X Physique 1 PC 2003

Thème de l'épreuve La matière noire
Principaux outils utilisés gravitation, hydrostatique
Mots clefs matière noire, galaxies

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE ,
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2003 ' FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***
La matière noire dans l'univers

L'univers est peuplé de galaæies, généralement regroupées en amas, dont la 
luminosité pro-
vient des étoiles qui les composent. Par un raisonnement simple supposant une 
relation linéaire
entre la densité de lumière et la densité de masse, il est possible, à partir 
de la mesure de la
luminosité d'une galaæie, d'estimer sa masse sous forme d'étoiles. 
Indépendamment de cette
approche, la masse d'une galaæie peut être déterminée par la mesure de la force 
qu'elle emerce
sur des objets situés dans son champ de gravitation. Cette mesure aboutit à une 
masse totale
bien plus importante que celle déduite de sa composante lumineuse, laissant 
supposer l'existence

d'une composante de matière « noire ».
De même l'estimation de la masse des amas de alaæies aboutit à un désaccord 
entre la
7

masse lumineuse et la masse gravitationnelle.
. La mise en évidence de matière noire fait l 'objet de ce problème.

Données numériques

Masse solaire ' 1 M5 = 1, 99 >< 1030 kg

Parsec (unité de longueur) 1 pc = 3, 09 >< 1016 m

Constante de gravitation universelle G = 6, 67 >< 10"11 N -- m2 - kg--2

Masse de l'atome d'hydrogène ' ' #H = 1, 67 >< 10_27 kg

Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide 0 = 3,00 >< 108 m - 8--1

Charge élémentaire e = 1, 60 >< 10"19 C
Formulaire

Dans tout le problème, les coordonnées sphériques seront notées (r, 9, go) et 
les coordonnées
cylindriques (R, 9, z).

Intégrale particulière :

a: 1 ' '
/ du = arctan a:
0 1 + u2

On note (ff) le potentiel dont dérive le champ gravitationnel Â(F) :

*Æfi=--@fi@.

I. Modélisation d'une galaxie spirale

La distribution de masse des étoiles (masse visible) d'une galaXie est 
modélisée par le potentiel
gravitationnel g défini par :

M
.@G(R,z)=...--_£_--__ a,b>0.

R2 + (a+ WF

Nous allons chercher à en déduire la forme de la distribution de masse des 
étoiles d'une telle
galaxie.

1. Considérons d'abord le cas limite où b = 0.
&) Donner l'expression simplifiée du potentiel gravitationnel que l'on notera 
(131).

b) Montrer qu'en tout point (R, 2) avec 2 < 0, le potentiel p est équivalent 
à celui
engendré en ce même point par une masse ponctuelle placée en (0, a). Que 
peut--on en conclure
en ce qui concerne la valeur de la densité de masse p(R, z) en tout point du 
demi espace 2 < 0 ?

0) À quel système simple est équivalent le potentiel en tout point (R, 2) avec 
2 > 0 ?

d) Où se trouve localisée la masse correspondant à D. Préciser, sans calcul, 
la forme des
courbes isodensité et caractériser la forme générale de la galaxie.

2. Considérons à présent le cas où a = 0.

a) Donner, en fonction "de 7', G, M et b, l'expression simplifiée du potentiel 
gravitationnel
que l'on notera <Ï>g.

_ b) En déduire la forme des surfaces isodensité et caractériser la forme 
générale de la galaxie
dans ce cas.

3. Décrire schématiquement, dans un plan contenant Oz, l'évolution des courbes 
d'isodensité

b

lorsque le rapport -- varie. Illustrer graphiquement le cas où b >> @ et celui 
où b << a.
a

4. Une galaxie spirale peut être décrite par un disque fin présentant un 
renflement en son
centre; les << bras >> en spirale de la galaxie correspondent à de petites 
surdensités locales qui
seront négligées. On admettra que le potentiel @@ est apte à décrire la 
distribution de masse

visible d'une telle galaxie.
En analysant le comportement asymptotique du potentiel G donner l'expression 
de la masse

visible totale de la galaxie.

II. Rotation d'une galaxie spirale

1. La plupart des étoiles de la galaxie se déplacent selon des orbites 
circulaires dans le plan
équatorial de la galaxie.

a) Pour une orbite de rayon R, déterminer la valeur de la vitesse V(R) de 
l'étoile en
fonction de G, M, R, a et b. Quelle est la forme asymptotique de V(R) quand R 
tend vers
l'infini ?

b) Exprimer en fonction de a et de b la distance Rmax à laquelle V(R) est 
maximale.

2. Application numérique. On donne pour une galaxie typique a 1 kpc, b = 0,1 
kpc,

M = 2 >< 1010 M5.
a) Calculer la vitesse V(R) à la distance R = 50 kpc du centre.
b) Calculer la vitesse maximale V...aX :; V(Rmax).

c) Illustrer graphiquement l'allure de V(R).

III. Mesure expérimentale de la rotation d'une galaxie

La mesure de la << courbe de rotation >> V(R) d'une galaxie se fait_par 
l'observation de
raies d'émission ou d'absorption de nuages de gaz interstellaires qui se 
déplacent à la vi--
tesse V(R). Une partie" du gaz interstellaire est composée d'atomes d'hydrogène 
neutre dont
l'état électronique fondamental possède deux niveaux d'énergie séparés par une 
différence de
6 >< 10_6 eV. Le passage de l'état de haute énergie à celui de basse énergie 
est aCcompagné de
l'émission d'une onde à la fréquence 1/ = 1, 4 GHz, soit 21 cm environ de 
longueur d'onde.

1. La galaxie est assimilée à. un disque mince à symétrie axiale, dont la 
normale au plan fait
un angle 'à avec la direction de visée (figure 1). '

a) Comment peut être déterminée expérimentalement l'inclinaison i de la galaxie 
?

b) Exprimer en fonction de i, 9 et V(R) la composante V{,bs de la vitesse de 
rotation V(R)
selon la ligne de visée A orientée de la galaxie vers l'observateur. , ,

direction de visée
A (vers l'observateur)

plan de
la galaxie

Figure 1. Dans le plan de la galaæie, l'angle 9 a pour origine la direction 
oe'oe de ce plan
orthogonale à la direction de visée A, l'axe y'ÿ étant la projection de A sur 
ce plan.

2. Lorsqu'une source émettant une onde électromagnétique de célérité c et de 
longueur d'onde

A se ra roche d'un observateur a la vitesse 11 << c le lon de sa direction de 
visée ce dernier
7

'Il

mesure une longueur d'onde À' décalée (effet Doppler) donnée par : X = A ( 1 -- 
--C--) au premier

ordre en v/c.

a) Un observateur mesure les longueurs d'onde À'(Û) et À'(0 + 7r) de la raie 
d'émission
de l'hydrogène neutre émise en deux points diamétralement opposés de la 
galaxie. Exprimer

en fonction de i, 6', V(R) et À (la longueur d'onde de la raie à l'émission) le 
décalage spectral
AÀ' : |À'(0 + 7r) -- À'(9)l observé. Pour quel diamètre AÀ' est--il maximal?

b) Quelles sont les inclinaisons de galaxies défavorables à cette mesure ?

3. La plupart des galaxies pour lesquelles-la mesure a pu être effectuée ont 
une loi V(R) qui
est en accord avec les prédictions de la partie II dans les régions centrales 
de la galaxie, mais
qui tend vers une valeur constante VC au--delà de quelques kiloparsecs du 
centre, correspondant
à R > a, b.

a) Dans ce domaine R > a, b, en supposant sa distribution à symétrie sphérique 
et en
utilisant les résultats de la partie II, déterminer la dépendance en R de la 
masse Mtot (R)
contenue dans la sphère de rayon R, qui permet d'interpréter l'existence d'une 
vitesse constante
VC; en quoi cela justifie--t--il l'existence de matière noire au sein des 
galaxies ?

b) En considérant la galaxie constituée de deux composantes massiques, l'une 
visible
(disque lumineux D) et l'autre sombre (halo H), exprimer la vitesse résultante 
V... en fonc--
tion des vitesses VD et VH que donnerait chacune des Composantes prises 
individuellement.

c) Le halo, supposé a symétrie sphérique, peut être modélisé par une 
distribution de

50

r2+râ

matière de la forme pH (r) = où ro et flo sont des paramètres. Justifier la 
dépendance à

1 . ' . . .
grande distance en ---- de la densité de masse totale p..., Etablir 
l'express1on de ptet en fonction

73 2
_YQ_

de 7", VO et G. En déduire que fig = 47TG

. Quel est l'intérêt de l'introduction de la constante T0 ?

d) Exprimer VH(R) en fonction de V0, R et m.
4. Application numérique : V0 = 200 km - S"1, m = 5 kpc.

a) Les méthodes d'observation ne fournissent aucune donnée au--delà de Rlim = 
50 kpc,
distance pour laquelle V(R) : VC. En déduire une limite inférieure de la masse 
totale MT de la
galaxie et une limite supérieure à la fraction massique d'étoiles au sein de la 
galaxie.

b) Calculer VH et Vtot a R = Rmax et à R = Rhm du centre de la galaxie. Dessiner
schématiquement les courbes Vp(R) due au disque, VH(R) due au halo ainsi que la 
courbe

Vtot (R) -

5. Une dizaine de points de meSure régulièrement espacés le long d'un diamètre 
de la galaxie
sont nécessaires pour estimer sa << courbe de rotation >>.

a) Quelle résolution AÀ/À sur la mesure des longueurs d'onde des raies est 
nécessaire pour
mesurer une vitesse de rotation de l'ordre de VC ?

b) En raison de la limite due à la diffraction, quelle est la taille minimale 
du radiotélescope
qu'il faut utiliser pour obtenir la résolution spatiale voulue sur la galaxie 
la plus proche dont le
diamètre angulaire est de 10 minutes d'arc ? Quelle technique peut être 
envisagée pour obtenir
une telle résolution ?

IV. Amas de galaxies

La mise en évidence expérimentale de la présence de matière noire dans les 
galaxies (partie
III) justifie l'étude d'autressystèmes afin de confirmer cette observation et 
son interprétation.

Un amas de galaxies est une structure comprenant une centaine de galaxies liées 
gravita--
tionnellement, que l'on supposera à symétrie sphérique et de rayon R A. Dans 
cette partie, nous
allons nous attacher à mettre en évidence les différentes contributions àla 
masse gravitationnelle
d'un amas de galaxies. '

1. En utilisant la masse d'une galaxie typique de la partie II.2 et en 
considérant qu'un amas
comporte N = 100 galaxies, calculer numériquement la contribution MV à la masse 
de l'amas
sous forme de galaxies. C'est la masse visible de l'amas.

2. La masse gravitationnelle de l'amas peut être déduite des déterminations des 
vitesses
des galaxies dans le champ gravitationnel de l'amas. On observe 
expérimentalement que le
décompte des galaxies en fonction de leur vitesse croit avec celle--ci jusqu'à 
une coupure franche,
correspondant à une vitesse maximale Vmax.

a) En interprétant cette vitesse maximale Vmax comme une vitesse de libération, 
exprimer
la masse gravitationnelle M A de l'amas en fonction de G, Vmax et R A. En 
donner la valeur

numérique pour RA = 1 Mpc et 'Vmax = 2500 km - s--1.

b) L'amas, de rayon R A = 1 Mpc, est constitué d'une centaine de galaxies, 
chacune
possédant un halo de rayon externe RH. En prenant leur volume total égal à 
celui de l'amas,
déterminer une limite supérieure pour RH; en déduire à l'aide des résultats de 
111.3 la masse
totale d'une de ces galaxies. Comparer alors la somme des masses ainsi évaluées 
des galaxies à
la masse M A de l'amas; qu'en concluez-vous ?

3. L'ensemble de l'amas baigne dans un gaz chaud d'ions et d'électrons détecté 
par son
émission dans le domaine des rayons X; soit Tg sa température. Nous allons ici 
évaluer la
contribution de ce gaz à la masse gravitationnelle de l'amas. On désigne par M 
A(r) la masse de
l'amas contenue à l'intérieur de la sphère centrée de rayon 7". On admet que 
l'amas peut être
considéré comme un fluide en équilibre (équilibre entre les forces de pression 
et de gravitation).

a) Établir, entre la pression P(r) du gaz, sa masse volumique pg (7°) et la 
masse M A (T), la
relation traduisant le fait que le gaz est en équilibre mécanique.

b) En supposant que le gaz est un gaz parfait, exprimer P en fonction du nombre 
d'élec--
trons par unité de volume ne, de la constante de Boltzmann kg et de la 
température du gaz Ty,
en considérant le gaz composé uniquement d'hydrogène, entièrement ionisé à 
cette température.

0) Comment s'écrit alors la relation d'équilibre mécanique en fonction de la 
densité élec--
tronique ne, la température du gaz T 9, G, 163, M A (T), r, et la masse ,uH de 
l'atome d'hydrogène.

n
d) La densité d'électrons suit la loi expérimentale ne = $ avec une extension
,... rA
observée du gaz jusqu'à une distance 4734 du coeur de l'amas. En faisant 
l'hypothèse d'un gaz
isotherme, déterminer la masse M A de l'amas; montrer que la masse Mgaz du gaz 
jusqu'à la

distance limite 4734 est donnée par Mgaz(4frA) = 47r ,uH 7107"î [4 -- arctan 4].

e) Application numérique. On donne kBTg "= 9 keV, no = 1, 5 >< 103 m"3 et 'ï'A 
= 0,3 Mpc.
Calculer M A et Mgaz.

4. Discuter la cohérence des résultats de cette partie, et donner la 
composition en pourcentage
massique d'un amas de galaxie en termede gaz, matière lumineuse (galaxies) et 
matière noire.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par
Antonin Ferri (ENS Ulm) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).

Ce sujet traite d'un thème toujours d'actualité en astrophysique : la présence
dans l'univers de matière qui se manifeste uniquement par sa masse, donc par le
champ gravitationnel qu'elle engendre. Il s'articule en quatre parties, de 
difficulté
assez progressive :
· La première traite de la modélisation de la partie visible d'une galaxie 
spirale.
Les questions qu'elle comporte sont sans difficulté majeure, mais nécessitent
d'adapter les outils de l'électrostatique au cas de la gravitation.
· La deuxième, très courte, donne une estimation de la vitesse de rotation des
étoiles en fonction de leur position, dans l'hypothèse où il n'y a que de la 
matière
visible.
· La troisième constate l'incompatibilité entre ces prédictions et les 
observations.
Elle propose une détermination de la masse de matière noire d'une galaxie.
Cette partie est sensiblement plus difficile que les deux précédentes, et 
nécessite
des raisonnements physiques assez complexes.
· La dernière s'intéresse aux amas de galaxie, et montre que la part de matière
noire est encore plus importante dans les amas que dans les galaxies. Elle 
permet
aussi de réviser l'hydrostatique avec une modélisation d'un gaz en équilibre
gravitationnel.
Ce sujet n'est pas très calculatoire (à part quelques questions). En revanche,
il constitue un bon entraînement pour développer son sens physique. En outre,
il utilise des théorèmes qui ne sont vus en cours que dans le cas de 
l'électrostatique,
mais qui s'appliquent aussi à la gravitation. Enfin, il permet de réviser 
l'hydrostatique, dans un cas un peu éloigné du cours. Il n'est pas très 
difficile (si ce n'est
quelques questions), mais peut déstabiliser les candidats en demandant 
d'appliquer
des connaissances, par ailleurs bien maîtrisées, à des cas nouveaux.

Indications
Partie I
I.1.b Remarquer que fixer le champ fixe aussi la densité de masse.
I.2.a L'énoncé demande d'exprimer le potentiel en fonction de r et non de R.
I.3 Ne pas chercher à faire des calculs.

Partie II
II.1.a Utiliser le repère de Frenet.

Partie III
-
 
III.1.b Calculer V · -
u , où -
u
 est le vecteur unitaire de la ligne de visée.
III.2.b À quoi ressemble la galaxie dans le cas i = /2 ?

III.3.a Utiliser le théorème de Gauss pour montrer que la forme asymptotique 
obtenue à la question II.1.a se généralise simplement pour tout R, dans le cas
d'une distribution à symétrie sphérique.
III.3.b Remarquer que V2 est linéaire en M.
1
u2
=1-
.
III.3.d Remarquer que
2
1+u
1 + u2
III.4.a Supposer que la contribution de la masse visible est négligeable et le 
vérifier
a posteriori.

III.5.b La limite de résolution est de l'ordre de min , où a est le diamètre de
a
l'ouverture du télescope.

Partie IV
IV.2.a La vitesse de libération est la vitesse qui permet à un corps de 
surmonter
l'attraction gravitationnelle de l'amas.
IV.3.a Utiliser la relation de l'hydrostatique. Faire attention au fait que le 
champ
gravitationnel n'est pas constant.
IV.3.b Le gaz est électriquement neutre. La loi des gaz parfaits peut aussi 
s'écrire
P = nkB T, où kB est la constante de Boltzmann et n la densité volumique de
particules.

I.

Modélisation d'une galaxie spirale

I.1.a Dans le cas où b = 0, le potentiel se simplifie en
GM
D (R, z) = - q
2
R2 + (a + |z|)
I.1.b Pour z < 0, on a

GM
D (R, z) = - q
2
R2 + (a - z)

En outre, si l'on nomme A le point (R = 0 , z = a) et P le point (R , z), on a
AP2 = R2 + (a - z)2

GM
AP
ce qui est rigoureusement équivalent au potentiel d'une masse ponctuelle M 
placée
en A.
On sait que la densité de masse est reliée au champ gravitationnel par 
l'équation

-
div A = -4 G 

On en déduit

D (R, z) = -

Il faut ici se souvenir que les théorèmes puissants de l'électrostatique,
comme le théorème de Gauss, s'appliquent aussi aux champs gravitationnels.
L'équation ci-dessus est en fait celle de Maxwell-Gauss, mais dans le cas de la
gravitation. La connaissance du champ de gravitation ou du champ électrique
fixe complètement la densité de masse ou de charge.
Il suffit de savoir que les équations de l'électrostatique et celles de la
gravitation sont reliées par les relations
masse  charge
1
G-
4 0
Comme le champ est celui d'une masse ponctuelle, on sait que sa divergence est
nulle partout sauf sur la masse (R = 0 , z = a > 0) où elle n'est pas définie. 
On en
déduit, pour z < 0
=0
I.1.c Le potentiel est invariant par symétrie par rapport au plan z = 0. On en
déduit que si z > 0, le champ se comporte comme celui d'une masse ponctuelle
placée en (R = 0 , z = -a).
I.1.d On en déduit en particulier que  = 0 pour z > 0. Ce résultat et celui de 
la
question I.1.b impliquent que la masse est localisée dans le plan z = 0.
Comme D est invariant par rotation autour de l'axe R = 0, on en déduit que
la densité de masse doit être elle aussi invariante par rotation. En 
particulier, les
courbes d'isodensité sont les courbes
R = Cte
La galaxie a donc une forme circulaire.

On pourrait douter de cette réponse, vu le titre de la partie. Il ne faut 
pourtant pas s'inquiéter : la modélisation envisagée ne permet pas d'en dire 
plus
(voir l'énoncé à la question I.4). En outre, les phénomènes donnant naissance
à la forme spirale des galaxies ne sont pas encore très bien compris.
I.2.a Dans le cas où a = 0, on a
GM
S (R, z) = - 
R2 + z 2 + b2
c'est-à-dire, comme R2 + z 2 = r2 ,
GM
S (r) = - 
r 2 + b2
I.2.b Ce potentiel est à symétrie sphérique ; en conséquence, il doit en être 
de même
pour la densité. Les surfaces d'isodensité sont donc des sphères et la galaxie, 
dans ce
cas, est sphérique.
I.3 On peut déduire des questions précédentes que la composante en a du champ
correspond à une densité localisée sur le plan z = 0, à symétrie circulaire, 
tandis que
la composante en b correspond à une répartition sphérique de la densité de 
masse.
Par conséquent, les valeurs relatives de a et b indiquent quelle portion de la 
masse
est dans le disque ou dans la boule.
z
as b  a

O

R

z

as a  b
O

R

Il s'agit bien sûr d'un raisonnement purement qualitatif. On pourrait calculer
la densité de masse grâce à la loi suivante :

-
1
1
=-
div A =
G
4 G
4 G
En pratique, le calcul est très complexe et ne donne pas de résultat 
satisfaisant
analytiquement. Il faut recourir à des tracés numériques pour se donner une
idée plus précise de la répartition de masse.
I.4 Pour R et z grands devant a et b, l'expression générale de G se simplifie en
GM
GM
G = - 
=-
2
2
r
R +z
Or, ce potentiel est exactement celui d'une masse ponctuelle M placée à 
l'origine du
repère. On en déduit que la galaxie a une masse M.