Mines Physique 2 PC 2017

A2017 ­ PHYSIQUE II PC

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne),
ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supelec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2017
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Physique II, annee 2017 -- filiere PC

Voyage au coeur du Soleil
Ce sujet traite de quelques phenomenes remarquables concernant le Soleil, et 
aborde differentes
manieres d'etudier notre etoile, de sa surface a son centre. Les trois parties 
sont independantes
les unes des autres. La premiere concerne les manifestations en surface de 
l'activite magnetique
du Soleil, que l'on peut voir sur des cliches pris par des satellites en orbite 
autour de notre etoile.
La seconde partie s'interesse aux pulsations solaires, observees pour la 
premiere fois dans les
annees 60, et qui permettent aujourd'hui de connaitre la structure interne du 
Soleil. Enfin,
la troisieme partie propose un modele simplifie permettant d'estimer les 
conditions physiques
regnant au centre de notre etoile.
Le Soleil est decrit comme une sphere en equilibre hydrostatique, constituee de 
plasma (gaz
ionise) localement neutre. Sauf mention contraire, on neglige la rotation de 
l'etoile sur ellememe, ce qui permet de traiter un probleme a symetrie 
spherique. Le symbole  designe les
quantites se rapportant au Soleil dans son ensemble. Les vecteurs seront 
traditionnellement
! pour le champ magnetique ; sauf s'ils sont unitaires
surmontes d'une fleche, par exemple B
et seront alors surmontes d'un chapeau, par exemple u
!r tel que "!
ur " = 1. Les applications
numeriques seront des ordres de grandeurs comportant au maximum deux chiffres 
significatifs.
Des donnees numeriques et un formulaire sont rassembles en fin d'enonce.

I. -- La surface du Soleil
1 -- Le flux radiatif surfacique a la surface du Soleil, considere comme un 
corps noir,
est donne par la loi de Stefan  = T 4 ou  est la constante de Stefan-Boltzmann 
et T la
temperature de sa surface. On definit la luminosite d'une etoile comme la 
quantite d'energie
qu'elle rayonne par seconde. Determiner l'expression de la luminosite L du 
Soleil et calculer
sa valeur numerique.
En realite, la luminosite du Soleil n'est pas uniforme : on observe des taches 
sombres a sa surface
qui sont liees a son activite magnetique (figure 1). En particulier, ces taches 
sont souvent situees
a la base de boucles magnetiques, dites boucles coronales, qui sont la 
consequence directe de la
torsion du champ magnetique par la dynamo solaire. Pour interpreter l'existence 
de ces taches
et boucles, on adopte le modele suivant :
· A l'echelle d'une tache, la surface du Soleil est localement plate. Elle est 
assimilee au
plan (xOy) sur la figure 1.
· On se place a la surface du Soleil, dans un systeme de coordonnees 
cylindriques (r,,z).
On note (!
ur ,!
u ,!
uz ) la base locale associee. La geometrie correspondante est representee
sur la partie centrale de la figure 1.
· Sur une portion de surface petite devant les dimensions du Soleil et aux 
echelles de temps
! = B(r)!
considerees, le champ magnetique est suppose stationnaire et de la forme B
uz ,
avec B (r) > 0. On precise que B decroit depuis l'axe vers la peripherie.
· On suppose que le plasma solaire n'est compose que d'ions H+ et d'electrons 
libres. On
assimile ce plasma a un gaz parfait dont on note T la temperature et p la 
pression. On
suppose sa masse volumique s uniforme au voisinage de la surface.

I.A. -- Les taches solaires
2 -- On considere un volume elementaire d suppose neutre du plasma solaire 
constitue de
N sortes de particules elementaires de charges q1 , · · · , qN , en nombre n1 , 
· · · , nN par unite de
volume et de vitesses !v1 , · · · , !vN . Donner l'expression de la densite 
volumique de courant !j puis
! et d . En deduire
celle de la resultante des forces electromagnetiques dF! en fonction de !j, B
!
que l'on peut ecrire cette resultante sous la forme dF! = -grad()d
dans laquelle on precisera
l'expression de .
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Physique II, annee 2017 -- filiere PC

Tube de
champ

%

Tache
solaire

$b!
#

!

$b#

"

$b"

Figure 1 ­ A gauche : Cliche d'une tache solaire pris par la sonde Hinode en 
2006. Au centre :
geometrie adoptee pour la modelisation des tubes et des taches. A droite : 
Cliche d'une boucle
magnetique pris par le telescope TRACE, en orbite autour du Soleil depuis 1998.
3 -- Montrer que la grandeur p + 2µ1 0 B 2 est uniforme si on reste proche de 
la surface du
Soleil. A la surface du Soleil, mais a l'exterieur d'une tache solaire, la 
valeur de la pression
est pext = 1,3 bar et celle de la temperature Text = Ts , le champ magnetique 
est quant a lui
negligeable. Ce n'est plus le cas au centre d'une tache solaire ou la valeur du 
champ magnetique
est Bint = 0,5 T. Calculer la pression pint et la temperature Tint au centre 
d'une tache solaire.
4 -- Calculer la valeur du rapport du flux radiatif d'une tache solaire sur 
celui d'une zone
normale. Commenter ce resultat.

I.B. -- Les boucles magnetiques
Les taches solaires sont dues a l'emergence de tubes de champ magnetique dans 
l'atmosphere
solaire. On considere ici un tube de champ magnetique en forme de cylindre de 
revolution d'axe
(O,!
uz ) et de rayon R. Ce tube est represente sur la partie centrale de la figure 
1.
5 -- On admet que B (r) est une fonction decroissante. Justifier le fait que le 
tube de champ
!
a tendance a se dilater sous le seul effet du champ magnetique B.
6 -- En fait, le tube de champ est egalement parcouru par un courant electrique 
provenant
de l'interieur du Soleil et dont la densite est de la forme !jt = jt (r)!
uz . En supposant que la
longueur du tube est grande devant son rayon, determiner l'expression du champ 
magnetique
! t cree par !jt en fonction de µ0 , r et de l'intensite I(r) du courant 
traversant un disque de rayon
B
r. En deduire l'expression de la force de Laplace dF!t correspondante exercee 
sur un element de
volume d du tube, en fonction de I(r), de sa derivee et des autres grandeurs du 
probleme. En
admettant que I(r) est une fonction positive et croissante, quel est l'effet du 
champ magnetique
! t sur le tube de champ ?
B
7 -- On se place maintenant dans la situation reelle en superposant les deux 
champs
! tot = B
! +B
! t . Etablir une condition portant sur les commagnetiques regnant dans le tube 
B
posantes du champ et de la densite de courant, traduisant l'equilibre du tube 
de champ. En
deduire que dans un tube de champ a l'equilibre, la densite de courant est 
colineaire au champ
magnetique.
8 -- On constate sur les cliches du Soleil (partie droite de la figure 1) que 
les tubes de
champ ont tendance a former des boucles, en connectant deux points de la 
surface du Soleil.
Ce que l'on voit sur la photo est en fait le rayonnement des particules 
chargees presentes dans
la boucle et dont la vitesse varie le long de celle-ci. Quelle hypothese de 
l'enonce faudrait-il
modifier pour rendre compte de ce phenomene ?
FIN DE LA PARTIE I
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Physique II, annee 2017 -- filiere PC

II. -- Modes de vibration des etoiles
De nos jours, il est possible d'aller plus loin que l'observation de la surface 
du Soleil. Grace a
des techniques proches de la sismologie terrestre, on peut etudier la structure 
interne du Soleil, on parle d'heliosismologie. On propose dans cette partie de 
decouvrir deux types d'ondes
mecaniques pouvant se propager dans notre etoile. L'etude de leurs proprietes 
permet notamment de remonter au profil de rotation interne du Soleil mais ce 
point ne sera pas aborde.

II.A. -- Ondes acoustiques dans un fluide a une dimension
On veut etudier la propagation du son dans un tuyau de section constante, d'axe 
(O,!
ux ). Au
repos, le fluide present dans le tuyau est caracterise par une pression 
uniforme p0 , une masse
volumique uniforme 0 et un champ de vitesses nulles. On rappelle qu'une onde 
sonore est une
perturbation par rapport a cet etat d'equilibre, et on notera p1 , 1 et v1 les 
valeurs des pression,
masse volumique et vitesse associees a cette perturbation.
Le coefficient de compressibilite
"
1 d "
isentropique du fluide au repos est defini par S = 0 dP " .
S

9 -- Etablir l'equation de propagation verifiee par la pression p1 a partir de 
trois equations
locales a lineariser. Vous nommerez et expliciterez les approximations et/ou 
hypotheses realisees.
En deduire l'expression de la celerite c de l'onde acoustique en fonction de S 
et de 0 .

10 -- On se place a present dans le cas d'un tuyau ferme en x = 0 et ouvert en 
x = L. Justifier que ces conditions aux limites imposent v1 (0,t) = 0 et p1 
(L,t) = 0. Justifier ensuite que l'on
peut chercher les solutions de l'equation precedente sous la forme p1 (x,t) = 
p0 cos(t) cos(kx+)
et en deduire l'expression de v1 . Etablir la relation de dispersion de ces 
ondes, puis determiner
l'expression des frequences propres fn , pour n  N. Calculer l'ecart f entre 
deux frequences
propres consecutives. Que pouvez-vous en dire ?
11 -- Representer les modes n = 1 et n = 2 sur un schema montrant les ondes de 
pression
et de vitesse, dans deux couleurs (ou styles de traits) differentes.

II.B. -- Ondes mecaniques dans une etoile
Les etoiles, et en particulier le Soleil, sont egalement le siege de phenomenes 
oscillants, induisant
des variations mesurables de leur luminosite et de leur rayon. Nous admettons 
que des ondes
se propagent dans les etoiles, excitees par divers processus que nous 
n'etudierons pas ici.
La geometrie du probleme est a present en 3 dimensions et nous utiliserons donc 
les coordonnees
spheriques (r,,). De la meme facon qu'a une dimension, on peut ecrire les 
equations linearisees
de l'hydrodynamique, obtenir une equation d'onde et, en cherchant des solutions 
separables en
temps et en espace, montrer que le deplacement radial r d'une particule de 
fluide dans l'etoile
est solution de l'equation
#
$#
$
d 2 r  2
(2N )2
(2S )2
r = 0
1-
+ 2 1-
dr2
c
2
2
&'
(
%
kr2

ou  est une pulsation que l'on supposera independante de r, c(r) est la 
celerite des ondes
sonores dans l'etoile. Enfin, les quantites S (r) et N (r) sont deux frequences 
intervenant dans
ce genre de problemes :
)
( + 1)c2
S (r) =
r2
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est la frequence de Lamb pour   N et
* #
$
1 p0
1 0
-
N (r) = g
p0 r
0 r
est la frequence de Brunt-Vaisala ou  est l'indice adiabatique du gaz (plasma) 
constituant
l'etoile et g le champ gravitationnel.
+
On generalise la notion de vecteur d'onde a 3 dimensions en notant
sa
norme
k(r)
=
kr2 + kh2 ,

2 (+1)
ou kr (r) est la norme du vecteur d'onde vertical et kh (r) =
celle du vecteur d'onde
r
horizontal.
12 -- On se place dans un pre& = 100
&=5
mier temps dans le regime des hau'
tes frequences dans lequel   2N . [ (Hz ]
&=1
Simplifier l'expression de kr et montrer que l'on retrouve la relation de
& = 20
dispersion correspondant aux ondes
acoustiques de la sous-partie II.A.
Etablir la condition d'existence d'ondes acoustiques harmoniques radiales selon 
le signe de kr2 . En exploitant la figure 2, determiner l'intervalle [r1 ,r2 ] 
des rayons de l'etoile
)/*¯
dans lequel une onde harmonique
de frequence f = 1 mHz et de degre
Figure 2 ­ Profils de la frequence de Brunt-Vaisala (trait
 = 5 peut exister.
continu) et de la frequence de Lamb (pointilles) dans le
Les frontieres r1 et r2 de cette zone
Soleil. Tire de Christensen-Dalsgaard, 2011, Lecture notes
de propagation definissent des condiin physics.
tions aux limites sur le deplacement
radial et la pression du fluide dans
l'etoile. Il se forme alors des modes de resonance, appeles modes p, crees par 
la surperposition
d'ondes acoustiques
progressives. Ces modes sont caracterises par une condition de resonance
, r2
qui impose r1 kr dr = (n + p ), p etant une constante et n un entier naturel.
13 -- Dans le cas ou   2S et   2N , exprimer la frequence fn,p des modes p en
fonction de n, p et d'une integrale  que l'on exprimera mais que l'on ne 
cherchera pas a
calculer. Determiner l'ecart entre deux frequences consecutives et commenter. 
Quelle critique
peut-on faire concernant la validite de cette approximation ?
14 -- On s'interesse maintenant au regime des basses frequences, dans lequel 
pour chaque
entier  on a   2S . Etablir la condition d'existence d'ondes harmoniques 
radiales dans
cette situation. En exploitant la figure 2, discuter de la region du Soleil 
dans laquelle elles
peuvent exister en fonction de leur frequence. Ces ondes sont appelees  ondes 
de gravite . En
etablissant un bilan des forces sur un element de fluide a cet endroit de 
l'etoile, proposer une
explication du mecanisme a l'origine de ces ondes.
Tout comme pour les modes p,, les ondes de gravite qui existent dans la region 
r  [r3 ,r4 ]
r
peuvent entrer en resonance si r34 kr dr = (n + g ) ou g est une constante et n 
un entier
naturel. La superposition d'ondes acoustiques progressives forme alors des 
modes g.
15 -- Dans le cas des tres basses frequences   2N , montrer que ces modes g ne 
sont
plus espaces regulierement en frequence mais qu'une autre grandeur est 
reguliere. Laquelle ?
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16 -- D'une maniere generale, les ondes acoustiques sont-elles longitudinales 
ou transversales ? On justifiera sa reponse par une explication qualitative 
basee sur un schema si necessaire.

17 -- Dans le cadre du Soleil a symetrie spherique, la vitesse de groupe est un 
vecteur

!vg qui s'exprime sous la forme !vg =
u
!r +
u
! dans la base locale. En deduire la nature
kr
kh
longitudinale ou transversale des ondes de gravite.

105

Puissance spectrale
[ m2 . s-2 . Hz-1 ]

10 4

103

2000

10 2

216

3000
Fréquence [ !Hz ]
218
220

4000
222

101

100

Fréquence [Hz]
10

¡1

10 ¡5

10¡3

10¡ 4

10¡ 2

Figure 3 ­ Spectre des oscillations du Soleil obtenu grace a l'instrument GOLF 
entre 1996 et
1998. Les figures de droite detaillent certaines regions du spectre de gauche
A l'instar d'une peau de tambour, le Soleil  vibre  selon une combinaison des 
modes p et g
dont il est le siege, et sa luminosite varie en consequence. Le spectre 
represente sur la figure
3 a ete obtenu par une analyse spectrale des variations temporelles de la 
luminosite du Soleil,
entre avril 1996 et juin 1998.
18 -- Dans quelles bandes spectrales s'attend-on a trouver les modes p d'une 
part et le mode
g d'autre part ? Quels modes sont les plus visibles sur la figure 3 ? Les 
donnees experimentales
sont le resultat d'une observation de la surface du soleil, proposer une 
explication pour cette
difference de visibilite. Commenter la coherence entre les donnees 
experimentales et les resultats
theoriques obtenus dans cette partie.
FIN DE LA PARTIE II

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III. -- Modele polytropique du Soleil
Nous cherchons dans cette derniere partie a estimer les conditions de 
temperature, pression et
densite regnant au centre du Soleil, region encore inaccessible a tout moyen 
d'observation. On
utilise a nouveau les coordonnees spheriques (r,,) et on note p(r) la pression, 
(r) la masse
volumique et g(r) le champ gravitationnel a une distance r du centre de 
l'etoile (a symetrie
spherique). La masse de gaz a l'interieur d'une sphere de rayon r est notee M 
(r).
19 -- En appliquant le theoreme de Gauss, exprimer g(r) en fonction de G et M 
(r).
Rappeler l'equation de la statique des fluides que l'on peut ecrire pour cette 
etoile.
On suppose que le gaz verifie une equation d'etat dite polytropique, s'ecrivant 
sous la forme
1
p = K1+ n ou K est une constante et n est l'indice polytropique du gaz (plasma) 
constituant
le Soleil. On definit les deux grandeurs adimensionnees  et  par  = c n , ou c 
est la densite
au centre du Soleil et r = r0  ou r0 est un rayon caracteristique.
20 -- Verifier que la pression s'ecrit sous la forme p = pc n+1 , on donnera 
l'expression de
pc en fonction de K, c et n.
dM
21 -- Etablir la relation
= 4r2 .
dr
22 -- Indiquer les valeurs prises par la fonction  au centre et a la surface du 
Soleil, dont
on neglige l'atmosphere. En utilisant les trois questions predentes montrer 
que, par un choix
astucieux de r0 , la fonction  obeit a l'equation differentielle dite de 
Lane-Emden,
#
$
1 d
2 d

+ n = 0
 2 d
d
On determinera l'expression de r0 en fonction de n, K, G et c .
L'equation de Lane-Emden peut etre resolue numeriquement pour une valeur donnee 
de l'indice
polytropique. On peut donc calculer numeriquement son premier zero s , 
c'est-a-dire la premiere
valeur de  ou la fonction () s'annule. On peut ensuite calculer numeriquement s 
la valeur
de la derivee de () en s .
23 -- On suppose connus la masse M = M (s ) et le rayon R = r0 s du Soleil. 
Montrer
que si l'on considere que la masse du Soleil est le produit de son volume par 
sa masse volumique
moyenne , l'equation d'equilibre hydrostatique permet d'obtenir sa masse 
volumique centrale
c que l'on exprimera en fonction de s , s et .
. La resolution de l'equation
24 -- On modelise le Soleil par un polytrope d'indice n = 10
3
s
26
de Lane-Emden donne s = 3 et - 3 = 7 × 16 = 112. Sachant que dans le cas du 
Soleil
s
K = 4 × 109 SI, calculer la valeur de c , puis en utilisant la figure 4 celle 
de pc pour le Soleil.
25 -- Pour evaluer la temperature centrale, on suppose maintenant que le plasma 
solaire
est un gaz parfait, constitue de protons, de noyaux d'helium 4 et d'electrons 
(on neglige la
presence des autres elements). On considere que la fraction massique d'helium 
est Y = 28%.
Montrer que la neutralite electrique impose xe = xp + 2xHe , ou xp designe la 
fraction en nombre
de protons, xe celle en electrons et xHe celle en noyaux d'helium. En deduire 
que la masse
4
molaire du melange est donnee par M = 8-5Y
Mp , en justifiant les eventuelles approximations
realisees. En deduire la temperature centrale du Soleil selon ce modele.
Le Soleil tire son energie de deux cycles de reaction : le cycle PP (pour 
proton-proton) domine si
la temperature centrale est inferieure a 20 MK et le cycle CNO (pour 
Carbone-Azote-Oxygene)
qui domine pour les temperatures superieures.
26 -- Quelle est la nature de ces reactions ? Quel est le cycle dominant dans 
le Soleil ?
FIN DE LA PARTIE III
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Physique II, annee 2017 -- filiere PC

Donnees
! se decompose dans la base cylindrique locale (!
· Si un vecteur A
ur ,!
u ,!
uz ) sous la forme
!
A = Ar u
!r + A u
! + Az u
!z , son rotationnel est donne par
$
#
$
#
$
#
1 (rA ) Ar
Ar Az
1 Az A
!
!
u
!r +
u
! +
u
!z
-
-
-
rotA =
r 
z
z
r
r
r

· Dans la base cylindrique locale (!
ur ,!
u ,!
uz ), le gradient d'un champ scalaire (r,,z) s'ecrit
sous la forme

1 

!
grad
=
u
!r +
u
! +
u
!z
r
r 
z
25
· Constante des gaz parfaits : R 
J · mol-1 · K-1 ;
3
· Permeabilite magnetique du vide : µ0 = 4 · 10-7 T · m · A-1 ;
· Constante de Stefan-Boltzmann :  = 6 · 10-8 W · m-2 · K-4
· Constante de gravitation : G = 6,7 · 10-11 m3 · kg-1 · s-2 ;
· Masse molaire du proton : Mp = 1,0 · 10-3 kg · mol-1
· Pour le Soleil :
-- masse : M = 2 · 1030 kg
-- rayon : R = 7 · 108 m
1
-- temperature de surface : Ts = 5,7 · 103 K  1000 4 · 103 K

4£107

"1,4
3£107
'(!)
2£107

"1,3
1£107

"1,2
9£106

1£105

5
! 2£10

3£105

Figure 4 ­ Representation graphique des fonctions f (x) = x1,2 ; x1,3 et x1,4
FIN DE L'EPREUVE

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