X Physique 1 PC 2005

Thème de l'épreuve Anneau de stockage pour molécules polaires
Principaux outils utilisés électrostatique, mécanique classique, oscillateur harmonique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2005 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Anneau de stockage pour molécules polaires

Le problème analyse le principe du piégeage dans une région restreinte de 
l'espace de molécules
CH3F qui possèdent un moment dipolaire électrique, en utilisant l'interaction 
avec un champ
électrostatique inhomogëne. De tels pièges permettent l'étude des collisions 
moléculaires ainsi
que la construction de faisceaux moléculaires utilisés en nanolithographie et 
pour la réalisation
de dépôts de surface.

Données numériques :

Constante de Boltzmann : kB : 1, 38 >< 10"23 J - K"1
Unité atomique de masse : 1 u = 1, 66 >< 10--27 kg

Masse de CH3F : m : 34u
Permittivité du vide : 80 : 8, 85 >< 10"12 F -- m"1

I. Hexapôle électrostatique

On étudie la possibilité de guider le mouvement de molécules polaires avec un 
système élec--
trostatique formé de six électrodes cylindriques et parallèles {Ci, ?; = 1, 2, 
. . . 6} disposées aux
sommets d'un hexagone régulier auquel elles sont orthogonales (figure 1).

/ \\

// x \
CÔO 2aÊ C2
/ \\

.' Z }

\ / )'

\ ///R /I
650 , OC3
\{ /

/

F figure ]

Leur rayon a est très inférieur au côté R de l'hexagone, a << R. Elles portent 
des densités
linéiques de charge égales alternativement à À(À > O) pour les électrodes 
impaires et --À pour
les paires; on considèrera que ces charges sont fixes et uniformément réparties 
a leur surface. On
négligera les effets d'extrémités, l'ensemble pouvant être considéré comme 
invariant par trans--
lation selon l'axe central Oz du système. On utilisera un système de 
coordonnées cylindriques
(fr, 9, z) avec comme repère orthonormé (à}, 59, 52).

1. Analyse des symétries

&) Quelles conclusions sur le champ Ê et le potentiel électrostatique V 
tire--t--on de l'inva--
riance par translation du système ?

b) Considérer la symétrie par rapport a un plan perpendiculaire à l'axe. Quelle 
propriété
du champ électrique E en déduit-on ?

c) Même question pour l'un des trois plans passant par l'axe central et les 
axes de deux
électrodes opposées.

(1) Montrer que les trois plans passant par l'axe et à égale distance des 
électrodes sont
équipotentiels.

e) Quelle est la période angulaire d'invariance du système par rotation autour 
de l'axe Oz ?
En déduire une expression générale du potentiel VO", 9, 2) sous forme d'une 
série.

2. Soit une électrode de densité linéique de charge À. Déterminer le champ 
électrostatique
créé par cette électrode en un point P à l'aide de la distance D de ce point à 
son axe (D > a).

En déduire une expression du potentiel électrostatique correspondant.

3. On considère maintenant l'ensemble des électrodes du système. Montrer que, 
en le choisis--

sant nul sur l'axe central, le potentiel électrostatique en un point P est 
donné par l'expression :

À D2D4Dg )

VP : 1 (_
( ) 27T80 Il D1D3D5

où D,- désigne la distance de P à l'axe de l'électrode Ci.

4. Pour expliciter le potentiel en fonction des coordonnées de P, il est 
commode de considérer
le plan acOy comme plan de représentation des nombres complexes. Le point P y 
est repéré par
Z = a: + iy = rexp(i9), les axes des électrodes impaires le sont par (R, jR, 
fil?) et ceux des
électrodes paires par (--R, --jR, --j2R), avec j = exp(i2w/ 3) racine cubique 
de l'unité. Montrer
que :

D2D4Dô _ R3 + __Z_3
D1D3D5 _ R3 -- z3

5. On s'intéresse à la partie centrale ?" << R. Montrer que le potentiel 
électrostatique y est

À 7" 3
donné par V(T, 9, z) : ---- (È) cos(39). Cette expression respecte--t--eHe les 
symétries étudiées
7T80

en question 1. ?

6. Déterminer les potentiels VO des électrodes impaires dans l'hypothèse 0. << 
R en fonction
de R, a. et À. Quel est celui des électrodes paires ?

7. On considère le système comme un condensateur, les trois électrodes impaires 
formant
l'une des armatures, les trois paires l'autre. Déterminer la capacité par unité 
de longueur corres--

pondante C .

Montrer que le potentiel électrostatique dans la partie centrale de l'hexapôle 
s'exprime sim--
plement en fonction de cette capacité linéique et de la tension Vb.

8. Application numérique. Calculer la capacité électrostatique par unité de 
longueur d'un
hexapôle ayant R = 2.5 cm et a = 2.5 mm.

II. Mouvement de molécules polaires dans un hexapôle électrostatique

Dans cette partie, on analyse le mouvement de molécules, possédant un moment 
dipolaire
permanent d, dans le champ électrique de l'hexapôle électrostatique étudié en 
partie I. Dans le
vide, les molécules, libres de tourner, ont un mouvement de rotation; l'énergie 
et le moment

cinétique correspondant sont quantifiés. Seul compte, pour le couplage avec le 
champ électrique,
la projection defi' = d . E / El du moment dipolaire sur la direction du champ 
électrique; deff est
une constante positive, négative ou nulle, donnée pour chaque état moléculaire.

1. Rappeler l'expression générale de l'énergie potentielle d'un dipôle J dans 
un champ élec--
trostatique E. L'écrire à l'aide de defi.

2. Déterminer l'expression du champ électrostatique Ê(T, 9, z) en coordonnées 
polaires dans la
partie centrale de l'hexapôle. Expliciter l'expression de l'énergie potentielle 
puis celle de la force
exercée par l'hexapôle électrostatique sur une molécule en fonction de son 
moment dipolaire
effectif deff.

3. Montrer que l'équation différentielle régissant le mouvement d'une molécule 
de masse m
dans le champ hexapolaire s'écrit sous la forme mf' = ----KfF, où ,,--.» = 
ré}... et K est une constante
à déterminer.

À quelle condition sur le signe de deff le mouvement est-il périodique? Quelle 
est alors la
fréquence angulaire wo correspondante ? Quel est le mouvement des molécules 
ayant deff de signe
contraire ?

4. Résoudre cette équation difiérentielle pour un mouvement périodique d'une 
molécule située
à l'instant t = 0 sur l'axe central et ayant une vitesse 17(t = O) = 1203353; + 
voyëy + vOZë'Z.

Un jet moléculaire effusif est généré à partir d'une enceinte contenant CH3F 
gazeux, à tem--
pérature T, munie d'un orifice de sortie. Le jet est collimaté par un 
diaphragme de petit diamètre
donnant pour direction moyenne du jet celle de l'axe central Oz de l'hexapôle.

5. Montrer que l'hexapôle permet de refocaliser les molécules, en opérant une 
sélection selon
le moment dipolaire. Préciser la distance de première refocalisation.

6. Dans un tel jet, la distribution des vitesses est donnée par l'expression
dN(v) = Av3 exp(--mv2/2kBT)dv, où dN(v) est le nombre de molécules qui ont le 
module
de leur vitesse entre ?) et 1) + du et A un facteur ne dépendant que de la 
température.

Établir l'expression de la vitesse la plus probable du jet. La comparer a la 
vitesse quadratique

moyenne dans l'enceinte.

7. Application numérique. On donne R = 2, 5 cm, a = 2,5 mm, V0 = 50 kV et T = 
140 K. On
analyse le mouvement des molécules CH3F ayant un moment dipolaire ldeff| = 3 >< 
10'30 C - m.

a) Calculer wo.

b) Calculer la position du premier point P(O, O, 1) où les molécules, ayant la 
vitesse la plus
probable du jet, sont refocalisées sur l'axe Oz.

III. Un anneau de stockage pour les molécules polaires

Pour stocker des molécules polaires dans une région limitée de l'espace, on 
modifie l'hexapôle
étudié auparavant en courbant les électrodes pour les transformer en tores, 
tous de même axe Oa:
(figure 2) ; l'axe central de l'hexapôle est devenu un cercle de rayon pT, et 
dans un plan méridien
passant par 0515, les électrodes gardent la même position relative, aux sommets 
d'un hexagone
régulier de côté R. Lorsque le rayon du tore pT est très grand par rapport au 
rayon de l'hexapôle
R, on admettra qu'il n'y a pas, au voisinage du cercle central, de distorsion 
significative du
champ électrostatique par rapport au cas linéaire étudié en partie II. Pour 
confiner le mouvement
des molécules dans la région centrale du potentiel électrostatique, on 
interpose un diaphragme
vertical, centré sur la circonférence p = pT du tore, qui laisse passer les 
molécules à travers un

trou de rayon TD.

1
|

\l
\ll ,

|
' I'll

||

'._ .....

1
"il
ul

.!
Il

|"
m'

j.',.;- ----_ _ __

. i
.......

, Ill
Ill
'll'u

"ll!
Ill"!

Il

" ||
ll

l']
\

F figure 2

On utilise un système de coordonnées cylindriques (p, < 10--30 O -- m.

4. On analyse le mouvement des particules décrivant une trajectoire sur la 
surface cylindrique
W) = po-

a) Déterminer a: = a:(t) pour les conditions initiales oe(t = O) = 0 et :i:(t = 
O) = Uoe0-

b) Estimer la valeur maximale de la vitesse 'UOEO pour laquelle le mouvement 
reste
confiné à l'intérieur du tube torique de rayon TD. Représenter graphiquement la 
dépendance
väax = väax(po) en employant les valeurs données en 3.c).

5. On analyse le mouvement des molécules dans le plan (p(t), go(t), a: = 0). 
Les molécules sont
injectées au centre de l'anneau p(t = O) = pT avec une vitesse initiale U(t = 
O) = vs00 EUR}, + vp0 ê'p,
où 0900 est inférieure à v$ax déterminé en 3.c).

&) Montrer que l'énergie mécanique des molécules peut se mettre sous la forme

mp'2

EMO = T + Ueff(p), où le dernier terme correspond a une énergie potentielle 
effective à expli--

citer.

b) Montrer , en utilisant une représentation graphique, que le mouvement radial 
est contenu

dans un intervalle [pmin, pmaX].

c) Calculer la valeur maximale vääax de la vitesse radiale pour laquelle le 
mouvement reste
confiné à l'intérieur du tube torique de rayon TD pour une vitesse v
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Tailleur (ENS Cachan) ; il a été relu par Marc
Jungers (ENS Cachan) et Brahim Lamine (Enseignant-chercheur à l'Université).

Ce sujet propose d'étudier le piégeage de molécules polaires par un hexapôle
électrostatique. Un tel dispositif permet de produire des faisceaux 
moléculaires afin
d'étudier des collisions ou de réaliserdes dépôts de surface.
Le problème fait intervenir des notions d'électrostatique et de mécanique 
classique. Les trois parties sont assez peu indépendantes et bloquer sur une 
question
importante empêche souvent de continuer.
· La première partie du sujet étudie le potentiel généré par un hexapôle droit.
On analyse tout d'abord les nombreuses symétries du problème avant de calculer 
explicitement le potentiel et le champ électrostatique, ainsi que leur 
expression approchée dans la partie centrale du piège.
· La deuxième partie, assez courte, étudie le mouvement d'une molécule polaire
dans l'hexapôle. Le texte introduit une hypothèse un peu déroutante, et il faut
reconnaître que faire les calculs « sans se poser de questions » était une bonne
méthode pour ne pas s'enliser... Toutefois le texte nous guide bien, et le 
système
étudié est équivalent à un oscillateur harmonique : on est en terrain connu.
· Dans la dernière partie, on considère un hexapôle torique. Le rayon du tore
est tel que l'on peut négliger sa courbure et donc réutiliser les résultats de 
la
deuxième partie. On étudie alors le piégeage d'un faisceau de molécules au coeur
du tore. Cette partie est relativement longue et calculatoire. Il est crucial de
rester bien concentré et de garder en mémoire les résultats précédents.
Ce sujet est plutôt long, mais ne présente pas de question insurmontable, et les
calculs restent d'une difficulté modérée.

Indications
Première partie

-
I.1.d Le champ E est orthogonal à un plan équipotentiel.
I.1.e Une fonction périodique de classe C 1 par morceaux est développable en 
série
de Fourier.
I.3 Utiliser le principe de superposition.
I.4 Que peut-on dire de la somme des racines troisièmes de l'unité ?
I.6 Les coordonnées d'un point quelconque de l'électrode C1 vérifient

a
Z = R 1 + e i
R
ce qui permet de calculer le potentiel en utilisant le résultat de la question 
I.4.

Deuxième partie
II.2 deff est une constante du mouvement.
II.6 La probabilité que la norme de la vitesse d'une molécule soit comprise 
entre
1
v et v + dv est (v) = dN(v). La vitesse la plus probable correspond alors
N
au maximum de (v).

Troisième partie
III.1 Dans le nouveau référentiel, comment s'écrit le vecteur reliant la 
position de
la molécule au centre de l'hexapôle ?
III.3.a La vitesse est-elle constante ? Comment peut-on réécrire l'accélération 
normale ?
III.3.c La molécule doit passer dans l'orifice du diaphragme.
III.5.c Utiliser la conservation de l'énergie mécanique.
III.6.a La probabilité d'avoir une vitesse de module compris entre v1 et v2 est
Z v2
(v)dv
v1

où (v) =

1 dN(v)
.
N dv

I. Hexapôle électrostatique
I.1.a La distribution de charges étant invariante par translation suivant z, le 
potentiel l'est également. Ainsi,
Le potentiel V est indépendant de z.

-

En effet, le potentiel créé par une densité de charges  r au point -
r de
l'espace s'écrit

-
ZZZ
( r ) d 

-
V( r ) =

-

40 ||-
r - r ||
 -
-

-

-

En posant r = r +z0 -
ez , il vient ( r ) = (r ) puisque la densité de charges
est invariante par translation suivant z. De plus, l'élément de volume
d  = r ddr dz = d 
étant également invariant par translation suivant z, on a

-
ZZZ
(r ) d 

-

V( r ) =
= V(-
r + z0 -
ez )

-

-

-
40 || r + z0 ez - r ||
Cette relation étant valable quel que soit z0 , V est indépendant de z.

-
Le champ électrique E est l'opposé du gradient du potentiel V. Par conséquent,
--

-
1 V -
V -

E = - grad V(r, ) = -
er -
e
r
r 
-

-
E ne dépend pas de z et n'a pas de composante suivant 
ez .
I.1.b Chaque plan perpendiculaire à l'axe de l'hexapôle est un plan de 
symétrie, et

-
en tout point d'un tel plan, le vecteur E est contenu dans ce plan.
Notons que le fait qu'un tel plan soit plan de symétrie est une conséquence

naturelle de l'invariance de la densité de charges par translation suivant -
ez
et était donc implicite dès la question précédente.

-
-
Le champ E n'a pas de composante suivant 
ez .
Rappelons que :

-
· Le champ E est contenu dans tout plan de symétrie et orthogonal à
tout plan d'antisymétrie de la distribution de charges qui le génère.

-
· Le champ B est un pseudo-vecteur ou vecteur axial. Il est par conséquent 
contenu dans tout plan d'antisymétrie et orthogonal à tout plan
de symétrie de la distribution de courants qui le génère.

I.1.c Considérons un plan P0 passant par le centre de l'axe
C1
P0
central et les centres de deux électrodes diamétralement
opposées. Les deux autres électrodes impaires (respectiveC6
C2
ment paires) sont symétriques l'une de l'autre par rapport
C
5
au plan P0 . Ainsi, P0 est un plan de symétrie de la distribuC3

-
tion de charges. Par suite, E est contenu dans P0 en tout
C4

-
point de celui-ci et P0 est un plan de symétrie pour E .

-

De plus, d'après la question précédente, E n'a pas de composante suivant -
ez .

-
---
Par suite, en tout point de P0 , le vecteur E est dirigé suivant la direction 
C2 C5 . Ainsi,
En tout point d'un plan P passant par l'axe central et les électrodes Ci

-
----

-
et Ci+3 , E est dirigé suivant Ci Ci+3 et P est un plan de symétrie de E .
C1
I.1.d Soit un plan P1 passant par le centre de l'axe central
C6
C2
et à équidistance des autres électrodes. Chaque axe impair est
le symétrique par rapport à P1 d'un axe pair (et réciproqueP1
ment). P1 est donc un plan d'antisymétrie de la distribution
C3
C5

-
de charges. En tout point de P1 , le champ E lui est normal.
C4

-
De plus, comme le champ E est proportionnel au gradient du potentiel, il est
normal aux équipotentielles. Par suite,
Le plan P1 est une surface équipotentielle.
I.1.e La période angulaire du système est le plus petit angle  tel qu'une 
rotation
d'angle  envoie une électrode paire (respectivement impaire) sur une autre 
électrode
paire (respectivement impaire).
Le système est de période angulaire 2/3.
Le potentiel est donc périodique, de période 2/3 ; il peut être développé en 
série
de Fourier :
+
P
V(r, , z) = V(r, 0) +
Vk (r) cos(3k + k )
k=1

I.2 La distribution de charges est invariante par translation suivant z : 
d'après la

question I.1.a, le champ électrique n'a pas de composante suivant -
ez et ne dépend
pas de z. De plus, tout plan contenant l'axe de l'électrode est un plan de 
symétrie

-
de la distribution de charges et le champ E au niveau de ce plan est contenu 
dans

-

celui-ci, il n'a donc pas de composante suivante -
e . Enfin, le champ E ne dépend pas

de  car la distribution de charges n'en dépend pas. Le champ est ainsi de la 
forme

-

E = E(r)-
er
Soit une surface cylindrique fermée  d'axe confondu avec

--
E(r)
l'électrode, de longueur  et de rayon r > a. Notons Q la
-

charge contenue dans le volume délimité par , dS le vecteur

r
normal à la surface et 0 la permittivité du vide. Appliquons

alors le théorème de Gauss à la surface  ci-contre :
ZZ
 -
-

Q
E · dS =

0