Mines Physique 2 PC 2013

Thème de l'épreuve Rebonds d'une goutte d'eau
Principaux outils utilisés mécanique, mécanique des fluides

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(EfiUOE,ENSTAIfiUÆSTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
NHNESIH£SAH«DÆHïENNE,NUNESIÆDNANGY,
TÉLÉCONIBRETAGNE,ENSAEI%UÜSTECH(FHJÈREIOEP)
ÉCOLEIKHÆÎOEKOEDÜQUE(FHJÈREÎÈD

CONCOURS D'ADMISSION 2013
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ]] -- PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il aura été amené à prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

REBONDS D'UNE GOUTTE D'EAU

Il est possible de réaliser par traitement chimique d'une plaque métallique une 
surface plane
parfaitement hydrophobe : une goutte d'eau posée sur cette surface n'y est en 
contact qu'en
un seul point et on constate qu'elle adopte une forme sphérique si elle est 
suffisamment petite
(observation 01).

Lorsqu'on lâche une goutte sphérique de rayon ao oe 1,0 mm sans vitesse 
initiale a une hauteur
h % 10 cm au--dessus de la plaque supposée horizontale et qu'on filme avec une 
caméra rapide,
on constate que la goutte reste au contact du plan hydrophobe pendant une durée 
r de l'ordre de
quelques millisecondes (observation 02). Pendant cette phase, la goutte 
s'aplatit puis s'arrondit
avant de décoller.

Une fois qu'elle a décollé, la goutte qui a récupéré sa forme sphérique remonte 
jusqu'à une
altitude maximale inférieure a h avant de retomber. Le processus se répète 
ensuite avec cinq à
dix rebonds perceptibles (observation 03).

Le but du problème est de proposer des modèles simples tentant d'interpréter 
ces observations.

Toutes les définitions et données numériques utiles pour tout le problème sont 
rassemblées en fin
d'énoncé. Dans tout le problème, eæprirner ou déterminer une grandeur signifie 
en donner une
expression littérale. En revanche calculer une grandeur signifie en donner une 
valeur numérique
avec deux chiffres significatifs. Dans tout le problème, les vecteurs sont 
surmontés d'un chapeau

s'ils sont unitaires ou d'une flèche dans le cas général, le champ de pesanteur 
ÿ' : -- gÜZ est
uniforme et le référentiel terrestre supposé galiléen. Une quantité surmontée 
d'un point indique
da

la dérivée totale par rapport au temps de cette quantité : a = --.

dt

Rebands d'une goutte d'eau

1. -- Forme des gouttes

Dans toute cette partie, la goutte est supposée au repos. Pour fa--

ciliter les calculs correspondants à l'observation 01, on adopte 2"

une géométrie différente de la réalité en considérant la goutte

cylindrique de rayon (1 et de hauteur 9 comme représenté sur la .
figure 1. Du fait que le contact avec la goutte réelle est ponc-- (,
tuel, on admet que dans le modèle cylindrique, toute la surface

du cylindre (y compris sa base) est en contact avec l'air; cela

revient à supposer qu'une mince couche d'air sépare la base du

cylindre de la plaque. L'expérience montre que les interactions

entre l'eau et l'air sont associées à une énergie potentielle de la FIGURE 1 * 
Modèle
forme EN : AS où S est l'aire de l'interface eau--air et A une cylindrique
constante positive appelée coefficient de tension superficielle.

I.A. -- Rôle de la tension superficielle

Dans la partie I.A on néglige la pesanteur.

D 1 -- Exprimer le volume V de la goutte cylindrique et sa surface totale de 
contact avec
l'air S en fonction de a et e. En déduire que son énergie potentielle de 
tension superficielle se

met sous la forme :
2A V

EW : 27rAa2 + &

D 2 -- Déterminer, pour V et A fixés, la valeur au de a pour laquelle E... 
passe par un minimum.
On exprimera ao en fonction de V. Vérifier que la valeur correspondante de 
l'épaisseur de la
goutte est ce : 2110, ce qui donne une géométrie ( proche > de la sphère. En 
déduire l'expression
du minimum de l'énergie potentielle en fonction de A et a... tracer le graphe 
de EW en fonction
de a.

en fonction de A. En déduire

D 3 -- Déterminer7 pour V et A fixés l'expression de 11112
a=lln

qu'au voisinage de a : a... on peut mettre, a une constante additive près, 
l'énergie potentielle
de tension superficielle sous une forme analogue à l'énergie potentielle 
élastique d'un ressort de
raideur k, de longueur à vide [0 et de longueur a. On exprimera le en fonction 
de A et [D en
fonction de (la. Calculer le et comparer a la raideur d'un ressort réel qui 
s'allonge de Al : 1 cm
lorsqu'on lui suspend une masse ... : 100 g.

I.B. -- Influence de la pesanteur

Dans cette partie on prend en compte la pesanteur. On prend l'origine des 
énergies potentielles
de pesanteur a la base de la goutte de telle sorte que les cotes de ses faces 
inférieure et supérieure
sont respectivement 1 : 0 et z : &. On fait l'hypothèse que l'énergie 
potentielle de pesanteur
modifie très peu la valeur 043 de a qui rend minimale l'énergie potentielle 
totale de la goutte.
On supposera notamment que la relation entre V et au obtenue à la question 2 
reste Vraie.

E' 4 -- Montrer que, sous ces hypothèses, l'énergie potentielle de pesanteur de 
la goutte s'écrit

27rueyaä
Em : T

Page 2/8

Physique 11, année 2013 * filièm PC

D 5 -- On note al : ag(1 + EUR) la Valeur qui rend minimale l'énergie 
potentielle totale de la
goutte. En supposant EUR << 1 et en utilisant un développement limité, 
déterminer à l'ordre 1
l'expression de EUR en fonction de a... ue, g et A. Interpréter le signe de (. 
Vérifier a posteriori
l'hypothèse EUR << 1.

FIN DE LA PARTIE I

II. -- Modèle mécanique du rebond

L'analyse de la partie I conduit à modéliser la tendance d'une
goutte à reprendre une forme sphérique par un ressort de raideur
k. Pour prendre en compte par ailleurs l'inertie de la goutte et 57 L
d'inévitables frottements internes, ou adopte le modèle de la Z VVVVVVVVVVV m
figure 2 : on attache sous une masse ponctuelle m : 6,3 mg
un patin (P) plan de masse nulle via un ressort de raideur k :
2,6 N.m*l et de longueur à vide eo et un amortisseur qui exerce
sur 711 une force de la forme F : + f ÈÜZ où e est la distance
entre la masse m et le patin. Le ressort et l'amortisseur sont 0
montés en parallèle. On néglige la masse du ressort et la masse
de l'amortisseur Dans ce modèle toute la masse de la goutte est
concentrée en son sommet, cela sera corrigé dans la partie III.

patin (P)

plaque fixe

FIGURE 2 + Modèle mécanique
de la goutte

À chaque instant t, on repère les mouvements du système par la cote z(t) de la 
masse m et par
la cote Z (t) : z(t) + e(t) du patin (P), la cote nulle étant prise sur la 
plaque fixe.

II.A. -- Étude de la chute

Le système est abandonné avec les conditions initiales z(t : O) = h + eu, z'(t 
: 0) : 0,
e(t : O) : en et é(t : 0) : 0. On néglige les forces exercées par l'air.

E' 6 -- En isolant le patin, montrer que e(t) reste constamment égal à eo.

E' 7 -- Justifier par ailleurs que l'évolution de z(t) correspond à une chute 
libre. En déduire,
en fonction de g et h, l'expression du module de la vitesse vo : |i(to)| de la 
masse m a l'instant
to où le patin touche la plaque de cote z : 0. Calculer %.

II.B. -- Étude du choc sur la plaque

On fixe désormais l'origine des temps t : 0 a l'instant où le patin touche la 
plaque. Du fait de sa
masse nulle, sa vitesse devient instantanément nulle. On repère alors 
l'évolution de l'épaisseur
e(t) avec les conditions initiales e(t : O) : en et e(t : O) : +ug. Dans toute 
la suite de cette
partie on suppose que le poids de la goutte est négligeable devant les autres 
forces en jeu.

D 8 -- On suppose que le patin reste au contact de la plaque fixe en z : 0. 
Montrer que
l'équation difiérentielle décrivant l'évolution de e(t) : e(t) + eu se met sous 
la forme

&
Q

où l'on explicitera les constantes positives m0 et Q en fonction de m, 14: et f 
.

ä+ È+wä£:0

E' 9 -- On suppose que Q2 >> 1 et l'on néglige tous les termes en 1/Q2. En 
déduire que la
solution générale est de la forme e(t) : exp (+ %) [B cos(oept) + C sin(umt)] 
et déterminer les
constantes d'intégration B et C en fonction de vo et wo.

Page 3/8 Tournez la page S.V.P.

Rebands d'une goutte d'eau

D 10 -- Pour " E N, on note T,. la suite des instants correspondants aux 
extrema successifs
(positifs ou négatifs) de E(t). On admet que les oscillations de E(t) sont 
perceptibles tant que
leur amplitude E(Tn) reste supérieure où égale à 10% de la Valeur initiale 
5(Tg). Exprimer le
nombre d'oscillations perceptibles en fonction de Q. Combien peut--on en 
obsewer si Q : 5?
On conservera cette valeur de Q dans toute la suite de cette partie.

II.C. -- Décollement de la goutte

On s'intéresse désormais à la possibilité de décollement du patin. On note Ë : 
Rû, 'action de
contact exercée par la plaque fixe sur le patin.

D 11 -- Établir l'expression de H en fonction de k, f , EUR et E'.

D 12 -- En limitant les calculs à l'ordre 1 en 1/Q, de
simples substitutions non demandées donnent alors

wo t _ 1
R : mwa vo exp (* --) {SID tout + -- cos umt }
2Q ( ) Q ( >
Déterminer l'instant 7 > 0 où le patin décolle. Calculer
sa valeur, le modèle est-il en accord avec les observa--
tions? Quelle erreur relative commet-on si l'on néglige
le terme en 1 / Q dans l'expression de T '?

D 13 -- Quelle loi de variation de T en fonction du
paramètre 04), étudié dans la partie I, le modèle prévoit--
il? Une étude expérimentale menée sur des gouttes de 104 "0 [ml 10
rayon variant entre 0,5 mm et 2 mm a permis de tracer le

graphe de la figure 3 en échelle log--log. Tester la validité FIGURE 3 * T 
fonction de "D
du modèle.

--3

FIN DE LA PARTIE II
III. -- Modèle ondulatoire du rebond

Le modèle de la partie Il présente l'inconvénient de concentrer
toute la masse de la goutte en son sommet. Par ailleurs les forces
de tension superficielle, bien que ne n'existant qu'en surface ont une
influence au sein de la goutte par le biais des forces de pression. On
adopte donc dans cette partie un modèle plus respectueux du ca--
ractère continu du milieu envisagé mais afin d'éviter de lourds cal-- "
culs on se limite a une géométrie unidimensionnelle et a de faibles
déformations. De plus on ne s'intéresse qu'à la phase où la goutte
est au contact de la plaque; on néglige donc la pesanteur.

HLA. -- Équation d'onde

La goutte est modélisée comme sur la figure 4 par une chaîne de U
N masses M liées par des ressorts identiques de longueur à vide de

et de raideur K . Au repos la masse de numéro (11) est située à la FI_GURE 4 * 
Modele ondula--
cote min et on repère son mouvement par sa cote z" : min + {n(t). tolre

N

D 14 -- En supposant 1 < n < N, établir l'équation du mouvement de la n--ième 
masse faisant
intervenir les positions EUR,,(t), {"n1(t) et {n+1(t).

Page 4/8

Physique 11, année 2013 * filièm PC

D 15 -- On fait l'approximation des milieux continus en introduisant une 
fonction de deux
variables {(z,t) telle que {(z : nd...t) : {,. (t) et en considérant de plus 
que (io --> 0 pendant que
N --> +oo. Montrer que EUR(z,t) est solution d'une équation de D'ALEMBERT 
faisant apparaître
une célérité c que l'on exprimera en fonction de K , du et M. Montrer que la 
force exercée par
la partie inférieure de la chaine sur la partie supérieure s'écrit

% A

Ë(z,t) : * Kdo Æ M;

E' 16 -- On cherche des solutions de la forme EUR(z,t) : EURM sin(az * ip) 
cos(wt * $) avec
0 S ga < 7r et 0 5 11} < 7r. Etablir l'expression de a > 0 en fonction de w et 
c.

III.B. -- Conditions aux limites - Conditions initiales

La chaîne de masses est finie et localisée au repos entre la cote z : 0 de la 
plaque et la cote
z : 200, de telle sorte que la masse inférieure est a tout instant au contact 
de la plaque.

D 17 -- Quelle est la condition aux limites imposée par la plaque à la masse 
inférieure qui
est directement posée sur elle? En déduire la valeur de (p.

8
D 18 -- Justifier le fait que {% : 0 à tout instant. En déduire que seule une 
suite de
z=2nu

pulsations wi associées à un entier i sont possibles et les exprimer en 
fonction de i, ao et c.

56
É É=Ü

moment où la chaine touche la plaque, elle est déformée par la pesanteur. On 
choisit donc

comme nouvelle origine la position de la masse inférieure à t : 0. Les calculs 
complets étant

hors de portée, on admet que seul le mode fondamental, de pulsation la plus 
basse, est présent

avec ga : 07 il} : 0 et 5 M < 0. En déduire que la masse inférieure reste au 
contact de la plaque

jusqu'à la date T que l'on exprimera en fonction de ao et c.

D 19 -- Les conditions initiales EURlz=D et sont délicates a mettre en oeuvre 
car au

III.C. -- Retour à la goutte d'eau

Pour faire le lien entre ce modèle et la goutte, il convient d'expliciter c et 
donc K. On suppose
donc qu'il y a N >> 1 masses ponctuelles identiques M : TTL/N distantes au 
repos de du :
2% /N .

D 20 -- Déterminer, en fonction de n, l'expression de la raideur du ressort 
obtenu en associant
en série deux ressorts de même raideur K,.

D 21 -- En déduire l'expression de la raideur K que doit posséder chaque 
ressort de la chaine
pour que celle--ci soit équivalente au ressort unique de raideur !: de la 
question 3 modélisant les
effets de la tension superficielle. On exprimera K en fonction de A et N.

E' 22 -- Exprimer alors le temps de contact T de la goutte en fonction de A, ne 
et de son
rayon 04]. Calculer T et comparer avec le résultat de la question 13.

III.B. -- Rôle éventuel de la compressibilité de l'eau

On se demande à présent si l'incompressibilité de l'eau peut être remise en 
cause.

D 23 -- Quel phénomène courant prouve le caractère compressible de l'eau ? 
Comment peut-on
mesurer très simplement son coefficient de compressibilité isentropique Xs avec 
le matériel d'une
salle de travaux pratiques'.? On ne demande pas un protocole détaillé mais 
juste le principe de
la mesure.

Page 5/8 Tournez la page S.V.P.

Rebonds d'une goutte d'eau

D 24 -- Si on omet l'influence de la tension superficielle et qu'on privilégie 
le caractère
compressible de l'eau, on peut conserver le modèle utilisé dans cette partie à 
condition de
remplacer la célérité c des ondes obtenue à la question 15 par la célérité du 
son dans l'eau ce.
Calculer dans ce cadre le temps de contact T de la goutte d'eau sur la plaque 
et conclure.

FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Étude des pertes lors du rebond

On se propose dans cette partie de relier le nombre limité de rebonds 
(observation 03) a la
dissipation d'énergie pendant le rebond de la goutte d'eau sur la plaque. Pour 
cela on étudie
d'abord un écoulement plan simple afin d'établir une expression de la puissance 
dissipée par
viscosité dans l'eau.

IV.A. -- Puissance dissipée par viscosité dans un écoulement modèle

Dans cette question on envisage l'écoulement station--
naire d'un fluide de viscosité 77 et de masse volumique 2 F,

a constantes entre deux plaques planes de cotes res-- î_)
pectives z : 0 et z : e. La plaque inférieure est fixe ...
alors que l'on déplace la plaque supérieure a vitesse '
constante Ü : U û1 (Voir figure 5). L'épaisseur 5 étant
faible, on néglige la pesanteur. On rappelle l'équation
de N avier-Stokes :

# (%+(fi--gräd)fi) : fgradp+nAzî

FIGURE 5 * Écoulement modèle

On cherche a priori un champ des vitesses sous la forme 17 : v(æ,z) ûz et un 
champ de pression
de la forme p : p(z)

D 25 -- Montrer qu'en fait fi : 11(z)iïz et que l'accélération des particules 
de fluide est nulle.

E' 26 -- Montrer que le champ de pression est uniforme et que dans le cas 
général, 1) est une
fonction affine de 2. En considérant les conditions aux limites du problème7 
exprimer alors 11
en fonction de 2, U et e.

D 27 -- Montrer que la force surfacique exercée par une particule de fluide sur 
la particule

dF

de fluide située sous elle s'écrit @ : fs ûz où l'on exprimera fs en fonction 
de n, U et e.

E' 28 -- En déduire que la puissance des actions de contact reçue par une 
particule de fluide
de Volume d19 : dm dy dz de la part de ses voisines s'écrit d'P... : pdi9 où 
l'on exprimera p en
fonction de 11, U et e. Commenter le signe de 'P... lorsqu'on applique ce 
résultat à l'ensemble
du fluide.

D 29 -- En déduire l'expression de la puissance développée par les forces 
intérieures a une
particule de fluide de volume d19 : dz dy dz. Commenter son signe, 
qu'advient-il de cette
puissance ?

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Physique 11, année 2013 * filièm PC

IV.B. -- Cas de la goutte

On suppose que l'étude la partie lV.A peut être adaptée au cas de la goutte 
d'eau posée sur
la plaque et qui se déforme. On estime que la puissance volumique dissipée par 
viscosité peut

s'écrire sous la forme : 2
Æ * 1 e
di? * "2 e di

où e(t) % 2 a(t) est l'épaisseur de la goutte et a(t) son rayon.

1 d
E' 30 -- Donner une estimation de __e en fonction du temps de contact T de la 
goutte. En

e
déduire une expression de l'ordre de grandeur de l'énergie AE dissipée par 
viscosité au sein de
la goutte pendant son rebond en fonction de ne, ao et T.

D 31 -- Soit E l'énergie cinétique de la goutte au moment où elle touche la 
plaque et
où elle n'est pas encore déformée. Exprimer le rapport E/AE en fonction de T, 
g, h, ,uE et
71EUR. En estimant la Valeur de ce rapport, indiquer si les pertes pendant le 
rebond permettent
d'interpréter l'observation 03.

D 32 -- Calculer en ordre de grandeur le nombre de Reynolds Re correspondant 
aux oscil--
lations de la goutte. En quoi le modèle de la partie IV.A est-il critiquable? 
Pour corriger ce
modèle, on admet que la viscosité réelle de l'eau doit être remplacée par une 
viscosité effective
neñ : ne Re. Les pertes pendant le rebond permettent-elles alors d'interpréter 
l'observation
03 '?

FIN DE LA PARTIE IV

V. -- Étude des pertes dans l'air

Pour estimer le nombre maximal de rebonds, on néglige désormais les pertes 
d'énergie lors du
rebond et on se focalise sur les pertes d'énergie lors du déplacement de la 
goutte dans l'air. Dans
cette partie la goutte est supposée sphérique de rayon au. Elle est lancée 
d'une hauteur h sans
vitesse initiale à l'instant t : 0. Les actions de l'air sur la goutte sont 
modélisées uniquement
par une force de traînée, ce qui suppose notamment que l'on néglige la poussée 
d'Archimède.
De plus, on suppose que cette force de traînée est de la forme F : f ,un 7r aämî

V.A. -- Ordres de grandeurs

On néglige tout d'abord la traînée pour étudier le mouvement de la goutte.

D 33 -- Exprimer la vitesse 1; de la goutte de rayon au lâchée d'une hauteur h 
lorsqu'elle
passe a la hauteur 2 au--dessus de la plaque.

D 34 -- Exprimer le nombre de Reynolds Re de la goutte lorsqu'elle se trouve a 
la hauteur
2 au--dessus de la plaque en fonction de n... ,a... g, h, au et z. Calculer Re 
après un centimètre
de chute et lorsque la goutte atteint la plaque. Commenter le choix adopté par 
l'énoncé pour
l'expression de la force de traînée.

V.B. -- Influence de la traînée sur le nombre de rebonds

La résolution analytique de l'équation du mouvement en présence de la traînée 
ne présentant
pas d'intérêt pour évaluer un simple ordre de grandeur du nombre de rebonds, on 
simplifie
davantage le modèle en remplaçant la traînée par sa valeur au moment de 
l'impact de la goutte
sur la plaque, la Vitesse de la goutte à cet instant étant estimée en l'absence 
de traînée.

Page 7/8 Tournez la page S.V.P.

Rebands d'une goutte d'eau

D 35 -- Montrer que cette simplification revient a remplacer le champ de 
pesanteur g par une
valeur efiective gi lorsque la goutte se dirige vers la plaque et g+ 
lorsqu'elle s'en éloigne. On
écrira gi : g(1 i 7) et l'on exprimera la constante 'y en fonction de il... ne, 
[1 et au. Calculer 'y
et commenter sa valeur.

E' 36 -- On note hu l'altitude de la goutte après n rebonds en identifiant hg a 
la hauteur h
de laquelle on lâche la goutte. Exprimer fin en fonction de h, 11 et 7.

D 37 -- Exprimer un ordre de grandeur du nombre de rebonds maximal N en 
fonction de pe,
p... h et (lo. Calculer N et commenter ce résultat compte--tenu de 
l'observation 03.

FIN DE LA PARTIE V

Données numériques

de l'eau : ;LE : 1,0- 103 kg.m*3

. Masse volumique <
3

de l'air : ua : 1,3 kg.m*

de l'eau : ne : 1,0 - 10*3 Pa.s
. Viscosité dynamique <
de l'air : n,, : 1,8 - 10*5 Pas

dans l'eau : ce : 1,4- 103 m.s*1

. Célérité du son <
1

dans l'air : ca : 3,4 - 102 m.s*
. Coefficient de tension superficielle entre l'eau et l'air : A : 7,0 - 10*2 
N.m*1
. Rayon de la goutte d'eau considérée : ao : 1,0 mm

0 Hauteur de laquelle les gouttes sont lâchées : h : 10 cm.

0 Champ de pesanteur : g : 9,8 ms".

FIN DE L'ÉPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) 
;
il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm).

Cette épreuve porte sur l'étude du rebond d'une goutte d'eau sur une surface
hydrophobe. Elle s'articule en cinq parties qui utilisent de nombreux renvois 
aux
questions précédentes (particulièrement aux résultats de la partie I). Ces cinq 
parties
peuvent être regroupées en trois thèmes traités à la suite, qui correspondent 
chacun
à une observation décrite en début d'énoncé :
· Le premier thème (partie I) est consacré à l'étude de la forme d'une goutte 
d'eau
de petite taille, à l'équilibre, déposée sur une surface hydrophobe. La goutte
est modélisée comme un cylindre droit et les effets de la pesanteur sur sa forme
sont évalués. On décrit en outre son élasticité en introduisant un coefficient 
de
raideur k qui sera très employé par la suite.
· Le deuxième thème calcule l'ordre de grandeur du temps de contact de la goutte
avec une surface hydrophobe sur laquelle elle rebondit après une chute libre. La
goutte est tantôt modélisée comme un système formé d'une masse, d'un ressort
et d'un amortisseur (partie II), tantôt comme une chaîne linéaire de N masses
et ressorts (partie III).
· Le dernier thème est consacré à la dissipation de l'énergie cinétique de la 
goutte
lors du rebond. On calcule successivement les contributions de la dissipation de
l'énergie dans la goutte (partie IV) et de la dissipation induite par la force 
de
traînée durant sa chute dans l'air (partie V).
Ce problème est très intéressant, car il aborde une question physique dont 
l'énoncé
est en apparence simple, la chute et le rebond d'une goutte sur une surface 
hydrophobe, à l'aide de modèles permettant des calculs d'ordres de grandeur 
très pertinents
puisqu'ils donnent accès aux mécanismes physiques responsables du comportement
de la goutte. Il est cependant de difficulté inégale : si certaines parties 
sont très accessibles et classiques, quelques questions sont originales et 
nécessitent, notamment,
une bonne compréhension du principe fondamental de la dynamique lorsqu'il est 
appliqué à un objet de masse nulle ou une bonne maîtrise de la puissance des 
actions de
contact. Il permet aussi bien de réviser les points classiques du cours que de 
se tester
sur des questions inhabituelles, ce qui en fait une bonne préparation aux 
concours.

Indications
Partie I
3 Reconnaître une énergie potentielle de la forme E = 1/2 × k(a - l0 )2 + Cte .
4 Sommer l'énergie potentielle de tranches de goutte d'épaisseur dz aux cotes z.
Exprimer e en fonction de V, puis V en fonction de a0 .
Partie II
6 La somme des forces exercées sur un objet de masse nulle est nulle.
Partie III
15 Effectuer un développement limité à l'ordre 2 en d0 de n+1 et n-1 .
18 Que dire de la force exercée par la partie supérieure en z = 2a0 ?
19 Quand la réaction de la plaque sur la goutte s'annule-t-elle ?
20 Les ressorts transmettent intégralement les tensions auxquelles ils sont 
soumis.
23 La table des données numériques données en fin d'énoncé ou la lecture de la
question suivante peuvent aider considérablement.
Partie IV
25 Le fluide a une masse volumique constante et est en écoulement 
incompressible.
.
26 Projeter l'équation de Navier-Stokes sur les vecteurs -
u et -
u
x

z

28 La puissance des actions de contact est le produit de la force exercée sur 
la surface
par la vitesse du point d'application.
29 Faire appel au théorème de l'énergie cinétique. Existe-t-il une autre forme 
d'énergie que l'énergie cinétique associée à une particule fluide ?
30 Considérer que la goutte s'aplatit puis retrouve sa forme au cours du temps  
.
31 Y'a-t-il un lien entre le rapport E/E et le nombre de rebonds ?
Partie V

34 Quelle limite sépare les forces de traînée en - -
v des forces en - v -
v ?
35 Réintroduire la masse de la goutte dans l'expression de la force de traînée 
effective.
36 On suppose que la déformation de la goutte au rebond ne dissipe aucune 
énergie.
37 Fixer une hauteur limite hN légèrement supérieure à la taille de la goutte 
pour
calculer N.

Rebonds d'une goutte d'eau
I. Forme des gouttes
I.A

Rôle de la tension superficielle

1 Le volume d'un cylindre est égal au
produit de sa base par sa hauteur, donc

a

V = a2 e

e

Calculons sa surface en sommant les
surfaces de ses bases et de son côté :
S = 2 × a2 + 2a e
Remplaçons e par V/(a2 ) dans l'expression de l'énergie potentielle Ep,t = A S,
Ep,t = 2Aa2 +

2A V
a

2 Calculons la dérivée de Ep,t par rapport à a :

dEp,t
2V
= A 4 a - 2
da
a
Cette dérivée ne s'annule qu'une fois pour a = a0 tel que
V = 2 a03
soit

a0 =

V
2

Puisque Ep,t tend vers + lorsque a tend vers 0 ou vers +, il ne peut s'agir que
d'un minimum. Comparons l'expression du volume de la goutte obtenue à la 
question
1 avec son expression en fonction de a0 :
V = a2 e = 2 a03
soit, lorsque a = a0 ,

e0 = 2a0

Calculons l'énergie potentielle minimale
en remplaçant le volume de la goutte
par son expression en fonction de a0 :
Ep,t (a0 ) = 2Aa02 + 2A
donc

Ep,t

2a03
a0

2 Aa2

Ep,t (a0 ) = 6 Aa02
2A V
a

La figure ci-contre représente le potentiel Ep,t en fonction de a.
0

a0

a

3 Exprimons la dérivée seconde de Ep,t :

d2 Ep,t
4V
=
A
4
+
da2
a3
qui donne en a = a0

d2 Ep,t
da2

= 12 A
a=a0

Effectuons un développement de Taylor de Ep,t à l'ordre 2 au voisinage de a0 :

1 d2 Ep,t
dEp,t
(a - a0 ) +
(a - a0 )2
Ep,t (a) = Ep,t (a0 ) +
da a=a0
2
da2
a=a0
Or, d'après la question précédente,

dEp,t
da

=0

a=a0

si bien que l'on peut écrire, en omettant les termes d'ordres supérieurs à 2,
Ep,t (a) = 6 A a02 + 6 A(a - a0 )2
On reconnaît l'expression de l'énergie potentielle d'un ressort de raideur k et 
de
longueur à vide 0 à une constante près :
E(a) = E(0 ) +
où

k = 12 A = 2,6 N.m-1

k
(a - 0 )2
2
et

0 = a0 = 1 mm

La raideur k  d'un ressort qui s'allonge de  = 10-2 m lorsqu'on lui suspend
une masse de m = 0,1 kg est
k =

mg
= 98 N.m-1

On constate que la raideur de la goutte est beaucoup plus faible que la raideur
du ressort « test », lui même relativement lâche.
Le potentiel effectif du ressort associé à la goutte est représenté en tirets 
sur
la figure ci-dessous. On vérifie sa concordance avec l'énergie potentielle de
tension superficielle au voisinage de a0 .
Ep,t

0

a0

a