X Physique 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Météorologie
Principaux outils utilisés thermodynamique, hydrostatique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2000 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Phénomènes météorologiques associés à des mouvements verticaux de masses d'air

Les phénomènes météorologiques ont des origines multiples; une compréhension 
complète néces-
site de prendre en compte de nombreux bilans d'échange (rayonnement, cycle de 
l'eau). Toutefois
un certain nombre de phénomènes sont uniquement dus au déplacement adiabatique 
de masses
d'air. Nous nous proposons dans ce problème d'analyser certains d'entre eux et 
étudierons leurs
conséquences sur la formation de certains types de nuages.

Nous nous intéresserons dans une première partie aux mouvements verticaux d'air 
sec puis
dans une seconde partie aux mouvements d'air humide et au phénomène de 
condensation. Enfin
la troisième partie étudie quelques aspects de l'air humide saturé.

On supposera le champ de pesanteur localement uniforme : ? : --geÎ} où ?; est 
le vecteur
unitaire dirigé selon la verticale ascendante.
Constantes et données numériques.
Constante des gaz parfaits R = 8, 3 J K_1 mol--1
Accélération de la pesanteur g = 9, 8 m s"2
Air sec
Masse molaire moyenne M,, = 29 g mol"1
Capacité thermique massique à pression constante c,, = 1, 0 X 103 J K"1 kg"1

Rapport des capacités thermiques à p et à V constants 'y = cp/cv = 1, 40

Eau

Masse molaire M6 = 18 g mol--1
Température du point triple Tt = 273,16 K (0,01°C)
Pression du point triple pt : 610 Pa

Enthalpie massique de vaporisation à 0°C L,, = 2, 50 X 106 J kg'1
Enthalpie massique de vaporisation à 100°C L,, = 2, 25 >< 106 .] kg"l

Première partie

Les mouvements d'air dans l'atmosphère peuvent se présenter sous forme 
d'oscillations ver--
ticales. Nous cherchons à en déterminer les principales caractéristiques.

1. Pour une atmosphère en équilibre << hydrostatique », les différentes 
grandeurs physiques
qui la caractérisent ne dépendent que de l'altitude z.

a) Donner l'équation qui relie à l'équilibre la pression p(z), la masse 
volumique p(z)
et 9.

b) On considère l'air sec comme un gaz parfait; on suppose de plus l'atmosphère 
isotherme
de température To. Déterminer p(z) et p(z) à l'aide de p(0), p(0), M... 9, R et 
T0 . '

c) Calculer la hauteur caractéristique correspondante pour une température de 
10°C.

2. Pour étudier la stabilité de l'équilibre, on considère une petite masse 
d'air m que l'on
déplace verticalement dans l'atmosphère supposé être en équilibre hydrostatique 
mais non iso--
therme a priori. On peut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air 
extérieur par une fine
enveloppe du type << bulle de savon >> d'effet négligeable. La pression dans la 
bulle est supposée
être à tout instant égale à la pression extérieure correspondant à l'altitude 
où se trouve la bulle.

Avant d'être déplacée, la bulle de volume V6 est en équilibre à l'altitude zo 
et sa température
et sa pression sont égales à celles de l'air environnant, soit T(zo) et p(z0).

&) La bulle est déplacée à la hauteur 20 + h. En supposant son évolution 
adiabatique et
réversible, et les variations assez petites pour être traitées linéairement, 
déterminer la variation
ôV de volume en fonction de VO, p, g, h et du coefficient de compressibilité 
isentropique XS défini

ar __l(Ü_V)
p Xs-- V ap S-

b) Déterminer la force d'Archimède exercée par l'atmosphère sur la bulle; on 
introduira

1 d
le gradient relatif de masse volumique : --d--p .
p z

0) En déduire l'équation du mouvement de la bulle.

(1) Quelle condition doit vérifier le gradient de masse volumique pour que 
l'équilibre de
l'air en zo soit stable? Déterminer dans ce cas la pulsation Q(zo) des 
oscillations d'une bulle
autour de l'altitude zo. La pulsation Q(zo) est appelée << pulsation de 
Väisälä-Brunt >>.

3. On considère l'air comme un gaz parfait.

a) Expliciter xg à l'aide du coefiicient 'y = cp/cv. Traduire la condition de 
stabilité sur le

gradient de masse volumique sous la forme d'une condition relative au gradient 
de température
dT/dz.

b) Montrer alors qu'une atmosphère isotherme est stable. Déterminer dans ce cas 
la pul--
sation Q(zo) en fonction de g, 7 et de la célérité des ondes sonores co .

c) Calculer numériquement (Ma) et la période T correspondante pour une 
température
de 15 °C .

Deuxième partie

On s'intéresse dans cette partie tout d'abord à l'équilibre liquide--vapeur de 
l'eau pure, puis
à l'effet de l'eau contenue dans l'atmosphère sous forme vapeur.

1. Soit e(T) la pression de vapeur saturante de l'eau a la température T et L,, 
l'enthalpie
massique de vaporisation de l'eau à cette température. On considère la vapeur 
d'eau comme un
gaz parfait.

a) Montrer que, moyennant une approximation que l'on justifiera :

1 d_e L,,Me

EdT _ RT2 '

b) En choisissant LU indépendant de T et égal à L, (Tt), exprimer e(T) en 
fonction de T,
à l'aide de pt et Tt, pression et température du point triple.

c) Calculer numériquement, en utilisant le tableau de données, e(T) pour les 
températures
de 5°C, 10°C, 15°C.

Calculer aussi e(100°C) en prenant pour LU sa valeur moyenne entre 0°C et 
100°C. Com-
menter la valeur trouvée pour 100°C.

2. On considère maintenant un volume V d'air humide, mélange composé d'une 
masse ms
d'air sec et d'une masse mv de vapeur d'eau (sans eau liquide) avec mv << ms. 
On note 123 la
pression partielle de l'air sec, c'est-à--dire la pression qu'il aurait s'il 
occupait seul le volume V;
on note de même pu la pression partielle de la vapeur d'eau. Ce mélange est 
considéré comme
un mélange idéal de gaz parfaits et donc la pression totale ]) est la somme des 
deux pressions ps
et pv . L'humidz'té 'H est définie comme le rapport entre la pression partielle 
de vapeur d'eau pv

et la pression de vapeur saturante (: (T) : 'H = &. On cherche à déterminer les 
conditions pour
@

lesquelles apparaît une condensation.

&) On suppose l'enthalpie de vaporisation ainsi que les capacités thermiques 
indépendantes
de la température dans le domaine considéré. Montrer que l'humidité, la 
pression totale et la
température, pour deux états indicés 1 et 2 sont reliées par :

1"(Ë) -- 1n(Ë) -- L"Me (l -- l)
H2 192 R T2 T1 '

b) L'air humide est dans un état initial A de température TA, de pression 
totale 11,4 et
d'humidité H A strictement inférieure à 1. Il subit une transformation 
adiabatique réversible. En
négligeant la capacité thermique de l'eau, trouver une relation implicite qui 
permet de déterminer
la température de condensation TC en fonction de T A et de 'H A

c) En supposant T C proche de TA, montrer que T0 est approximativement donné 
par :

--1

ln'HA
T = 1------_ T .
C LvMe_cpMa A
RTA R

La transformation nécessaire est--elle une compression ou une détente ?

3.a) Par beau temps, on observe des nuages appelés << cumulus >>. Quelle est 
l'origine de ces
nuages ?

Ces nuages ont une forme caractéristique : leur base est pratiquement plane et 
les bases
de tous les nuages sont à la même altitude (figure 1). Pourquoi en est-il ainsi 
et par quoi est
déterminée cette altitude ?

Figure 1

b) On considère que la pression de l'air en mouvement vertical adiabatique est 
toujours
égale à celle de l'atmosphère en équilibre hydrostatique (Cf. question 2. de la 
première partie).
Montrer que dans ces conditions, pour cet air :

Calculer numériquement ce gradient en K / km .

c) On donne au sol (2 = O) : TA : 25°C, 'HA = 0,55 . Calculer l'altitude de 
base des
cumulus.

d) En présence de vent, les nuages sont entraînés; cependant on peut voir des 
nuages
« accrochés >> au sommet d'une colline ou d'une montagne. Expliquer pourquoi le 
vent ne les
emporte pas.

Figure 2

e) La photographie de la figure 2 montre une structure nuageuse possédant une 
périodicité
spatiale. Elle est due à un vent de NO arrivant sur les Monts Appalaches 
(chaîne orientée SO--
NE) et excitant dans l'atmosphère des oscillations verticales. Expliquer le 
phénomène observé.
La période spatiale est de l'ordre de 10 km. En utilisant la période de 
Väisälä-Brunt calculée
dans la question 3.c) de la première partie, évaluer la vitesse du vent 
nécessaire pour expliquer
le phénomène; le résultat est--il plausible ?

Troisième partie

On s'intéresse maintenant à des transformations d'air humide pour lesquelles 
une fraction de
l'eau est condensée. La phase gazeuse se comporte comme il a été vu dans la 
deuxième partie.
L'enthalpie du système est la somme des enthalpies de l'air sec et de l'eau. On 
raisonnera sur
un volume V contenant une masse ma d'air sec, une masse mv de vapeur d'eau et 
une masse ml
d'eau liquide. On négligera le volume de la phase liquide et on considèrera des 
situations où la
masse d'eau, vapeur et liquide, est très faible devant la masse de l'air.

La) Montrer que, dans ces conditions, la différentielle de l'enthalpie H du 
système peut
s'écrire :
dH : macpdT + L,,dmv

b) En déduire celle de l'entropie dS .

2. Exprimer m,, en fonction de e(T) et de la pression p. En déduire 
l'expression de la diffé--
rentielle dm... en prenant comme variables indépendantes T et p.

3. On considère une transformation adiabatique et réversible. Exprimer pour 
cette transfor--

dT
mation (--) en fonction de T, p et e(T). Mettre le résultat sous la forme :
cond

dp
( dT ) ( dT)
_ = a _
dp cond dp as

dT
où (d_) est la quantité correspondante pour de l'air sec et où & [T, p,e(T )] 
est un facteur
P as

multiplicatif dont on montrera qu'il est inférieur à 1.

4. De l'air contenant une certaine proportion d'eau sous forme vapeur arrive 
sur une chaîne
de montagnes où il subit à la montée une détente et à la descente une 
compression que l'on
supposera toutes deux adiabatiques et réversibles.

a) Montrer, par une discussion qualitative, que, si la température initiale est 
supérieure
à une température T1, il n'y a pas formation de nuage et que, pour une même 
altitude, l'air
redescendant possède la même température que l'air montant .

b) Montrer de même que si la température initiale est plus froide, il y a 
formation de
nuages. S'il y a alors pluie, en déduire que l'air descendant est à une 
température plus élevée
que celle de l'air montant. Ce vent est appelé foehn en Europe et chinook aux 
Etats-Unis.

5. On souhaite effectuer une évaluation de ce dernier effet. Pour cela, on 
suppose que l'air
montant commence à se condenser à l'altitude h A pour une température TA et la 
pression p A. Il
se détend adiabatiquement avec pluie jusqu'à l'altitude h B de pression p B où 
sa température est

notée TB . Puis l'air devenu sec revient à l'altitude h A de pression p A mais 
avec la température
TF .

a) En prenant a constant, égal à une valeur moyenne a, exprimer T3/TA en 
fonction de
p 3 / p A. Exprimer ensuite Tp/TB . En déduire T F / TA en fonction de p B / p 
A, Py et a .

b) On donne hA = 500 m, TA = 10°C, hB = 2500 m. Evaluer la pression p... de 
l'atmo--
sphère à l'altitude moyenne de 1500 m à l'aide du modèle isotherme étudié aux 
questions 1.b)

et Le) de la première partie, pour une température de 10°C et une pression de 1 
X 105 Pa au
niveau de la mer. Prendre a = a(5°C, p...) et le calculer.

c) Le même modèle d'atmosphère donne 193 / p A. Calculer la température TF.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Péter Horvai (ENS Ulm) ; il a été relu par Étienne
Reyssat (ENS Ulm), Olivier Arcizet (ENS Ulm) et Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon).

Ce problème traite de thermodynamique appliquée à la météorologie, plus 
précisément au comportement d'une masse d'air humide. La première partie étudie 
les
propriétés de l'air sec ; la deuxième partie étudie l'air humide et le point de 
condensation ; enfin, la troisième partie traite du cas de l'air avec eau 
condensée.
L'épreuve requiert des connaissances concernant les gaz parfaits, les 
transformations adiabatiques, ainsi que les relations fondamentales des 
transitions de phases (en
particulier l'équation de Clapeyron).
La difficulté de ce problème est moyenne, mais il est impératif de bien 
maîtriser
les formules de thermodynamique.

Indications
I.2.b La quantité d'air dans la bulle ne change pas, mais son volume change, 
ainsi
que la densité de l'air environnant.
I.2.d On a affaire à un oscillateur harmonique.
I.3.a Utiliser l'équation d'état d'un gaz parfait.
I.3.b Utiliser l'expression de dp/dz et l'équation d'état.
II.1.a Il s'agit de la relation de Clapeyron.
II.1.b Il suffit d'intégrer la relation précédente.
II.2.a Développer ln(H1 /H2 ) à partir de la définition de H. Ensuite montrer 
que le
rapport des pressions partielles de la vapeur dans les états 1 et 2 est le même
que le rapport des pressions totales.
II.2.b Le point de condensation est caractérisé par HC = 0. Ensuite utiliser la
relation entre pression et température lors d'une transformation adiabatique
d'un gaz parfait.
II.2.c Poser TA /TC = 1 + x avec x petit devant 1.
II.3.a Sans rien savoir sur les nuages, on devine de ce qui précède la réponse 
attendue.
II.3.b Partir de la forme différentielle de (4) et utiliser (2) et (6).
II.3.d Il s'agit d'un état stationnaire.
III.1.a On peut négliger le changement d'enthalpie dû au chauffage de l'eau, 
liquide
ou vapeur.
III.1.b Commencer par exprimer dH en fonction de dp et dS.
III.2 Utiliser l'équation d'état du gaz parfait. Approximer V/T en utilisant le 
fait
que l'eau (liquide et vapeur) est en quantité négligeable.
III.3 Utiliser dS = 0 avec l'expression de la question III.1.b en substituant 
par le
résultat de la question III.2. Exprimer (dT/dp)as . Mettre ce dernier en facteur
dans l'expression obtenue pour (dT/dp)as et écrire l'autre facteur sous la forme
1+x
(ici schématique)
. Conclure en comparant x et y.
1+y
III.4.a Partir d'une masse d'air au point de condensation au sommet de la 
montagne.
III.4.b Utiliser la question III.3, notamment le fait que  < 1.
III.5.a Partir de la question III.3 et de la forme explicite de (dT/dp)as . 
Intégrer
l'équation.
III.5.b Calculer pm en utilisant la formule de la question I.1.b et la valeur 
obtenue à
la question I.1.c. On se sert du résultat de la question III.3, avec e(T = 5  C)
calculé à la question II.1.c.
III.5.c Utiliser le résultat des questions I.1.b et III.5.a.

Première partie
I.1.a On est à l'équilibre, nous devons donc écrire l'équation de 
l'hydrostatique
--

grad p = -g -
ez

ou encore

dp
= -g
dz

où -
e z désigne le vecteur unité vertical orienté vers le haut.
I.1.b L'équation d'état d'un gaz parfait s'écrit
pV = nRT
Cette relation sera utilisée tout au long du problème.
m
Exprimons  en fonction de p et T. Par définition  = , puis avec l'équation
V
d'état il vient
p
p m
p
=
m=
=
M
(1)
nRT
RT n
RT
On remplace cette expression dans I.1.a
p
Mg
dp
=-
Mg = -
p
dz
RT
RT
En résolvant cette équation différentielle en p on a

(2)

Ma g

p(z) = p(0)e- RT0 z
et en exprimant  à partir de p avec (1)
(z) = (0)e

ag
-M
RT z
0

La décroissance exponentielle de la densité de l'air (supposé isotherme, dans
un champ de pesanteur uniforme) est connue sous le nom de loi de Boltzmann. 
C'est un cas particulier de la loi de Boltzmann plus générale de la
physique statistique qui dit que dans un ensemble canonique (système fermé
en équilibre avec un thermostat de température T) la probabilité que le sys- E
tème possède l'énergie E est proportionnelle à e kB T où kB est la constante
de Boltzmann. Profitons-en pour noter que kB n'est pas un nombre magique
mais sert seulement à définir l'unité de température.
I.1.c D'après le résultat de la question précédente la hauteur caractéristique 
est
RT0
. Pour T = 10  C soit T = 283 K :
Ma g
z caractéristique = 8,27 km
Deux remarques. D'une part, il faut faire attention à convertir les masses
molaires, avant l'application numérique, en kg mol-1 . D'autre part on n'a
que deux chiffres significatifs dans la table des valeurs numériques donnée en
début d'énoncé, ça n'aurait donc pas de sens de calculer avec plus de précision.
On gardera néanmoins un chiffre significatif de plus, pour que les valeurs

numériques soient réutilisables dans les calculs (ou vérifications) ultérieures,
sans accumuler trop d'erreurs d'arrondi.
I.2.a Par définition de la compressibilité isentropique, on a lors d'une 
transformation isentropique infinitésimale, la relation V = -V0 S p. Pour un 
petit déplacedp
ment, p =
z. En combinant ces deux relations et le résultat de la question I.1.a,
dz
on a (avec la notation h = z)
V = V0 S gh
I.2.b
La force d'Archimède est la force hydrostatique exercée sur un corps plongé
dans un fluide (ou un système de fluides) au repos. C'est l'intégrale, sur la
surface du corps, de la force de pression exercée par le fluide, et c'est aussi
l'opposée de la force de pesanteur que subirait la masse de fluide occupant le
volume du corps immergé.

-

La force d'Archimède est F A = FA -
e z où FA est donnée par
FA = gV
Dans notre cas,  = (z0 + h) et V = V0 + V. Ainsi FA = (z0 + h) · g · (V0 + V),
soit à l'ordre 1 en h

d
FA = (z0 ) + h
gV0 (1 + S hg)
dz

d
= (z0 )gV0 +
gV0 + (z0 )gV0 S g h + O h2
dz

1 d
FA = (z0 )gV0 1 +
+ S g h + O h2
 dz
I.2.c L'équation du mouvement se déduit de l'équation de Newton

-
d2 h -

ez = F
dt2

-

-
-

F est la somme de la force d'Archimède F A et de la force de pesanteur F p =
-
-mg 
e z ; de plus, m = (z0 )V0 . Avec la question précédente, ceci donne

d2 h
1
1 d
=
mg 1 +
+ S g h - m
dt2
m
 dz
m

Soit

d2 h
1 d
=
+ S g gh
dt2
 dz

I.2.d On reconnaît l'équation de l'oscillateur
harmonique

 (h = kh). L'équilibre en
1 d
z0 est stable si le coefficient de rappel k =
+ S g g est négatif. Ce qui donne
 dz
pour le gradient de masse volumique