Mines Physique 2 PC 2006

Thème de l'épreuve La météorologie radar
Principaux outils utilisés électromagnétisme, optique géométrique, mécanique des fluides

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNIÇATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2006

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage de la calculette est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : EN STIM, INT, TPE--EIVP, Cycle 
international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 11 -PC

L'énoncé de cette. épreuve comporte 12 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amené à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même S'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques)
qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le
barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de 
la copie

Notations : vecteur ---> A (gras) ; norme du vecteur V ----> V (italique) ; 
vecteur unitaire --> â.

LA METEOROLOGIE RADAR

Le Radar (Radio Detection And Ranging) est un système opérationnel d'émission 
et de
réception d'ondes élecüomagnétiques qui a un grand nombre d'applications de nos 
jours. Ce
problème s'intéresse à l'une d'entre elles : l'utilisation d'un Radar en 
météorologie pour
détecter et caractériser les nuages et les précipitations.

La détection électromagnétique active exploite le domaine des hautes et très 
hautes
fréquences, comprises entre 10 MHz et 100 GHz. Dans l'ensemble du rayonnement 
reçu, le
récepteur doit discerner l'existence d'un signal traduisant la présence d'un 
objet dans du
bruit. Il faut traiter le signal pour :

/ détecter la présence d'informations utiles dans les Signaux reçus et tirer de 
ces
informations l'existence d'« objets »,

/ localiser chaque objet détecté et déterminer éventuellement sa vitesse,

/ mettre en évidence des caractéristiques propres à chaque objet et permettant
ultérieurement d'identifier les objets présents.

Les trois premières parties du présent problème sont globalement indépendantes.

PARTIE I : Principe de la télémétrîe radar

Un Radar se compose d'un certain nombre d'éléments indépendants (figure 1) qui 
se

regroupent en éléments d'électronique (G générateur très haute fréquence, R 
récepteur à
gain élevé, C commutateur), et d'une

antenne A.

Le commutateur (C) est un élément
d'électronique permettant de sélectionner
le trajet des signaux électriques soit dans
le sens générateur--antenne, soit dans le
sens antenne--récepteur. Il permet donc
d'utiliser l'antenne en mode « réception »
dès lors que le générateur n'émet pas de
signal et c'est grâce à lui qu'un Radar
peut être utilisé à la fois pour émettre et
pour recevoir une onde
élecüomagnétique.

Le générateur (G) est capable de produire
un signal électrique monochromatique de

fréquence fo (et de longueur d'onde À) sur

Figure 1 : Pfindpe du Radar une durée 1: à la fois brève dans l'absolu

-- _ et suffisamment grande vis à vis de la
période (t>>l/fo) : il est alors d'usage de parler d'impulsion (impulsion 
signal). Cette
impulsion arrive à l'antenne qui va transformer ce signal électrique en onde
élecüomagnétique se propageant dans le milieu ambiant. Cette onde est donc
monochromatique de durée brève et, là aussi, il est d'usage de parler 
d'impulsion
(impulsion onde). On désignera par I l'impulsion émise.

Lorsque l'onde (impulsion I) rencontre un obstacle, une partie de l'onde est 
rétro diffusée
vers l'antenne: on désignera par I' cette impulsion rétrodiffusée. L'antenne va 
alors
transformer ce champ élecüomagnétique en signal électrique. Grâce au 
commutateur, le
récepteur R permet alors d'enregistrer, à des fins de traitement, un signal lié 
à l'impulsion
I'.

1.1 Directivité de l'antenne et du faisceau émis

L'antenne A est le siège d'un phénomène de diffraction. Dans une première étape 
d'analyse,
elle sera modélisée par une ouverture plane rectangulaire de centre O, telle 
que l'axe Oz lui
soit perpendiculaire : il est alors d'usage de dire que l'antenne pointe selon 
l'axe Oz. Cette
ouverture est de largeur a suivant la direction Ox ( avec a >> k) et de très 
grande dimension
suivant la direction Oy (figure 2).

On supposera que le champ élecüomagnétique, monochromatique, est identique (en
amplitude et en phase) en tout point de cette ouverture.

On suppose tout d'abord que le milieu ambiant est le vide : on connaît alors la 
relation liant

fa la fréquence et ?. la longueur d'onde. On s'intéresse aux caractéristiques 
de l'onde en tout
point de l'espace tel que 2 > O, et on se restreindra à l'étude du champ 
électrique E.

D 1 -- Justifier comment le présent système se réduit en pratique à un problème 
en deux
dimensions (décrit dans le plan Oxz).

Dans ce cadre bidimensionnel, on se propose de
déterminer le diagramme de rayonnement de
l'antenne qui caractérise l'énergie reçue dans le
plan Oxz. En se plaçant suffisamment loin de
l'antenne, cette caractérisation ne dépend que de

l'angle on, angle que fait la direction dans laquelle
on effectue l'analyse avec l'axe Oz.

Le principe proposé ici consiste à rechercher et à
déterminer les valeurs de cet angle qui
correspondent soit à des maxima locaux de
l'énergie reçue, soit à une annulation de l'énergie
reçue.

On commence par rechercher la première valeur
de ou, notée on et nommée « premier zéro » pour

laquelle aucune énergie n'est reçue.
E] 2 -- On considère tout d'abord deux sources
ponctuelles identiques situées sur l'antenne, l'une au centre O = (0,0,0) de 
l'ouverture,
l'autre au point P = (x,0,0), et on analyse l'onde résultante, somme des ondes 
émises par ces
deux sources. Donner l'expression du déphasage à l'infini dans la direction a 
entre les deux
rayons issus de ces deux sources. En déduire l'amplitude complexe A(u) de l'onde
résultante dans la direction (1, puis son intensité I(a). Montrer que la valeur 
de a la plus
proche de 0 annulant cette amplitude s'exprime comme ax = Arcsin[--â--) .
x

En considérant maintenant les deux sources élémentaires situées sur l'antenne 
au point

2
le déphasage de toutes les paires de rayons issus des points P1 = (X ,0,0) et

P2 = [X --£,0,0) avec X EUR lÏO,%J .

P1 : (£,0,0) et au point P2 = (0,0,0), calculer cette valeur, que l'on notera 
ou. Analyser

2

Rappeler le principe de Huygens-Fresnel.
Montrer que l'on peut remplacer la somme des contributions des sources 
secondaires sur
l'ouverture par une association de paires de points que l'on précisera.

En déduire que la contribution totale de l'antenne dans la direction ou, 
appelée « premier
zéro » de l'antenne, se réduit à une onde d'amplitude nulle.

La plus grande partie de l'énergie émise par l'antenne est reçue entre les 
directions -Ot1 et

ou : il est d'usage d'appeler ce secteur angulaire le « lobe principal » de 
l'antenne. Pour
justifier cette affirmation, on analyse à présent le comportement de l'antenne 
pour des

directions supérieures à ou.

Cl 3 -- En adoptant la démarche de la question précédente et en l'appliquant à 
deux sous

a
antennes identiques juxtaposées et de largeur -- , montrer que la seconde 
valeur de l'angle

. 27\. . . , '
on annulant l'amplitude reçue vérifie 0c2 : Arcsm(----). La directlon az sera 
appele le

a
« second zéro » de l'antenne. Entre les directions ou; et (12, l'amplitude 
passe par un
extremum qu'il est d'usage d'appeler « premier lobe secondaire » : montrer 
qu'une valeur

37»

raisonnable de la direction de cet extremum est BI = Arcsin(----). Pour 
justifier ce choix,

2a

calculer la dimension d'une nouvelle antenne virtuelle telle que cette 
direction [31 soit son
premier zéro. Comparer cette dimension avec celle de l'antenne initiale. 
Montrer que tout se
passe comme si l'antenne initiale, de largeur a, pouvait se décomposer en deux 
sous

_ 2a . .
antennes 5uxtaposées : l'une de largeur --5-- , dont la contnbutmn est nulle, 
et l'autre de
a , . . . , . . ,, .
largeur 5-- dont on prec1sera la contrrbutmn. Proposer alors une borne 
super1eure a l energ1e

émise dans la direction [31 en fonction de I(O), intensité reçue pour a=0.

Au lieu de mener des calculs analytiques complets (calcul des phases et des 
amplitudes en
tout point du plan Oxz), on généralise la démarche précédente pour caractériser 
l'intensité

reçue dans une direction ou quelconque.
Cl 4 ---- Montrer que si l'on découpe virtuellement l'antenne initiale en 2m 
sous antennes

identiques juxtaposées, l'intensité reçue est nulle dans une direction ou... 
que l'on
déterminera. Montrer de même que si l'on découpe l'antenne initiale en 2m+1 sous
antennes identiques juxtaposées, l'intensité reçue passe par un maximum local 
dans une

- direction B... que l'on déterminera. Proposer alors une borne supérieure à 
l'intensité reçue
dans la direction Bm en fonction de m et de I(0).
En déduire qu'il existe des directions B... telles que l'intensité reçue passe 
par une valeur que

l'on pourra considérer comme un maximum local, et des directions ou... telles 
que l'intensité
reçue soit nulle.

Donner l'allure de l'intensité reçue en fonction de ou. Montrer que le résultat 
ainsi obtenu est
cohérent avec la formule utilisée par les radaristes

.(naa)2
8111 À

?»

Expliquer alors pourquoi il est légitime de raisonner uniquement sur le lobe 
principal de
l'antenne.

On définit maintenant l'ouverture angulaire Au du faisceauémis par l'antenne 
par l'angle
entre l'axe Oz et la direction choisie à l'intérieur du lobe principal telle 
que l'intensité soit la
moitié de l'intensité maximale I(0). Donner une valeur approchée de Au. '

C] 5 -- En réalité, l'antenne a la forme d'un disque de diamètre a. Le faisceau 
émis a alors
une symétrie de révolution par rapport à Oz et on admettra que l'ouverture 
angulaire Aa a

?»

la même symétrie de révolution et s'exprime comme AOL = 0,61-- . Donner la 
valeur
a

numérique de Au pour X=3 cm et a=4 m. En déduire la localisation des points 
Q(x,y,R)
illuminés par l'antenne pour R=10 km.

On admettra, dans la suite du problème, que l'antenne A est circulaire de 
diamètre a,
rayonne uniformément dans un cône de révolution de sommet O, d'axe Oz et de 
largeur

%.

angulaire AOL = 0,61-- , et que la puissance rayonnée est nulle à l'extérieur 
de ce cône. La
a

zone ainsi définie sera appelée « lobe d'antenne ». On admettra que la surface 
interceptée à
une distance R par un lobe d'antenne de largeur angulaire Aa (Aae [O,n]) 
s'exprime comme

S(Aa) = 21cR2 (1 - cos(Aa)) = R2Q(Aa)
et on appellera la grandeur Q(Aa) l'angle solide d'ouverture Aa.

1.2 Puissance reçue

Lorsqu'un objet est illuminé par une onde électromagnétique, il peut 
rétrodiffuser une partie
de l'énergie de cette onde. Les radaristes ne s'intéressent pas à la géométrie 
exacte des
objets, mais uniquement à leur pouvoir de rétrodiffuser l'onde en direction de 
l'antenne
émettrice. Pour cela, ils associent à chaque objet une cible idéale recevant 
l'onde
élecüomagnétique de vecteur d'onde k comme si elle avait une surface s 
perpendiculaire à k
et rétrodiffusant cette onde de manière omnidirectionnelle. On appelle alors s 
la « surface
équivalente » de l'objet (pour les radaristes, il est d'usage de parler de SER: 
Surface
Equivalente Radar). '

D 6 -- Connaissant la longueur d'onde X et le diamètre a de l'antenne A, quelle 
est la valeur
de la surface S illuminée par le faisceau radar à la distance R '? Simplifier 
l'expression

obtenue en supposant Aa suffisamment petit.

Cl 7 -- Soit un radar tel que la puissance qu'il rayonne à une distance d'un 
mètre soit ÿemis.
Soit un objet détectable par le radar, situé à une distance R et de surface 
équivalente s. En

assimilant le milieu de propagation au vide, quelle est, en fonction de R et de 
ÿemis la
?

reçue

93

emis

puissance ÿoeçue reçue par cette cible? Calculer le rapport pour R=10 km et une

surface équivalente de la cible s= 100 m'.

On suppose que cette cible réémet totalement la puissance reçue et que cette 
réémission
s'effectue de manière isotrope : la cible se comporte alors comme une antenne 
de largeur
angulaire AOL = n.

En admettant que l'antenne A en réception a une surface équivalente égale à sa 
surface,

quelle est, en fonction de ÿ'emis, R, s, À et a la puissance .9"' reçue par 
l'antenne A ?

D 8 --- En tenant compte de l'expression de Au en fonction de k et de a, 
établir l'«équation
du radar » suivante :
ÿ' _ K 3 a4

93 . 731%"

cm

où K est une constante que l'on déterminera.
En supposant que la puissance minimale détectable est ÿ' =10'9 W, calculer la 
portée

théorique Rmax d'un radar de puissance ÿemis =50 kW, de fréquence f0=10 GHz (et 
de

longueur d'onde dans le vide À=3 cm) et dont l'antenne a un diamètre a=4 m, 
pour une cible
de surface équivalente s=100 m'. Quel(s) paramètre(s) peut--on modifier de 
manière réaliste
pour augmenter la portée '?

En pratique, cette portée est beaucoup plus faible. Donner plusieurs raisons 
pour expliquer
ce fait.

I.3 Étude des échos

Le radar météorologique étudié est ce
qu'on appelle un « radar à impulsions »,
c'est--à--dire un radar qui émet
régulièrement des impulsions telles
qu'elles ont été décrites précédemment
(signal monochromatique émis sur une
durée 't courte). Son principe d'émiSsion
peut être déduit du chronogramme
d'émission (figure 3) et on décrira son
fonctionnement à l'aide des paramètres
suivants:

0 1: la durée d'une impulsion

. fR = 1/ T R la fréquence de répétition
des impulsions, avec T R >> 12

On prendra dans la suite de ce problème

les valeurs suivantes : r=2 us, fi;= 1 kHz

Figure 3 : chronogramme des émissions (puissance
émise par le Radar en fonction du temps, PC
représente la « puissance crête »)

E] 9 ---- On suppose qu'une seule cible est
présente dans le lobe d'antenne.
Comment peut--on connaître la distance R du radar à la cible ? Expliciter le 
principe en
établissant le chronogramme de réception et en y superposant le chronogramme 
d'émission.
Montrer que si T R est trop faible, il peut y avoir ambiguïté sur la mesure de 
la distance R.
Comment faut-il choisir la valeur de la fréquence de répétition fR pour lever 
cette
ambiguïté? Effectuer les applications numériques en prenant pour R la portée 
théorique
maximale Rmax calculée à la question 8. La valeur numérique de la fréquence de 
répétition
semble--t--elle judicieusement choisie '?

On s'intéresse maintenant à la résolution spatiale du radar dans la direction 
d'émission-
réception (résolution dite « radiale »), ainsi qu'à la résolution selon l'angle 
d'émission
(résolution dite « azimutale »).

Cl 10 -- On considère d'abord deux cibles immobiles situées sur l'axe 
d'émission--réception
et séparées dans l'espace d'une distance AR. Connaissant la durée du signal "C, 
proposer un

critère pour déterminer la plus petite valeur de AR telle que l'on on puisse 
observer
l'existence de deux cibles distinctes sur le signal reçu. On appellera AR la 
résolution axiale.

E] 11 -- On considère ensuite deux cibles immobiles dans le plan Oxz, à la même 
distance R

du Radar et séparées d'un angle d'azimut w (q; est un angle de rotation autour 
de l'axe Oy).
Pour mesurer un azimut, il est possible de faire tourner l'antenne autour de 
l'axe Oy.
Connaissant l'ouverture angulaire du faisceau radar Aa (telle qu'elle a été 
définie àla
question 5 ), et sachant que l'on a fait l'hypothèse qu'il n'y a pas d'énergie 
émise en dehors
du lobe d'antenne, proposer un critère pour déterminer quelle est la plus 
petite valeur de

l'angle w telle que, en faisant tourner l'antenne de cet angle w, on puisse 
observer
l'existence de deux cibles distinctes '? On appellera \p la résolution 
azimutale.

CI 12 -- Quel est le volume dans lequel deux cibles ne sont pas séparables '? 
On fera une
application numérique pour R = 1 km et R = 10 km dans le cas de l'antenne de la 
question
8. lllustrer les différences entre résolution azimutale et résolution radiale. 
Ce volume est
adapté à des analyses de formations nuageuses '?

I.4 Cible mobile et effet Doppler

Lorsque la cible est mobile, la fréquence f, de l'onde réfléchie par la cible 
mobile est
différente de la fréquence fo de l'onde sinuso'1'dale émise par l'antenne. On 
se limite au
déplacement radial de la cible avec une vitesse v (de valeur très inférieure à 
celle de la
célérité c de la lumière). _

Cl 13 ---- Déterminer l'intervalle de temps séparant l'instant d'arrivée, sur 
la cible en
mouvement, de deux crêtes successives d'une sinusoïde de fréquence fo émise par 
l'antenne
et en déduire f0', fréquence de la sinuso'1'de reçue par la cible. '

On suppose que la cible (en mouvement) émette une sinuso'1'de de fréquence f0'. 
Déterminer
l'intervalle de temps séparant l'instant d'arrivée sur l'antenne de deux crêtes 
successives de
cette sinusoïde de fréquence f0' émise par la cible et en déduire f, fréquence 
de la sinusoïde '
reçue par l'antenne.

En déduire l'expression de la fréquence f, en fonction de fo, v et 0. Montrer 
qu'au premier

ordre on obtient la relation : _
2v
f r = (l _ Î)f0

Effectuer l'application numérique en prenant v = 20 ms"1 , c = 3.108 m.s'1 et 
fo = 10 GHz.
On notera fD la différence entre fréquence émise et fréquence reçue : cette 
différence
s'appelle le décalage Doppler. Cette valeur semble--t--elle aisée à analyser ?

FIN DE LA PREMIERE PARTIE

PARTIE II : Trajet du faisceau électromagnétique

On s'intéresse au trajet l'onde émise par le
radar. On sait que, dans le cas d'une
atmosphère homogène, le trajet est
rectiligne. Or l'atmosphère terrestre n'est
pas homogène et ses caractéristiques
(température, pression et donc indice de
réfraction) varient localement. Dans un
premier temps on néglige la rotondité de la
Terre, et on suppose que l'indice ne dépend
que de l'altitude. On verra dans un
deuxième temps qu'il n'est pas possible de
négliger la rotondité de la Terre.

Ü14 ---- On considère des ondes émises par
une antenne définissant l'origine O, placée
sur le sol et pointant selon une direction
faisant un angle 6 avec l'horizontale,
définie par l'axe OZ, la verticale étant
définie par l'axe OY (figure 4). L'altitude

Figure 4 : Géométrie d'un radar météorologique.
L'antenne est placée à une certaine hauteur du sol .
L'origine des altitudes sera néanmoins l'antenne.

H est comptée à partir de 0 sur l'axe OY. On modélise l'atmosphère par M 
couches de
même épaisseur h, telles que la couche comprise entre les altitudes (q-1).h et 
q.h soit indicée

par q (avec qe [1,M) et que l'indice de réfraction de la couche q vaille nq 
(figure 5).
Montrer que la trajectoire est plane et déterminer, pour une couche p, la 
relation que vérifie
l'angle Gp, défini par la direction de l'onde avec l'horizontale dans la couche 
p, en fonction

des indices de réfraction nq, qe [1,p] et de l'angle Elf--' 6. Interpréter la 
simplicité du résultat.

Ü lS--Pour modéliser un milieu
dans lequel l'indice de réfraction
varie continûment, on considère des
couches infiniment minces,
d'épaisseur dH. En supposant
que dans les couches basses de
l'atmosphère, l'indice varie suivant
la loi:

n(H) : 1 + 0,289 10--3 exp(--O,l36 H)

où l'altitude H est exprimée en km,
calculer l'angle GH que fait le rayon
par rapport à l'horizontale quand ce
rayon atteint l'altitude H = 10 km,
dans le cas d'une antenne pointant
selon une direction 9=10°. Ecrire
les relations donnant l'expression
de l'abscisse Z du rayon en fonction
de H (on ne cherchera pas à
résoudre le système obtenu).

CI 16 -- On prend maintenant en compte la rotondité de la Terre, qui sera 
supposée
parfaitement sphérique, de rayon RF64OO km (l'origine O placée sur l'antenne 
est à altitude
nulle). Les couches étudiées précédemment dans la question 14 sont alors 
concentriques.
Pour traiter la réfraction entre deux couches, il suffit de remplacer la loi de 
la réfraction de ,
Descartes par la loi de Bouguer :

nq rq sm(zq)= rzq+1 rq+l sln(zq+l)

où rq et n... sont respectivement les rayons des
sphères d'indice q et q+ 1, où nq et m... sont les indices
de réfraction des couches q et q+1, et où iq et 1}... sont
les angles réfractés (figure 6).

Etablir la loi de Bouguer à partir de la loi de
Descartes.

Calculer dans ce cadre l'angle 9'H que fait le rayon

par rapport à l'horizontale locale de l'antenne, quand
ce rayon atteint l'altitude H = 10 km dans le cas d'une
antenne pointant dans une direction 9=10° et d'un
indice variant en fonction de l'altitude suivant la loi
exponentielle donnée à la question 15. En comparant
avec le résultat de la question 15, analyser les effets

Figure 6 : stratification de l'atmosphère
terrestre (cas simplifié à 2 couches)

de la rotondité de la Terre.

Un calcul plus poussé donne, par un développement au premier ordre, la distance 
au sol ZH
entre le radar et un observateur au sol placé à la verticale du point où l'onde 
radar atteint

une altitude donnée H :

ZH

_ H _ 1 (n H

Que se passerait-il si l'indice vérifiait la relation ---- + --- = O '? 
Expliquer

"(O) RT

pourquoi on parle parfois de « radar transh0rizon ».

FIN DE LA SECONDE PARTIE

PARTIE III : Détection de formations pluvieuses

Pour étudier les formations nuageuses, diverses applications de 
radarmétéorologie peuvent
être utilisées selon le type de « météores » rencontrés : brouillard, nuage de 
pluie, nuage de
glace, Dans ce problème, seule sera étudiée l'application du radar à l'étude de 
nuages
composés de gouttes d'eau que l'on supposera sphériques et de même rayon. On 
supposera
que la fréquence de ce Radar est 13 = 10 GHz. On ne tiendra pas compte 
d'éventuels
phénomènes de diffiision multiple et on supposera que la présence des gouttes 
d'eau n'a
aucune influence sur la vitesse de propagation de l'onde.

III.] Précipitation pluvieuse

On étudie le mouvement vertical de la pluie, qui, dans ce problème, est 
composée de
petites gouttes d'eau (de masse volumique po =lO3 kg.m'3 ) que l'on supposera 
sphériques et

de rayon b inférieur à 40 pm (c'est en fait un brouillard). On considérera que 
la force
gravitationnelle ne varie pas avec l'altitude, que l'accélération de la 
pesanteur g est égale à
9,81 m.s'2 et que l'on peut négliger la rotation de la Terre. L'atmosphère sera 
supposée

homogène de masse volumique p,,= 1,293 kg.m'3, de viscosité constanten= 2.104 
Pa.s . On

admettra que les gouttes de pluie qui ont un rayon inférieur à 40 mn ont un 
nombre de
Reynolds inférieur à 1, ainsi qu'un coefficient de traînée Cx supérieur à 1.

Cl 17 -- L'écoulement de la pluie est-il turbulent ou laminaire '? Pourquoi 
peut--on décrire la

force de traînée par l'expression F=67mv '? Ecrire alors l'équation 
fondamentale de la
dynamique pour une goutte de pluie (on néglige toute interaction entre gouttes) 
et montrer
que l'on peut négliger la poussée d'Archimède. Calculer alors la vitesse limite 
des gouttes
d'eau et vérifier que l'hypothèse sur la nature de l'écoulement de la pluie est 
correcte.
' Tracer la courbe donnant la vitesse en fonction du rayon des gouttes de pluie 
(on prendra

b < 40 um).

D 18 -- On utilise une grandeur très largement utilisée en météorologie : l'« 
intensité de la
pluie » Q, qui est définie comme la hauteur d'eau en millimètres qui tombe en 
une heure (la

mesure s'effectue en général avec un simple pluviomètoe). Proposer une 
expression reliant
N, le nombre de gouttes d'eau par unité de volume, à Q, l'intensité de la 
pluie, dans le cas
où toutes les gouttes d'eau ont le même rayon b et la même vitesse v.

III.2 Absorption et diffusion par la pluie

On considère un champ électrique E, harmonique de fréquence fo, d'amplitude EO, 
que l'on
assimilera dans ces questions à une onde plane polarisée rectilignement selon 
l'horizontale.
Les gouttes d'eau sont assimilées à des sphères de rayon b, que l'on supposera 
immobiles
dans les questions suivantes. Sous l'action de ce champ, une goutte d'eau 
acquiert un

moment dipolaire p :
a --l

8 + 2

où 80 représente la permittivité du vide, ets représente la permittivité 
relative de l'eau, que
l'on supposera constante aux fréquences étudiées ici.

CI 19 -- A quelle condition sur le rayon de la sphère et sur la fréquence du 
Radar peut--on
considérer le champ de l'onde uniforme dans le volume de la goutte ? Cette 
condition est--
elle vérifiée ici ? On supposera dans la suite du problème que l'onde est 
effectivement
uniforme dans une goutte de pluie.

Pour calculer la puissance absorbée par la goutte d'eau, on introduit une 
permittivité
diélectrique complexe e = s' + ia". Calculer la puissance cédée par le champ
élecüomagnétique à une goutte d'eau en admettant que la densité de courant 
volumique

Ôp

correspondant à une goutte de pluie s'exprime comme j = -- . Si l'on connaît le 
nombre N

ôt

de gouttes d'eau par unité de volume, calculer, en fonction de N, la puissance 
cédée par le
champ élecüomagnétique aux gouttes d'eau par unité de volume. Etablir 9" la 
valeur
moyenne temporelle de cette grandeur et vérifier la relation de 
proportionnalité suivante :

ÿ'oeNb6 fo-

b3

p = ps E avec ps = 411280

Cl 20 -- Calculer le vecteur de Poynting du champ incident dans le vide, puis 
ÿ0 la moyenne
temporelle de la puissance élecüomagnétique dans le vide. On définit alors aa 
la section
efficace équivalente d'absorption, comme la surface telle que la moyenne 
temporelle de la
puissance élecüomagnétique transportée dans le vide à travers cette surface 
soit égale à 9".
Calculer cette section efficace par unité de volume. Comparer avec la surface
qu'occuperaient les N gouttes d'eau. Commentez le résultat. Qu'observe--t--on 
donc lorsque
les gouttes d'eau grossissent '?

Cl 21 -- Donner l'expression des variations de la puissance électromagnétique 
en fonction de
l'épaisseur z traversée lors de sa propagation dans un nuage contenant N 
gouttes d'eau de
rayon b par unité de volume. On exprimera cette variation en fonction de la 
puissance

incidente9% à l'entrée du nuage, de la distance parcourue z, de la quantité N 
et de la section
efficace d'absorption aa. Comparer l'expression obtenue avec la loi de 
Beer--Lambert

. . , . JO . . . .
utlllsee en spectroscop1e : ln---- = 'YK, ou K est la concentratmn du m1]1eu 
absorbant, y une

.]

constante caractéristique du dispositif et .] l'intensité lumineuse.

Placée dans ce champ électromagnétique, la goutte d'eau se comporte comme un 
dipôle
oscillant situé en un point P et rayonne une onde élecüomagnétique de même 
fréquence fo.

On admettra qu'en un point M situé à une distance R très grande vis--à--vis de 
la longueur
d'onde À, le champ électrique créé par ce dipôle s'exprime comme :

Ed : MO sm 9 (27'f0)2P(Î " 5) ûe
47tR c

l'angle 0 étant celui formé par la direction du moment dipolaire p et le 
vecteur PM,
ü9 étant le vecteur unitaire orthogonal à PM parallèle au sol, .... étant la 
perméabilité du

vide.

CI 22 -- Caractériser l'onde rayonnée par une goutte d'eau. Retrouver alors 
l'expression du

champ magnétique Bd : _
sin0 R .
B.="° (z...)æ(:-- )....

41tR c ?

ûq) étant un vecteur unitaire orthogonal à PM et à ûe .
Calculer le vecteur de Poynting associé au point M. Montrer que la puissance 
diffusée dans
2 4 2 '
"OPS (27Çfb) EO
12nc

indépendant de R ? Peut--on exprimer cet effet diffusif par une surface 
équivalente od
appelée section efficace de diffusion ?

tout l'espace vaut . Comment expliquez--vous que ce résultat soit

D 23 -- On va considérer une pluie d'intensité Q=1 mm/h et une onde hertzienne 
de

fréquence 10 GHz. On' a alors pour les gouttes de pluie a'=29 et e"=58. 
Comparer les
absorptions et les diffusions dues d'une part à une pluie telle que le rayon 
des gouttes de

pluie soit b1=30 nm et, d'autre part, à une pluie telle que le rayon des 
gouttes de pluie soit
b2=3 um.

Cl 24 -- On considère une formation nuageuse (par exemple un cumulonimbus) de 
type
cylindrique, d'axe vertical et de rayon r=1 km : on supposera que le radar 
(dont les
caractéristiques sont celles du radar de la première partie), positionné à une 
vingtaine de
kilomètres, ne l'illumine que sur une tranche d'épaisseur 100 m et située à une 
altitude de
3500 m. On admet que toutes les gouttes ont le même rayon b, et on rappelle que 
N est le
nombre de gouttes par unité de volume. Quelle proportion de la puissance radar 
est
interceptée par un volume unité de gouttes illuminé par l'onde élecüomagnétique 
? Quelle
est la proportion de la puissance radar rétrodiffusée par la pluie et 
interceptée par l'antenne
du radar '? '

Dans le cas de cette formation nuageuse, quelles informations concrètes 
intéressant les
météorologues (Q, b, r, N, ...) peut-on alors déduire de la mesure de la 
puissance reçue '?

FIN DE LA TROISIEME PARTIE

PARTIE IV : Détermination de la vitesse de la cible

On considère maintenant que les gouttes de pluie ont une vitesse v constante 
orientée selon
l'axe vertical OY. L'onde émise par l'antenne est un signal sinusoïdal se(t) de 
fréquence fg .

L'antenne radar est pointé avec un angle 0 (voir figure 4) et on supposera dans 
cette partie
que les gouttes de pluie analysées sont dans le lobe d'antenne du Radar.

CI 25 -- En utilisant les résultats de la question 13, calculer le décalage 
Doppler que l'on
peut observer sur le signal reçu s,(t) en supposant que la vitesse des gouttes 
est de 0,1 m.s'l.

Cl 26 -- On effectue le "tri" des vitesses v en envoyant le signal précédent 
dans un ensemble
de L filtres passe--bande [F I,. . .F L], dans lequel chaque filtre a une 
largeur de bande 6 et est

centré sur la fréquence fi;+(p--l) 6. (avec pe[l, L]) Quelle doit être la 
largeur de bande 5
pour estimer la vitesse de la question 25 avec 20% d'erreur ? Si, de surcroît, 
ce même
système doit pouvoir mesurer des vitesses des gouttes jusqu'à 4 ms", combien 
doit--il y
avoir de bandes ? Ces valeurs sont--elles réalistes '?

FIN DE LA QUATRIEME PARTIE

PARTIE V : Radarmétéorologie

Cl 27 -- Au vu des divers volets de ce problème, pensez vous qu'il soit 
possible de connaître
à 10 km de distance toutes les caractéristiques d'une formation pluvieuse 
(intensité de la
pluie, rayon des gouttes d'eau, vitesse des gouttes d'eau,...) et son évolution 
spatiale dans
les minutes qui vont suivre '? Préciser dans votre analyse quels sont les 
points essentiels,
omis dans ce problème, qu'il faudrait approfondir pour construire effectivement 
un système
de radarmétéorologîe.

FIN DE LA CINQUIEME PARTIE
FIN DE L'ÉPREUVE

& ..... > : QR©I ...... ....-- =o...âoeää.... .æa 8Ë o...... 088 «... oËomu 
:o.Ëoea ...oÊÈOA &

... ou: ...Ëa 02--0on .: ao...üoe=v & oæoeæ


			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Dubuis (ENS Cachan) ; il a été relu par Benoît
Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur le radar et son utilisation pour détecter les nuages et 
analyser les
formations pluvieuses (déplacement, intensité, évolution, etc.). Il couvre un 
nombre
important de notions au programme de PCSI et de PC, telles que les phénomènes 
d'interférences et de diffraction, l'optique géométrique, la mécanique des 
fluides, l'électromagnétisme des milieux ou encore le rayonnement dipolaire. 
Les trois premières
parties sont indépendantes mais de difficulté et de longueur inégales. Une 
lecture
(rapide) de l'ensemble du sujet est ainsi nécessaire avant composition afin de 
repérer
les points clés et comprendre comment ceux-ci s'articulent dans les parties IV 
et V.
· Dans la première partie, on étudie le principe général d'émission-réception 
des
ondes avec une antenne radar. L'émission est introduite par une résolution
originale, mais assez déroutante, du phénomène de diffraction par une fente
simple. La réception repose quant à elle sur l'étude du déphasage entre signaux
émis et reçus ainsi que sur l'effet Doppler.
· La deuxième partie, nettement plus courte, porte sur l'optique géométrique et
la propagation de rayons dans des milieux à indices variables afin d'analyser la
trajectoire des faisceaux radar dans l'atmosphère et l'influence de la rotondité
de la Terre. On y redémontre entre autres la classique formule de Bouguer.
· Dans la troisième partie, on s'intéresse à l'interaction entre les ondes 
envoyées
par le radar et les gouttes de pluies contenues dans un nuage. On utilise pour
cela les bilans d'énergie électromagnétique dans les milieux ainsi que le 
rayonnement dipolaire pour expliquer la rétrodiffusion des gouttes. C'est la 
partie la
plus calculatoire du problème.
· Enfin, les deux dernières parties, courtes par leurs tailles mais longues par 
les
développements qu'elles offrent, sont des applications des parties I et III à 
des
phénomènes météorologiques. Une certaine vision d'ensemble du sujet, difficile
dans une épreuve de quatre heures, est nécessaire pour les aborder.
Le sujet est suffisamment long et varié pour permettre de traiter en priorité 
les
thèmes que l'on affectionne le plus. Il est généralement préférable dans ce 
type de situation de traiter une ou plusieurs parties dans leur totalité plutôt 
que de « survoler »
le sujet.

Indications
Partie I
2 L'énoncé ne proposant pas de notations précises, introduire l'amplitude com
-
plexe A associée au champ E sous la forme A = A0 ei  et appliquer ensuite un
raisonnement classique d'optique interférentielle.
3 Reprendre le raisonnement de la question 2 pour le calcul du premier zéro. 
Penser
que si le champ est uniforme au niveau de la source, l'intensité est 
proportionnelle
au carré de la largeur de la fente.
4 Pour les zéros, regrouper les 2m sous-antennes deux par deux afin de pouvoir 
calculer le premier zéro de m sous-antennes. Pour les maxima, considérer le me 
zéro
d'une sous-antenne de largeur 2 m a/(2 m + 1). Où se trouve-t-il ? Quelle est la
contribution de la sous-antenne restante dans cette direction ?
7 La mention « à une distance de 1 mètre » est superflue. Dans le vide la 
puissance
est conservée et ne dépend donc pas de la distance. Penser que la puissance 
reçue
par la cible est proportionnelle à sa surface s. Que vaudrait-elle si s était 
égale
à S() ?
8 Calculer R lorsque P  est égale au seuil de détection.
9 Déterminer le temps mis par l'onde pour aller jusqu'à la cible et revenir.
12 Évaluer le volume du faisceau compris entre R et R + R avec R  1.
13 La distance parcourue par la seconde crête lorsqu'elle atteint la cible est 
égale à la
somme de la distance parcourue par la première crête et de la distance parcourue
par la cible entre les deux réceptions.
Partie II
14 Appliquer les lois de Snell-Descartes à l'interface entre deux couches 
successives
b
b
b
16 Se rappeler que dans un triangle ABC on a sin A/BC
= sin B/AC
= sin C/AB.

Partie III

-

- · -
19 Attention, la notation complexe de -
 · E n'est pas 
E . En revanche, la moyenne

-

-

temporelle de -
 · E vaut 1/2 Re {-
 · E }.

20 On définit la puissance électromagnétique comme étant le flux du vecteur de
Poynting à travers une surface S orthogonale à la direction de propagation.
22 À une distance R grande devant , l'onde a une structure plane transversale.
24 Comparer le diamètre du faisceau à la taille du nuage. Pour la puissance 
reçue,
utiliser le résultat de la question 7 avec la section efficace de diffusion 
trouvée à
la question 22.
Partie IV
25 Ne pas oublier de projeter la vitesse de la goutte d'eau sur l'axe de 
propagation
de l'onde.
26 L'incertitude relative sur la mesure d'une fréquence est identique à celle 
de la
vitesse correspondante.

La météorologie radar
I. Principe de la télémétrie radar
1.

Directivité de l'antenne et du faisceau émis

1 L'énoncé mentionne que l'ouverture est « de très grande dimension suivant Oy »
et que « le champ électromagnétique est identique en tout point de l'ouverture 
».
Le dispositif est donc invariant par translation suivant Oy.
Le système se réduit à un problème à deux dimensions décrit dans le plan Oxz.
2 Plutôt que de mener des calculs avec des champs électromagnétiques vectoriels,
on peut se ramener à des scalaires en introduisant l'amplitude complexe A 
associée

-
au champ E définie comme
A = A0 ei 

-
où A0 désigne l'amplitude scalaire du champ E et  la phase au point considéré.
x
Le déphasage à l'infini entre les rayons issus des
sources situées en O et P peut être calculé dans
P
n'importe quel plan perpendiculaire à la direction de propagation. Choisissons 
le plan pasx 
sant par P. Le déphasage (x) s'écrit alors
M

2  OM
(x) = P - O =
O
z

Or OM = x sin , donc
(x) =

2  x sin 

L'amplitude complexe totale dans la direction  est la somme des amplitudes
complexes des ondes émises dans cette direction
A() = AO () + AP ()
soit, en choisissant l'origine des phases en O (O = 0),
A() = A0 (1 + ei(x) )
En factorisant ei(x)/2 et en utilisant le fait que cos u = (ei u + e-i u )/2, 
on obtient

(x)
2  x sin 
i (x)/2
A() = 2 A0 e
cos
avec
(x) =
2

L'intensité I() se définit comme la norme au carré de A()

(x)
I() = A() A() = 4 A0 2 cos2
2
qui, en introduisant I0 = A0 2 et en utilisant 2 cos2 u = 1 + cos 2u, s'écrit 
encore
I() = 2 I0 (1 + cos (x))

avec

(x) =

2 x sin 

On retrouve ainsi la formule générale d'interférence à deux ondes planes,
isochrones et de même amplitude A0

2 
2
I() = 2 A0 1 + cos

où  représente la différence de chemin optique entre les deux ondes au point
où l'on considère l'interférence.
L'intensité s'annule lorsque cos  = -1, c'est-à-dire
2  x sin 
= (2 k + 1) 

La valeur de  la plus proche de 0 est atteinte pour k = 0, c'est-à-dire
2  x sin x
=

x = Arcsin
et donc
2x

avec k  Z

Considérons deux sources situées aux points P1 = (a/2, 0, 0) et P2 = (0, 0, 0).
La différence de phase (a/2) vaut
 a   a sin()

=
2

et ainsi
1 = Arcsin
a
Si l'on considère maintenant deux sources situées aux points P1 = (X, 0, 0)
et P2 = (X - a/2, 0, 0), le déphasage dans la direction  se calcule de manière 
analogue au cas où l'on considérait O et P, c'est-à-dire
 a sin()
(X) =

a
(X) = 
(indépendant de X)
et ainsi
2
Énonçons à présent le principe d'Huygens-Fresnel.
· La lumière se propage de proche en proche. Chaque élément de surface qu'elle
atteint se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes 
sphériques dont l'amplitude est proportionnelle à cet élément de surface et à 
l'amplitude de l'onde incidente.
· L'amplitude complexe de la vibration lumineuse en un point est la somme des
amplitudes complexes des vibrations produites par toutes les sources 
secondaires. On dit que ces vibrations interfèrent pour former la vibration au 
point
considéré.
En associant à chaque source secondaire d'abscisse X positive une source 
secondaire d'abscisse négative X - a/2, on couvre l'ensemble de l'ouverture 
lorsque X
décrit l'intervalle [ 0 ; a/2 ]. On peut ainsi remplacer l'ensemble des 
contributions secondaires sur l'ouverture par une association de paires de 
points d'abscisses respectives X et X - a/2 avec X  [ 0 ; a/2 ].
Dans la direction 1 la différence de phase entre deux rayons issus de la paire 
de
points (X, X - a/2) est telle que l'amplitude complexe de l'onde résultante est 
nulle
dans cette direction et donc
La contribution totale de l'antenne dans la direction 1 est nulle.