X Physique 1 PC 2004

Thème de l'épreuve L'héliosismologie
Principaux outils utilisés statique des fluides, ondes acoustiques, optique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2004 . FILIÈRE PC

PREMIERE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

L'héliosismologie

L'héliosismologie -- l'étude sismique du Soleil -- a pris son essor au cours 
des années 1970
lorsque l'on s'est aperçu que les raies du spectre solaire étaient modulées & 
des périodes de l'ordre
de 5 minutes, et que cette modulation était due auoe oscillations globales du 
Soleil. Ces oscillations

sont de type acoustique.

Le but de ce problème est d'analyser dans le cadre de modèles très simplifiés, 
la propagation
de ces ondes acoustiques à l'intérieur d'un astre fluide et sphérique tel le 
Soleil.

Données numériques :

Constante de gravitation : G = 6, 67 >< 10"11 kg_l--m3.s"2
Constante des gaz parfaits : RGP = 8, 31 J -K"'-moF1
Masse molaire de l'hydrogène : mH = 1 g-mol_1
Masse molaire de l'hélium _: mHe = 4 g-mol_1
Masse molaire moyenne du Soleil : , ,a = 1, 27 g-mol"1
Masse du Soleil : M = 2,0 >< 1030 kg

Rayon du Soleil : R = 7,0 >< 108 m
Température de surface du Soleil : T* = 5 800 K

Dans tout le problème, on supposera que le Soleil possède la symétrie 
sphérique, et on '-
négligera sa rotation propre. Sa composition sera assimilée à celle d'un gaz 
parfait monoatomique

de masse molaire ,a.

I. La structure interne du Soleil : un modèle simple

' 1. Les ordres de grandeur

On cherche à estimer l'ordre de grandeur de la pression Pc, de la masse 
volumique pc et de
la température T0 au centre du Soleil. On admettra que l'étoile n'est composée 
que d'hydrogène
atomique et d'hélium, et que la concentrationen hélium est uniforme dans toute 
l'étoile.

a) Estimer, par analyse dimensionnelle, l'ordre de grandeur de la pression PC 
au centre
d'un astre de masse M et de rayon R soumis à sa propre gravité. Calculer PC 
dans le cas du

Soleil.

b) On désigne par EC l'énergie cinétique du gaz parfait monoatomique de masse 
molaire ,u
constituant l'étoile et par Q l'énergie potentielle interne de gravitation de 
cet astre; on admettra
la relation O + 2Eg : 0 que donne le théorème du viriel.

Trouver, à. l'aide d'une simple analyse dimensionnelle, une expression de 
l'énergie de gravi--
tation Q; écrire l'expression de l'énergiecinétique EC du gaz stellaire en 
supposant, pour cette
question seulement, que la température T du gaz stellaire est uniforme. En 
déduire l'ordre de
grandeur de la température du gaz que l'on assimilera a la température TC au 
centre de l'astre
ainsi que l'ordre de grandeur de la masse volumique centrale pc. Calculer ces 
deux valeurs dans

le cas du Soleil.
2. Le champ gravitationnel

a) ÿ désignant le champ de gravitation au sein de l'astre, donner l'expression 
de son
module g au niveau repéré par la variable radiale r, en fonction de la masse 
m(r) de la boule de
rayon 7".

b) Montrer que, dans le cas du Soleil, dont la période de rotation moyenne est 
de l'ordre
de 27 jours, négliger la rotation est tout à fait licite.

Pour toute la suite du problème on supposera que le module g du champ gravi--
tationnel est uniforme dans toute l'étoile.

3. L'état d'équilibre

On note PO (r) la pression d'équilibre au niveau 7° et g le module, uniforme 
dans toute l'étoile,
du champ de gravitation. On suppose de plus que la structure interne de l'astre 
est adiabatique,
l'indice adiabatique 7 étant pris lui aussi uniforme dans toute l'étoile : P0 = 
Bpä. Afin d'alléger

9(7 -- 1)

7 A , A étant une

les calculs on notera la constante de proportionnalité sous la forme B =

autre constante et on définira la profondeur z dans l'astre par 2 = R -- r.
a) Pour quelle raison physique peut--on exclure del'étude le cas 7 = 1 ?
b) Exprimer g en fonction de C, M et R et calculer sa valeur dans le cas du 
Soleil.

c) Écrire l'équation locale exprimant l'équilibre au sein de l'astre. En 
déduire les expres--
sions de P0(2) et po(z). Donner l'allure des graphes correspondants.

d) La célérité c d'une onde acoustique dans un fluide, de pression P et de 
masse volumique
ôP

55
d'équilibre. L'exprimer pour le Soleil en fonction de 7, PO et pg. Montrer que, 
à l'intérieur du

p est donnée par c2 = ( ) S, dans l'hypothèse d'adiabaticité et la dérivée 
étant prise à. l'état

Soleil, la valeur de cette grandeur dépend de la profondeur 2 selon la loi :

62(2) = (7 ---- 1)gz

Calculer numériquement la vitesse du son cR : c(R) au centre du Soleil, en 
prenant 7 = 5/3.

e) Le Soleil possède une température de surface T*; en déduire dans quelle 
partie de
l'astre solaire le modèle précédent décrivant l'évolution de c avec la 
profondeur z est mis en
défaut. Déterminer les expressions de la vitesse du son minimale c* et de 
l'ordre de grandeur de
l'épaisseur de la couche z* dans laquelle le modèle n'est plus applicable. 
Calculer numériquement

leurs valeurs avec 7 = 5/3.

Il. Étude des oscillations dans les couches périphériques

Dans les couches périphériques de l'étoile, on modélise localement le milieu 
stellaire par une
structure de plans parallèles. On repère une couche par sa profondeur z = R -- 
7". On s'intéresse
aux petites perturbations des champs de pression et de masse volumique, de 
valeurs à l'équilibre
Pg(2) et po(z). Par souci de généralité, on mènera les calculs avec les 
fonctions P0(z) et po(z) et
non avec leurs expressions analytiques fonctions de z établies précédemment. On 
ne se servira
de ces dernières expressions que dans les cas particuliers explicitement 
mentionnés.

On considère des ondes planes de propagation verticale; les perturbations des 
champs de
vitesse verticale 1), de pression P et de masse volumique p, sont définies par :

v(z, t) = 0 + m(z, t)
P(Z,t) = P0(Z) +p1(z,t)

p(Z, t) = po(Z) + pi(zç t)

1. Évolution des champs

a) Ecrire l'équation du mouvement d'une particule fluide soumise aux seules 
forces de
gravité et de pression. La linéariser; le terme convectif de l'accélération (Ü 
-- V)fü' sera supposé
négligeable.

b) Que traduit l'équation ; Êpj_ : __Ô(PO'U1) .,

Ôt Ôz '

c) L'évolution locale du gaz est supposée adiabatique avec P : Bp? En déduire 
par
linéarisation la relation

P1 = 02P1

où c2(z) est la célérité locale des ondes acoustiques introduite en I.3.d).

d) Déduire des relations précédentes l'équation décrivant la propagation du 
champ de

masse volumique p1 :

32 2 8,01 32,01
""-- _ _ -- ---- = 0
87.2 (W ' 9 ôz ât2

e) Développer cette équation en explicitant 02 (z) obtenu en I.3.d).

2. Solution analytique

a) En prenant 7 = 5/3, vérifier que l'équation d'évolution de pl admet comme 
solutions
des ondes progressives de la forme générale p1(z, t) = f (t :|: 2z/c(z)).

Dans la suite du problème) on conserve 7 = 5/3.

1
b) p0(z) étant de la forme zv----Î, montrer que p1 est nul à la surface. Quelle 
en est la

conséquence pour une onde progressive arrivant en surface ?

c) On considère une onde monochromatique de pulsation ca de la forme p.1(z, t) =
F (2) cos cut. Dans quel type d'onde peut--on la classer? Expliciter F(z) en 
désignant par AM
l'amplitude maximale de l'onde.

d) En déduire l'expression correspondante de p1(z, t). Quelle est la 
particularité que pré--
sente en fonction de z l'amplitude de l'onde de pression?

e) Déterminer l'expression de l'onde de vitesse associée vl (z,t). Quelles 
particularités
observez--vous tant sur sa dépendance temporelle que spatiale? Montrer que 
l'amplitude de
U1 atteint une limite finie à la surface, en z = O.

3. Evolution au voisinage de la surface

a) À partir du niveau z* défini en I.3.e), et jusqu'à des altitudes positives 
(2 < 0),
l'atmosphère stellaire est supposée isotherme à l'équilibre, et la vitesse des 
ondes sonores y
prend la valeur c*. Écrire l'équation d'évolution de pl valable dans cette 
zone. Pour des ondes
sinusoïdales, montrer qu'il existe une pulsation limite whm séparant les ondes 
qui pénètrent
dans cette zone de celles qui n'y pénètrent pas. Calculer numériquement wlim et 
la période Tlim
assoc1ee.

b) Les régions visibles de l'atmosphère stellaire étant au voisinage de z = z*, 
quel effet
physique permet de percevoir le champ de vitesse 111 ? Quel type de mesure 
permet d'y avoir
accès ? Le comportement du champ v(z) est-il favorable à une telle mesure ?

III. Étude des oscillations dans les couches internes

Dans les couches internes de l'étoile il n'est plus possible de négliger la 
structure sphérique.
On suppose que l'onde est sinusoïdale, localement plane et on admet que la 
vitesse de phase est
donnée par l'expression obtenue en I.3.d), c2(z) = (fy -- l)gz avec 2 = R -- 7° 
Pour une étude
simple, on utilise une description en termes de << rayons acoustiques >>. Pour 
les applications
numériques, on prend 'y = 5/3.

1. Réfract ion

, Par analogie avec l'optique, on définit l'indice acoustique local du milieu 
comme le rapport
de la vitesse du son 03 au centre de l'astre à la vitesse du son locale :

CR

C(Z)

&) Rappeler les lois de la réfraction. Montrer qu'elles impliquent, dans le 
cadre du modèle
<< plan parallèle >> où l'indice n'est fonction que de la coordonnée 
cartésienne z, la conservation
de n sind où 73 est l'angle d'incidence. Pour un déplacement élémentaire le 
long du rayon, exprimer
la variation di de l'angle d'incidence en fonction de dn, n et i.

n:

b) Dans une situation a symétrie sphérique, montrer qu'un rayon acoustique se 
propage
en restant dans un plan passant par le centre (plan diamétral).

c) De plus, à la variation de l'angle d'incidence calculée ci-dessus et 
désignée par di1,
s'ajoute une autre contribution d'origine purement géométrique dig. Exprimer 
dig en fonction
de dr, 7' et i.

d) Dédùire de ces résultats la conservation de la quantité D = nr sinz' le long 
du rayon
acoustique.

e) En déduire que la relation précédente implique, sauf dans le cas où D est 
nul, l'existence
d'un niveau limite rc en dessous duquel il n'y a plus de propagation verticale 
de l'onde. Quelle
est la direction du rayon acoustique a ce niveau ?

2. 'I'rajectoire des rayons acoustiques

a) Soit 7" = f (9) l'équation polaire d'un rayon acoustique. À partir des 
résultats précé--
/ demment obtenus, justifier qu'un rayon acoustique associé à une valeur de D 
fixée est constitué
d'arcs successifs contenus dans une couronne de rayons rmin et rmax que l'on 
identifiera. Que
subit le rayon acoustique respectivement en ,. = rmin et 7° = rmax ?

b) Montrer que, dans la partie II, il était justifié de supposer verticale la 
propagation dans
les couches supérieures de l'étoile.

c) On pose A6 = 92 -- 91, où 91 et 92 sont les angles polaires correspondants 
aux extrémités
d'un arc. Un mode correspond a une trajectoire du rayon acoustique fermée sur 
un tour. A6'
ne peut alors prendre que des valeurs discrètes que l'on déterminera en 
fonction d'un nombre

entier p.

(1) On montre que A9 ne dépend que du rapport oz = rc / R, soit ap pour le mode 
p. De
plus, en considérant l'aspect ondulatoire de la propagation, un mode correspond 
à une onde
stationnaire présentant des noeuds de pl en surface (cf. II.2.b). Soit Tp le 
temps de propagation
de la phase de l'onde le long d'un arc du mode p; TP est donné par 7'}) = 
(ZR/CR)fip où @, est
un facteur numérique ne dépendant que de ap.

Dans ces conditions, montrer qu'au mode p correspondent des ondes stationnaires 
de diverses
périodes sous--multiples d'une période fondamentale Tp; exprimer T p en 
fonction de Tp.

e) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de cup et de @, pour quelques 
valeurs de p.
Calculer les valeurs correspondantes des périodes Tp.

0,459 0,645 0,737 0,791 0,827 0,886

1,805 1,586 1,423 1,299 1,202 1,003

f) Représenter sur un schéma en coupe de l'intérieur stellaire, l'allure des 
rayons associés
aux modes d'ordre p = 4 et p = 12. Quels modes fourniront des informations sur 
la structure du
centre de l'astre ? Lesquels seront surtout sensibles aux propriétés des 
couches périphériques ?

3. Les modes radiaux

On définit la fréquence caractéristique des oscillations du Soleil par :

Rd _
...=(2/0 %")1

a) D'après la définition de cette fréquence, quel phénomène physique a pour 
durée la
période TO : 1/1/0 ?

b) Le profil de la célérité du son étant toujours celui trouvé en partie I), 
montrer que la
valeur de V0 est dominée par les couches périphériques de l'astre. Déterminer 
1/0 en fonction de
7, G, M et R. Calculer la période TO associée dans le cas du Soleil.

c) Montrer que nécessairement, le centre du Soleil correspond pour 
l'oseillation à un noeud
de vitesse. On note u,... la fréquence propre du mode d'oscillation 
stationnaire présentant radia--
lement n noeuds d'oscillation pour la vitesse (centre exclu).

Une première estimation des modes radiaux consiste à déterminer les pulsations 
pour les-

R dr
quelles w / ---- = q7r + W / 2 où q est un entier positif ou nul; donner une 
justification de cette

0 C(?")
expression. Montrer que cette relation donne des modes d'oscillations radiales 
de fréquences :

"0.0 = (q + 1/2)V0

Les modes excités du Soleil qui sont observés ont des périodes voisines de 5 
minutes. Quel
est l'ordre q moyen de ces modes radiaux ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-David Picon (École Polytechnique) ; il a été 
relu
par Aurélien Fraisse (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).

Ce sujet se compose de trois parties liées et de difficultés inégales ; 
certains résultats sont fort utiles pour la compréhension de la suite.
· La première partie, particulièrement variée, permet d'interroger le candidat 
sur
de nombreux points du cours : analyse dimensionnelle, équipartition de 
l'énergie, théorème de Gauss, accélération d'entraînement, loi de 
l'hydrostatique.
· Dans la deuxième partie, il s'agit tout d'abord de retrouver, dans le cadre 
d'une
étude du Soleil, des résultats proches du cours comme l'équation de propagation 
des ondes acoustiques. Suit une partie calculatoire nécessitant un peu de
rigueur. Enfin, on s'intéresse rapidement à la validité du modèle et à sa 
vérification expérimentale.
· La troisième partie s'éloigne plus nettement du cours. On étend tout d'abord
les lois de Descartes au cas d'un milieu à symétrie sphérique. Puis on applique
ces lois aux ondes acoustiques dans un milieu d'indice variable. Ce modèle
permet de prédire l'existence de modes d'ondes stationnaires, dont on détermine
quelques caractéristiques. Pour terminer, on teste le modèle en le confrontant
à quelques données expérimentales.
En résumé, on applique dans ce problème les lois de l'acoustique dans une 
configuration à symétrie sphérique. Cela permet de retrouver les résultats 
principaux d'une
discipline assez jeune, l'héliosismologie, qui a pris son essor dans les années 
1990.
Particulièrement adaptée aux candidats férus d'astronomie moderne, elle permet 
de
tester ses aptitudes à appliquer les relations du cours dans un cadre plus 
général.

Indications
I.

La structure interne du Soleil : un modèle simple

I.1.a De quels paramètres peut et doit dépendre la pression PC au coeur du 
Soleil ?
Combien existe-t-il de combinaisons homogènes à une pression ?
I.1.b Utiliser successivement l'équipartition de l'énergie, le théorème du 
viriel et la
loi des gaz parfaits.
I.2.a Appliquer le théorème de Gauss.
I.2.b Puisque le Soleil tourne (par rapport au référentiel de référence supposé
galiléen), le référentiel qui est lié au Soleil n'est pas galiléen.
I.3.a Si  = 1, qu'en est-il de la température T ?
I.3.c Penser à la loi de la statique des fluides.
I.3.e Calculer la vitesse de l'onde à la surface du soleil à l'aide de sa 
définition et
de la loi des gaz parfaits.
II.

Études des oscillations dans les couches périphériques

II.1.a 1 , v1 et p1 sont des perturbations du premier ordre. Négliger dans 
l'équation
du mouvement tous les termes d'ordre supérieur.
II.1.b Quelle loi de conservation doivent vérifier les grandeurs étudiées ?
II.1.c Développer les équations au premier ordre.
II.1.d Utiliser les trois questions précédentes.
df (X(z))
df dX
=
dz
dX dz
et prendre le temps de faire le calcul soigneusement.
II.2.b Que vaut la masse volumique totale  à la surface du Soleil ? Une telle 
valeur
est-elle possible avec une onde progressive seule ?
II.2.c Utiliser la question II.2.a en écrivant 1 comme la somme d'une onde 
progressive et de son onde réfléchie.
II.3.a L'évolution n'étant plus adiabatique, il faut trouver une nouvelle 
relation
entre  et P dans le cas isotherme.
II.2.a Se souvenir que

III.

Études des oscillations dans les couches internes

III.1.a Considérer la variation d(n sin i) à travers une lame d'épaisseur dz.
III.1.b Si le rayon n'est pas dans le plan diamétral, combien y a-t-il de 
solutions pour
des conditions initiales données ?
III.1.c Faire un dessin d'un rayon traversant deux interfaces sphériques 
concentriques
séparant des milieux de même indice.
III.1.d Calculer la variation totale di = di1 + di2 .
III.1.e D'après la relation établie à la question précédente, que se passe-t-il 
quand r
diminue ?
dr
III.3.a Que représente
?
c(r)

I.

La structure interne du Soleil : un modèle simple
1.

Les ordres de grandeur

I.1.a La pression PC au coeur du Soleil est due à l'interaction 
gravitationnelle qui
tend à rapprocher tous les éléments de l'étoile les uns des autres. Par 
conséquent,
son expression doit faire intervenir les caractéristiques du Soleil comme sa 
masse M
et son rayon R, ainsi que la constante de gravitation G (et rien de plus).
Cherchons alors une combinaison de ces grandeurs qui soit homogène à une
pression. En s'aidant par exemple de l'expression de la force d'interaction 
gravitationnelle, on trouve
PC =

G M2
R4

Cette expression est homogène à une force divisée par une surface et c'est en 
fait
l'unique combinaison possible. En effet,
[G] = M-1 L3 T-2

et

[PC ] = M L-1 T-2

Par conséquent, pour que PC soit homogène en temps, G doit apparaître à la 
puissance 1 dans l'expression de PC . Dès lors, il est facile de voir que le 
reste de cette
expression est nécessairement homogène en masse et en longueur.
Un calcul plus élaboré, en faisant par exemple l'approximation d'une masse
volumique uniforme sur l'ensemble de l'étoile, conduit à la valeur
3 G M2
8  R4
On constate la puissance de l'analyse dimensionnelle...
PC =

Application numérique :

PC = 1, 1.1015 Pa

I.1.b En se rappelant que l'énergie d'interaction EP entre deux masses m et m
distantes de r est égale à
G m m
EP = -
r
la même démarche qu'à la question précédente conduit à
=-

G M2
R

On démontre de la même manière que c'est l'unique solution envisageable avec les
grandeurs impliquées.
De plus, on assimile le mélange d'hélium et d'hydrogène atomique à un gaz 
parfait
monoatomique. Chaque molécule a donc trois degrés de liberté de translation et 
aucun
de rotation. Or, d'après le théorème d'équipartition de l'énergie, à chaque 
degré de
liberté correspond, à l'équilibre thermodynamique, une énergie d'agitation 
thermique
(RGP T)/2 par mole de gaz. Comme le nombre de moles de gaz composant le Soleil
est égal à M/µ, l'énergie cinétique EC du Soleil vaut
Ec =

3 M RGP TC
2µ

En outre, d'après le théorème du viriel donné dans l'énoncé,
 + 2Ec = 0
On peut en déduire la température uniforme T du Soleil égale, par ailleurs, à 
TC .
TC =

µGM
3 RGP R

Finalement, on en déduit la masse volumique C au centre du Soleil. D'après la
loi des gaz parfaits et avec les notations de l'énoncé,
 RGP T
P=
µ
d'où

C =

PC µ
3M
= 3
RGP TC
R

Application numérique :
TC = 9, 7.106 K

et

C = 1, 7.104 kg.m-3

La température est du bon ordre de grandeur, contrairement à la masse volumique.
En effet, cette dernière équivaut à 3 fois la densité moyenne de la Terre, ce 
qui est
bien loin de la réalité.
2.

Le champ gravitationnel

I.2.a D'après le théorème de Gauss, dans un astre à symétrie sphérique, le champ
de gravitation g(r) en r n'est dû qu'à la masse m(r) à l'intérieur de la boule 
de
rayon r. En effet, les contributions extérieures se compensent exactement. De 
plus,
tout se passe comme si toute la masse était concentrée en r = 0. Par suite,
g(r) =

G m(r)
r2

Pour retrouver facilement l'expression de g, il suffit de se souvenir que la 
force
d'interaction gravitationnelle s'identifie, à la surface du Soleil, au poids si 
l'on
néglige l'accélération d'entraînement. Par conséquent, si m est la masse d'un
objet à la surface de l'étoile,
mg =

GMm
R2

-
I.2.b Comme le Soleil tourne avec une vitesse angulaire que l'on note  , le 
référentiel lié au Soleil n'est pas exactement galiléen. En conséquence, un 
système immobile
dans le référentiel lié au Soleil subit la force d'inertie d'entraînement, 
l'accélération
de Coriolis étant nulle. Comme la vitesse de rotation est constante, 
l'accélération

d'entraînement -
a (-
r ) se réduit à un seul terme,
 -
-

-

a (-
r)=    -
r
En un point de l'équateur, l'accélération est maximale et vaut en module
a(r) = 2 r