Mines Physique 2 PC 2011

Thème de l'épreuve Fibre optique à saut d'indice
Principaux outils utilisés optique géométrique, électromagnétisme dans la matière
Mots clefs fibre optique à saut d'indice, réfraction, onde électromagnétique, relations de passage

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

FIBRE OPTIQUE A SAUT D'INDICE
L'epreuve est constituee de trois parties independantes. La premiere partie 
concerne l'etude de la
propagation de la lumiere dans une fibre optique dans le cadre de l'optique 
geometrique. La deuxieme
partie complete la premiere en etudiant la structure transverse d'une onde 
electromagnetique dans la
fibre, et les conditions d'obtention d'une fibre monomode. Enfin, la derniere 
partie traite des effets
non lineaires dans la fibre, notamment de l'effet Kerr optique. Apres une 
modelisation microscopique
de ce dernier, on s'interesse au phenomene d'auto-modulation de phase et a 
l'existence possible de
solitons optiques. Les applications numeriques seront donnees avec 3 chiffres 
significatifs.
Une fibre optique a saut d'indice, representee sur la figure 1 est formee d'un 
coeur cylindrique en
verre d'axe (Ox), de diametre 2a et d'indice n entoure d'une gaine optique 
d'indice n1 legerement
inferieur a n. Les deux milieux sont supposes homogenes, isotropes, 
transparents et non charges. Un
rayon situe dans le plan (Oxy) entre dans la fibre au point O avec un angle 
d'incidence  . Afin de ne
pas confondre l'angle i d'incidence sur la gaine avec le nombre complexe 
imaginaire pur de module
1, on notera ce dernier j tel que j2 = -1. Quelques constantes sont donnees en 
fin d'epreuve. Les
vecteurs sont surmontes d'un chapeau, ubx , s'ils sont unitaires ou d'une 
fleche, ~E, dans le cas general.

I. -- Approche geometrique de la propagation
Dans cette partie, les rayons lumineux sont supposes issus d'une radiation 
monochromatique de
frequence f , de pulsation  et de longueur d'onde  dans le milieu constituant 
le coeur.
1 -- Les differents angles utiles sont representes sur la figure 1. A quelle 
condition sur i, angle
d'incidence a l'interface coeur/gaine, le rayon reste-t-il confine a 
l'interieur du coeur ? On note i
l'angle d'incidence limite.

Fibre optique a saut d'indice

y
gaine d'indice n1 (milieu 3)

+a

i
air
O
indice 1,000 µ

x

r
Coeur d'indice n (milieu 2)

-a

gaine d'indice n1 (milieu 1)

F IG . 1 ­ Fibre optique en coupe
2 -- Montrer que la condition precedente est verifiee si l'angle d'incidence  
est inferieur a un
angle limite  dont on exprimera le sinus en fonction de n et i . En deduire 
l'expression de l'ouverture
numerique ON = sin  de la fibre en fonction de n et n1 uniquement.
3 -- Donner la valeur numerique de ON pour n = 1, 50 et n1 = 1, 47.
On considere une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec 
un angle d'incidence
 variable compris entre 0 et  . On note c la vitesse de la lumiere dans le vide.
4 -- Pour quelle valeur de l'angle  , le temps de parcours de la lumiere dans 
la fibre est-il minimal ?
maximal ? Exprimer alors l'intervalle de temps  t entre le temps de parcours 
minimal et maximal en
fonction de L, c, n et n1 .
5 -- On pose 2 = 1 - (n1 /n)2 . On admet que pour les fibres optiques   1. 
Donner dans ce cas
l'expression approchee de  t en fonction de L, c, n et . On conservera cette 
expression de  t pour la
suite du probleme.
On injecte a l'entree de la fibre une impulsion lumineuse
d'une duree caracteristique t0 = t2 - t1 formee par un faisceau de rayons ayant 
un angle d'incidence compris entre 0
et  . La figure 2 ci-contre represente l'allure de l'amplitude
A du signal lumineux en fonction du temps t.
6 -- Reproduire la figure 2 en ajoutant a la suite l'allure du signal lumineux 
a la sortie de la fibre. Quelle est la
duree caracteristique t0 de l'impulsion lumineuse en sortie
de fibre ?
Le codage binaire de l'information consiste a envoyer des
impulsions lumineuses (appelees « bits ») periodiquement
avec une frequence d'emission F.

A

t0
t
t1

t2

F IG . 2 ­ Impulsion lumineuse

7 -- En supposant t0 negligeable devant  t, quelle condition portant sur la 
frequence d'emission
F exprime le non-recouvrement des impulsions a la sortie de la fibre optique ?
Pour une frequence F donnee, on definit la longueur maximale Lmax de la fibre 
optique permettant
d'eviter le phenomene de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante 
de la fibre le
produit B = Lmax · F.
8 -- Exprimer la bande passante B en fonction de c, n et .
9 -- Calculer la valeur numerique de  et de la bande passante B (exprimee en 
MHz·km) avec les
valeurs de n et n1 donnees dans la question 3. Pour un debit d'information de F 
= 100 Mbits.s-1 =
100 MHz, quelle longueur maximale de fibre optique peut-on utiliser pour 
transmettre le signal ?
Commenter la valeur de Lmax obtenue.
FIN DE LA PARTIE I
Page 2/6

Physique II, annee 2011 -- filiere PC

II. -- Approche ondulatoire de la propagation
10 -- A quelle condition sur  et a l'etude geometrique de la fibre menee dans 
la partie precedente
cesse-t-elle d'etre valable ? Dans ce cas, une approche ondulatoire de la 
propagation est necessaire.

II.A. -- Etude de la structure transverse de l'onde
En lumiere monochromatique, seules certaines formes d'ondes, appelees « modes 
», peuvent se propager dans la fibre. Chaque mode se propage a une vitesse 
differente, ce qui engendre l'etalement des
impulsions lumineuses et donc reduit la bande passante. Pour ameliorer les 
performances, les fabricants de fibres optiques ont ete amenes a elaborer des 
fibres a saut d'indice dites « monomodes » : un
seul mode peut s'y propager, ce qui a pour effet de diminuer considerablement 
l'etalement des impulsions. La bande passante des fibres monomodes est ainsi 
beaucoup plus elevee que celle calculee
a la question 9. Cette partie se propose d'etudier les conditions d'obtention 
d'une fibre optique a saut
d'indice monomode.
On etudie donc la propagation d'un champ electromagnetique de pulsation  dans 
la direction des
x positifs. Pour simplifier, on se limite aux solutions pour lesquelles ~E est 
polarise suivant ubz , avec
(b
ux , uby , ubz ) triedre direct. On note

y < -a d'indice n1
~E1 le champ electrique dans le milieu 1
~E2 le champ electrique dans le milieu 2 - a < y < a d'indice n

~
E3 le champ electrique dans le milieu 3
y>a
d'indice n1

En notation complexe, et en simplifiant la geometrie du systeme, les champs 
sont recherches sous la
forme :
~E s = es (y)e j( t-kx,s x) ubz
avec kx,s reel et s = 1, 2 ou 3

11 -- En utilisant les relations de passage a la traversee d'un dioptre entre 
deux milieux dielectriques
non charges, montrer que kx,1 = kx,2 = kx,3 = kx .
12 -- En utilisant l'equation de propagation du champ ~E dans un milieu 
dielectrique d'indice n,
montrer que les fonctions es (y) sont solutions de l'equation differentielle
d 2 es
- µs es = 0 pour s = 1, 2 et 3
dy2
On donnera l'expression de µs pour chacune des trois regions en fonction de kx 
,  , c et n ou n1 .

Afin que la fibre optique soit effectivement un guide d'onde, on doit fixer les 
parametres µs de cette
equation de telle maniere que ses solutions soient des ondes stationnaires 
suivant (Oy) dans le coeur,
et evanescentes suivant (Oy) dans la gaine. Dans les trois regions considerees, 
les fonctions es (y)
s'ecriront donc sous la forme

y

e1 (y) = Ae

e2 (y) = B e j y +  e- j y

e (y) =  Ae- y
3

ou  et  sont deux reels positifs. Les coefficients A et B sont fixes grace aux 
conditions aux limites du
probleme et le parametre  = ±1 permet d'obtenir les deux familles de solutions. 
On posera k = n /c
et kx = k cos r ou l'angle r  [0,  /2] correspond a l'angle de reflexion 
represente sur la figure 1.
13 -- Exprimer  en fonction de k et r, puis  en fonction de k, r, n et n1 .

14 -- Pour n et n1 donnes, quelle est la valeur maximale r de r ? En deduire la 
valeur minimale i
de i et commenter le resultat obtenu.
Page 3/6

Tournez la page S.V.P.

Fibre optique a saut d'indice

15 -- A partir des equations de Maxwell, determiner l'expression de la 
representation complexe
du champ magnetique dans chacun des trois milieux.
16 -- On pose  = e a et  = e j a . En utilisant les relations de continuite des 
champs en y = a,
obtenir deux equations liant A, B,  ,  ,  ,  et  .
17 -- En deduire, dans chacun des cas  = +1 ou  = -1, la relation que doivent 
verifier  , 
et a. Montrer que la reunion des deux cas se resume en la condition  a + 
arctan( / ) = p /2 avec
p  Z. On rappelle que si  > 0, alors arctan( ) =  /2 - arctan( -1 ).
Comme  et  sont des fonctions de r, on pose  a+arctan( / ) = f (r). Pour a 
donne, on admet que
la fonction r 7- f (r) est strictement croissante sur [0, r ]. Quand elle 
existe, la solution de l'equation
f (r) = p /2 est donc unique.
On souhaite realiser une fibre monomode, c'est-a-dire une fibre dans laquelle 
l'angle r ne puisse
prendre qu'une seule valeur pour la radiation de longueur d'onde  = 2 /k 
utilisee. Pour les applications numeriques, on prendra  = 709 nm.
18 -- Determiner la valeur maximale fmax de f (r) sur l'intervalle [0, r ]. 
Montrer que si p = 1,
la fibre est monomode quelles que soient les valeurs de a et  . Montrer que si 
p  2, l'equation
f (r) = p /2 n'a de solution que si a > a ou a est un rayon minimal que l'on 
exprimera en fonction
de p,  , n et n1 .
19 -- Dans la pratique, afin de realiser une fibre monomode, on prendra un 
rayon a < a et seul le
mode associe a p = 1 se propagera dans la fibre. Calculer la valeur de a pour p 
= 2 et commenter le
resultat obtenu.

II.B. -- Dispersion intramodale
Meme dans une fibre monomode, un autre phenomene provoque l'etalement des 
impulsions lumineuses. En effet, le coeur de silice est un milieu dispersif, 
c'est-a-dire que son indice optique depend
de la frequence du rayonnement. Aux frequences optiques, les fibres optiques 
sont generalement le
siege d'une dispersion dite « anomale », pour laquelle les composantes haute 
frequence se propagent
plus vite que les composantes basse frequence.
Or, la duree finie des paquets d'onde emis par les sources
implique que l'onde qui se propage dans la fibre n'est
E(0,t)
jamais strictement monochromatique. Toutes les composantes frequentielles du 
paquet d'onde ne se propageant pas
a la meme vitesse dans la fibre, un elargissement temporel de l'impulsion 
apparait au cours de la propagation. Ce
phenomene est appele « dispersion intramodale » ou « dist
persion chromatique ».
20 -- La figure 3 represente le profil temporel du
champ electrique scalaire E(0,t) d'un paquet d'onde
« gaussien » injecte a l'entree x = 0 de la fibre. L'origine
des temps est choisie telle que le centre du paquet d'onde
passe en x = 0 a t = 0.
Representer l'allure du profil temporel du champ electrique
scalaire E(xfixe ,t) du paquet d'onde apres propagation dans
F IG . 3 ­ Paquet gaussien
la fibre.
FIN DE LA PARTIE II

Page 4/6

Physique II, annee 2011 -- filiere PC

III. -- Phenomene optique non lineaire : effet Kerr
Quand l'amplitude du champ electrique de l'onde se propageant dans le coeur de 
la fibre n'est plus
negligeable (i. e.  1%) devant le champ electrique intra-atomique assurant la 
cohesion de l'atome,
des phenomenes optiques non lineaires peuvent apparaitre.
21 -- On rappelle que la puissance par unite de surface transportee dans un 
milieu d'indice n par
une onde plane progressive d'amplitude E0 , aussi appelee intensite lumineuse, 
s'ecrit I = n0 cE02 /2.
Determiner l'ordre de grandeur de l'intensite lumineuse au dela de laquelle la 
propagation peut donner lieu a des phenomenes optiques non lineaires ? Quelle 
invention du XXe siecle a-t-elle permis
d'atteindre de telles puissances surfaciques ?

III.A. -- Modelisation microscopique
Dans cette partie, on propose une modelisation microscopique des interactions 
lumiere/matiere permettant d'expliquer l'effet Kerr optique, c'est-a-dire 
l'apparition d'une variation d'indice dans le
milieu proportionnelle a l'intensite du faisceau lumineux qui s'y propage. Le 
modele microscopique
de l'electron lie suffit ici a rendre compte des proprietes essentielles que 
l'on cherche a mettre en
evidence. On note z(t) l'ecart a la position d'equilibre d'un electron de masse 
m et de charge -e.
Sous l'action de la force exercee par un champ electrique ~E = E0 cos( t - kx)b
uz de forte puissance
polarise suivant Oz, on suppose que l'electron est, par reaction, soumis a une 
force de rappel comportant un terme harmonique et un terme de correction 
anharmonique :

m2 03 3
~F = -m02 z + 
z ubz
h

h
ou 0 est la pulsation de resonance de l'atome et h =
la constante de Planck reduite. Dans toute
2
cette partie, on suppose que la pulsation de l'onde incidente est differente de 
la pulsation de resonance
du systeme mais suffisament proche de celle-ci soit  6= 0 mais   0 . On note 
egalement :
· N le nombre d'atomes par unite de volume

2
2
2 = Ne
la
susceptibilite
lineaire,
avec

0 m
02 -  2

· nL = 1 + L l'indice du milieu « lineaire »

· L =

03
(eE0 )2
·  = 2
(0 -  2 )3 mh

22 -- Quelle est la dimension du coefficient  traduisant l'importance du 
phenomene non lineaire ?
23 -- Etablir l'equation verifiee par la fonction z(t).
Pour resoudre cette equation, on utilise un developpement perturbatif aux 
differentes puissances de
 . On pose alors z(t) = z0 (t) +  z1 (t) avec z0 (t) solution de l'equation 
differentielle lineaire obtenue
pour  = 0, et z1 (t) perturbation obtenue en ne conservant dans l'equation 
differentielle que les termes
du premier ordre en  .
24 -- Determiner l'expression de z0 (t).
25 -- Determiner l'equation differentielle verifiee par z1 (t). On admettra que 
si  est suffisament
proche de 0 la solution de cette equation s'ecrit

3
 eE0
1
z1 (t)  -
cos( t - kx) + 2
cos [3( t - kx)]
4 m 02 -  2
0 - 9 2
Quelle est l'origine mathematique du terme en cos(3( t - kx)) contenu dans 
cette solution ?
Page 5/6

Tournez la page S.V.P.

Fibre optique a saut d'indice

26 -- On note  la susceptibilite electrique du milieu et Pz la composante selon 
l'axe Oz du vecteur
polarisation ~P. Determiner les expressions de Pz en fonction de N, e, z0 ,  et 
z1 d'une part, et 0 ,  et
E0 cos( t - kx) d'autre part. On supposera le milieu isotrope et lineaire, 
cette approximation n'est
pas en desaccord avec le developpement perturbatif etudie ici.
27 -- En ne conservant que le terme de pulsation  dans z0 (t) et z1 (t), 
deduire de la question
precedente l'expression de l'indice n du milieu en fonction de nL , L et  .

III.B. -- Auto-modulation de phase par effet Kerr
Dans le visible (  0 ), on peut supposer que les differents indices ne varient 
pas avec la frequence.
Cette hypotheses revient a supposer que le milieu est non dispersif. La 
structure transverse de l'onde
se propageant dans la fibre a ete etudiee dans la partie II. Dans cette partie 
on se propose d'etudier
l'influence des non linearites optiques sur la structure longitudinale de 
l'onde. On suppose qu'en
uz avec
notation complexe le champ electrique dans la fibre peut se mettre sous la 
forme ~E = E(x,t)b
E(x,t) = A(x,t - k0 x)e j(0t-k0 x)

avec k0 =

dk
(0 )
d

On admet que dans les conditions du probleme, l'enveloppe A(x,t) de l'impulsion 
est solution de
l'equation
A
(x,t) = j|A(x,t)|2 A(x,t)
x
ou  depend de l'indice du milieu de propagation mais pas du temps t.
28 -- Montrer que le module de A(x,t) ne depend pas de x.
29 -- On pose A(0,t) = a(t). On admettra que a(t) est reel. Donner les 
expressions de l'enveloppe
A(x,t) puis du champ E(x,t).
30 -- On note E(x,t) = |E(x,t)|e j (x,t) . Pour un paquet d'onde gaussien 
centre sur t = 0 de profil

2
2
temporel a(t) = a0 e-t /20 , determiner l'expression de la pulsation 
instantanee  (x,t) =
(x,t) puis
t
tracer son allure en fonction du temps pour une valeur fixee non nulle de x.
31 -- La courbe tracee a la question precedente donne la distribution spectrale 
autour de la pulsation centrale 0 du paquet d'onde gaussien pour le front 
montant (t < 0) et descendant (t > 0) de
ce paquet. En deduire comment est deforme un paquet d'onde gaussien (represente 
sur la figure 3) au
cours de sa propagation dans un milieu presentant un effet Kerr optique. Ce 
phenomene est appele
automodulation.

III.C. -- Principe de propagation de solitons optiques
32 -- On considere que la fibre optique etudiee est a la fois le siege d'un 
phenomene de dispersion
intramodale (cf. partie II.B) et d'un phenomene d'automodulation (cf. partie 
III.B). Montrer qualitativement qu'on peut envisager la propagation d'un paquet 
d'onde sans deformation. Un tel mode de
propagation est appele soliton optique.
FIN DE LA PARTIE III
Donnees numeriques :
­ vitesse de la lumiere dans le vide : c = 3, 00 · 108 m·s-1
­ charge elementaire : e = 1, 60 · 10-19 C
­ permittivite du vide : 0 = 8, 85 · 10-12 F·m-1
FIN DE L'EPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sandrine Ngo (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre
Lacas (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet, divisé en trois parties indépendantes, aborde différents aspects de la
propagation de la lumière dans une fibre optique à saut d'indice.
· Dans la première partie, cette propagation est étudiée du point de vue de 
l'optique géométrique. On cherche à caractériser la fibre et ses performances 
(calcul
de l'ouverture numérique, de la bande passante, etc.).
· La seconde partie traite de l'aspect ondulatoire de la propagation par le 
calcul de la structure transverse de l'onde électromagnétique. On étudie aussi 
les
conditions de réalisation d'une fibre monomode et on aborde le problème de la
dispersion intramodale.
· Dans la troisième partie, on réalise une modélisation microscopique de l'effet
Kerr optique, un effet non linéaire qui peut apparaître sous certaines 
conditions
dans la fibre. Cet effet a pour conséquence un phénomène d'automodulation de
phase. Enfin, on envisage l'existence possible de solitons optiques.
Le problème fait appel à des notions classiques d'optique géométrique et 
d'électromagnétisme dans les milieux diélectriques ; il constitue une bonne 
révision de ces
chapitres. La résolution de certaines questions demande une très bonne maîtrise 
des
formules et définitions du cours, notamment les équations de Maxwell dans les 
milieux et la définition de la susceptibilité électrique. Mais bien souvent, il 
suffit d'un
peu de raisonnement et de bon sens pour répondre. Les calculs, sans être 
complexes,
peuvent parfois être longs et demandent donc une attention particulière afin 
d'éviter
erreurs et étourderies.

Indications
I.

Approche géométrique de la propagation

2 Pour exprimer l'ouverture numérique en fonction des indices, penser à la 
relation
trigonométrique cos2 i + sin2 i = 1.
4 Calculer d'abord les temps de parcours minimal et maximal. La lumière se 
propage
dans un milieu d'indice n avec une célérité v = c/n.
5 Faire un développement limité au premier ordre en .
6 Considérer le fait que deux rayons qui pénètrent dans la fibre au même instant
avec des angles d'incidence différents n'auront pas le même temps de parcours.
7 La période des impulsions doit être supérieure à leur largeur pour qu'il n'y 
ait
pas de recouvrement.
II.

Approche ondulatoire de la propagation

12 Le champ électrique dans le milieu diélectrique vérifie l'équation de 
d'Alembert
avec une célérité v = c/n
13 Injecter e2 dans l'équation de la question 12 pour déterminer . Faire de même
avec e1 ou e3 afin de calculer .
14 Pour déterminer la valeur maximale de r, considérer l'expression de  établie 
à
la question précédente.
15 Dans chacun des trois milieux, relier les champs électrique et magnétique à 
l'aide

-

- -
de la loi de Maxwell-Faraday rot E = - B /t
18 Pour déterminer la valeur maximale de f (r), considérer que f est strictement
croissante sur [0, r ]. L'équation f (r) = y possède au moins une solution si
min f (r) 6 y 6 max f (r).
III.

Phénomène optique non linéaire : effet Kerr

21 Évaluer le champ électrique intra-atomique en considérant que l'électron 
ressent
le champ généré par une charge ponctuelle e à une distance r de l'ordre du rayon
atomique.
22 La grandeur ~ est homogène à un moment cinétique.
23 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'électron soumis à une 
force

-
électrique et une force de rappel F .
24 z0 (t) vérifiant une équation du second ordre avec second membre, c'est la 
somme
d'une solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière de
l'équation avec second membre à exprimer en régime sinusoïdal forcé.
25 z1 (t) vérifie une équation du second ordre avec un second membre en z0 3 
(t).
26 Dans le premier cas, exprimer Pz en fonction du moment dipolaire de chaque
atome. Dans le second cas, considérer la relation linéaire qui existe entre le 
vecteur
polarisation et le champ électrique.
|A|2
en utilisant l'équation vérifiée par A.
28 Calculer
x
29 Résoudre l'équation du premier ordre à coefficients constants en x vérifiée 
par A.
30 Considérer deux cas selon le signe de .

Fibre optique à saut d'indice
I. Approche géométrique de la propagation
1 À l'interface entre le coeur et la gaine, si le rayon incident est réfracté 
et pénètre
dans la gaine avec un angle réfracté i1 , la loi de Snell-Descartes impose que
n sin i = n1 sin i1
Or l'angle i1 ne peut dépasser /2 dans le cas présent où n > n1 , donc la 
réfraction
n'est possible que si n sin i < n1 . Dans le cas où n sin i > n1 , il n'existe 
pas de rayon
réfracté correspondant à un chemin optique extrémal. On observe en revanche une
réflexion totale du rayon incident.
i < i

i > i
i1

n1
n

n1
n
i

i

i

i

Le rayon reste confiné si i > i avec sin i =

h i
n1
et i  0, .
n
2

2 À l'interface entre l'air et le coeur, la loi de Snell-Descartes, à nouveau, 
indique
sin  = n sin r
y
gaine d'indice n1
i
air
O
indice 1 

x

r
coeur d'indice n
gaine d'indice n1

Or la géométrie de la fibre donne r = /2 - i, donc  et i sont reliés par

sin  = n sin
- i = n cos i
2
Comme les fonctions sinus et cosinus sont respectivement strictement croissante 
et
décroissante sur l'intervalle [0, /2], la condition i > i équivaut à
 < 

avec

sin  = n cos i

En utilisant la relation trigonométrique cos2 i + sin2 i = 1 et en sachant que
cos i > 0, on a
ON = sin 
p
= n 1 - sin2 i
p
= n 1 - (n1 /n)2

ON = n2 - n1 2
3 On calcule l'ouverture numérique à l'aide des données de l'énoncé
p
ON = 1,52 - 1,472 = 0,298
4 Le milieu dans lequel se propage la lumière est d'indice uniforme, donc tous 
les
rayons ont la même vitesse. Le temps de parcours minimal (respectivement 
maximal)
correspond alors au trajet le plus court (respectivement long). Or la longueur 
du
trajet croît en fonction de l'angle d'incidence.
Le temps de parcours est minimal si  = 0. Il est maximal si  =  .
On note tmin et tmax les temps de parcours minimal et maximal. tmin est le temps
mis par le rayon pour parcourir une distance L à la vitesse c/n qui est la 
vitesse de
la lumière dans la fibre, soit
nL
tmin =
c
Un rayon d'incidence  parcourt dans la
C
fibre une distance égale à l'hypoténuse d'un
triangle rectangle possédant un angle aigu
i
i et de côté opposé L. On peut le constater
sur la figure ci-contre, où la trajectoire du
D
rayon lumineux, constituée des segments
A
i
[AD], [DE] et [EB] a pour longueur [AC].
 r
B
E
Cela correspond à une distance parcourue
L/ sin i , soit un temps de parcours
L
n L
n2 L
tmax =
=
c sin i
n1 c

nL n
Donc
t = tmax - tmin =
-1
c
n1
5 L'égalité de l'énoncé se réécrit
n
1
= 
n1
1 - 2
En supposant que   1 on peut réaliser un développement limité de l'expression
précédente à l'ordre 1 en 
n
= 1 +  + o()
n1
Il suffit alors de reprendre l'expression de t pour obtenir
t 

nL
c