X Physique 1 PC 2003

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ,
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2003 ' FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***
La matière noire dans l'univers

L'univers est peuplé de galaæies, généralement regroupées en amas, dont la 
luminosité pro-
vient des étoiles qui les composent. Par un raisonnement simple supposant une 
relation linéaire
entre la densité de lumière et la densité de masse, il est possible, à partir 
de la mesure de la
luminosité d'une galaæie, d'estimer sa masse sous forme d'étoiles. 
Indépendamment de cette
approche, la masse d'une galaæie peut être déterminée par la mesure de la force 
qu'elle emerce
sur des objets situés dans son champ de gravitation. Cette mesure aboutit à une 
masse totale
bien plus importante que celle déduite de sa composante lumineuse, laissant 
supposer l'existence

d'une composante de matière « noire ».
De même l'estimation de la masse des amas de alaæies aboutit à un désaccord 
entre la
7

masse lumineuse et la masse gravitationnelle.
. La mise en évidence de matière noire fait l 'objet de ce problème.

Données numériques

Masse solaire ' 1 M5 = 1, 99 >< 1030 kg Parsec (unité de longueur) 1 pc = 3, 09 >< 1016 m Constante de gravitation universelle G = 6, 67 >< 10"11 N -- m2 - kg--2 Masse de l'atome d'hydrogène ' ' #H = 1, 67 >< 10_27 kg Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide 0 = 3,00 >< 108 m - 8--1 Charge élémentaire e = 1, 60 >< 10"19 C Formulaire Dans tout le problème, les coordonnées sphériques seront notées (r, 9, go) et les coordonnées cylindriques (R, 9, z). Intégrale particulière : a: 1 ' ' / du = arctan a: 0 1 + u2 On note (ff) le potentiel dont dérive le champ gravitationnel Â(F) :

*Æfi=--@fi@.

I. Modélisation d'une galaxie spirale

La distribution de masse des étoiles (masse visible) d'une galaXie est 
modélisée par le potentiel
gravitationnel g défini par :

M
.@G(R,z)=...--_£_--__ a,b>0.

R2 + (a+ WF

Nous allons chercher à en déduire la forme de la distribution de masse des 
étoiles d'une telle
galaxie.

1. Considérons d'abord le cas limite où b = 0.
&) Donner l'expression simplifiée du potentiel gravitationnel que l'on notera 
(131).

b) Montrer qu'en tout point (R, 2) avec 2 < 0, le potentiel p est équivalent 
à celui
engendré en ce même point par une masse ponctuelle placée en (0, a). Que 
peut--on en conclure
en ce qui concerne la valeur de la densité de masse p(R, z) en tout point du 
demi espace 2 < 0 ? 0) À quel système simple est équivalent le potentiel en tout point (R, 2) avec 2 > 0 ?

d) Où se trouve localisée la masse correspondant à D. Préciser, sans calcul, 
la forme des
courbes isodensité et caractériser la forme générale de la galaxie.

2. Considérons à présent le cas où a = 0.

a) Donner, en fonction "de 7', G, M et b, l'expression simplifiée du potentiel 
gravitationnel
que l'on notera <Ï>g.

_ b) En déduire la forme des surfaces isodensité et caractériser la forme 
générale de la galaxie
dans ce cas.

3. Décrire schématiquement, dans un plan contenant Oz, l'évolution des courbes 
d'isodensité

b

lorsque le rapport -- varie. Illustrer graphiquement le cas où b >> @ et celui 
où b << a. a 4. Une galaxie spirale peut être décrite par un disque fin présentant un renflement en son centre; les << bras >> en spirale de la galaxie correspondent à de petites 
surdensités locales qui
seront négligées. On admettra que le potentiel @@ est apte à décrire la 
distribution de masse

visible d'une telle galaxie.
En analysant le comportement asymptotique du potentiel G donner l'expression 
de la masse

visible totale de la galaxie.

II. Rotation d'une galaxie spirale

1. La plupart des étoiles de la galaxie se déplacent selon des orbites 
circulaires dans le plan
équatorial de la galaxie.

a) Pour une orbite de rayon R, déterminer la valeur de la vitesse V(R) de 
l'étoile en
fonction de G, M, R, a et b. Quelle est la forme asymptotique de V(R) quand R 
tend vers
l'infini ?

b) Exprimer en fonction de a et de b la distance Rmax à laquelle V(R) est 
maximale.

2. Application numérique. On donne pour une galaxie typique a 1 kpc, b = 0,1 
kpc,

M = 2 >< 1010 M5. a) Calculer la vitesse V(R) à la distance R = 50 kpc du centre. b) Calculer la vitesse maximale V...aX :; V(Rmax). c) Illustrer graphiquement l'allure de V(R). III. Mesure expérimentale de la rotation d'une galaxie La mesure de la << courbe de rotation >> V(R) d'une galaxie se fait_par 
l'observation de
raies d'émission ou d'absorption de nuages de gaz interstellaires qui se 
déplacent à la vi--
tesse V(R). Une partie" du gaz interstellaire est composée d'atomes d'hydrogène 
neutre dont
l'état électronique fondamental possède deux niveaux d'énergie séparés par une 
différence de
6 >< 10_6 eV. Le passage de l'état de haute énergie à celui de basse énergie est aCcompagné de l'émission d'une onde à la fréquence 1/ = 1, 4 GHz, soit 21 cm environ de longueur d'onde. 1. La galaxie est assimilée à. un disque mince à symétrie axiale, dont la normale au plan fait un angle 'à avec la direction de visée (figure 1). ' a) Comment peut être déterminée expérimentalement l'inclinaison i de la galaxie ? b) Exprimer en fonction de i, 9 et V(R) la composante V{,bs de la vitesse de rotation V(R) selon la ligne de visée A orientée de la galaxie vers l'observateur. , , direction de visée A (vers l'observateur) plan de la galaxie Figure 1. Dans le plan de la galaæie, l'angle 9 a pour origine la direction oe'oe de ce plan orthogonale à la direction de visée A, l'axe y'ÿ étant la projection de A sur ce plan. 2. Lorsqu'une source émettant une onde électromagnétique de célérité c et de longueur d'onde A se ra roche d'un observateur a la vitesse 11 << c le lon de sa direction de visée ce dernier 7 'Il mesure une longueur d'onde À' décalée (effet Doppler) donnée par : X = A ( 1 -- --C--) au premier ordre en v/c. a) Un observateur mesure les longueurs d'onde À'(Û) et À'(0 + 7r) de la raie d'émission de l'hydrogène neutre émise en deux points diamétralement opposés de la galaxie. Exprimer en fonction de i, 6', V(R) et À (la longueur d'onde de la raie à l'émission) le décalage spectral AÀ' : |À'(0 + 7r) -- À'(9)l observé. Pour quel diamètre AÀ' est--il maximal? b) Quelles sont les inclinaisons de galaxies défavorables à cette mesure ? 3. La plupart des galaxies pour lesquelles-la mesure a pu être effectuée ont une loi V(R) qui est en accord avec les prédictions de la partie II dans les régions centrales de la galaxie, mais qui tend vers une valeur constante VC au--delà de quelques kiloparsecs du centre, correspondant à R > a, b.

a) Dans ce domaine R > a, b, en supposant sa distribution à symétrie sphérique 
et en
utilisant les résultats de la partie II, déterminer la dépendance en R de la 
masse Mtot (R)
contenue dans la sphère de rayon R, qui permet d'interpréter l'existence d'une 
vitesse constante
VC; en quoi cela justifie--t--il l'existence de matière noire au sein des 
galaxies ?

b) En considérant la galaxie constituée de deux composantes massiques, l'une 
visible
(disque lumineux D) et l'autre sombre (halo H), exprimer la vitesse résultante 
V... en fonc--
tion des vitesses VD et VH que donnerait chacune des Composantes prises 
individuellement.

c) Le halo, supposé a symétrie sphérique, peut être modélisé par une 
distribution de

50

r2+râ

matière de la forme pH (r) = où ro et flo sont des paramètres. Justifier la 
dépendance à

1 . ' . . .
grande distance en ---- de la densité de masse totale p..., Etablir 
l'express1on de ptet en fonction

73 2
_YQ_

de 7", VO et G. En déduire que fig = 47TG

. Quel est l'intérêt de l'introduction de la constante T0 ?

d) Exprimer VH(R) en fonction de V0, R et m.
4. Application numérique : V0 = 200 km - S"1, m = 5 kpc.

a) Les méthodes d'observation ne fournissent aucune donnée au--delà de Rlim = 
50 kpc,
distance pour laquelle V(R) : VC. En déduire une limite inférieure de la masse 
totale MT de la
galaxie et une limite supérieure à la fraction massique d'étoiles au sein de la 
galaxie.

b) Calculer VH et Vtot a R = Rmax et à R = Rhm du centre de la galaxie. Dessiner
schématiquement les courbes Vp(R) due au disque, VH(R) due au halo ainsi que la 
courbe

Vtot (R) -

5. Une dizaine de points de meSure régulièrement espacés le long d'un diamètre 
de la galaxie
sont nécessaires pour estimer sa << courbe de rotation >>.

a) Quelle résolution AÀ/À sur la mesure des longueurs d'onde des raies est 
nécessaire pour
mesurer une vitesse de rotation de l'ordre de VC ?

b) En raison de la limite due à la diffraction, quelle est la taille minimale 
du radiotélescope
qu'il faut utiliser pour obtenir la résolution spatiale voulue sur la galaxie 
la plus proche dont le
diamètre angulaire est de 10 minutes d'arc ? Quelle technique peut être 
envisagée pour obtenir
une telle résolution ?

IV. Amas de galaxies

La mise en évidence expérimentale de la présence de matière noire dans les 
galaxies (partie
III) justifie l'étude d'autressystèmes afin de confirmer cette observation et 
son interprétation.

Un amas de galaxies est une structure comprenant une centaine de galaxies liées 
gravita--
tionnellement, que l'on supposera à symétrie sphérique et de rayon R A. Dans 
cette partie, nous
allons nous attacher à mettre en évidence les différentes contributions àla 
masse gravitationnelle
d'un amas de galaxies. '

1. En utilisant la masse d'une galaxie typique de la partie II.2 et en 
considérant qu'un amas
comporte N = 100 galaxies, calculer numériquement la contribution MV à la masse 
de l'amas
sous forme de galaxies. C'est la masse visible de l'amas.

2. La masse gravitationnelle de l'amas peut être déduite des déterminations des 
vitesses
des galaxies dans le champ gravitationnel de l'amas. On observe 
expérimentalement que le
décompte des galaxies en fonction de leur vitesse croit avec celle--ci jusqu'à 
une coupure franche,
correspondant à une vitesse maximale Vmax.

a) En interprétant cette vitesse maximale Vmax comme une vitesse de libération, 
exprimer
la masse gravitationnelle M A de l'amas en fonction de G, Vmax et R A. En 
donner la valeur

numérique pour RA = 1 Mpc et 'Vmax = 2500 km - s--1.

b) L'amas, de rayon R A = 1 Mpc, est constitué d'une centaine de galaxies, 
chacune
possédant un halo de rayon externe RH. En prenant leur volume total égal à 
celui de l'amas,
déterminer une limite supérieure pour RH; en déduire à l'aide des résultats de 
111.3 la masse
totale d'une de ces galaxies. Comparer alors la somme des masses ainsi évaluées 
des galaxies à
la masse M A de l'amas; qu'en concluez-vous ?

3. L'ensemble de l'amas baigne dans un gaz chaud d'ions et d'électrons détecté 
par son
émission dans le domaine des rayons X; soit Tg sa température. Nous allons ici 
évaluer la
contribution de ce gaz à la masse gravitationnelle de l'amas. On désigne par M 
A(r) la masse de
l'amas contenue à l'intérieur de la sphère centrée de rayon 7". On admet que 
l'amas peut être
considéré comme un fluide en équilibre (équilibre entre les forces de pression 
et de gravitation).

a) Établir, entre la pression P(r) du gaz, sa masse volumique pg (7°) et la 
masse M A (T), la
relation traduisant le fait que le gaz est en équilibre mécanique.

b) En supposant que le gaz est un gaz parfait, exprimer P en fonction du nombre 
d'élec--
trons par unité de volume ne, de la constante de Boltzmann kg et de la 
température du gaz Ty,
en considérant le gaz composé uniquement d'hydrogène, entièrement ionisé à 
cette température.

0) Comment s'écrit alors la relation d'équilibre mécanique en fonction de la 
densité élec--
tronique ne, la température du gaz T 9, G, 163, M A (T), r, et la masse ,uH de 
l'atome d'hydrogène.

n
d) La densité d'électrons suit la loi expérimentale ne = $ avec une extension
,... rA
observée du gaz jusqu'à une distance 4734 du coeur de l'amas. En faisant 
l'hypothèse d'un gaz
isotherme, déterminer la masse M A de l'amas; montrer que la masse Mgaz du gaz 
jusqu'à la

distance limite 4734 est donnée par Mgaz(4frA) = 47r ,uH 7107"î [4 -- arctan 4].

e) Application numérique. On donne kBTg "= 9 keV, no = 1, 5 >< 103 m"3 et 'ï'A = 0,3 Mpc. Calculer M A et Mgaz. 4. Discuter la cohérence des résultats de cette partie, et donner la composition en pourcentage massique d'un amas de galaxie en termede gaz, matière lumineuse (galaxies) et matière noire.