Mines Physique 2 PC 2012

Thème de l'épreuve Un soir d'été
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique, ondes acoustiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2012
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

UN SOIR D'ETE
Meme dans la douceur d'un soir d'ete, un physicien cherche a modeliser les 
phenomenes qui l'entourent : l'eau de la piscine (partie I), les mouvements 
d'un insecte pris au piege d'une toile d'araignee
(partie II) ou les battements des ailes des papillons (partie III).
Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau s'ils sont unitaires : ebx ; ou d'une 
fleche dans le cas general :

-r , 
-v . Pour les applications numeriques, trois chiffres significatifs sont 
recquis. Les nombres complexes sont soulignes mis a part i2 = -1.

I. -- L'eau dans la piscine
L'eau contenue dans une piscine rectangulaire est assimilee a un fluide parfait 
(non visqueux) caracterise par une masse volumique au repos e = 1, 00 × 103 kg 
· m-3 . On note g = 9, 81 m · s-2
l'acceleration de la pesanteur. Dans cette partie, on s'interesse a deux 
questions I.A (est-il possible,
lorsqu'on parle au bord de la piscine, d'etre entendu par un nageur plonge sous 
l'eau ?) et I.B (quelle
est l'origine du  clapotis  a la surface libre de l'eau ?) qui sont d'ailleurs 
totalement independantes.

I.A. -- Parler dans l'air, entendre dans l'eau ?
Dans cette partie I.A, on tient compte de la compressibilite isentropique e = 
4, 60 × 10-10 SI de
l'eau, supposee constante dans les conditions de la propagation des ondes 
acoustiques (ondes de
compression de faible amplitude). On note  = c p /cv le rapport des capacites 
thermiques massiques
a pression constante c p et a volume constant cv . Pour un gaz de molecules 
diatomiques rigides on
rappelle que c p = 7R/2 et cv = 5R/2.
1 -- Rappeler la definition et l'unite de mesure de la compressibilite  . 
Comparer, dans les conditions normales de temperature et de pression, les 
valeurs de e et celle de la compressibilite isentropique gp,2 d'un gaz parfait 
diatomique.

Un soir d'ete

On note (Oz) la verticale ascendante, p0 la pression atmospherique. En presence 
d'une onde acous-r a l'instant t on admet que la pression p, la densite 
volumique
tique, en un point repere par le vecteur 
-v (
-r ,t) dans le fluide se mettent sous la forme
de masse  et le champ de vitesse 
-
-r ,t) = p -  gz +  (
p(
e
e r ,t) + o( )
0
-r ,t) =  +  (
-
 (
e
e1 r ,t) + o( )

-v (
-r ,t) = 
-

-
-r ,t) + o( )
v0 +  ve (

avec   1

-
La vitesse 
v0 correspond a celle des particules de fluide a l'equilibre dans le 
referentiel galileen
considere. On peut donc choisir un referentiel dans lequel le fluide est au 
repos a l'equilibre et donc

-

-
v0 = 0 .
-
2 -- En utilisant l'equation d'Euler, exprimer, a l'ordre  , la derivee t 
ve en fonction de e ,
e , e et g. On suppose que l'onde acoustique est harmonique de longueur d'onde  
. Determiner
l'expression d'une longueur 0 telle que
-

1 --
ve
Si   0 alors
 - grad(e ) .
t
e
0n exprimera 0 en fonction de g, e et e . Calculer la valeur numerique de 0 . 
Que peut-on en
conclure ?
3 -- En exprimant, au meme ordre, la loi locale de conservation de la masse, 
etablir l'equation aux
-r ,t). Quelle signification donner a c = 1/  ?
derivees partielles du second ordre verifiee par e (
e
e e
Calculer sa valeur numerique.
L'air a pour masse volumique au repos a = 1, 3 kg · m-3 et pour compressibilite 
isentropique a =
5, 7×10-6 SI. L'appel du professeur (dans l'air) au nageur (dans l'eau) est 
modelise par la propagation
d'une onde acoustique plane progressive, de frequence f , qui atteint la 
surface horizontale de l'eau
sous l'incidence  > 0 ; elle donne lieu a la propagation d'une onde refractee 
sous l'angle   > 0. La
geometrie du probleme est representee sur la figure 1.

z

O
y

x

F IGURE 1 ­ Refraction d'une onde acoustique a la surface de l'eau

-r ,t) de l'onde de pression associee a l'onde
4 -- Determiner la representation complexe a (
-r ,t) en fonction de x, z, t, f ,  et c = 1/  , on notera  son
incidente. On exprimera a (
a a
a
a
amplitude et on choisira la phase de cette onde nulle au point origine des 
coordonnees.
5 -- Montrer que l'onde refractee possede la meme frequence que l'onde 
incidente et determiner
la direction   de la propagation de cette onde. Que dire de l'onde refractee si 
 = 45  ? A quelle
condition necessaire sur  l'appel du professeur peut-il etre entendu ?
Page 2/7

Physique II, annee 2012 -- filiere PC

Afin de preciser les conditions de transfert de la puissance acoustique de 
l'air dans l'eau, on etudie
dans les questions 6 a 8 une onde acoustique se propageant en incidence normale 
( = 0) depuis l'air
vers l'interface z = 0 qui separe l'eau de l'air.
6 -- Determiner les expressions des representations complexes des ondes 
reflechie (notee r )
et transmise (notee e ) en fonction de a , f , t, z, ca ou ce et des 
coefficients de reflexion r ou de
transmission t¯ de l'onde de pression incidente.
7 -- Determiner les expressions des representations complexes des vitesses de 
deplacement de
fluide associees a ces trois ondes ; on les ecrira en fonction de a , (a , ca ) 
ou (e , ce ), r ou t¯ et f , t, z.
En deduire les expressions des coefficients r et t¯ a l'interface air-eau, en 
admettant la continuite de la
pression de part et d'autre de cette interface.
8 -- Definir le coefficient de transmission T1/2 de l'intensite acoustique d'un 
milieu 1 vers un
milieu 2. Montrer que dans le cas de la transmission d'une onde sonore de l'air 
vers l'eau
Ta/e 

4a ca
e ce

Calculer la valeur numerique de Ta/e . Que peut-on en conclure ?

I.B. -- Le clapotis de l'eau dans la piscine
On mene a present l'etude des oscillations de la surface de l'eau de la 
piscine. Cette derniere est un
parallelepipede de longueur L, de largeur  et de profondeur H. L'air qui la 
surmonte sera considere
comme un fluide de pression uniformement egale a p = p0 en z = 0 ; 
l'acceleration de la pesanteur
est g = 9, 81 m · s-2 .
Pour etudier les oscillations de sa surface, on assimile l'eau a un fluide 
incompressible, non visqueux
dont la densite volumique de masse e = 1, 00 × 103 kg · m-3 est constante. On 
neglige toutes les
forces autres que de pesanteur et de pression.
Dans ces conditions, on recherche des solutions aux equations de 
l'hydrodynamique sous la forme
-
d'ondes planes caracterisees par une vitesse de propagation (vitesse de phase) 
u = ub
n, ou u > 0 et nb
est un vecteur unitaire du plan horizontal (Oxy). Les ondes planes associees 
aux champs de pression
-
-r ,t) et de vitesse 
-v (
-r ,t) ont pour pulsation  et pour vecteur d'onde 
k = u nb.
p(

9 -- Dans le cadre du modele propose, rappeler l'expression generale du champ 
d'acceleration

-
-r ,t) dans l'eau. Montrer que l'approximation k
-v k = v  u permet d'en proposer une forme
a (
simplifiee que l'on utilisera dans la suite de cette partie.

10 -- Justifier que l'ecoulement non stationnaire de l'eau peut alors etre 
decrit comme irrotationnel
- -
-v (
-r ,t) = -
ou potentiel : 
grad [ (
r ,t)]. Montrer qu'a un choix pres de l'origine des potentiels (que
l'on justifiera avec soin), on peut etablir en z = 0 l'equation

 2

=0
+
g
 t2
z
-r · nb.
-r ,t) =  (z) exp i t - 1 
11 -- On cherche le potentiel des vitesses sous la forme  (
u
Expliciter, sous cette hypothese, la condition aux limites en z = 0, a la 
limite de la surface libre de
d
l'eau ; puis, justifier la condition decrivant l'ecoulement au fond de la 
piscine :
= 0.
dz z=-H
12 -- En considerant l'equation locale de conservation de la matiere, etablir 
l'equation differentielle
du second ordre verifiee par  (z). En utilisant la condition sur le fond de la 
piscine determiner l'expression de  (z) en fonction de  (0),  , u, H et z. On 
utilisera la fonction cosinus hyperbolique.
13 -- En utilisant la condition sur la surface libre, etablir enfin 
l'expression reliant la vitesse de
phase u( ) des ondes de surface et la pulsation  avec les parametres g et H.
Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

Un soir d'ete

14 -- Le clapotis de l'eau dans la piscine se traduit par un bruit parfaitement 
audible car la
frequence f des oscillations peut se trouver dans le meme domaine que les ondes 
sonores audibles
dans l'air. Proposer une valeur raisonnable pour f et en deduire, dans une 
approximation de grande
profondeur (que l'on verifiera et que l'on conservera dans la suite) la valeur 
correspondante de u.
15 -- En justifiant votre reponse, diriez-vous que ces ondes de surface sont 
dispersees ou non
dispersees ? Montrer que, dans l'approximation retenue, la vitesse de groupe u 
de ces ondes est telle
que u =  u ou l'on determinera   Q.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- La toile de l'araignee
Ayant abandonne l'idee d'etre entendu d'un nageur dans la piscine, le physicien 
commence une promenade dans le jardin qui l'amene a s'arreter en admiration 
devant une toile d'araignee. Les fils en
sont-ils aussi solides qu'on le dit ? Cette partie se propose de repondre a la 
question.

II.A. -- Modelisation d'un fil elastique
16 -- On considere d'abord un ressort elastique, regi par la loi de Hooke, dont 
on note k la raideur
et 0 la longueur a vide ; on note aussi s = 1/k la souplesse du ressort. Quelle 
est la force exercee par
ce ressort sur son extremite lorsqu'il acquiert la longueur  ? On precisera le 
sens de cette force sur
un schema.
17 -- On associe en serie (cf. figure 2-a) deux ressorts elastiques, alignes, 
de raideurs k1 et k2 ,
de longueur a vide 01 et 02 , formant un systeme elastique unique de longueur 
totale  = 1 + 2 .
Montrer que l'ensemble est equivalent a un ressort elastique unique de longueur 
a vide 0 = 01 + 02
dont on exprimera la constante de raideur k en fonction de k1 et k2 . Ce 
ressort est-il plus souple ou
plus raide que chacun des deux ressorts dont il est forme ?
k1
k1

a

k2

x

x
`1

b

k2

`2
`

F IGURE 2 ­ Association de deux ressorts en serie (a) et en parallele (b)
18 -- On associe maintenant en parallele (cf. figure 2-b) les deux ressorts 
elastiques de la question
precedente formant un systeme elastique unique de longueur  = 1 = 2 . 
Determiner la raideur k et la
longueur a vide 0 du ressort elastique unique equivalent a cette association ; 
Commenter sa souplesse.
19 -- En vous appuyant sur les resultats des questions 17 et 18, expliquez 
pourquoi la force exercee
sur une de ses extremites par un fil elastique de longueur 0 , de section s, 
peut etre decrite par une
loi analogue a celle qui regit les ressorts elastiques (loi de Hooke) avec pour 
constante de raideur du
fil k = Es/0 , la constante E, caracteristique du materiau dont il est 
constitue, est appelee module
d'Young du fil. Montrer l'analogie de cette expression avec une relation, issue 
de votre programme,
liee aussi aux lois d'association en serie ou en parallele.

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Physique II, annee 2012 -- filiere PC

Pour mesurer le module d'Young d'un fil d'araignee, le physicien procede a 
l'experience suivante :
il preleve sur une toile un fil d'araignee cylindrique, de rayon r0 , de 
section constante s =
 r02 , de longueur a vide 0 , et il le fixe en deux
points fixes situes sur une meme horizontale,
distants de 0 . Il attache alors, en un point du
fil, un hamecon muni d'un ou plusieurs plombs
de peche ; le module du poids de l'ensemble est
note P (cf. figure 3). Le fil elastique se tend et
prend a l'equilibre une forme en V , les deux
segments du fil, de longueurs 1 et 2 , formant
avec l'horizontale les angles 1 et 2 positifs
et dans l'intervalle [0,  /2[. On peut aussi noter h la fleche du fil, 
c'est-a-dire la hauteur du
point d'attache de l'hamecon sous l'horizontale, a l'equilibre.

y
y

`0
1

h

x

O

2

`2

`1

P

F IGURE 3 ­ Mesure du module d'Young d'un fil

- 
-
20 -- Etablir, a l'equilibre du fil, les expressions des modules F1 et F2 des 
forces F1 et F2 exercees
par les deux brins de fil, de longueurs respectives 1 et 2 , sur le point 
d'attache de l'hamecon, en
fonction de P, 1 et 2 .
21 -- Etablir les expressions de cos 1 et cos 2 en fonction de 0 , 1 et 2 .

-
22 -- On suppose que la section s du fil reste constante pendant l'etirement et 
que les forces F1

-
et F2 peuvent etre modelisees par la loi de Hooke decrite a la question 19. 
Montrer que la grandeur
x = (Es)-1 est solution de l'equation 0 = 1 (1 + xF1 )-1 + 2 (1 + xF2 )-1 . 
Exprimer x en fonction des
parametres

1
2
1 + 2
+ F2 1 -
et c = 1 -
a = F1 F2 , b = F1 1 -
0
0
0
Pour chaque mesure, on note, en fonction du nombre n de plombs de peche 
attaches a l'hamecon, les
valeurs de P, 1 et 2 (mesures), de 1 et 2 (calcules comme a la question 21), de 
F1 et F2 (calcules
comme a la question 20) avant d'en deduire la valeur de Es (en resolvant 
l'equation du second degre
proposee a la question 22). Le tableau propose ci-apres correspond a 0 = 3, 52 
cm.
n
1
3
4
5
6
7

P (mN)
0, 711
2, 07
2, 74
3, 42
4, 10
4, 77

1 (cm)
1, 84
1, 68
1, 45
1, 56
1, 62
2, 32

2 (cm)
1, 79
2, 01
2, 30
2, 24
2, 24
1, 56

1 ( ) 2 ( ) F1 (mN) F2 (mN) Es (mN)
13, 9 14, 3
1, 45
1, 46
46, 6
19, 2 15, 9
3, 46
3, 40
71, 1
26, 8
28, 8
20, 1

18, 3
20, 4
30, 7

4, 59
5, 08
5, 29

4, 31
4, 75
5, 78

55, 7
50, 6
53, 7

23 -- Completer la ligne manquante du tableau.
24 -- Le rayon du fil utilise est mesure au microscope : r0 = 5, 00 ± 0, 25 µm. 
En deduire une
estimation du module d'Young du fil, et la precision de cette estimation. 
Quelle est la dimension ou
l'unite de E ?

Page 5/7

Tournez la page S.V.P.

Un soir d'ete

II.B. -- Oscillations de la toile complete
On etudie maintenant la toile complete, qui sera, dans la situation de repos, 
modelisee comme une
structure circulaire horizontale comportant des fils radiaux disposes aux 
angles k = 2k /N, avec
k = 0, 1, 2, . . . , N - 1 ; le nombre de rayons de la toile est donc N. Ces 
fils sont trames avec des fils
circulaires disposes regulierement aux rayons r p = pa ou p = 0, 1, 2, . . ., 
le tout est represente sur la
figure 4. Le bord circulaire (C ) de la toile est horizontal, rigidement fixe a 
la vegetation, de rayon
R = 20 cm.
z

2¼/N

b

z

a
m

Position de
l'insecte

a

F IGURE 4 ­ Modele de toile d'araignee au repos (a) ou deformee (b)
On ne s'interesse qu'aux oscillations de la toile respectant la symetrie de 
revolution ; les fils de la toile
sont tous au repos lorsque la toile est plane. Un insecte, pris au piege au 
centre de la toile, provoque
la deformation de la toile ; on suppose qu'elle forme alors un cone d'axe 
vertical (Oz) et d'angle au
sommet  . On notera m la masse de l'insecte fixe au centre de la toile (donc au 
sommet du cone et on
negligera la masse des fils de la toile.
25 -- Au cours du mouvement, comment evolue la longueur des fils circulaires 
(de longueur au
repos 0,c = 2 r p ) ? Meme question pour les N fils radiaux (de longueur au 
repos egale au rayon de
la toile : 0,r = R).
Chacun des fils de la toile, de longueur au repos 0 , exerce sur chacune de ses 
extremites, lorsqu'il est
etire a la longueur , une force de rappel de norme F = k( - 0 ) ou k = Es/0 ne 
depend que de la
section constante s du fil et de son module d'Young E.
26 -- Montrer que la position z de l'insecte sur la toile verifie l'equation 
differentielle
d2 z
NEs
f ( )
+g =
2
dt
m
ou on precisera la fonction f ( ).
27 -- Montrer que l'etude des petits mouvements de l'insecte autour de sa 
position d'equilibre,
reperee par  = 0 , conduit a l'equation differentielle
d ln | f ( )|
d2 
g
2

-

)
=
sin
(

)
)(
)
avec
h(
=
h(
0
0
dt 2
R
d
Pour 0 = 4 , on obtient h(0 ) = -2, 21 ; que peut-on en conclure ? La periode 
des petites oscillations
depend-elle de la masse de l'insecte ?
FIN DE LA PARTIE II
Page 6/7

Physique II, annee 2012 -- filiere PC

III. -- Le vol des papillons
Attriste peut-etre par le sort de l'insecte piege au centre de la toile, notre 
physicien s'interesse enfin au
vol des papillons. Ceux-ci, de taille et de forme variee, presentent, a l'oeil 
exerce du physicien (et entomologiste amateur) une propriete remarquable : plus 
ils sont petits, plus le battement de leurs ailes
est rapide. Nous nous proposons de rendre compte de cette propriete dans le 
cadre d'une simple analyse de facteurs significatifs. Ainsi, l'etude d'une 
famille d'animaux de meme forme (homothetiques)
mais de dimensions variables conduit a affirmer que la surface S des ailes est 
simplement proportionnelle au carre de leur dimension caracteristique , ce 
qu'on ecrira S  2 ; cette notation signifie que
S = k2 , ou k est une certaine constante (fonction par exemple de la forme des 
ailes) qu'on ne cherche
pas a determiner.
L'etude des facteurs significatifs peut etre menee par une etude de diagrammes 
logarithmiques, a partir
par exemple du tableau de donnees experimentales ci-apres qui donne, pour 
differentes especes, des
mesures de l'envergure R des ailes (plus grande distance de l'aile au point 
milieu de l'abdomen), de la
longueur L du corps (de la tete a la queue) et de la frequence fb du battement 
des ailes en vol (mesuree
par des cameras rapides).
28 -- Par une etude precise
(le trace d'un diagramme logarithmique
par exemple), montrer l'exisEspece
R [mm] L [mm] fb [Hz]
Photo
tence d'un exposant a decrivant,
Troides
pour l'ensemble des especes citees
65
46
9
radamantus
dans ce tableau, une relation entre
dimensions, sous la forme R  La .
Papilio
61
35
10
Commenter la valeur de a ainsi
rumanzovia
determinee.
Pachliopta
29 -- Le papillon en vol
44
27
13
hector
equilibre les forces de volume Fv
(pesanteur, poussee d'Archimede)
Graphium
et les forces de surface (forces de
39
25
16
sarpedon
contact des pattes avec les supports)
par une force de poussee hydrodyPrecis
33
21
19
namique. Les forces de surface Fs
iphita
suivent bien une loi d'echelle avec
pour
facteur significatif L, dont on
Calospila
15
11
32
admettra qu'on peut l'ecrire Fs 
idmon
L2 . Justifier l'existence d'une relation du type Fv  Lc et preciser la
valeur de c.
30 -- La force de poussee hydrodynamique  due aux battements des ailes ne 
depend que de
la masse volumique a de l'air, de la surface S des ailes et de la frequence fb 
du battement des
ailes. En admettant une expression du type   ap Sq fbr , determiner les entiers 
p, q et r par analyse
dimensionnelle.
31 -- Le vol (stationnaire) du papillon est regi par une loi mecanique du type  
= Fv + Fs , ou
l'un des deux termes (de surface Fs ou de volume Fv ) est preponderant. En 
supposant que fb  Lk ,
determiner les valeurs de k correspondant au fait que Fv ou Fs soit 
preponderant.
32 -- A partir des donnees experimentales determiner celui des deux termes Fv 
ou Fs qui est
effectivement preponderant.
FIN DE LA PARTIE III
FIN DE L'EPREUVE
Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre
Fleury (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet, composé de trois parties indépendantes, traite de phénomènes naturels
que l'on peut rencontrer dans la vie de tous les jours.
· La première partie est divisée en deux sous-parties. La première étudie la 
propagation d'une onde sonore dans l'eau puis à l'interface entre deux milieux ;
c'est une application directe du cours sur les ondes acoustiques dans les 
fluides.
Dans la seconde sous-partie, on cherche à comprendre l'existence du clapotis à
la surface de l'eau ; il s'agit d'applications du cours de mécanique des 
fluides.
· La deuxième partie s'intéresse à la résistance d'une toile d'araignée. Dans un
premier temps, on étudie un modèle simple d'élasticité d'un fil, motivé par des
considérations microscopiques. Puis on considère une méthode expérimentale
de détermination du module d'Young de ce fil. Dans un second temps, on étudie
mécaniquement l'oscillation de la toile d'araignée qui est créée par la présence
d'un insecte pris à son piège.
· Dans la dernière partie, on cherche à comprendre pourquoi les papillons les
plus petits ont un battement d'aile plus rapide que les papillons plus grands.
Cette partie ne demande aucune connaissance technique mais simplement une
réflexion sur l'analyse dimensionnelle et les ordres de grandeur.
Cette épreuve est de longueur raisonnable et fournit de nombreux résultats 
intermédiaires, ce qui souligne l'intérêt de commencer par une lecture du sujet 
pour choisir
dans quelle partie on est le plus à l'aise. Les deux dernières parties peuvent 
être traitées dès la première année alors que la première aborde des thèmes qui 
ne sont vus
qu'en deuxième année, comme la mécanique des fluides et la physique des ondes.

Indications
Partie I
1 Différentier la loi de Laplace liée à l'évolution adiabatique réversible, 
donc isentropique, d'un fluide.
2 Linéariser l'expression de s .
5 Utiliser la condition d'interférences constructives pour l'onde réfractée.
8 Écrire la définition de l'intensité acoustique vue dans le cours sur les 
ondes sonores
et considérer que la vitesse du son et la masse volumique dans un liquide sont
plus grandes que dans les gaz.
10 La constante d'intégration peut dépendre du temps. L'écrire sous la forme
F(t) =

dG(t)
dt

Que peut-on en déduire sur le potentiel et la vitesse ?
11 Utiliser la condition de non pénétration du fluide dans le fond de la 
piscine.
14 Recourir à l'approximation th x  1 pour x  1.

Partie II
17 L'allongement total du ressort équivalent correspond à la somme de 
l'allongement
de chaque ressort.
18 Écrire le principe fondamental de la dynamique et la condition d'équilibre.
19 Un solide correspond à une association en série et en parallèle de ressorts 
identiques. D'après les questions précédentes, de quoi dépend la raideur du 
ressort
équivalent ?
27 Faire un développement limité de la fonction  7 f () autour de  = 0 puis
écrire la dépendance de z en fonction de  (attention au signe).

Partie III
29 Pourquoi parle-t-on de forces de volume ?

Un soir d'été
I. L'eau dans la piscine
I.A

Parler dans l'air, entendre dans l'eau ?

1 On définit la compressibilité comme la variation relative de volume (ou de la
masse volumique) sous l'effet d'une pression appliquée, c'est-à-dire
=-

1 V
1 
=
V P
 P

avec  la masse volumique. Par conséquent,
 est en Pa-1 .
Pour une évolution isentropique, le gaz parfait diatomique suit la loi de 
Laplace
PV = Cte . Lorsque l'on différentie cette équation, il vient
dP = -

1
Cte
P
Cte
dV = - × ×  dV = - dV
+1
V
V
V
V
V
V
=-
P
P

Finalement,

d'où

gp,2 =

1
= 7,14.10-6 Pa-1
P

On constate que gp,2  e . En effet, un gaz est beaucoup plus compressible
qu'un liquide, ce qui justifie l'inégalité ci-dessus.
2 L'équation d'Euler s'écrit
"
#

-- 
-- 
-
v

-

-
-

( r , t)
+ ( v · grad ) v = - grad p(-
r , t) + -
g
t

-
g = [e + e1 (-
r , t) -
g

où

-- -
--
grad p(
r , t) = -e g ebz +  grad  e

De plus, la vitesse -
v (-
r , t) est un terme d'ordre 1 et l'accélération convective est
d'ordre 2. L'équation d'Euler se réécrit donc à l'ordre 1, après avoir 
simplifié par ,

--
-
ve

= -g e1 (-
r , t) ebz - grad  e
e
t
Remplaçons e1 grâce à l'expression de e , qui se linéarise de la façon suivante
1 
1
e1
e =

×
 P
e
e
et

d'où

e

--
-
ve
= -g e e  e ebz - grad  e
t

Pour négliger le terme de pesanteur devant le gradient de la pression, il faut
e
e  e g  e 

1
ce qui équivaut à

e  e g
Dans cette approximation, on obtient l'équation simplifiée
Si   0 , alors
avec

e

0 =

--
-
ve
 - grad  e
t
1
= 2,22.105 m
e  e g

Les longueurs d'onde  susceptibles de se développer dans une piscine sont 
largement
inférieures à 0 . On peut en déduire que les effets de compression liés à la
pesanteur sont négligés.
3 La loi locale de conservation de la masse s'écrit

+ div ( -
ve ) = 0
t
À l'ordre 1,

e1

+ e div -
ve = 0
t

Dérivons cette équation par rapport au temps, et utilisons l'équation d'Euler 
linéarisée obtenue à la question 2. Il vient alors,

-
ve
 2 e1
 2 e1
+ e div
=
-  e = 0
2
t
t
t2
où  désigne le laplacien. En réutilisant l'expression linéarisée de e = e1 /(e  
e ),
on obtient l'équation de propagation
 2 e
- ce 2  e = 0
t2
avec

ce = 

1
= 1,47.103 m.s-1
e  e

4 Si l'onde acoustique est une onde plane monochromatique, l'expression complexe
de la pression est
-
-

 a (-
r , t) = a e i(t- ka · r )
en choisissant une phase nulle à l'origine des temps
et des distances. Cette onde vérifiant l'équation de
ebz
d'Alembert, la relation de dispersion est ca = /k a .

air
Par ailleurs, d'après le schéma suivant, et avec
ebx
 = 2f , le vecteur d'onde est égal à
eau

 2f
-
k =
(sin  ebx - cos  ebz )
ca
L'expression complexe s'écrit finalement
h

x sin  - z cos  i

 a (-
r , t) = a exp 2i f t -
ca