Mines Physique 2 PC 2007

Thème de l'épreuve Étude d'un milieu diélectrique et optique
Principaux outils utilisés mécanique du point, oscillateur harmonique, électromagnétisme dans les milieux, optique géométrique et ondulatoire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2007 PHYS. 11 PC

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : EN SAE (Statistique), EN STIM, INT, 
TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE Il -PC
L'énonce' de cette épreuve comporte 7 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité à le
signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il est amené à
prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques qui vous
sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que 
des qualités de rédaction de la
copie.

; vecteur unitaire --> â.

Notations : Vecteur --> A ; norme du vecteur A --> A (italique) ou "A

Les différentes parties sont largement indépendantes entre elles. On trouvera 
page 6 le rappel de quelques nota--
tions standard et une banque de données utiles pour résoudre certaines 
questions.

Dans toute l'épreuve, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signifie donner la valeur numé--
rique.

PREMIÈRE PARTIE : ATOME HYDROGÉNOÏDE

Le modèle d'atome d'hydrogène proposé par Niels BOHR s'appuie principalement 
sur les axiomes
suivants : dans un référentiel galiléen,

i) l'électron décrit une trajectoire circulaire de rayon r sur laquelle il ne 
rayonne pas,

ii) l'électron échange de l'énergie avec l'extérieur lorsqu'il change de 
trajectoire circulaire,

iii) axiome de quantification : mvr = nz-- = nñ, Où rn et v désignent 
respectivement la masse et le
72'

module de la vitesse de l'électron, n un nombre entier naturel non nul et h

"" A "_ la constante de Planck. À chaque valeur de l'entier n correspond une 
valeur
du rayon r, de la vitesse v et de l'énergie, notées respectivement r... v,, et

r [-- f, m} En.
Ü On considère (Fig. 1) un atome d'hydrogène constitué d'un proton (charge
. {fif-- -'... e, masse [% et d'un électron (charge --e , masse rn). Le proton, 
situé en un

Fl1=L ; ; _.1,.;...Æ,rfi.F;...H;,--r....fi. point 0, est supposé immobile ; 
l'électron, en A, est repéré par le vecteur

JE" '"f"f""f' "' Ï1'.1'fÜ'ÜËËHË- OA = rûï dans le repère polaire (ûï, ûa) 
utilisé dans cette partie.

Physique Il - PC - 2007

D 1 -- Justifier l'unité de la constante h (J .s) qui figure dans le tableau de 
la page 7.

D 2 -- Montrer que l'on peut négliger la force gravitationnelle devant la force 
électrostatique entre le

\

proton et l'électron (la constante de la gravitation G peut s'estimer a partir 
de données, même
approximativement connues).

D 3 -- Etablir que pour le mouvement circulaire de l'électron, E p + 2Ec =(), 
où EC est l'énergie
cinétique et E p l'énergie potentielle (Théorème du viriel). Exprimer EC de 
l'électron en fonction du
rayon r de la trajectoire circulaire. Exprimer le rayon };1 en fonction de n et 
de "1 , correspondant a
n = l . En utilisant l'axiome de quantification, exprimer Iî en fonction de 50 
,m,e et h. Calculer @.

D 4 -- Calculer l'ordre de grandeur du champ électrique créé par le proton a la 
distance r = Iî.

Comparer la valeur de ce champ électrique atomique a un champ électrique 
macroscopique, produit
dans des conditions expérimentales que vous préciserez.

D 5 -- En déduire l'énergie mécanique totale E de l'électron en fonction de n 
et des données
50 ,m, e et h. L'origine des énergies pour l'électron correspond à l'état où 
l'électron est au repos à une

, E
distance infinie du proton. Ecrire E sous la forme En = à en précisant 
l'expressron de El. Interpré-
n

ter le signe de En. On appelle << état fondamental >> de l'atome l'état 
d'énergie minimale. Montrer que

cet état correspond a E1 . Calculer E1 en électron--volt.

D 6 --Exprimer la vitesse V,, en fonction de n et de V1-- Exprimer V1° Calculer 
v1 Comparer sa valeur
a celle de c, vitesse de la lumière dans le vide. Conclure.

Texte introductif aux questions 7 à 10

Dans les questions suivantes, l'électron a une énergie totale minimale, ce qui 
correspond a l 'e'tat fondamental
de l'atome. On assimile le mouvement de l'électron a une boucle de courant.

D 7 -- L'électron en mouvement sur sa trajectoire circulaire peut être assimilé 
à un courant électrique.
Exprimer ] l'intensité équivalente de la boucle de courant. Calculer ] .

D 8 -- Calculer B (O) , valeur du << champ Ë >> créé au centre O de la 
trajectoire par le mouvement de
l'électron.

D 9 -- Donner l'ordre de grandeur des champs magnétiques les plus intenses 
actuellement réalisables.
Comparer cet ordre de grandeur àla valeur numérique obtenue àla question 8.

D 10 -- Si le modèle de Bohr a permis d'expliquer certaines caractéristiques 
des spectres de l'atome
d'hydrogène, ce modèle, qui s'appuie sur la mécanique de Newton, n'a pu 
expliquer l'ensemble des
propriétés des atomes. Ces dernières s'interprètent dans le cadre de la 
mécanique quantique. Rappeler
en quelques mots les conditions de validité de la mécanique classique.

DEUXIÈME PARTIE : ABSORPTION, DISPERSION

Un milieu gazeux monoatomique peu dense, linéaire, homogène et isotrope, 
contenant N électrons par
unité de volume est soumis a une onde électromagnétique plane progressive 
harmonique {dans le

domaine IR-UV), décrite par les deux vecteurs champs électrique E et magnétique 
B

-->

E = EO exp{i(wt --kz)] et E = ËO exp{i(wt -- kz)] .

Dans cette partie, le vecteur ? (= x, y, z) ne représente plus la position << 
instantanée >> de l'électron
{pour autant que cette notion ait un sens), mais son élongation moyenne par 
rapport au noyau ; pour
un atome au repos, la position moyenne de l'électron est ainsi confondue avec 
celle du proton et l'on a

Physique Il - PC - 2007

f = 0. Le mouvement d'un électron représentatif est décrit par le modèle 
classique de l'électron
élastiquement lié. En l'absence de rayonnement, l'équation du mouvement de cet 
électron est

d2 ?

Ï2

=-mwâî--e(Ë+ËAË)--Zma%. ...
t t

On suppose que les constantes a et Q)() sont identiques pour tous les 
électrons, avec

05 _ C _
-- = 5,0><10 6 et /10 =27z-- = 0,83x10 6m.
500 500

D 11 -- Quelle est la signification physique du terme --mwâf ?

D 12 -- Quelles sont, dans ce modèle d'oscillateur, la dimension et la 
signification physique de a ?
D 13 -- En les validant par des considérations d'ordre de grandeur, d'une part 
sur B, d'autre part sur

exp(--ikz) , proposer deux simplifications de l'équation non linéaire [l]. La 
simplification relative au
terme exp(--ikz) rend cette équation linéaire.

D 14 -- Compte tenu des simplifications de la question précédente calculer en 
régime permanent
l'amplitude complexe Ëo du vecteur Ï(t) et celle du dipôle induit Ê . Exprimer 
l'amplitude PO du
vecteur polarisation Ê , et la susceptibilité diélectrique 1 , définie par P() 
(Q)) = 80 1 (Q)) E0 (Q)).

_»

-- -- -- en
D 15 -- Dans l'équation de Maxwell relative à un milieu non magnétique r0t(B) = 
,uOJ + ,u080 â_ ,
t

-->

J est le courant total, somme du courant de conduction et du courant de 
déplacement L = Ô--_. Éta-
-- t

. _ --» -- aË
bhr alors que, en l'absence de courant de conduction, rot (B) = 80/10 (1 + ;{ ) 
= 80/10 ET _6_ . Cette
_ _ t

5
équation définit la permittivité diélectrique relative 8, (Q)) = 8'(Q)) 
--i£"(Q)). Exprimer 8'(Q)) et

. 2 2
8"(Q)) . Tracer sommairement les courbes correspondantes. On posera (Up = Ne 
/mEUR0 .

D 16 -- Dans l'équation div (80Ë) = ,0 , p représente la densité volumique de 
charge totale,
p : phboe + [Oué : plibre -- div (Y). Établir que, en l'absence de charges 
libres, div (50Ë + Î') : O .

D 17 -- Le milieu considéré étant dépourvu de charges et de courants libres, 
déterminer l'équation de
propagation vérifiée par le champ E dans le milieu1. Remarquer que, avec ce 
formalisme, k est com-
plexe, k =k'+ik" et déterminer la relation de dispersion k(Q)). On suppose 
8'(Q))--l<N1 ; 
justifier le nom

d'inversion de population donné a cette situation. Que se passe-t-il lors de la 
propagation d'une onde
électromagnétique dans ce milieu ? LASER est l'acronyme de la traduction 
anglaise de << Amplifica-
tion de lumière par émission stimulée de radiation >> ; justifier cette 
appellation.

D 21 -- Quelles caractéristiques présentent les lasers par rapport aux autres 
sources de lumière ? Citez
des utilisations du laser autres que la réalisation d'expériences au lycée.

TROISIÈME PARTIE : LAME POLARISANTE

.u.
.'r:
ff Une lame diélectrique à faces planes et parallèles, d'épaisseur d, est 
placée dans
l'air, assimilé ici au vide (Fig. 2). L'une des faces, représentée par le plan 
xOy, est
abordée par une onde électromagnétique transversale dont le champ électrique
L': _ , , c --> _ A A c , o \
.: & s ecrit E -- Ex (x, y, z,t) ux + Ey (x, y, z, t) uy . Le doelectrrque est 
homogene,

__ ? linéaire, transparent, non magnétique, dépourvu de charges et de courants 
libres,
"' '-Ë; - ' ":"mË mais il présente une anisotropie. Cette anisotropie se 
manifeste par une polarisation
"'ËËËÜWËÜË du diélectrique différente suivant les axes x et y. En régime 
harmonique, cela se

traduit par les relations suivantes entre les composantes du vecteur 
polarisation E et du vecteur

champ électrique Ë :
fix =50(5m --1)Ex et £y =50(5ry --1)Ey.

On pose ci-dessous 81= 808 et EUR 2= 808 avec 8,y > 5rx . Il résulte de la 
question la question 15

rx ty '

_, __ 5 __ _, _ __ __
que r0t(fi) = ,u0 Ô--(SOE + I_') et il résulte de la question la question 16 
que d1V (SDE + P) = O .
t

--> -->

D 22 -- Établir une équation différentielle faisant intervenir les vecteurs E 
et P , et eux seulement ;

attention, cette équation fait intervenir div (É) , qui n'est pas nul.

Physique Il - PC - 2007

, âE ÛE
D 23 -- Etablir la relation entre " et y , qui fait intervenir 81 et 82. En 
déduire que
âx ây
e 82E 82E
l'équation de propagation vérifiée par Ex est AEX -- ----1 _; = ,L1081 --2x.
82 ôx ôt

D 24 -- Écrire l'équation de propagation vérifiée par E y . Que devient cette 
équation si le diélectrique
est isotrope ?

D 25 -- On considère à partir d'ici que les composantes du champ électrique 
s'écrivent

Ex(z,t)=äexp iw(t--£J et Ey (z,t)=Eoyexp iw(t--£J .

_ Cl Cz

Les amplitudes complexes E0x et E0y sont constantes. En utilisant les résultats 
de la question précé-

dente, exprimer les constantes c1 et c2 en fonction des paramètres du milieu.
Texte introductif aux questions 26 à 28

Une onde plane progressive harmonique polarisée rectilignement suivant la
bissectrice intérieure des axes (Ox, Oy) aborde le diélectrique sur sa face
z = 0, en incidence normale (Fig. 3 ). On néglige toute réflexion de l 'onde ;
cette dernière est donc intégralement transmise. La valeur maximale de la

norme du champ électrique de l'onde incidente est notée EO.
Fig- 3 ." E.Ïif:iflp Élw-trimm rir:'
,r'..."gE. ,-....,-äfü....--H.H: H. E] 26 --Donner les expressrons des 
composantes Ex et Ey du champ

dans le plan z = 0.

D 27 -- Exprimer, pour z = d , le déphasage entre les composantes du champ dans 
le diélectrique.
Quelle valeur minimale de d (notée dmin) faut-il utiliser si l'on veut obtenir 
une onde polarisée

circulairement àla sortie du diélectrique ?
1
On pose c1 = co + (1/2)5c = c/n1 et c2 = co -- (l/2)5c = c/n2 (5c << CO) , avec 
n1 = n0 --îô'n

l 2
et n2 =n0 +îô'n.Calculer ô'n/n0 pour dmin =5 mm et /i =£=5><10_6 111.
Q)

D 28 -- Citez des applications possibles d'un tel dispositif.

QUATRIÈME PARTIE : INTERFÉROMÈTRE

... Un interféromètre de Michelson (fig. 4) est initialement réglé en
différence de marche OM1 -- OM2 = e non nulle, e = 1,0 cm. Le

_.';'.-'.;j _...,|- miroir M1 et l'image du miroir M2 a travers la séparatrice S
Ü % Ë_b sont parallèles. La compensatrice C et la séparatrice sont
" paralleles et a 450 de l'axe Ox. L'ecla1rement est monochromatr-

" que de longueur d'onde % = 0,597 >< 10 m) .
Fig- 5 .' .-Wr}rtirïgü modifié : le.? rieur mimiOE

restent rartlmgmtmm. i.ttpüt'fifi' gt'isée E] 33 _ En considérant le modèle 
optique équivalent de
J"ËÆ""ËWWWf'f"fr.wmbie.a'fi'jïm'mr'iffi' l'interféromètre de Michelson, 
représenter la marche d'un
4.""ÜJ'IIFÜ'IL'EHH'ÏEIÈ ("E--' . rayon lumineux,
M D 34 -- Soit A un point de la droite définie par l'intersection de M1 et
| ..
__W de M' , image de M2 a travers CS (Fig. 6). Soit P un point du plan
'"ulür _ .T __ _ ---- A _ _
_È__ __ ' p " b1ssecteur de M1 et de M'2, tel que AP = xux . Au pornt P, 
exprimer la
"':'------._
M ? "'-« différence de marche 5 (x) entre les ondes réfléchies sous la forme
("3de \ . \ , --
inet.:iente 5 (x) -- xf £tan(a)] , ou f est une fonction a determiner. On 
rappelle

qu'on associe un chemin optique négatif à un trajet virtuel opposé au
Hg- 5 -' 5f'hfi'"...ffi""fÏ"£"... fifi" sens de propagation de la lumière. On 
pourra, éventuellement, avoir
l 'iiitfit_'fËtïflfiiêfi"EUR {partiel}. 2

recours à l'identité 1+ cos(2a) = 1_ tan2 (oz) .

D 35 -- Exprimer l'intensité I (x) de la lumière émergente en fonction des 
intensités Il et 12 de cha-

que onde réfléchie et de l'abscisse x du point P. On ne demande pas de 
démontrer la formule générale
des interférences a deux ondes.

D 36 -- On souhaite photographier le phénomène ; comment doit-on placer et 
mettre au point un appa-
reil photographique par rapport au dispositif ? On assimilera l'appareil 
photographique a une lentille
convergente. Quelle (s) application (s) voyez-vous de l'expérience précédente ?

Physique Il - PC - 2007

Données numériques (toutes ne sont pas données avec la même précision)

Masse de l'électron m = 0,911 >< 10_30 kg
Charge du proton @ = 1,602 >< 10_19 C
Constante de Planck h = 6, 63 >< 10--3418
Constante de Boltzmann kB = 1, 38 >< 10--23] .K_1
Rapport des masses proton/électron % = 1836
Perméabilité magnétique du vide ,u0 = 1, 26 >< 10_6 H.nf1
Célérité de la lumière dans le vide c = 3,00 >< 108 rn.s_1
Permittivité diélectrique du vide 50 = 8, 85 >< 10"12 Fm"1

Champ électrique d'ionisation de l'air Edisruptif % 106 V.rn_1

FIN DU PROBLÈME

FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Arnaud Riegert (ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît
Lobry (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet aborde essentiellement l'électromagnétisme dans les milieux ; il part 
d'une
analyse microscopique des phénomènes pour arriver à l'étude d'une lame 
polarisante.
Une dernière partie, indépendante, propose un problème d'interférométrie en 
utilisant
l'optique géométrique et l'optique ondulatoire.
· La première partie est une étude semi-classique de l'atome d'hydrogène portant
sur le modèle de Bohr, qui réunit la vision planétaire de Rutherford et une
quantification du moment cinétique de l'électron. Elle permet de faire le point
sur les ordres de grandeur intervenant à l'échelle atomique.
· La deuxième partie abandonne le modèle de Bohr pour le modèle de l'électron
élastiquement lié (modèle de Thomson) avec frottements. On considère la réponse 
de l'atome à un champ électromagnétique extérieur. Le système est alors
modélisé par un oscillateur harmonique en régime forcé, ce qui permet d'établir
les équations de Maxwell dans les milieux. Une brève introduction aux milieux
amplificateurs dans les lasers est proposée à titre d'application.
· La troisième partie met en pratique les résultats obtenus dans la deuxième 
pour
analyser le fonctionnement d'une lame polarisante : en envoyant une onde plane
monochromatique polarisée rectilignement sur une telle lame, on peut obtenir
en sortie une polarisation différente.
· La quatrième et dernière partie est constituée de deux exercices classiques 
sur
l'interféromètre de Michelson : la lame d'air et le coin d'air (sous une forme 
un
peu atypique pour le deuxième) avec une source quasi ponctuelle.
Ce sujet ne présente pas de difficulté particulière, beaucoup de questions étant
très proches du cours, quelques-unes pouvant même aller jusqu'à inquiéter par 
leur
facilité. Les différentes parties sont très largement indépendantes, au point 
que le
sujet devient parfois un peu décousu. Un élève rapide peut donc terminer 
l'épreuve
dans le temps imparti. Pour se démarquer, il faut travailler vite et bien !
On peut utiliser ce sujet dans le cadre de révisions pour s'entraîner à 
effectuer
efficacement des calculs simples et qu'il est bon de connaître. Il permet, de 
plus, de
se familiariser avec la notion de susceptibilité diélectrique. Enfin, la 
dernière partie
propose des montages d'interférométrie légèrement différents de ceux du cours et
donne ainsi l'occasion de tester sa bonne compréhension du sujet.

Indications
I.

Atome hydrogénoïde

3 Appliquer le PFD à l'électron pour en déduire sa vitesse et son énergie 
cinétique. L'équation relie rn et vn ; en combinant avec l'axiome de 
quantification,
on obtient rn en fonction de n.
5 E = Ec + Ep = -Ec . Exprimer cette énergie en fonction de r1 et n.
7 La charge -e traverse le circuit à chaque période (temps nécessaire pour 
parcourir
le cercle de rayon r1 à la vitesse v1 ).
8 Utiliser la loi de Biot et Savart.
II.

Absorption, dispersion

13 Comparer les ordres de grandeur de la force électrique et de la force 
magnétique en
 -
-

reliant les amplitudes de E et B d'une part, comparer la distance 
caractéristique
de variation de l'exponentielle spatiale aux dimensions atomiques d'autre part.
17 Prendre le rotationnel de l'équation de Maxwell ­ Faraday. Pour obtenir k  
et k  ,
développer le carré (k  + ik  )2 et identifier les parties réelles et 
imaginaires grâce
à la relation de dispersion. Raisonner au premier ordre en   =  - 1 et  .
III.

Lame polarisante

22 Prendre le rotationnel de l'équation de Maxwell ­ Faraday.

-

-
 -
-

23 Exprimer P en fonction de E et injecter ce résultat dans div (0 E + P ). 
Projeter
selon x l'équation trouvée à la question précédente et éliminer le terme en Ey 
grâce
à la relation que l'on vient d'établir.
27 On obtient une onde polarisée circulairement si les deux composantes ont la
même amplitude et si le déphasage vaut /2 modulo . Calculer n et non n/n0
puisque n0 n'est pas donné.
IV.

Interférométrie

30 Construire le montage optique équivalent pour en déduire la figure obtenue 
sur
l'écran. Suivre le trajet d'un rayon partant d'un point quelconque de la source 
et
passant par le centre de la lentille par exemple. Le rayon est séparé en deux 
puis
les deux rayons se rejoignent, mais l'un a un retard de marche à calculer.
32 Deux champs de vecteurs orthogonaux n'interfèrent pas. Après passage dans le
polariseur P2 , le champ électrique est la somme de deux composantes, l'une 
interférant avec le faisceau issu de M1 , l'autre lui étant orthogonale.
34 Représenter la marche d'un rayon passant par P après une réflexion sur M1 et
celle d'un rayon réfléchi sur M2 semblant venir de P. Nommer tous les points
caractéristiques du trajet et utiliser des relations dans les triangles.

I. Atome hydrogénoïde
1 D'après l'axiome de quantification, h a la dimension d'un moment cinétique. Or
[h] = [mvr] = [m][v][r] = [m][v][v] T = [mv 2 ] T = [Ec ] T
car r est une longueur, donc une vitesse multipliée par un temps. On en conclut 
que
h est homogène à une énergie multipliée par un temps, donc
L'unité de h est bien le J.s.
La dimension de h est la dimension d'une action, grandeur qui joue un rôle
important en mécanique analytique. Une action peut être vue comme un
moment cinétique, une impulsion multipliée par une longueur ou une énergie
multipliée par un temps.
2 Les deux forces mises en jeu ont pour intensité
|Fe | =
de sorte que

e2
40 r2

et

|Fg | =

GMm
r2

|Fg |
40 GMm
=
= 4, 4 · 10-40
|Fe |
e2

Il y a 40 ordres de grandeur de différence ! On peut donc négliger sans scrupule
l'interaction gravitationnelle devant l'interaction électrostatique.
L'énoncé indique que l'on peut retrouver la constante de gravitation G à
GMT
partir d'autres données connues approximativement : on a en effet g0 =
RT 2
(où g0 , MT et RT désignent respectivement l'accélération de la pesanteur à
la surface de la Terre, la masse et le rayon de la Terre) mais en général
ces valeurs, notamment la masse, ne sont pas mieux retenues que la valeur
numérique de la constante de gravitation universelle !
3 Pour établir le théorème du viriel, appliquons à l'électron le principe 
fondamental
de la dynamique dans le référentiel galiléen lié au proton. L'accélération de 
l'électron
 = -v 2 /r-
 où  est la pulsation de rotation. On a donc ici
est - 2 r -
u
u
r
r
v2 
-e2 -

-m -
ur =
u
r
r
40 r2
2
e
d'où
mv 2 =
40 r
Le premier terme est le double de l'énergie cinétique ; le second est l'opposé 
de l'énergie potentielle d'interaction électrostatique : on définit en effet 
cette énergie (à une
constante additive près) par
--

-
F = - grad Ep
e2
dEp
=-
40 r2
dr
On a donc établi le théorème du viriel :
soit ici

-

Ep + 2Ec = 0

Le théorème du viriel s'établit dans un cadre plus général lorsque l'énergie

potentielle d'une collection de particules U({-
ri }) est une fonction homogène
des coordonnées : on dit que U est homogène de degré k si l'homothétie

{-
ri }  {-
ri } transforme U en k U. On peut alors montrer qu'en valeur
moyenne temporelle, 2 hEc i = k hUi. On est ici dans le cas particulier k = -1.
Le lecteur intéressé trouvera quelques illustrations de ce théorème dans le
sujet 2006 de Physique 1 du Concours Communs Polytechniques, filière MP
(disponible dans le tome MP Physique-Chimie 2006 de la collection Annales
des Concours).
Le théorème du viriel relie l'énergie cinétique au rayon de la trajectoire :
Ec =

e2
80 r

Utilisons maintenant l'axiome de quantification mvn rn = n~ et exprimons vn en
fonction de rn et des constantes, à l'aide du théorème du viriel
s
r
r
2Ec
-Ep
e2
vn =
=
=
m
m
40 mrn
s

e2
rn = n~
40 mrn

On obtient donc

m

soit finalement

rn = n2

avec

r1 =

40 ~2
= n2 r1
me2

40 ~2
= 52, 9 pm
me2

La distance r1 s'appelle le rayon de Bohr : elle est souvent notée a0 , et c'est
la valeur typique que l'on utilise comme ordre de grandeur de la distance
proton ­ électron.
4 La valeur du champ électrique créé par le proton à la distance r1 est
E0 =

e
= 5, 1 · 1011 V.m-1
40 r1 2

Calculons pour comparer le champ électrique dans une solution aqueuse où l'on
effectue un dosage conductimétrique. On utilise deux plaques distantes 
d'environ un
millimètre entre lesquelles on impose une différence de potentiel de l'ordre de 
un
volt. Le champ électrique est alors d'un volt par millimètre, soit 1 000 V.m-1 
: il y
a 8 ordres de grandeur de différence avec le champ électrique créé par le 
proton au
niveau de l'électron.
Pour obtenir un champ électrique équivalent au premier à échelle macroscopique,
il faudrait appliquer une tension de quelques centaines de millions de volts 
entre deux
points distants d'un millimètre. Un tel champ ne peut pas être réalisé dans 
l'air, car la
tension appliquée serait suffisamment forte pour y provoquer un courant 
électrique