X Physique 1 PC 2001

Thème de l'épreuve Étude de la montée de la sève dans les arbres
Principaux outils utilisés hydrostatique, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2001 FILIÈRE P C

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Comment la sève monte-t-elle dans les arbres ?

L'objet de ce problème est l'analyse de divers mécanismes physico--chimiques 
susceptibles
d'expliquer la montée de la sève brute dans les arbres. La sève brute est le 
grand courant ascen--
dant qui conduit aux feuilles, bourgeons et fleurs, l'eau et les sels minéraux. 
Dans une première
partie, on étudie différentes causes possibles de l'ascension de la sève : 
pression hydrostatique,
capillarité, osmose... Cependant, une évaluation des ordres de grandeur montre 
qu'aucun de
ces mécanismes ne peut rendre compte d'une ascension très élevée, comme dans le 
cas du pin
Douglas où elle atteint 60 mètres. Le mécanisme principal est en fait la 
transpiration dont la
description et le lien avec la thermodynamique de l'eau liquide font l'objet de 
la seconde partie.

Toutes les sous-parties sont très largement indépendantes les unes des autres. 
Dans tout le
problème, on admettra que la sève brute est une solution si diluée que ses 
propriétés physiques
(masse volumique, tension superficielle, équation d'état...) sont celles de 
l'eau pure. Sauf cas
contraire, la température T sera prise à égale 20°C.

Données numériques

Accélération de la pesanteur g = 9, 81 ms"2

Constante des gaz parfaits R = 8, 3145 J K"1 mol--1

Pression atmosphérique normale 1, 01325 bar : 0, 101325 MPa : 760 mm Hg
Masse volumique de l'eau à 20°C p = 0, 99821 g cm_3 '

Tension superficielle de l'eau à 20°C 0 = 72, 75 >< 10"3 N m_1
Viscosité dynamique de l'eau à 20°C 77 = 1, 002 >< 10"3 kg m_1 8--1

Rayon des canaux de xylène (bois) R : 25 pm (conifères) a 200 mn (chêne)
Température de fusion de la glace sous
pression normale TF : 273, 15 K

Propriétés de l'eau au point critique

pc = 0,322 g cm--3 pg = 22,064 MPa TC = 373, 99°C

Paramètres de l'équation d'état de Speedy à 20°C

"
17, 8297 22, 3029 cm3 mol--1
Masses molaires

--I-II...

-- A température constante, pour un corps pur de potentiel chimique ,u, de 
volume molaire
?) et à la pression P, on a :

----208 MPa

Formulaire

du : vdP.

-- Potentiel chimique d'une mole de composant ?; dans un mélange idéal à la 
température T
et à la pression p :

...(T, P) = ,Æ(T, P) + RT ln :ci .

où ,a? (T , P) est le potentiel chimique du composant 75 pur et ici sa fraction 
molaire dans le
mélange.

-- Loi de Poiseuille :

7TR4AP
Q=--------
877 h

Première partie
L'impossible montée

A. La poussée atmosphérique.

1. En supposant que l'eau est incompressible, quelle est la pression P(h) au 
sommet d'une
colonne d'eau de hauteur h et dont la base est a la pression atmosphérique PO ?

2. Application numérique : Quelle hauteur maximale h A peut atteindre l'eau 
soumise à une
aspiration sous vide ?

B. La capillarité.

A l'interface entre une phase liquide et une phase gazeuse, un accroissement 
réversible (ZA
de la surface de contact, à température constante, nécessite un apport 
énergétique par travail
donné par adA où a (a > O) est la constante de tension superficielle entre les 
deux phases. Les
forces de tension superficielle tendent donc à réduire la surface de contact et 
elles créent du côté

concave une surpression par rapport au côté convexe, donnée, pour un interface 
sphérique de

20
rayon 7°, par --.
T.

1. On considère une goutte de liquide, sphérique, de rayon 7", à l'équilibre 
avec l'air environ--
nant de pression uniforme PO ; soit P,-- la pression au sein de la goutte.

&) Donner l'expression de H-- en fonction de PO, 0 et 'r.

b) Application numérique : A partir de quel rayon la pression au sein d'une 
goutte d'eau
est--elle supérieure de 1%) à la pression atmosphérique ?

2. Lorsque l'on plonge un tube de verre très propre, cylindrique et de faible 
rayon R, dans
un liquide, on constate que le liquide s'élève dans le tube d'une hauteur h. Le 
ménisque a la
forme d'une calotte sphérique qui se raccorde aux parois avec un angle v,b 
(voir figure 1).

a) En calculant la pression du liquide sous le ménisque
de deux façons différentes, relier h a R, cosü et à la gran--

0 .
deur ÀC = , /----, dont on donnera la dimension et que l'on
PQ

interprétera:
. . 71--
b) Que se passe--t--1l SI 7,b > 5 ?

c) Application numérique : Calculer ÀC pour l'eau. De
quelle hauteur ha la sève brute peut--elle s'élever par capil--
larité dans les canaux de xylène qui la transportent ?

F igure ]

C. L'osmose.

1. On considère un récipient, formé de deux compartiments, de même volume V et 
àla même
température T, 'séparés par une membrane semi--perméable, perméable au solvant 
A mais non
aux solutés B,. Le compartiment de gauche G contient une solution supposée 
idéale, celui de
droite D le solvant pur (voir figure 2). On note [194 (T, P) le potentiel 
chimique d'une mole de A

pur.

&) Quelle condition est satisfaite lorsque ce système est à l'équilibre? En 
déduire que les
deux compartiments ne peuvent être alors à la même pression.

b) En supposant que la solution est très diluée et que le solvant est 
incompressible, montrer

que la surpression H qui s'exerce dans le compartiment G, appelée pression 
osmotique, est de la
forme : H : RT(Z n,) /V où n,- est le nombre de moles du soluté B,.
i

c) Commenter cette loi. Où intervient la nature du
ou des solutés ? En quoi cette loi est--elle remarquable ?

2. La sève brute contient en général moins d'un membrane
gramme par litre de minéraux divers (ions Na+, Cl", K+, ÎÏ--i'î {::--: 
semi-perméable
HCOg .) et parfois des substances organiques.

&) Estimer la pression osmotique de la sève brute
par rapport à l'eau pure en ne tenant compte que des sels
minéraux.

b) Certains arbres, comme l'érable, ont au début
du printemps, une sève riche en sucres : la concentration F i9UTEUR 2
de disaccharides (formule brute : C12 (H20)11) peut alors
atteindre 20 à. 30 grammes par litre. Quelle est alors la
pression osmotique de la sève brute par rapport a l'eau pure ?

c) Expérimentalement, on constate qu'à la base des végétaux, la sève brute est 
bien émise
sous pression : on trouve des pressions de l'ordre de 1 bar et plus, en excès 
par rapport a la
pression atmosphérique. Est-il raisonnable de considérer cette poussée 
radiculaire comme étant
pour une large part de nature osmotique ?

(1) Application numérique : De quelle hauteur ho la sève brute peut-elle 
s'élever sous l'effet
de la poussée radiculaire ?

D. La perte de charge.

L'eau est un fluide visqueux et son écoulement s'accompagne nécessairement 
d'une perte de
pression. Pour un écoulement stationnaire dans un conduit cylindrique vertical, 
de longueur h
et de section circulaire de rayon R, la perte de charge Ap qui se produit en 
sus de la variation
hydrostatique étudiée à la question I.A.1, est relié au débit volumique Q par 
la loi de Poiseuille.

1. Les canaux de xylène, approximativement cylindriques, présentent une 
dispersion en taille.
Quels sont ceux qui transportent principalement la sève brute ?

2. Des mesures donnent des vitesses moyennes d'ascension de l'ordre de 0,5 mh_1 
pour les
conifères et jusqu'à 50 mh_1 pour des arbres a gros canaux comme le chêne.

a) En déduire la perte de charge théorique par unité de longueur pour ces deux 
types
d'arbres. Que constate--t-on ?

b) Les mesures expérimentales sont dans un facteur d'environ 2 par rapport aux 
prévisions

théoriques. Dans quel sens ce facteur joue--t--il ? Justifier.

c) La perte de charge est-elle significative par rapport à la poussée 
radiculaire ?

E. Quels sont, parmi les mécanismes précités, ceux qui vous semblent les plus a 
même
d'expliquer la montée de la sève ? Montrer que la montée de la sève dans les 
très grands conifères

demeure inexplicable a ce stade.

Deuxième part ie
La transpiration

En fait, l'essentiel de la sève s'évapore dans l'atmosphère au niveau des 
feuilles. Par ailleurs,
on sait par traçage radioactif qu'il y a continuité de la colonne d'eau depuis 
les racines jusqu'aux

feuilles.

A. Un analogue saisissant de ce mode de transport de la sève est donné par 
l'expérience de
J. Bôhm (1893). Un récipient, en argile poreuse, est plongé dans un bain d'eau 
bouillante. L'eau
du récipient est siphonnée, par l'intermédiaire d'un tube capillaire, au 
travers d'une bouteille
contenant du mercure. Lorsque l'on retire le bain bouillant, on constate que 
l'eau reflue dans le
tube en tirant a elle une colonne de mercure qui peut atteindre 1m de hauteur 
(voir figure 3).

l
)

v-----------_e--w--------n--u---

//I£

-..--.--

F:...

245444 . _

lV/fi'ÆRll ;

IV/

Argile

!

;:
@ Îl' poreuse
. ' %
. ::

Mercure

F figure 3

1. Quelle est la pression dans le tube au niveau de l'interface eau / mercure ? 
En quoi est--ce
remarquable ?

2. Expliquer en quelques lignes en quoi cette expérience éclaire le mécanisme 
de la montée
de la sève par transpiration.

3. L'argile poreuse est un entrelacs de pores de tailles et de formes variées 
dans lequels
existent des ménisques entre l'air et l'eau liquide. Quelle doit--étre la 
largeur approximative de
ces pores pour provoquer une telle dépression ? (on se référera a LB).

4. Qu'adviendrait-il si jamais une bulle apparaissait dans l'eau ?

B. L'expérience de Bôhm montre que l'eau liquide peut être stable sous 
traction. Dans tout
ce qui suit, on cherche à évaluer quelle tension (force de traction par unité 
de surface) l'eau
liquide peut supporter sans se rompre.

Un cylindre de section S, parfaitement étanche et fermé par un piston sur 
lequel on tire avec
une force F (figure 4a), contient un liquide maintenu à température constante. 
À partir d'une
certaine force, le liquide se rompt.

Figure 40. Figure 4b

1. On admet que la colonne de liquide se rompt en deux, tout en conservant son 
volume, et
que la surface de séparation créée est plane et bien nette (voir figure 4b). 
Exprimer a l'aide de
la tension superficielle a du liquide le travail W qu'il a fallu fournir pour 
créer cette séparation.

2. W est l'opposé du travail des forces attractives à très courte portée 5 
(moins de 10 nm) qui
s'exercent entre les molécules de part et d'autre de la surface de séparation. 
Quelle est l'origine
microscopique de ces forces attractives ?

3. Application numérique : En supposant que W soit fourni par une force 
constante Fmax sur
Fmax

S ?

la distance adéquate ô, calculer F...ax pour l'eau à 26°C puis la tension 
correspondante

que l'on exprimera en bar. On prendra S = 10 cm2.

4. Que vaut la pression de l'eau juste avant la rupture? Ce résultat est-il 
compatible avec

l'expérience de Bôhm ?

C. On considère un fluide de volume molaire v, a la pression P et à. la 
température T, dont
l'équation d'état est, dans un domaine de température et de pression, 
correctement décrite par

l'équation de Van der Waals :

(P+%)(v--b)=RT

où a et b sont des constantes. On appelle compressibilité isotherme XT la 
quantité :
_ 1 ( ôv )
XT _ ?) ÔP T .

1. Calculer XT pour le fluide de Van der Waals.
2. Quel doit--étre, selon vous, le signe de XT pour que le fluide soit 
mécaniquement stable ?

On appelle spinodale le lieu des points, dans le diagramme (U, P), pour 
lesquels la compres--
sibilité diverge, soit x}1 = 0.

3. Montrer que l'équation de la spinodale du fluide de Van der Waals en 
coordonnées (1), T)
est donnée par : '

(o ----b)2 _ RT

'U3 î '
4. En déduire l'équation de la spinodale P = f (v) en coordonnées (1), P).

5. Tracer l'allure de la spinodale dans le diagramme (U, P) en indiquant les 
zones où le fluide
n'est pas stable mécaniquement.

6. Calculer les coordonnées (vc, PC) du sommet C de la spinodale, puis la 
température
correspondante TC.

7. Tracer, dans le plan (11, P), l'allure des isothermes du fluide de Van der 
Waals. Justifier
physiquement pourquoi C est confondu avec le point critique du fluide, point 
dont on rappellera
la définition.

8. Dans les conditions expérimentales courantes, pour une température T donnée 
inférieure
à TC, certaines parties de l'isotherme ne sont pas observées expérimentalement; 
une portion
est remplacée par un << palier >> à P constante, d'extrémités A et B (avec 'UA 
< 113). Quelle
est la condition d'équilibre thermodynamique que doit satisfaire le fluide en A 
et en B et qui
détermine la position de ce palier. "

9. Indiquer sur le graphe de cette isotherme de Van der Waals les parties 
correspondant au
fluide stable, instable, métastable.

D. On introduit les coordonnées réduites 9 : T/Tg, (@ : v/vc et W : P/Pg.

Po'Uo

RTC
de a et b). Application numérique : Est--ce bien vérifié dans le cas de l'eau?

1. Montrer que, pour un fluide de Van der Waals, le rapport est universel 
(indépendant

2. Donner dans le diagramme ($,7'1') l'équation de la spinodale. A quel volume 
réduit la
pression s'annule--t-elle sur la spinodale ? Quelle est la température réduite 
correspondante ?

3. Application numérique : Comparer pour l'eau ces prédictions avec les valeurs 
expérimen--
tales d'annulation de la pression : T = 324°C et un volume massique u : 1, 8 
cm3 g"1.

4. Application numérique : Calculer approximativement, pour l'eau, la pression 
sur la spi--
nodale côté liquide à T = 20°C. Comparer avec la valeur trouvée en II.B.4.

5. Application numérique : Calculer la pression à T = 20°C pour une masse 
volumique
p = 0, 99821 g cm_3 . A quel résultat devrait--on s'attendre ? Que 
constate-t-on'?

E. Ainsi, à la température ambiante, l'équation d'état de van der Waals ne 
décrit plus
correctement l'eau liquide. Speedy a proposé en 1982 l'équation d'état suivante 
:

P vs 2
1------=B ----1
P3 (7) )

où Ps, B et vs sont des fonctions de la température, obtenues en ajustant au 
mieux les mesures
d'équation d'état de l'eau liquide sur le domaine T = 0 -- 100°C et P = 0 -- 
100 MPa.

1. Application numérique : Calculer pour une pression de 1 atm à T = 20°C la 
masse
volumique de l'eau. Que pensez--vous de la qualité de l'ajustement ?

2. Calculer x}1 pour l'équation d'état de Speedy. Comment interpréter PS et vs ?

3. Montrer que l'équation d'état de Speedy s'obtient, à température fixée, en 
faisant un
développement limité de la pression en fonction de v'1 autour de vs-- 1, 
tronqué au second ordre.
En déduire une expression de B.

4. La valeur de la pression de l'eau liquide à la limite de la métastabilité 
prédite par Speedy à
T = 20°C est proche de la valeur expérimentale. Par ailleurs, des mesures 
donnent une pression
de la sève de l'ordre de --1 MPa au sommet des végétaux. Qu'en concluez--vous ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon) ; il a été relu par
Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Florent Tournus (ENS Lyon).

Cette épreuve originale nous propose d'essayer de comprendre les mécanismes
fondamentaux qui se cachent derrière la montée de la sève dans les arbres.
· La première partie fait le point sur plusieurs mécanismes connus, susceptibles
d'expliquer la montée de la sève. Elle fait intervenir l'hydrostatique et de la
thermodynamique de base. Elle peut être en grande partie abordée avec le
programme de sup.
· La seconde partie, quant à elle, étudie un phénomène plus complexe, plus à
même d'expliquer complètement la montée de la sève, y compris dans les arbres
les plus hauts. Cette partie est nettement plus complexe ; elle nécessite de 
bien
maîtriser la thermodynamique et d'être soigneux dans les applications 
numériques.

Indications

Première partie
I.A.2 Ne pas oublier de convertir  en unités S.I.
I.B.2.a Faire un dessin.
I.B.2.c Calculer des majorants en prenant cos  = 1.
I.C.1.a L'expression du potentiel chimique est donnée au début de l'énoncé.
I.C.1.b Utiliser la relation dµ = vdP donnée au début de l'énoncé.
I.C.2.b Ne pas oublier la contribution des sels minéraux.
I.D.1 La loi de Poiseuille figure en début d'énoncé. Remarquer aussi que l'arbre
fixe la différence de pression p.
I.D.2.b Quelle hypothèse implicite est faite concernant le cylindre ?

Deuxième partie
II.B.1 Utiliser la tension superficielle. La relation nécessaire est donnée 
dans l'énoncé
de la sous-partie I.B : W = dA.
II.B.3 Attention !  6= 10 nm. On pourra prendre pour  la distance moyenne entre
les molécules
 d'eau.

P
II.C.1 Calculer
et en déduire T .
v T
II.C.8 Quelle est la condition de coexistence de deux phases ?
II.D Pour les applications numériques, il vaut mieux travailler avec des 
expressions
et des grandeurs sans dimensions (, , ). Les paramètres critiques de l'eau
sont donnés au début de l'énoncé.
II.E.3 Poser u = v -1 et écrire le développement limité de P(u) autour de us .

I.

A.

L'impossible montée

La poussée atmosphérique

I.A.1 On applique la loi de l'hydrostatique, la seule force volumique étant le 
poids :
--

grad P = -
g
On suppose l'eau incompressible, donc  est constante. On obtient alors, en 
projetant
sur l'axe vertical z :
dP
= -g
dz
qui s'intègre en

P(h) - P(0) = -gh

et avec P(0) = P0 :

P(h) = P0 - gh

I.A.2 En aspiration sous vide, on peut espérer atteindre des pressions voisines 
de
0. On résout alors l'équation établie à la question précédente pour P(h) = 0.
P0 - ghA = 0
Ce qui donne

hA =

P0
= 10, 3 m
g

On suppose ici que l'eau ne se vaporise pas. Ce n'est pas impossible, comme
on le verra plus loin.
Il sera bon de garder à l'esprit que dans une colonne d'eau en équilibre
hydrostatique, on a un gradient de pression de 0, 1 bar/m.

B.

La capillarité

I.B.1.a L'énoncé donne la surpression pour une interface sphérique de rayon r, 
ce
qui est le cas pour notre goutte. La surpression est du côté concave, 
c'est-à-dire à
l'intérieur de la goutte.
Pi = P0 +

2
r

I.B.1.b Il faut donc résoudre
Pi - P0
2
1
=
=
P0
rP0
1000
soit

r=

2000
P0

Application numérique :

r = 1, 44 mm

I.B.2.a D'une part, en M sous le ménisque, s'exerce la pression hydrostatique P
calculée à la question I.A.1 pour une hauteur h, soit
P = P0 - gh
D'autre part, toujours en M, on a une dépression dans le
liquide due à la courbure du ménisque,
2
r
Un peu de géométrie nous donne la relation suivante, pour
une calotte sphérique (voir dessin ci-contre) :
P = P0 -

R

r

r cos  = R
et donc

P = P0 -

2 cos 
R

M

En égalant ces deux expressions de la pression, on obtient :
P0 -

2 cos 
= P0 - gh
R
2 cos 
= gh
R
h=

h = 2 cos 

C 2
R

2 cos 
Rg

avec

C =

r

g

C est la longueur capillaire. Si C  R, les forces de tension de surface sont 
négligeables devant les forces de gravité. Inversement, si C  R, on peut 
négliger la
gravité devant les phénomènes capillaires.
La loi qu'on vient d'établir est la loi de Jurin.
On peut aussi remarquer que l'interface eau-air étant courbée, elle n'est
pas à une hauteur constante, et donc que la pression hydrostatique n'y est
forcément pas la même. Ceci montre en fait que l'interface ne peut pas être
rigoureusement un arc de cercle. D'ailleurs, pour des tubes de rayon R  C ,
la loi de Jurin n'est plus valable.
I.B.2.b Si  >

, alors cos  < 0, et donc
2
h<0

h

En effet, la surpression est du côté de la concavité (voir
dessin ci-contre).

L'angle de contact  est une caractéristique qui ne dépend que des trois
phases qui se rencontrent au point de contact. Dans notre cas, l'eau, l'air et 
le