|F1 (t)| 6 µS RN1 (t) ; comme, de plus, |F1 (t)| = |F2 (t)|, on a
RN2 (t)
µS
6
RN1 (t)
µC
Inversement, si la poutre est immobile par rapport au support 2, on obtient de 
même
RN1 (t)
µS
6
RN2 (t)
µC
Or, à l'instant initial, RN2 6 RN1 (car a0 < D0 /2). La première condition est 
ainsi
réalisée (car µS > µC ), ce qui n'est pas nécessairement le cas de la seconde.
Par conséquent, la poutre glisse par rapport au support 2.
La distance a(t) reste égale à a0 de sorte que RN2 (t) = a0 m g/(D0 - v0 t).
-

La poutre possède une vitesse de glissement v0 -
ex par rapport au support 2 et F2 est

donc dirigée selon --
e . De plus, d'après les lois de Coulomb |F (t)| = µ R (t) d'où
2

x

F2 (t) = -
Puisque F1 = -F2 ,

F1 (t) =

µC a 0 m g
D0 - v0 t

µC a 0 m g
D0 - v0 t

C

N2