Mines Physique 2 PC 2016

Thème de l'épreuve De la physique dans le tunnel de Fréjus
Principaux outils utilisés diffusion thermique, physique quantique
Mots clefs onde thermique, effet tunnel, équation de Schrödinger, radioactivité alpha

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2016 - PHYSIQUE II PC

CONCOURS
COMMUN

MINES
PONTS

Ecole des PONTS ParisTech,
ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech,
TELECOM ParisTech, MINES ParisTech,
MINES Saint-Etienne, MINES Nancy,
TELECOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filiere MP).

CONCOURS 2016
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est autorise.
Sujet mis a la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Telecom, Concours
Centrale-Supelec (Cycle international).
Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente
sur la premiere page de la copie :
PHYSIQUE II - PC
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amene a prendre.

De la physique dans le tunnel de Frejus

De la physique dans le tunnel de Frejus
Ce sujet comporte deux parties independantes qui s'interessent a divers aspects 
de la physique dans le tunnel de Frejus. A l'exception de i tel que i2 = -1, 
les nombres complexes sont
soulignes. La notation z designe le nombre complexe conjugue de z. Les vecteurs 
seront traditionnellement surmontes d'une fleche, par exemple ~j pour un flux 
surfacique ; sauf s'ils sont
unitaires et seront alors surmontes d'un chapeau, par exemple ebz tel que kb
ez k = 1. Pour les
applications numeriques on utilisera 3 chiffres significatifs.

I. -- Temperature dans le tunnel de Frejus
Le tunnel routier du Frejus relie la vallee de l'Arc, en France, au val de 
Suse, en Italie. Long
d'environ 13 km, le tunnel passe sous le col du Frejus dans les Alpes 
cottiennes. La pointe
Frejus culmine a une altitude de 2934 m.
Premier
puits de
ventilation

Entrée
Nord

Pointe
Fréjus

1228 m

Second
puits de
ventilation

1298 m

0,54%
1

2

3

4

5

6

7

Entrée
Sud

8

9

10

11

12

km

Figure 1 ­ Tunnel de Frejus
La roche environnante dans le tunnel a une temperature constante
tout au long de l'annee d'environ 30 C. Dans un premier temps
nous etudierons les evolutions saisonnieres de la temperature dans le
sol. Puis nous tenterons d'expliquer cette temperature elevee par un
modele geophysique.

Surface

O

x

z
Figure 2 ­ Sol

I.A. -- Evolutions saisonnieres de la temperature
dans le sol
On se place au sommet de la pointe Frejus a une altitude de 2934 m. On assimile 
la roche a un
milieu semi-infini de conductivite thermique , de masse volumique s et de 
capacite thermique
massique cs . Sa surface est plane et horizontale et est soumise a la variation 
de temperature
exterieure T (z = 0,t) = 0 + T0 cos(t) avec 0 = 0 C. (Voir figure 2).
1 -- Calculer la moyenne temporelle de la temperature exterieure en z = 0. 
Calculer la
temperature maximale et minimale. Proposer une valeur numerique pour T0 pour 
les evolutions
annuelles de temperature.
2 -- Le flux thermique elementaire, defini comme la quantite d'energie 
traversant une
surface elementaire dS pendant dt , est note dQ . Rappeler la definition du 
vecteur ~jQ , densite
de flux thermique. Quelle est sa dimension ?
3 -- Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application. En 
deduire les dimensions de la conductivite thermique .
4 -- On etudie une tranche mesoscopique de sol comprise entre z et z + dz de 
surface S.
Quelle est l'energie thermique Q recue par cette tranche entre t et t + dt ?
Page 2/7

Physique II, annee 2016 -- filiere PC

5 -- Pourquoi etudie-t-on une tranche

mesoscopique  ?

jQ
6 -- Etablir l'expression de sa variation d'energie interne dU en fonction de
et S puis
z
T
.
en fonction de s , cs , S et
t
 2 T (z,t)
T (z,t)
= D
dans
7 -- En deduire l'equation de la chaleur a une dimension
t
z 2
laquelle on precisera l'expression et la dimension du coefficient D de 
diffusion thermique.
On cherche des solutions de la forme T (z,t) = 0 + T0 ei(t-kz) verifiant la 
condition aux limites
T (z = 0,t) = 0 + T0 cos(t).
8 -- Interpreter cette forme de solution. Determiner la relation de dispersion 
correspondante. En deduire l'expression de k qu'on mettra sous la forme k = k  
+ ik  avec k  > 0. Quelle
est la signification physique de k  et k  . Determiner l'expression 
correspondante de la solution
reelle T (z,t).
9 -- Calculer la profondeur ze a partir de laquelle les oscillations annuelles 
de temperature
ne s'ecartent pas de 0 de plus de 1%. Que peut-on dire de la temperature dans 
le tunnel routier
de Frejus ? Pour les roches granitiques constituant le Frejus on donne s = 2,65 
× 103 kg · m-3 ,
cs = 8,50 × 103 J · K-1 · kg-1 et  = 3,00 si.
10 -- Que peut-on dire des variations quotidiennes de la temperature a la 
profondeur ze ?
En terme de filtrage frequentiel, comment se comporte le sol ?

I.B. -- Temperature d'origine geophysique
La temperature moyenne de 30 C relevee dans le tunnel de Frejus peut etre 
expliquee par
un modele geothermique simple de la croute terrestre. On considere qu'au niveau 
des Alpes,
l'epaisseur de la croute terrestre continentale est Lc = 45,0 km. Les roches 
granitiques qui constituent une partie des Alpes contiennent des elements 
radioactifs comme l'uranium, le thorium et
le potassium. La chaleur produite par ces elements radioactifs est directement 
proportionnelle
a leur concentration.
x
O
Surface
Dans les modeles couramment utilises cette concentration decroit 
exponentiellement avec la profondeur, de sorte que la puissance volumique 
degagee Croûte
z
z
z+dz
peut s'ecrire P = P0 e- H avec H = 10,0 km. On terrestre
-3
prendra P0 = 2,50 µW · m . La croute terrestre
I c /m
repose sur le manteau terrestre, a la fois plus dense
et plus chaud que la croute. On admet enfin qu'au Manteau
niveau de l'interface Ic/m entre la croute et le man- terrestre
~jm
teau ce dernier genere un flux surfacique constant
~jm = -jm ebz avec jm = 35,0 mW · m-2 .
Figure 3 ­ Modele geophysique
11 -- Effectuer, en regime stationnaire, le bilan thermique dans une tranche de 
croute terrestre de surface S, comprise entre z et z + dz.
12 -- En deduire la temperature T (z) en fonction de : H, Lc , P, jm ,  et 0 = 
0 C la
temperature moyenne de surface en z = 0.

f

13 -- Exprimer le flux thermique total ~jS = jS ebz au niveau de la surface en 
z = 0.
14 -- Comparer les deux termes proportionnels a z et simplifier l'expression de 
T (z). Calculer la temperature au centre du tunnel de Frejus (z = 1,70 km) puis 
jS .

Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

De la physique dans le tunnel de Frejus

I.C. -- Prise en compte du relief
On suppose maintenant que la temperature a la surface plane z = 0 possede
 dependance
! 2xune
spatiale en x que l'on modelise par la relation T (x,z = 0) = Ts + T1 cos  . 
Pour etudier
l'effet du relief sur la temperature dans le tunnel de Frejus on prendra  = 
10,0 km.
15 -- On suppose pour cette question qu'il n'y a pas de source d'energie 
thermique dans
la roche. Donner sans demonstration l'equation differentielle satisfaite par T 
(x,z) en regime
stationnaire. En utilisant la methode de separation des variables, determiner 
la solution T (x,z)
qui respecte la condition aux limites T (x,z = 0) et qui demeure finie lorsque 
z  +. Justifier
la prise en compte des effets de la variation spatiale de la temperature.
16 -- Toujours pour une surface plane d'equation z = 0, en utilisant la 
linearite de
l'equation satisfaite par la temperature, determiner T (x,z) en considerant les 
sources internes
d'energie thermique.
17 -- On !considere
ici que la topographie de la surface peut etre representee par l'equation

2x
h(x) = h0 cos  . La temperature de la surface Ts = T (x,z = h) sera prise egale 
a celle de
l'air ambiant et sera modelisee par Ts = 0 + z. En effectuant un developpement 
limite
 en z
T
.
a l'ordre 1, exprimer la temperature T (x,z = 0) en fonction de h, T (x,z = h) 
et
z
z=0
 
T
en fonction notamment du flux d'energie thermique a la surface jS . En
Determiner
z z=0
deduire que que l'on peut ecrire

!

2x -z/
-z/H
T (x,z) = 0 + c1 z + c2 1 - e
+ c3 h0 cos
e

ou l'on precisera l'expression des constantes c1 , c2 , c3 et  en fonction des 
donnees du probleme.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Radioactivite  et effet tunnel
Le tunnel de Frejus abrite le Laboratoire Souterrain de Modane (LSM), sous 1700 
metres de
roche. Unite mixte du CNRS et du CEA, le LSM est en fonctionnement depuis 1982. 
Le LSM
est un site scientifique exceptionnel protege des rayons cosmiques, ou ont lieu 
des recherches sur
le neutrino, la matiere noire ainsi que des mesures de faibles radioactivites 
et leurs applications
aux etudes sur l'environnement et aux datations. Le LSM est entre autres 
specialise dans la
spectrometrie . Le rayonnement , qui suit generalement une emission  ou , est 
issu du noyau
de l'atome et correspond a une desexcitation de ce dernier. En effet, apres une 
desintegration
 ou , le nouveau noyau n'est pas toujours dans un etat d'equilibre energetique 
: il possede
encore  un trop plein d'energie , on dit qu'il est excite. Pour se debarrasser 
de cet excedent, il
va emettre un ou plusieurs rayonnements  d'energie determinee et 
caracteristique du noyau et
donc de l'atome en presence. Nous allons dans cette partie nous interesser plus 
particulierement
a la radioactivite .

II.A. -- Le quanton libre
18 -- Une particule quantique (quanton) est localisee sur un axe (O,b
ux ). L'etat quantique
de cette particule est caracterise par une fonction d'onde : (x,t). Rappeler le 
postulat de Born
donnant la probabilite dP que la particule se trouve dans l'intervalle [x,x + 
dx] a l'instant t.
En deduire la dimension de (x,t).
R +
19 -- Interpreter la propriete - |(x,t)|2 dx = 1.
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Physique II, annee 2016 -- filiere PC

20 -- Quelle est la signification physique de  = |(x,t)|2 ? En associant la 
probabilite de
presence a un  courant de probabilite  donner sans demonstration l'equation de 
conservation
de la probabilite de presence. On fera apparaitre un vecteur ~j appele vecteur 
densite de courant
de probabilite. Une analyse non demandee montre que dans le cas 
mono-dimensionnel

i~

~j =
-

u
bx
(1)
2m
x
x
Lorsque la particule possede une energie potentielle V (x), la fonction (x,t) 
est solution de
l'equation de Schrodinger non relativiste
-
avec ~ =

~2  2 (x,t)
(x,t)
+ V (x)(x,t) = i~
2
2m x
t

h
= 1,05 × 10-34 J · s.
2

21 -- Rappeler ce qu'on entend par particule non relativiste. On cherche des 
etats d'energie
stationnaire E de la forme (x,t) = (x) × f (t). Determiner l'equation de 
Schrodinger independante du temps verifiee par (x) et la forme generale de 
(x,t) en fonction notamment de (x)
et E. Que peut-on dire de la probabilite de presence dP ?
On definit une particule libre comme une particule de masse m, d'impulsion p~ 
et d'energie
p
~2
> 0 evoluant dans une region d'energie potentielle V (x) nulle.
E = 2m
22 -- Determiner la solution generale de l'equation de Schrodinger independante 
du temps
pour une particule libre. Montrer que sa fonction d'onde (x,t) est la somme de 
deux ondes
planes se propageant en sens inverse.
23 -- Definir le vecteur d'onde ~k que l'on peut associer a cette particule. 
Determiner la
relation entre p~ et ~k. Comment s'appelle cette relation ?

II.B. -- Effet tunnel
Le quanton d'energie E arrive d'une region i definie par x < 0 et dans laquelle
son energie potentielle est V (x) = 0. Il
est susceptible egalement de se trouver
soit dans une region ii telle que 0 <
x < a ou regne une energie potentielle
V (x) = V0 ou bien dans une region iii
definie par x > a, dans laquelle V (x) =
0. On supposera que 0 < E < V0 et l'on
cherche des etats stationnaires d'energie
E.

V(x)
iii

i
V0

E
ii
O

x

a

Figure 4 ­ Marche d'energie potentielle

24 -- Rappeler brievement ce que serait le comportement de ce quanton s'il 
etait regi par
la mecanique classique.
25 -- Determiner la forme generale de la solution de l'equation de Schrodinger 
independante
du temps dans la region i et iii . On ne cherchera pas a determiner les 2 
constantes d'integration
qui apparaissent dans la region i ni celle qui apparait dans la region iii .
26 -- Determiner la forme generale de la solution
q de l'equation de Schrodinger independante

2m(V0 -E)
du temps dans la region ii . On posera q =
. Cette solution fait apparaitre 2
~2
constantes d'integration que l'on ne cherchera pas a determiner.

Page 5/7

Tournez la page S.V.P.

De la physique dans le tunnel de Frejus

27 -- Enoncer les proprietes generales de la fonction d'onde en x = 0 et x = a 
permettant
d'ecrire un systeme de 4 equations dont les 5 inconnues sont les constantes 
d'integration des
questions 25 et 26. On ne cherchera pas a resoudre ce systeme. Quelle derniere 
hypothese permet
de definir completement la fonction d'onde en tout point x ?
28 -- En utilisant l'equation (1) determiner les courants de probabilite dans 
les regions i
et iii en fonction des constantes d'integrations de la question 25. Comment 
peut-on interpreter
ces deux courants ? En deduire les coefficients de reflexion R et de 
transmission T caracterisant
cette barriere d'energie potentielle en fonction de ces memes constantes.
Un calcul non demande permet d'obtenir
T =

1
1+

V02
sh2
4E(V0 -E)

(qa)

29 -- On considere que le quanton est un electron de masse me = 9,11×10-31 kg 
et d'energie
E = 1,00 eV evoluant dans le potentiel decrit sur la figure 4 avec V0 = 2,00 
eV. Dresser un
tableau des valeurs de qa et T pour a = 0,50 nm ; 1,00 nm et 2,00 nm. Definir 
ce que l'on appelle
une barriere d'energie potentielle epaisse et montrer que dans ce cas T  T0 
(E,V0 ) e-2qa ou l'on
precisera l'expression de T0 (E,V0 ). En etudiant les variations de T0 (E,V0 ) 
pour 0 < E < V0 ,
deduire que pour une barriere epaisse, l'on peut ecrire ln(T )  -2qa.

II.C. -- Radioactivite 
La radioactivite  est l'emission de noyaux d'helium 4, appeles particules , par 
des noyaux atomiques lourds (generalement tels que Z > 82), selon la reaction
A
ZX

V(x)
V0

A-4
42 He +Z-2
Y

E
dans laquelle A represente le nombre de nucleons (protons
x0
x
xm
et neutrons) et Z le nombre de protons du noyau X. George
O
Gamow fut le premier en 1928 a interpreter la radioactivite  grace a l'effet 
tunnel. Il considera que le noyau X
etait constitue au prealable de la particule  et du noyau Y .
L'energie potentielle V (x) d'interaction entre ces deux par- Figure 5 ­ Allure 
de l'energie
ticules est une fonction de la distance x qui les separe dont de potentielle
l'allure est representee sur la figure 5.
-- pour des grandes valeurs de x, cette energie potentielle correspond a la 
repulsion electrostatique, et presente donc un profil coulombien de la forme 
4K0 x
-- pour x < x0 , les interactions nucleaires attractives interviennent et 
l'energie potentielle
est un puits tres profond.
-- pour l'uranium 238 : Z = 92 et x0 = 3,50 × 10-15 m. La mesure de l'energie E 
des
particules  emises par ce noyau donne une valeur proche de 4,00 MeV.
30 -- Determiner l'expression de la constante K en fonction de Z et de la 
charge elementaire
e = 1,61 × 10-19 C. En deduire la hauteur V0 de la barriere d'energie 
potentielle a franchir.
Calculer la distance xm a laquelle l'energie potentielle coulombienne est egale 
a E. Donner un
ordre de grandeur de la largeur de la barriere d'energie potentielle a 
franchir. Peut-on considerer
que la barriere est epaisse ? On donne la masse de la particule , m = 6,64 × 
10-27 kg et on
1
rappelle que 4
= 8,98 × 109 si.
0

Page 6/7

Physique II, annee 2016 -- filiere PC

Etant donne que la barriere d'energie potentielle
Approximation de V(x)
...
n'a pas la forme simple de celle etudiee dans la
section II.B, on ne peut donc plus utiliser directe...
V(x)
ment l'approximation de T obtenue a la question
x
29. Pour x > x0 , on peut cependant approcher
x
x
0
m
la fonction V (x) par une succession de barrieres
dx
rectangulaires de hauteur V (x) et de largeur dx Figure 6 ­ Approximation de la 
barriere.
(Voir figure 6) suffisamment epaisse pour pouvoir
utiliser l'approximation.
31 -- En generalisant le resultat obtenu pour T en fonction de T0 , determiner 
T (x + dx)
en fonction de T (x), q et dx. En considerant, pour simplifier la suite du 
calcul, que qdx  1,
etablir la relation
s

Z
K
2 xm
2m
- E dx
ln(T )  -
~ x0
40 x
32 -- On admettra que

r 
Z xm r
xm
x0

- 1 dx  xm
-2
x
2
xm
x0

20
log10( ¿1/2 [s] )

238

16

236
234

12

246

En deduire la loi de Gamow-Condon-Gurney,
valable pour xxm0  1 :
8
b
ln(T ) = a - 
E

226

210

242
230
224

4
0

232

244

200
228

226

198

196
222

194
216

218

204
202

208
206

84Po
88Pa
92U
96Cm

220
Dans laquelle on exprimera a et b en fonc214
-4
tion des donnees du probleme.
218
-1/2
(E [Mev] )
33 -- En considerant que la particule
fait des aller-retour dans une region d'ex0,35
0,40
0,45
0,50
tension 2x0 et que l'on peut obtenir un
Figure 7 ­ Loi de Geiger-Nuttall
ordre de grandeur de la vitesse de la particule  en utilisant la relation E = 
21 m v 2 ,
estimer l'expression du temps moyen tm
entre deux rebonds de la particule sur la barriere d'energie potentielle. En 
deduire celles du
nombre moyen de rebonds par seconde, de la probabilite dp d'emission  pendant 
dt et du
temps de demi-vie 1/2 de l'emetteur . En admettant que tm varie peu d'un 
emetteur  a un
autre determiner une relation entre ln(1/2 ) et E. Cette loi fut etablie 
empiriquement par Geiger
et Nuttal en 1911.
34 -- Comparer les resultats precedents a ceux que l'on peut deduire des 
mesures rassemblees sur la figure 7.

FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L'EPREUVE

Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Henri Lastakowski (Professeur en CPGE) ; il a été 
relu
par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) et Tom Morel (Professeur en CPGE).

Ce sujet est divisé en deux parties indépendantes. La première est consacrée à
différents phénomènes thermiques dans le sol, la seconde à la description de 
l'effet
tunnel.
· La première partie débute par l'étude de la propagation d'ondes thermiques
dans le sol. Elle nécessite une bonne maîtrise du cours afin d'aboutir 
rapidement
à l'équation de la chaleur. On étudie alors la propagation d'une onde plane
sinusoïdale dont l'amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur. On
s'intéresse ensuite à l'influence des effets géophysiques en prenant en compte
les apports thermiques issus des désintégrations radioactives dans la croûte
terrestre, et du flux thermique issu du manteau. C'est l'étude des effets de 
relief
qui conclut cette partie : on prend en compte les variations de température en
surface.
· Il est nécessaire de bien connaître les bases de la physique quantique pour
aborder la seconde partie. Au menu : fonction d'onde, équation de Schrödinger
et solutions en ondes stationnaires dans le cas simple d'un potentiel uniforme.
L'utilisation des résultats précédents permet d'étudier l'effet tunnel à 
proximité
d'une marche de potentiel. Enfin, cerise sur le gâteau, on montre que l'effet
tunnel est à l'origine de la radioactivité  chez certains éléments chimiques.
La partie I propose des problèmes de diffusion assez classiques, proches de 
certains
exercices de cours. La partie II est entièrement dédiée à la mécanique 
quantique,
plus particulièrement à l'effet tunnel. Plusieurs calculs sont relativement 
fastidieux à
mener et nécessitent une grande rigueur.

Indications
Partie I
2 Contrairement à ce que dit l'énoncé, la quantité d'énergie traversant la 
surface
dS pendant dt est dQ dt.
4 Être attentif aux orientations du vecteur surface sur les parois du système.
8 Injecter la solution proposée dans l'équation de la chaleur et séparer partie 
imaginaire et partie réelle.
10 Comparer  pour des variations journalières et annuelles de température.
11 Les variations d'énergie interne, nulles en régime stationnaire, sont dues 
aux flux
thermiques échangés et aux désintégrations des éléments radioactifs.
15 Chercher une solution de la forme T(x, z) = TS + T1 tx (x)tz (z).
16 Pour une équation linéaire, la solution est la somme de solutions issues des 
différentes contributions.
Partie II
23 Remarquer que la solution de l'équation de Schrödinger est analogue à une 
onde
-
-

plane progressive harmonique de forme f (x, t) = f0 e i(t- k · r ) .
28 Simplifier au maximum l'expression de la fonction d'onde avant de mener ce
calcul, et remarquer que l'on peut négliger l'influence de la dépendance 
temporelle.
Remarquer également que le calcul dans la zone III est identique à celui dans la
zone I.
30 En dehors du noyau X, le potentiel V(x) traduit l'interaction 
électrostatique entre
le noyau Y et la particule .
31 Remarquer que pour parvenir en x + dx, la particule doit parvenir en x puis
franchir une barrière de potentiel de largeur dx et de hauteur V(x).
33 T  1, par conséquent la probabilité de franchir la barrière au bout de N 
tentatives est approximativement égale à N × T. Si le système contient un nombre
M(t) de particules radioactives à l'instant t, combien se désintègrent pendant 
dt ?
Quelle est alors la loi d'évolution de M(t) ?

De la physique dans le tunnel de Fréjus
I. Température dans le tunnel de Fréjus
1 La valeur moyenne de la fonction cosinus étant nulle, la moyenne temporelle de
la température extérieure en z = 0 est égale à 0 . Donc
hT(0, t)i = 0 = 0  C
Avec l'expression de T(0, t),
et

Tmax = 0 + T0

Tmin = 0 - T0

On peut raisonnablement supposer un écart de températures de l'ordre de 30  C
entre l'hiver et l'été, ce qui correspond à
T0 = 15  C

-
2 Notons d S le vecteur surface élémentaire. Le vecteur densité de flux 
thermique -

Q
est défini de sorte que

-
dQ = -

Q · dS
D'après cette expression, la densité de flux thermique j Q est homogène à une
puissance surfacique.
L'énoncé définit à tort le flux thermique comme l'énergie traversant la surface
dS pendant dt. En toute rigueur, cette énergie est égale à dQ dt. Notons
également que le flux ainsi défini correspond au flux thermique traversant la

-
surface dS dans le sens du vecteur d S .
3 En notant  la conductivité thermique du sol, la loi de Fourier s'écrit
--
-

Q = - grad T
La loi de Fourier est applicable lorsque
· le gradient thermique n'est pas trop élevé ;
· le gradient thermique ne varie pas trop rapidement ;
· le milieu est isotrope.
Par ailleurs, notons  la dimension d'une température. L'opérateur gradient étant
homogène à l'inverse d'une longueur, il vient
[] =
Or
Ainsi

[puissance]
L
×

L2

[puissance] =

[énergie]
= M.L2 .T-3
T

[] =M.L.T-3 .-1

4 Le système est invariant par translation suivant x et y, la température ne 
dépend spatialement que de z, et on peut poser -

bz .
Q = jQu
Le système  constitué de la tranche de surface
S comprise entre les altitudes z et z + dz ne
reçoit des transferts thermiques qu'à travers les
surfaces supérieure et inférieure. L'énergie élémentaire mise en jeu ici s'écrit
Q = -sortant dt

-

Q (z)

-
S (z) = -S u
bz

z

z + dz

avec sortant le flux sortant. Or, d'après la question 2,
Z

-
sortant = -

Q · dS

z

-

S (z + dz) = S u
bz
-
(z
+
dz)

Q

-

avec S le vecteur surface sortant (voir schéma). Entre t et t + dt, le système 
reçoit
de l'énergie à travers la surface située en z et celle située en z + dz. Le 
transfert
thermique total reçu entre t et t + dt vaut

-

-
-

Q = - -

Q (z, t) · S (z) + Q (z + dz, t) · S (z + dz) dt
D'après le schéma,

Q = - (j Q (z + dz, t) - j Q (z, t)) S dt

Finalement

Q = -

j Q
dz S dt
z

5 Il est nécessaire d'introduire ici un système de taille mésoscopique. En 
effet, la
température étant inhomogène à l'échelle de la croûte terrestre, il est 
impossible
d'introduire une température globale pour l'ensemble de la croûte. Par 
conséquent,
le système doit être petit comparé aux échelles de variation de température. En 
outre, les lois de la thermodynamique ne sont applicables que pour des
systèmes comprenant un très grand nombre de particules. Pour pouvoir définir une
température, le système doit donc être grand comparé à l'échelle atomique.
6 Le système, défini à la question 4, n'échange pas d'énergie sous forme de 
travail
avec l'extérieur. Le premier principe appliqué à la tranche de solide entre les 
instants
t et t + dt s'écrit donc
dU = Q
D'après la question 4,

dU = -

j Q
dz S dt
z

Par ailleurs, le sol est considéré comme une phase incompressible, indilatable. 
La capacité thermique de la tranche comprise entre z et z +dz vaut cs s dV avec 
dV = S dz.
La variation d'énergie interne entre t et t + dt s'écrit
dU = cs s dVdT = cs s dV
Par conséquent,

dU = cs s

T
dt
t

T
dz S dt
t