Mines Physique 2 PC 2013

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(EfiUOE,ENSTAIfiUÆSTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
NHNESIH£SAH«DÆHïENNE,NUNESIÆDNANGY,
TÉLÉCONIBRETAGNE,ENSAEI%UÜSTECH(FHJÈREIOEP)
ÉCOLEIKHÆÎOEKOEDÜQUE(FHJÈREÎÈD

CONCOURS D'ADMISSION 2013
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ]] -- PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il aura été amené à prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

REBONDS D'UNE GOUTTE D'EAU

Il est possible de réaliser par traitement chimique d'une plaque métallique une 
surface plane
parfaitement hydrophobe : une goutte d'eau posée sur cette surface n'y est en 
contact qu'en
un seul point et on constate qu'elle adopte une forme sphérique si elle est 
suffisamment petite
(observation 01).

Lorsqu'on lâche une goutte sphérique de rayon ao oe 1,0 mm sans vitesse 
initiale a une hauteur
h % 10 cm au--dessus de la plaque supposée horizontale et qu'on filme avec une 
caméra rapide,
on constate que la goutte reste au contact du plan hydrophobe pendant une durée 
r de l'ordre de
quelques millisecondes (observation 02). Pendant cette phase, la goutte 
s'aplatit puis s'arrondit
avant de décoller.

Une fois qu'elle a décollé, la goutte qui a récupéré sa forme sphérique remonte 
jusqu'à une
altitude maximale inférieure a h avant de retomber. Le processus se répète 
ensuite avec cinq à
dix rebonds perceptibles (observation 03).

Le but du problème est de proposer des modèles simples tentant d'interpréter 
ces observations.

Toutes les définitions et données numériques utiles pour tout le problème sont 
rassemblées en fin
d'énoncé. Dans tout le problème, eæprirner ou déterminer une grandeur signifie 
en donner une
expression littérale. En revanche calculer une grandeur signifie en donner une 
valeur numérique
avec deux chiffres significatifs. Dans tout le problème, les vecteurs sont 
surmontés d'un chapeau

s'ils sont unitaires ou d'une flèche dans le cas général, le champ de pesanteur 
ÿ' : -- gÜZ est
uniforme et le référentiel terrestre supposé galiléen. Une quantité surmontée 
d'un point indique
da

la dérivée totale par rapport au temps de cette quantité : a = --.

dt

Rebands d'une goutte d'eau

1. -- Forme des gouttes

Dans toute cette partie, la goutte est supposée au repos. Pour fa--

ciliter les calculs correspondants à l'observation 01, on adopte 2"

une géométrie différente de la réalité en considérant la goutte

cylindrique de rayon (1 et de hauteur 9 comme représenté sur la .
figure 1. Du fait que le contact avec la goutte réelle est ponc-- (,
tuel, on admet que dans le modèle cylindrique, toute la surface

du cylindre (y compris sa base) est en contact avec l'air; cela

revient à supposer qu'une mince couche d'air sépare la base du

cylindre de la plaque. L'expérience montre que les interactions

entre l'eau et l'air sont associées à une énergie potentielle de la FIGURE 1 * 
Modèle
forme EN : AS où S est l'aire de l'interface eau--air et A une cylindrique
constante positive appelée coefficient de tension superficielle.

I.A. -- Rôle de la tension superficielle

Dans la partie I.A on néglige la pesanteur.

D 1 -- Exprimer le volume V de la goutte cylindrique et sa surface totale de 
contact avec
l'air S en fonction de a et e. En déduire que son énergie potentielle de 
tension superficielle se

met sous la forme :
2A V

EW : 27rAa2 + &

D 2 -- Déterminer, pour V et A fixés, la valeur au de a pour laquelle E... 
passe par un minimum.
On exprimera ao en fonction de V. Vérifier que la valeur correspondante de 
l'épaisseur de la
goutte est ce : 2110, ce qui donne une géométrie ( proche > de la sphère. En 
déduire l'expression
du minimum de l'énergie potentielle en fonction de A et a... tracer le graphe 
de EW en fonction
de a.

en fonction de A. En déduire

D 3 -- Déterminer7 pour V et A fixés l'expression de 11112
a=lln

qu'au voisinage de a : a... on peut mettre, a une constante additive près, 
l'énergie potentielle
de tension superficielle sous une forme analogue à l'énergie potentielle 
élastique d'un ressort de
raideur k, de longueur à vide [0 et de longueur a. On exprimera le en fonction 
de A et [D en
fonction de (la. Calculer le et comparer a la raideur d'un ressort réel qui 
s'allonge de Al : 1 cm
lorsqu'on lui suspend une masse ... : 100 g.

I.B. -- Influence de la pesanteur

Dans cette partie on prend en compte la pesanteur. On prend l'origine des 
énergies potentielles
de pesanteur a la base de la goutte de telle sorte que les cotes de ses faces 
inférieure et supérieure
sont respectivement 1 : 0 et z : &. On fait l'hypothèse que l'énergie 
potentielle de pesanteur
modifie très peu la valeur 043 de a qui rend minimale l'énergie potentielle 
totale de la goutte.
On supposera notamment que la relation entre V et au obtenue à la question 2 
reste Vraie.

E' 4 -- Montrer que, sous ces hypothèses, l'énergie potentielle de pesanteur de 
la goutte s'écrit

27rueyaä
Em : T

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Physique 11, année 2013 * filièm PC

D 5 -- On note al : ag(1 + EUR) la Valeur qui rend minimale l'énergie 
potentielle totale de la
goutte. En supposant EUR << 1 et en utilisant un développement limité, déterminer à l'ordre 1 l'expression de EUR en fonction de a... ue, g et A. Interpréter le signe de (. Vérifier a posteriori l'hypothèse EUR << 1. FIN DE LA PARTIE I II. -- Modèle mécanique du rebond L'analyse de la partie I conduit à modéliser la tendance d'une goutte à reprendre une forme sphérique par un ressort de raideur k. Pour prendre en compte par ailleurs l'inertie de la goutte et 57 L d'inévitables frottements internes, ou adopte le modèle de la Z VVVVVVVVVVV m figure 2 : on attache sous une masse ponctuelle m : 6,3 mg un patin (P) plan de masse nulle via un ressort de raideur k : 2,6 N.m*l et de longueur à vide eo et un amortisseur qui exerce sur 711 une force de la forme F : + f ÈÜZ où e est la distance entre la masse m et le patin. Le ressort et l'amortisseur sont 0 montés en parallèle. On néglige la masse du ressort et la masse de l'amortisseur Dans ce modèle toute la masse de la goutte est concentrée en son sommet, cela sera corrigé dans la partie III. patin (P) plaque fixe FIGURE 2 + Modèle mécanique de la goutte À chaque instant t, on repère les mouvements du système par la cote z(t) de la masse m et par la cote Z (t) : z(t) + e(t) du patin (P), la cote nulle étant prise sur la plaque fixe. II.A. -- Étude de la chute Le système est abandonné avec les conditions initiales z(t : O) = h + eu, z'(t : 0) : 0, e(t : O) : en et é(t : 0) : 0. On néglige les forces exercées par l'air. E' 6 -- En isolant le patin, montrer que e(t) reste constamment égal à eo. E' 7 -- Justifier par ailleurs que l'évolution de z(t) correspond à une chute libre. En déduire, en fonction de g et h, l'expression du module de la vitesse vo : |i(to)| de la masse m a l'instant to où le patin touche la plaque de cote z : 0. Calculer %. II.B. -- Étude du choc sur la plaque On fixe désormais l'origine des temps t : 0 a l'instant où le patin touche la plaque. Du fait de sa masse nulle, sa vitesse devient instantanément nulle. On repère alors l'évolution de l'épaisseur e(t) avec les conditions initiales e(t : O) : en et e(t : O) : +ug. Dans toute la suite de cette partie on suppose que le poids de la goutte est négligeable devant les autres forces en jeu. D 8 -- On suppose que le patin reste au contact de la plaque fixe en z : 0. Montrer que l'équation difiérentielle décrivant l'évolution de e(t) : e(t) + eu se met sous la forme & Q où l'on explicitera les constantes positives m0 et Q en fonction de m, 14: et f . ä+ È+wä£:0 E' 9 -- On suppose que Q2 >> 1 et l'on néglige tous les termes en 1/Q2. En 
déduire que la
solution générale est de la forme e(t) : exp (+ %) [B cos(oept) + C sin(umt)] 
et déterminer les
constantes d'intégration B et C en fonction de vo et wo.

Page 3/8 Tournez la page S.V.P.

Rebands d'une goutte d'eau

D 10 -- Pour " E N, on note T,. la suite des instants correspondants aux 
extrema successifs
(positifs ou négatifs) de E(t). On admet que les oscillations de E(t) sont 
perceptibles tant que
leur amplitude E(Tn) reste supérieure où égale à 10% de la Valeur initiale 
5(Tg). Exprimer le
nombre d'oscillations perceptibles en fonction de Q. Combien peut--on en 
obsewer si Q : 5?
On conservera cette valeur de Q dans toute la suite de cette partie.

II.C. -- Décollement de la goutte

On s'intéresse désormais à la possibilité de décollement du patin. On note Ë : 
Rû, 'action de
contact exercée par la plaque fixe sur le patin.

D 11 -- Établir l'expression de H en fonction de k, f , EUR et E'.

D 12 -- En limitant les calculs à l'ordre 1 en 1/Q, de
simples substitutions non demandées donnent alors

wo t _ 1
R : mwa vo exp (* --) {SID tout + -- cos umt }
2Q ( ) Q ( >
Déterminer l'instant 7 > 0 où le patin décolle. Calculer
sa valeur, le modèle est-il en accord avec les observa--
tions? Quelle erreur relative commet-on si l'on néglige
le terme en 1 / Q dans l'expression de T '?

D 13 -- Quelle loi de variation de T en fonction du
paramètre 04), étudié dans la partie I, le modèle prévoit--
il? Une étude expérimentale menée sur des gouttes de 104 "0 [ml 10
rayon variant entre 0,5 mm et 2 mm a permis de tracer le

graphe de la figure 3 en échelle log--log. Tester la validité FIGURE 3 * T 
fonction de "D
du modèle.

--3

FIN DE LA PARTIE II
III. -- Modèle ondulatoire du rebond

Le modèle de la partie Il présente l'inconvénient de concentrer
toute la masse de la goutte en son sommet. Par ailleurs les forces
de tension superficielle, bien que ne n'existant qu'en surface ont une
influence au sein de la goutte par le biais des forces de pression. On
adopte donc dans cette partie un modèle plus respectueux du ca--
ractère continu du milieu envisagé mais afin d'éviter de lourds cal-- "
culs on se limite a une géométrie unidimensionnelle et a de faibles
déformations. De plus on ne s'intéresse qu'à la phase où la goutte
est au contact de la plaque; on néglige donc la pesanteur.

HLA. -- Équation d'onde

La goutte est modélisée comme sur la figure 4 par une chaîne de U
N masses M liées par des ressorts identiques de longueur à vide de

et de raideur K . Au repos la masse de numéro (11) est située à la FI_GURE 4 * 
Modele ondula--
cote min et on repère son mouvement par sa cote z" : min + {n(t). tolre

N

D 14 -- En supposant 1 < n < N, établir l'équation du mouvement de la n--ième masse faisant intervenir les positions EUR,,(t), {"n1(t) et {n+1(t). Page 4/8 Physique 11, année 2013 * filièm PC D 15 -- On fait l'approximation des milieux continus en introduisant une fonction de deux variables {(z,t) telle que {(z : nd...t) : {,. (t) et en considérant de plus que (io --> 0 pendant que
N --> +oo. Montrer que EUR(z,t) est solution d'une équation de D'ALEMBERT 
faisant apparaître
une célérité c que l'on exprimera en fonction de K , du et M. Montrer que la 
force exercée par
la partie inférieure de la chaine sur la partie supérieure s'écrit

% A

Ë(z,t) : * Kdo Æ M;

E' 16 -- On cherche des solutions de la forme EUR(z,t) : EURM sin(az * ip) 
cos(wt * $) avec
0 S ga < 7r et 0 5 11} < 7r. Etablir l'expression de a > 0 en fonction de w et 
c.

III.B. -- Conditions aux limites - Conditions initiales

La chaîne de masses est finie et localisée au repos entre la cote z : 0 de la 
plaque et la cote
z : 200, de telle sorte que la masse inférieure est a tout instant au contact 
de la plaque.

D 17 -- Quelle est la condition aux limites imposée par la plaque à la masse 
inférieure qui
est directement posée sur elle? En déduire la valeur de (p.

8
D 18 -- Justifier le fait que {% : 0 à tout instant. En déduire que seule une 
suite de
z=2nu

pulsations wi associées à un entier i sont possibles et les exprimer en 
fonction de i, ao et c.

56
É É=Ü

moment où la chaine touche la plaque, elle est déformée par la pesanteur. On 
choisit donc

comme nouvelle origine la position de la masse inférieure à t : 0. Les calculs 
complets étant

hors de portée, on admet que seul le mode fondamental, de pulsation la plus 
basse, est présent

avec ga : 07 il} : 0 et 5 M < 0. En déduire que la masse inférieure reste au contact de la plaque jusqu'à la date T que l'on exprimera en fonction de ao et c. D 19 -- Les conditions initiales EURlz=D et sont délicates a mettre en oeuvre car au III.C. -- Retour à la goutte d'eau Pour faire le lien entre ce modèle et la goutte, il convient d'expliciter c et donc K. On suppose donc qu'il y a N >> 1 masses ponctuelles identiques M : TTL/N distantes au 
repos de du :
2% /N .

D 20 -- Déterminer, en fonction de n, l'expression de la raideur du ressort 
obtenu en associant
en série deux ressorts de même raideur K,.

D 21 -- En déduire l'expression de la raideur K que doit posséder chaque 
ressort de la chaine
pour que celle--ci soit équivalente au ressort unique de raideur !: de la 
question 3 modélisant les
effets de la tension superficielle. On exprimera K en fonction de A et N.

E' 22 -- Exprimer alors le temps de contact T de la goutte en fonction de A, ne 
et de son
rayon 04]. Calculer T et comparer avec le résultat de la question 13.

III.B. -- Rôle éventuel de la compressibilité de l'eau

On se demande à présent si l'incompressibilité de l'eau peut être remise en 
cause.

D 23 -- Quel phénomène courant prouve le caractère compressible de l'eau ? 
Comment peut-on
mesurer très simplement son coefficient de compressibilité isentropique Xs avec 
le matériel d'une
salle de travaux pratiques'.? On ne demande pas un protocole détaillé mais 
juste le principe de
la mesure.

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Rebonds d'une goutte d'eau

D 24 -- Si on omet l'influence de la tension superficielle et qu'on privilégie 
le caractère
compressible de l'eau, on peut conserver le modèle utilisé dans cette partie à 
condition de
remplacer la célérité c des ondes obtenue à la question 15 par la célérité du 
son dans l'eau ce.
Calculer dans ce cadre le temps de contact T de la goutte d'eau sur la plaque 
et conclure.

FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Étude des pertes lors du rebond

On se propose dans cette partie de relier le nombre limité de rebonds 
(observation 03) a la
dissipation d'énergie pendant le rebond de la goutte d'eau sur la plaque. Pour 
cela on étudie
d'abord un écoulement plan simple afin d'établir une expression de la puissance 
dissipée par
viscosité dans l'eau.

IV.A. -- Puissance dissipée par viscosité dans un écoulement modèle

Dans cette question on envisage l'écoulement station--
naire d'un fluide de viscosité 77 et de masse volumique 2 F,

a constantes entre deux plaques planes de cotes res-- î_)
pectives z : 0 et z : e. La plaque inférieure est fixe ...
alors que l'on déplace la plaque supérieure a vitesse '
constante Ü : U û1 (Voir figure 5). L'épaisseur 5 étant
faible, on néglige la pesanteur. On rappelle l'équation
de N avier-Stokes :

# (%+(fi--gräd)fi) : fgradp+nAzî

FIGURE 5 * Écoulement modèle

On cherche a priori un champ des vitesses sous la forme 17 : v(æ,z) ûz et un 
champ de pression
de la forme p : p(z)

D 25 -- Montrer qu'en fait fi : 11(z)iïz et que l'accélération des particules 
de fluide est nulle.

E' 26 -- Montrer que le champ de pression est uniforme et que dans le cas 
général, 1) est une
fonction affine de 2. En considérant les conditions aux limites du problème7 
exprimer alors 11
en fonction de 2, U et e.

D 27 -- Montrer que la force surfacique exercée par une particule de fluide sur 
la particule

dF

de fluide située sous elle s'écrit @ : fs ûz où l'on exprimera fs en fonction 
de n, U et e.

E' 28 -- En déduire que la puissance des actions de contact reçue par une 
particule de fluide
de Volume d19 : dm dy dz de la part de ses voisines s'écrit d'P... : pdi9 où 
l'on exprimera p en
fonction de 11, U et e. Commenter le signe de 'P... lorsqu'on applique ce 
résultat à l'ensemble
du fluide.

D 29 -- En déduire l'expression de la puissance développée par les forces 
intérieures a une
particule de fluide de volume d19 : dz dy dz. Commenter son signe, 
qu'advient-il de cette
puissance ?

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Physique 11, année 2013 * filièm PC

IV.B. -- Cas de la goutte

On suppose que l'étude la partie lV.A peut être adaptée au cas de la goutte 
d'eau posée sur
la plaque et qui se déforme. On estime que la puissance volumique dissipée par 
viscosité peut

s'écrire sous la forme : 2
Æ * 1 e
di? * "2 e di

où e(t) % 2 a(t) est l'épaisseur de la goutte et a(t) son rayon.

1 d
E' 30 -- Donner une estimation de __e en fonction du temps de contact T de la 
goutte. En

e
déduire une expression de l'ordre de grandeur de l'énergie AE dissipée par 
viscosité au sein de
la goutte pendant son rebond en fonction de ne, ao et T.

D 31 -- Soit E l'énergie cinétique de la goutte au moment où elle touche la 
plaque et
où elle n'est pas encore déformée. Exprimer le rapport E/AE en fonction de T, 
g, h, ,uE et
71EUR. En estimant la Valeur de ce rapport, indiquer si les pertes pendant le 
rebond permettent
d'interpréter l'observation 03.

D 32 -- Calculer en ordre de grandeur le nombre de Reynolds Re correspondant 
aux oscil--
lations de la goutte. En quoi le modèle de la partie IV.A est-il critiquable? 
Pour corriger ce
modèle, on admet que la viscosité réelle de l'eau doit être remplacée par une 
viscosité effective
neñ : ne Re. Les pertes pendant le rebond permettent-elles alors d'interpréter 
l'observation
03 '?

FIN DE LA PARTIE IV

V. -- Étude des pertes dans l'air

Pour estimer le nombre maximal de rebonds, on néglige désormais les pertes 
d'énergie lors du
rebond et on se focalise sur les pertes d'énergie lors du déplacement de la 
goutte dans l'air. Dans
cette partie la goutte est supposée sphérique de rayon au. Elle est lancée 
d'une hauteur h sans
vitesse initiale à l'instant t : 0. Les actions de l'air sur la goutte sont 
modélisées uniquement
par une force de traînée, ce qui suppose notamment que l'on néglige la poussée 
d'Archimède.
De plus, on suppose que cette force de traînée est de la forme F : f ,un 7r aämî

V.A. -- Ordres de grandeurs

On néglige tout d'abord la traînée pour étudier le mouvement de la goutte.

D 33 -- Exprimer la vitesse 1; de la goutte de rayon au lâchée d'une hauteur h 
lorsqu'elle
passe a la hauteur 2 au--dessus de la plaque.

D 34 -- Exprimer le nombre de Reynolds Re de la goutte lorsqu'elle se trouve a 
la hauteur
2 au--dessus de la plaque en fonction de n... ,a... g, h, au et z. Calculer Re 
après un centimètre
de chute et lorsque la goutte atteint la plaque. Commenter le choix adopté par 
l'énoncé pour
l'expression de la force de traînée.

V.B. -- Influence de la traînée sur le nombre de rebonds

La résolution analytique de l'équation du mouvement en présence de la traînée 
ne présentant
pas d'intérêt pour évaluer un simple ordre de grandeur du nombre de rebonds, on 
simplifie
davantage le modèle en remplaçant la traînée par sa valeur au moment de 
l'impact de la goutte
sur la plaque, la Vitesse de la goutte à cet instant étant estimée en l'absence 
de traînée.

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Rebands d'une goutte d'eau

D 35 -- Montrer que cette simplification revient a remplacer le champ de 
pesanteur g par une
valeur efiective gi lorsque la goutte se dirige vers la plaque et g+ 
lorsqu'elle s'en éloigne. On
écrira gi : g(1 i 7) et l'on exprimera la constante 'y en fonction de il... ne, 
[1 et au. Calculer 'y
et commenter sa valeur.

E' 36 -- On note hu l'altitude de la goutte après n rebonds en identifiant hg a 
la hauteur h
de laquelle on lâche la goutte. Exprimer fin en fonction de h, 11 et 7.

D 37 -- Exprimer un ordre de grandeur du nombre de rebonds maximal N en 
fonction de pe,
p... h et (lo. Calculer N et commenter ce résultat compte--tenu de 
l'observation 03.

FIN DE LA PARTIE V

Données numériques

de l'eau : ;LE : 1,0- 103 kg.m*3

. Masse volumique < 3 de l'air : ua : 1,3 kg.m* de l'eau : ne : 1,0 - 10*3 Pa.s . Viscosité dynamique < de l'air : n,, : 1,8 - 10*5 Pas dans l'eau : ce : 1,4- 103 m.s*1 . Célérité du son < 1 dans l'air : ca : 3,4 - 102 m.s* . Coefficient de tension superficielle entre l'eau et l'air : A : 7,0 - 10*2 N.m*1 . Rayon de la goutte d'eau considérée : ao : 1,0 mm 0 Hauteur de laquelle les gouttes sont lâchées : h : 10 cm. 0 Champ de pesanteur : g : 9,8 ms". FIN DE L'ÉPREUVE Page 8/8