Mines Physique 2 PC 2015

Thème de l'épreuve Ondes internes en vallée encaissée
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, thermodynamique, ondes
Mots clefs fluide parfait, milieu anisotrope, onde interne, nuage, poussée d'Archimède

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2015
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
-- Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est
invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant 
les raisons des
initiatives qu'il aura ete amene a prendre.
-- Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques)
qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas 
explicitement. Le
bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de 
la copie.

ONDES INTERNES EN VALLEE ENCAISSEE
Ce probleme comporte trois parties largement independantes. La premiere partie 
fait etablir
l'expression de la pulsation de Brunt-Vaisala caracterisant la troposphere 
lorsqu'elle est stablement stratifiee. Les ondes internes sont des ondes de 
gravite (comme les vagues) mais se
propageant a l'interieur d'un milieu continument stratifie (comme les oceans ou 
l'atmosphere).
La deuxieme partie a pour but d'obtenir la relation de dispersion de ces ondes. 
La troisieme
et derniere partie est une etude numerique de la propagation de celles-ci au 
sein d'une vallee
encaissee idealisee. Dans tout le probleme, l'acceleration de la pesanteur 
vaudra g = 9, 8 m · s-2
et la constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J · mol-1 · K-1 . Les vecteurs 
sont surmontes d'un
chapeau lorsqu'ils sont unitaires (kb
ux k = 1) ou d'une fleche dans le cas general.

I. -- Atmosphere stablement stratifiee
La troposphere est la couche de l'atmosphere situee entre 0 et 12 km au-dessus 
du sol. Il s'agit
d'une couche de gaz stratifie verticalement, de l'air, que l'on modelisera par 
un gaz parfait
diatomique. Cela signifie que sa masse volumique varie avec l'altitude suivant 
la verticale. Mais
la troposphere est compressible et rarement isotherme parce que la chaleur qui 
provient du
sol chauffe par le soleil est transmise aux couches atmospheriques voisines du 
sol, et peu aux
couches superieures. On suppose que les grandeurs physiques qui decrivent la 
troposphere ne
dependent que de l'altitude z du lieu considere.
En journee, la temperature decroit quand l'altitude augmente. On supposera le 
gradient de
dT
= -C avec une constante C = 6, 00 · 10-3 K · m-1 .
temperature uniforme (dans l'air sec) :
dz

Ondes internes en vallée encaissée

Ü 1 -- En supposant qu'au niveau de la mer, la température soit &; = 15°C 
calculer la
température a Chamonix (1050 m) puis au sommet du Mont--Blanc (4810m).

Ü 2 -- En écrivant l'équilibre hydrostatique de chaque couche de la 
troposphère, déterminer
l'expression de la pression en fonction de l'altitude 21. On fera apparaitre la 
constante x = %
où M = 29, 0g - mol_1 est la masse molaire de l'air. On relève une pression 
atmosphérique
po : 1013 hPa au niveau de la mer, calculer la valeur de la pression 
atmosphérique qui règne a

Chamonix et au sommet du Mont--Blanc.

Ü 3 -- On note p(z) la densité volumique de masse de la troposphère. Montrer 
que son
équation d'état est polytropique : pp_0' : cste. On précisera la valeur 
numérique de la constante
oz et l'on vérifiera que 1 { oz { y où y est l'indice adiabatique de la 
troposphère.

Ü 4 -- On suppose que l'épaisseur de la troposphère est constante, Ztr : 12 km 
et que la terre
est une boule de rayon R,: = 6400 km. Écrire l'expression de la masse mtr de la 
troposphère
comme l'intégrale d'une fonction de 21. En simplifiant l'expression de la 
fonction a intégrer en
considérant les valeurs numériques impliquées, donner une estimation numérique 
de la masse
de la troposphère.

La stratification verticale de la troposphère est responsable du principal 
mécanisme des mou--
vements verticaux qui s'y développent. Il repose sur le fait qu'une bulle d'air 
dont la densité
est différente de celle de l'atmosphère ambiante se meut verticalement avec des 
accélérations
différentes selon son altitude. Au cours de son ascension ou bien de sa 
descente, la bulle d'air
change d'état thermodynamique (température, masse volumique). Considérons une 
bulle d'air
notée 95' et vérifiant par hypothèse les conditions suivantes :

-- L'ensemble 95' est homogène, constitué de particules d'air pour lequel on 
peut définir
une masse volumique uniforme p93 et une température uniforme T.

-- L'ensemble 95' se déplace suivant la verticale 07: de manière adiabatique, 
autrement
dit on suppose qu'elle se déplace suffisamment vite pour ne pas recevoir de 
tranfert
thermique de la part des volumes voisins de la troposphère.

-- La ou les transformations subies par 95' ne sont a priori pas isothermes.

-- On peut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air extérieur par une 
fine enveloppe
de type << bulle de savon >> dont l'effet est négligé;

-- En revanche a chaque instant il y a égalité des pressions a l'interface 
entre la bulle d'air
et la troposphère ambiante;

-- La troposphère ambiante est au repos : il y a donc équilibre hydrostatique;

-- On négligera la viscosité de l'air, et on le supposera totalement sec 
(absence d'humidité).

Avant d'être déplacée, la bulle d'air de volume V0 de masse volumique Z " 
(VO+5V, p0+5 p)
pÿ, : po est en équilibre hydrostatique a l'altitude zo. Sa température et """

sa pression SOHË égales à celles de l'air environnant, soit T( 710) et p(Zo)- 
Zo+EUR" ___________ :: " p(20+5)
Elle est ensuite déplacée a la hauteur zo +EUR (voir Fig. 1). ' T(%+Ê)

Ü 5 -- En supposant son évolution adiabatique et réversible, et les A --1
variations assez petites pour être traitées linéairement, déterminer la g
variation (W de volume en fonction de EUR , VO, po, g et du coefficient de 20 " 
___________ P(Zo)
compressibilité XS : --% (%)S de la bulle. AA Tu q_
. '7'- ii

PHOTO 1 -- Mer de nuages dans la vallée de l'Arve -- Haute--Savoie

Page 5/7 Tournez la page S.V.P.

Ondes internes en vallée encaissée

Une onde orographique est une forme d'onde de gravité atmosphérique qui se 
produit lorsqu'une
masse d'air est forcée en altitude par son déplacement au--dessus d'un relief 
montagneux. Si
l'environnement est stable, la masse d'air redescendra du côté aval de 
l'obstacle et entrera en
oscillation autour d'une hauteur égale ou inférieure au sommet de celui--ci.

Ü 25 -- Dans cette question, on ne supposera plus l'air totalement sec. 
Expliquer qualitati--
vement la formation de nuages lenticulaires dans les Alpes, observables sur la 
photo 2.

PHOTO 2 -- Nuages lenticulaires sur le Mont--Blanc -- Haute--Savoie

FIN DE LA PARTIE III

Page 6/7

L/L 939d

OE[AflOE[HdOE[JI OE[(I NIH

(100

4110

_0720 : : :
2000 4000 6000

t 18 1

8000

10000

170 '" 200

3000

1000

OI | | | | | | | | | ||
1500 1750 2000 ?

FIGURE 4 -- Diagrammes de Hôvmoller au voisinage du point C' de la vallée 
idéalisée EUR
relevé de vz(t) toujours au point C' pendant plus d'un jour à partir du même 
instant initî

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Mines Physique 2 PC 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Henri Lastakowski (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur l'étude des mouvements verticaux de masses d'air dans la 
partie
basse de l'atmosphère et sur l'impact du relief sur ces mouvements.
· Dans la première partie, on décrit l'évolution d'une particule de fluide 
constituée
d'air. En combinant des approches thermodynamique et mécanique, on établit
que les particules de fluide, soumises à leur poids et à la poussée d'Archimède,
peuvent osciller verticalement autour d'une altitude d'équilibre.
· À partir des équations de la mécanique des fluides, la deuxième partie établit
la relation de dispersion des ondes internes, dont la propagation repose sur le
mécanisme d'oscillations étudié dans la première partie. Pour ce faire, on 
réalise
un développement perturbatif des équations de la dynamique, au premier ordre.
· Dans la troisième partie, on interprète les résultats de simulations 
numériques
de telles ondes dans une vallée encaissée en s'appuyant notamment sur la 
relation de dispersion établie dans la partie précédente. S'ensuit une analyse
qualitative de différents phénomènes nuageux liés aux mouvements verticaux
des masses d'air.
Cette épreuve est globalement difficile : certaines questions sont 
calculatoires et
la physique de l'ascension des particules d'air y est à peine expliquée. Dès 
lors, il est
facile de se perdre dans des expressions mathématiques, parfois lourdes, sans 
pouvoir
réellement en dégager le sens physique. La troisième partie est redoutable : 
bien que
les calculs soient sans difficulté, l'interprétation des documents fournis 
nécessite un
peu d'habitude et beaucoup de jugeote.

Indications
Partie I
2 Utiliser l'expression de la température obtenue à la question précédente.
3 Exprimer  en fonction de z grâce à l'expression de p(z). Montrer que
 1/ 
1/(-1)
p

=
p0
(0)
4 Exprimer la masse d'une coquille sphérique de troposphère, de rayon Rt + z.
Remarquer que Rt  z.
5 Linéariser S .
6 Développer l'expression de la poussée d'Archimède à l'ordre 1 en .
8 Il faut réexprimer S (pour l'air de la bulle d'air) en fonction de B . 
Effectuer
alors un changement de variables B (z) = B (p, S). Remarquer que l'évolution
de l'air dans la bulle est supposé adiabatique réversible.
Partie II
10 Remarquer que |0 |  |1 |.
12 Calculer la divergence de l'équation obtenue à la question 11. Permuter 
l'opérateur
divergence et la dérivée partielle par rapport au temps.
13 Projeter l'équation obtenue à la question 11 sur la verticale et en calculer 
le
laplacien. Permuter les dérivées partielles par rapport à l'espace avec celle 
par
rapport au temps.
15 Constater que kz 2 > 0 car kz est réel par hypothèse.
Partie III
20 Il faut se placer à t fixé pour déterminer la période spatiale selon Ox. De 
la
même manière, il faut se placer à x fixé pour déterminer la période temporelle.
On constate alors graphiquement que cx est égal à la pente rx .
21 Exprimer les nombres d'onde kx , ky et kz en fonction de rx , ry et rz .
24 Que se passe-t-il si l'atmosphère stratifiée n'est pas le siège 
d'oscillations verticales
des particules d'air ?
25 Quelle est la conséquence de l'élévation de particules d'air humide ?

Ondes internes en vallée encaissée
I. Atmosphère stablement stratifiée
1 Intégrons la relation fournie :
T(z) = -C z + T(0)
lieu
Chamonix
Mont-Blanc

d'où

T (K)
281,9
259,3

t ( C)
8,7
-13,9

La conversion K C est effectuée en retranchant 273,15 à la valeur obtenue
en kelvins.
2 La relation de l'hydrostatique projetée sur la verticale ascendante s'écrit
dp
= - g
dz
 RT
Or, d'après la loi des gaz parfaits, p =
M
dp
gM
gM
p
donc
=-
p=-
dz
RT
RC T(0)/C - z
où l'on a utilisé l'expression de la température établie à la question 
précédente. On
reconnaît une équation différentielle du premier ordre en p. Après intégration, 
il vient
 Z z

Cz

p(z) = p(0) exp -
dz
=
p(0)
exp

ln
1
-

T(0)
0 T(0)/C - z

Cz
ou encore
p(z) = p0 1 -
(avec p(0) = p0 )
T(0)
lieu
Chamonix
Mont-Blanc

Numériquement,

p (hPa)
893
555

3 D'après la loi des gaz parfaits,

(z) =

M p0 [1 - C z/T(0)]
M p(z)
=
R T(z)
R T(0) 1 - C z/T(0)

Remarquons que
Ainsi

(0) =

M p0
R T(0)

Cz
(z) = (0) 1 -
T(0)

-1

Le résultat de la question 2 montre que
 1/

1/(-1)
p
Cz

=1-
=
p0
T(0)
(0)
ce qui prouve que

p - = Cte

avec

=

= 1,2
-1

La valeur de  dépend de la température. Si on considère que dans les conditions
de température considérées,  = 7/5 = 1,4, on a bien
166
4 Considérons une coquille sphérique, de rayon Rt + z, d'épaisseur dz découpée
dans la troposphère. La masse dmtr de cette coquille est
dmtr = 4 (Rt + z)2 (z) dz
Intégrons sur z compris entre 0 et z tr :
mtr = 4

Z

z tr

(Rt + z)2 (z) dz
0

où (z) est une fonction de z (d'après la question 3). Pour estimer cette 
intégrale,
notons que pour tout z dans [ 0 ; 12 km ], Rt  z. Par conséquent,
Z ztr
Rt 2 (z) dz
mtr  4
0

-1
Cz
dz
T(0)
0
 
 ztr
4 Rt 2 (0) T(0)
Cz

- 1-
C
T(0)
z=0
 4 Rt 2 (0)

d'où

mtr

Z

z tr

1-

Remplaçons  dans la fraction, par son expression introduite à la question 2,
mtr 

4 Rt 2 p0
g

C z tr
1- 1-
= 4,3.1018 kg
T(0)

5 Linéarisons l'expression de S en remplaçant la dérivée par le taux de 
variation :
V = -S V0 p
D'après la loi de l'hydrostatique (elle aussi linéarisée), on a
p
= -0 g

donc

V = S V0 0 g 
On utilise la compressibilité isentropique car on suppose que les mouvements
des masses d'air sont rapides devant les durées caractéristiques des échanges
thermiques entre la bulle d'air et l'air qui l'entoure. C'est pour cette raison
que l'évolution est supposée adiabatique. Comme en sus, elle est réversible
(absence d'amortissement ou de dissipation), elle est isentropique.

-
6 Par définition, la poussée d'Archimède  , à l'altitude z0 + , est égale à 
l'opposé
du poids du fluide déplacé par la bulle, de volume V0 + V à cette altitude, d'où
-

 = (z0 + ) (V0 + V) g -
u
z