Mines Physique 2 PC 2004

Thème de l'épreuve Un indice de réfraction négatif?
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux matériels, dispersion, optique géométrique
Mots clefs indice négatif

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC '
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE--EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique Il --- Filière PC

L 'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 8 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené à pren--

dre.

Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures.

Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, 
même lorsque l'énoncé
ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives 
ainsi que des qualités de

rédaction de la copie.
Notations : un vecteur est noté en gras (A) ; le vecteur unitaire pour la 
coordonnée et est noté ua .

UN INDICE DE RÉFRACTION NÉGATIF ?

Nous nous proposons d'examiner quelques implications d'un indice négatif, phéno-
mène dont on a spéculé l'existence dès 1964 et revendiqué l'observation en 
2001, dans
des matériaux composites réfractant la lumière dans la direction opposée à 
celle qui est
dictée par les lois ordinaires de l'optique (Fig. 1) ! La même année, une 
réfutation ,
détaillée des_théories et des expériences de quarante ans de travaux était 
publiée. Cette
réfutation n'a pas été, à
ce jour, contredite.

Seule la dernière ques--
tion de ce problème
évoque rapidement un
élément de réfutation,

i (a)

Fig. la : rayon lumineux dans un milieu d'indice positif 1° argument principal

Fig. lb : rayon lumineux dans un milieu d'indice négatif étant (a POSÎ3fÏOÏÎ) 
sim--
ple, mais nettement hors

programmes. Les deux premières parties, assez proches du cours, concernent la 
propa--
gation des ondes planes dans un matériau homogène et le passage de la lumière 
du vide
dans un milieu homogène. Un paradoxe énergétique apparaîtra, qui sera levé dans 
les
deux dernières parties.

]. Ondes planes dans un matériau homogène

L'espace étant repéré par le trièdre orthonormé Oxyz, on étudie la propagation 
d'une onde
électromagnétique monochromatique plane dans un milieu isolant, neutre, 
linéaire et homo--

gène de perrnittivité diélectrique 8 = 808, et de perméabilité magnétique ,u : 
,u0ur, l'une et
l'autre positives. En notation complexe standard, le champ électrique de cette 
onde, polari--
sée selon la direction de vecteur unitaire u,, s'écrit E= EO u,. exp j(w t-- 
kz) , ce qui définit le

vecteur de propagation k : ku__ et l'amplitude vectorielle, EO, de ce champ ; 
EO est réel.

Quelques relations d 'électromagnétisme et d'analyse vectorielle sont indiquées 
dans
l'annexe, en fin de problème.

E] 1 --- Déduire des équations de Maxwell l'expression du champ _B_ de cette 
onde et celle de
la valeur moyenne temporelle de son vecteur de Poynting, (S)! . Préciser 
l'orientation de ces

deux vecteurs. Interpréter physiquement le vecteur de Poynting et comparer sa 
direction et
son sens à ceux du vecteur de propagation k.

El 2 -- L'indice de réfraction d'une onde dans un milieu, noté n, est 
généralement défini
comme le quotient de la vitesse de cette onde dans le vide, 6, par la vitesse 
de la lumière

dans ce milieu, 1). Établir l'équation de propagation du champ 
électrommagnnétique (équa--
tion de d'Alembert) et en déduire l'expression de n =c/ 1) en fonction de EUR, 
et de u,. Cet

indice est, à l'évidence, une quantité positive.

Cl 3 -- Supposons maintenant que, par un artifice quelconque, on ait pu obtenir 
simultané-
ment 8 < 0 et ,a < 0. Reprendre l'étude des questions [1] et [2]. Comment 
définir, dans ces

conditions, le sens de propagation de l'onde (selon k ou selon le vecteur de 
Poynting S)?

2. Passage de la lumière du vide dans un matériau homogène

Onde réfléchie

Fig. 2 : Notations et conventions de signe pour les lois de Descartes

Considérons les lois de Descartes de la réfraction, en prêtant attention à 
l'orientation des
angles. Le plan d'équation z = 0 sépare l'espace en deux régions ; la région 2 
< 0 contient

de l'air, dont les propriétés éleCtro magnétiques sont celles du vide, la 
région 2 > 0 contient
un isolant, linéaire, isotrope et, pour le moment, « ordinaire » : 8 > 0 et [.L 
> O.

L'onde incidente, provenant de la région 2 < 0, est monochromatique plane, de 
fréquence
angulaire w ; son vecteur d'onde, noté k0 et situé dans le plan sz, fait un 
angle 6 > 0 avec
la verticale (Fig. 2). Le champ électrique de cette onde est noté _E, ; la 
notation

_I_E_,- : A,-expi wt+ kox sin(9)--kozcos(9) : A,--uy exp 
i[cot+koxsin(G)--kozcos(ô)]

!

précise la structure du champ et les notations : seule la composante A,}. de 
l'amplitude A,--

n'est pas nulle ; le vecteur d'onde incident est ko : --k0 sin (6) uX + ko cos 
(O) uZ .

E] 4 --- Quelle relation géométrique doit--on avoir entre ko et A,-- '?

Cl 5 ---- L'onde incidente engendre d'une part une onde réfléchie, de champ 
électrique & ,
d'amplitude A, de vecteur d'onde k, : k,xu, +kÔ,uy + k,=u: et de fréquence 
angulaire a), ,

d'autre part une onde transmise de champ électrique E , , d'amplitude A, de 
vecteur d'onde
k , : k,,ux + k,_,.u,. + k,:u: et de fréquence angulaire co, . En considérant, 
pour toute valeur de x

et de y, et à chaque instant, les relations de continuité en 2 = 0 des 
composantes appropriées
des champs électriques (on pourra éventuellement se référer à l'annexe), 
établir que tous les
champs ont la même fréquence angulaire a) ; établir aussi les relations *

k,x : k,x : --kosin (6),
ko), : k,}, = k,}, :O.
E] 6 -- Montrer que l'on retrouve ainsi les lois de Descartes pour la 
réfraction et la réflexion.

Cl 7 -- On considère maintenant le Cas où 8< 0 et # < 0, tel qu'envisagé à la 
question [3].

Si un milieu doté de ces deux propriétés existe, on dira que ce milieu est 
négatif. On
convient que, dans la région 2 > 0, la direction de propagation de l'onde 
transmise est dans

le sens des z croissant. Exprimer alors le vecteur k ,. On illustrera ce 
résultat par un schéma,
en imposant 0 > 0, c'est--à--dire kOX < 0 et kOZ > 0. On représentera" les 
vecteurs d'onde des

ondes incidente et transmise, et l'on indiquera leurs directions respectives de 
propagation par
des vecteurs unitaires si et s,. Peut--on dire, au sens de la question [2], 
c'est--à--dire en termes

de rapport de vitesses, que l'indice du milieu est négatif ?
sin(9)
sin (B")

direction de propagation de l'énergie. Quel est, en ce sens, le signe de n ?

Cl 8 ----- On définit maintenant l'indice de réfraction par n = , 9 et 9' ' se 
référant à la

Cl 9 -- Et voici qu'une difficulté surgit : quel serait le signe de la densité 
volumique d'énergie
dans un tel milieu, si on la calculait en appliquant la formule classique de
l'électromagnétisme '? Qu'impliquerait ce résultat, sachant que l'évolution 
spontanée d'un
système se fait toujours vers une diminution de son énergie ?

Il est donc nécessaire, si les milieux négatifs existent, de considérer avec 
soin la notion de densité
volumique moyenne d'énergie dans un diélectrique. Les parties suivantes 
esquissent une approche
simplifiée de ce problème délicat.

3. Densité de l'énergie dans les diélectriques sans pertes

Un diélectrique linéaire isotrope homogène et de perméabilité
.-- r --)Ç magnétique [10 est considéré ici comme une assemblée de Nélec--

Méq M trons par unité de volume, répartis uniformément dans l'espace (N est
constant). On note Méq la position d'équilibre d'un électron repré-
sentatif en l'absence de champ électrique et M la position de cet

électron dans le cas général ; cela définit le vecteur r, représenté sur la 
figure ci-contre. Les
électrons sont reliés élastiquement à leurs positions d'équilibre respectives 
par la force de
rappel f=--Ar , où A est une constante positive. Leur pulsation propre est donc

, A . . . . .
600 = --- , où m est la masse électronique. Une autre pulsation 
caractéristique, la pulsation
m

Nq2

m80

de plasma, cop, est définie par 60% = , où 80 la permittivité diélectrique du 
vide et q la

charge électronique (q = ---e : ---1,6x 10"19 C ) .

Régime statique

On suppose qu'existe dans un tel milieu un champ électrostatique uniforme, EO. 
On note rEo

, , . 2
le déplacement permanent des electrons sous l action de ce champ et eo : 
580"E0" .

Cl 10 ---- Exprimer la densité volumique d'énergie potentielle up(,, : u 
p...< g(oe, cao, 
oep)x cosz(ço), où g

. . . . 60
est une fonction dont on donnera l'expressmn. Exprimer g en fonction de x, et x 
= --- .
w
0
E] 13 ---- Etablir que la densité volumique d'énergie cinétique qu , associée à 
la vitesse
2
' ' a) .
V(t,z), peut s'ecr1re sous la forme u... (a)): eo ><----2->< g(oe, cao, a)p)x 
sm2((p).
Cl)
0

Cl 14 -- Déterminer la puissance volumique cédée par l'onde au milieu. En 
déduire que la
densité volumique de travail reçu par les électrons, w(oe), s'écrit (sous 
l'hypothèse que

2
(£)

w(oe) =O lorsque Eocos(cp)= 0, c'est-à--dire lorsque (p = %) : w(oe) =eOÎÙ_2-äî 
COSZ('P)-
0 _

S

Une écriture équivalente de ce résultat est w(oe) : eo 1 2 cosz(ço) .
-- x

D 15 ---- Contrairement à la situation correspondant à une excitation statique 
du milieu, le
travail volumique des forces électriques w(æ) et la densité d'énergie 
potentielle Lipot (ca) ne

sont maintenant plus identiques. Définissant uSÀ (ca) par "pot (G)) : uÊ2, 
(oe)+ w(oe), montrer

que la somme um : uc," (au) + uso), ((D) est interprétable comme une densité 
uniforme

d'énergie mécanique « immobile », c'est--à--dire non propagative.

Cl 16 -- En s'inspirant notamment de la question 10 et compte-tenu des 
résultats de la ques--

. . . . , . , . 1 2
tron 14, définir une den51té totale d'energie electr1que par u,, =5808,(0)) "E" 
, avec
\_V___J
=Eâcosz((p)

8,(æ)= l+ xe(w ) , introduisant ainsi la permittivité diélectrique relative, 8, 
et la susceptibi--

2
COO
___--Xs--

lité électrique dynamique, 355, du milieu. Montrer que Xe(CÛ) : 2 2
wo --w

E] 17 ---- Justifier que, en notation complexe, la relation de Maxwell-Ampère 
dans le milieu

. - . , , , . a) N ! ' 1 .
d1électrrque con51dere s'ecr1ve kAB=--2 ( 61 --_E) , ou c : est la vrtesse du
80 \i£0#0

c
rayonnement électromagnétique dans le vide. Déterminer la relation de 
dispersion du milieu
sous la forme k2 : F(oe2).

Cl 18 -- Tracer sommairement la courbe représentative de la relation k2 : 
F(oe2) et en

déduire celle de la relation w(k) pour k> O et (r) >O. On introduira la 
pulsation longitudi-

nale ca,, : wâ +(0Ê (xÊ :] + x,). Quel est le comportement du milieu pour 600 S 
a) S a)L ?

Cl 19 -- Établir que la vitesse de phase Uq, est v,,, = . Etablir, entre v,, et 
la vitesse

[a(wfi

1 ca d 1+
de groupe vg,la relation v,,,= l+-- le n,: g
21+xe dw 1+xe

) vg ( ){e est défini à la question
16). En déduire l'inégalité Uq, 2 v,, .

E] 20 ---- Montrer que la densité d'énergie magnétique ub et la densité 
d'énergie électrique ue
sont égales. Exprimer, en fonction de eo et de 25EUR, la moyenne temporelle de 
la densité
d'énergie électromagnétique uem : ue+ ub.

Cl 21 -- Exprimer le vecteur de Poynting S en fonctionn de c, k &) , 80, E... 
ça et du vecteur
unitaire uk de la direction k. Exprimer la moyenne temporelle de (S)! en 
fonction de eo et

de £, . Exprimer la moyenne temporelle de la densité totale d'énergie, ut : um 
+ um en fonc-

tion de eo et de g(w, wo , cop).

/\

_:

\/
C

@

Cl 22 -- Vérifier la relation : --. À quelle vitesse se propage  ? À quelle 
vitesse

/\
&
m
5
\/
@
Oq

se propage uem '?

D 23 -- Proposer une interprétation des résultats obtenus dans cette partie, en 
remarquant que
seule une partie de tt, se propage véritablement.

4. Densité de l'énergie dans les diélectriques faiblement absorbants

Réponse linéaire causale

Le vecteur excitation électrique D(z') est défini par D(t) : SOE(Z)+ P(l), où 
P(t) désigne le
vecteur polarisation. Dans un milieu linéaire et isotrope, P(t) : 80]: h(u) E(t 
-- u)d _u , où h,
dite réponse percussionnelle, est une fonction réelle du temps, déterminée par 
les propriétés

du milieu. Cette relation montre que la polarisation à l'instant test due au 
champ électrique à
tous les instants antérieurs à l'instant [ considéré (c'est une expression de 
la causalité).

Cl 24 --- Quelle est la dimension de la fonction il ? Établir que, pour le 
champ électrique

sinusoïdal _Ew (t) : EO (w )exp(--joe t) et pour un milieu linéaire et isotrope 
caractérisé par sa

réponse percussionnelle h, on peut écrire1 Qo(w)=s(w)Eo (æ)=80[1+ & (a) )] 
Eo(w) :
=e (co)

exprimer la permittivité complexe ;(e (G)) en fonction d'une intégrale faisant 
intervenir h.

D _ wp Y" - \ 1
25 ---- On donne h(u)- --;-- ex ----2---- sm(vou). Les parametres cop, }! et VO 
ont tous a
0

dimension de l'inverse d'un temps. Tracer l'allure de h(u). Calculer 5,(w) ; 
l'intégration
exp(jvou)--exp(--jvou)
2j
2

forme familière, en fonction de a) p , y et (03 : vâ + _y_.

4

est facilitée si l'on ose sin v u = . On trouvera our 8 a) une
p 0 p r

Onde monochromatique

Le champ électrique d'une onde électromagnétique plane monochromatique de 
pulsation wo
s'écrit, en notant g * le complexe conjugué d'une grandeur g, vectorielle ou 
scalaire :

. 1 . * .
E(t) : 9î[EO exp(-- 1600 t)] : î[_E_O exp(----;ù)0 :) + EO exp( ]w0 t)] .
En termes de la permittivité complexe 8((0) = e'(co)+ je"(w),
ä=[8'(wo)+ Ï8"(w0)lE2 et P_Ê=s*(oeo)Êg.
L'identité div(S) == div(E A H) = --( E.% + H.%£Î--] , déduite des équations de 
Maxwell,
pour un milieu dénué de courants libres, fait intervenir la quantité we ( t) : 
E.%It)-- , densité

volumique de puissance dissipée dans ce milieu diélectrique.

1 La transformée de Fourier de X(t) est notée X(w) ; le symbole de la grandeur 
est conservé, seul a
changé la variable dont cette dernière dépend : temps, ou pulsation. Aucune 
confusion n'est possible.

D 26 -- Montrer que la moyenne temporelle de W, (t) sur une période T0 est

' TO : â--woe"(w0)llEâ".

Onde quasi monochromatique

Un champ vectoriel réel quelconque, V(t), estnoté 9î[X(t)] : V(t) : â[X(t)+_ÿ 
*(t)]. Les

composantes de Fourier de _Y(t), dites encore composantes spectrales sont 
définies par la

relation, que l'on admettra, Y_(t)= JW y_0(w)exp(--jwt)dw : c'est l'analyse de 
Fourier

vectorielle de X( t) .

On nomme onde quasi-monochromatique de pulsation fondamentale (00, et l'on note 
_X(t) ,

le produit par exp(----jco0 t) d'une fonction vectorielle complexe _Xo(t) 
lentement variable à

l'échelle de la période 7}, : 21EUR. La fonction vectorielle X0(t) se nomme 
enveloppe (voir un

600
exemple en annexe). On a donc
_X(t) : XO (t)exp(-- jco0 t) et réciproquement _X_O(t) : X( t)exp( jw0t) .

Par analyse de Fourier de _X(t) , on a aussi Xo(t) : JW _Xo(w)exp[ j(w0 -- 
oe)t]dw.

--oo

Cl 27 -- On considère le champ électrique E(t)= E0(t)exp(--jw0 t) d'une onde 
électroma--

gnétique quasi-monochromatique de pulsation fondamentale (00. Montrer que la 
moyenne

temporelle de E 2(t) sur une période T0 est r : %<_lää>Ï : -â--Eâ(t).

E] 28 -- L'hypothèse d'enveloppe lentement variable entraîne la relation, que 
l'on admettra',

 : lOE{F(wO)EO.EË -- j(dF *) EO. aâ° }, avec F(co) : --jws(w).

ôt To' 2 do)
_1_ d[wg(æ)] 8T0
2 dm ôt '

ôt

, . . BD
Demontrer alors que, dans un m1heu non absorbant, =â{diaË)w)l + d[a)££w)]

}. d[we(æ)] dco sant un résultat de la question 20, que les champs mono chromatiques E(t) : E0 exp(-- jco0 t) et fl(t) : H0 exp(---jco0 t) vérifient cette théorie dans le milieu diélectrique négatif de per-- Il n'est plus nécessaire dès lors d'avoir 8 > 0, il suffit que > 0. Montrer, en utili-- 1 On a utilisé, pour l'établissement de cette relation, le fait que les composantes spectrales EO(CU) sont négligeables pour des pulsations a) ne vérifiant pas la) -- 600 |<< wo). méabilité ma néti ue : de la troisième artie, c'est-à-dire, en d'autres termes, ue, si 0 C02 £r(oe) : l+ ------î--E----î, on a bien (u,) : e0(1+ g), où l'expression de g a été établie à la ques- tion 12. Réfutation ! La théorie et la mise en évidence des matériaux d'indice négatif ont été réfutées en 2001, après une quarantaine d'année d'efforts soutenus sur le sujet. Voici un élément de réfutation tel que proposé par Valanju : Le matériau négatif est à droite. Supposons que BA représente un front d'onde de signal (et pas de phase), perpendiculaire aux rayons (B est situé sur l'interface) et supposons que le signal continue de se pr0pager de la gauche vers la droite ; cela signifierait que le point A passe instantanément en C sur l'interface puis en D. E] 30 -- Quelles sont les implications de cette affirmation ? ANNEXE A) Un exemple a' 'enveloppe lentement variable Le trait plein représente la fonction ÏÎÎÎÏ'ÏÙÎÎÎÎÜÜÎÎÎ lllll I'll Illl'llll I'll I'll. Ill! "Ill ' MMM!!! mun- """-- ""I- ...un--_-- .1 0.15 0.2 0.5 exp[-- %} >< sin(2nt) : Æ, ( !) >< sin(27zt). Les pointillés représentent l'enveloppe iÆZ,(t), avec 0' = 8. La composante de Fourier de E:, (t), soit Æ;oeexpl--â 0 ; la figure en pointillés représente a) Æè (G)). 20 15 10 B) Équations de Maxwell rot(E) = --%l--Î- rot(H)= j+ %?- div(D)= p div(B)= () C) Relations de continuité (Dz--DI).nlz =0' (132--131).n12 =0 js=nle(H2--Hl) n12A(E2--El)= 0 D) Ondes planes BX Si X=XO exp[ j(k.1'--æt)], div(X)= /k.X, rot(X)=/kAX et "à?="/wX' FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré à des matériaux dont l'indice de réfraction serait 
négatif.
L'étude de ces matériaux est l'objet des deux premières parties, qui ne 
constituent
que le tiers de l'épreuve, et qui sont finalement assez proches du cours. Les 
deux
parties suivantes sont consacrées aux aspects énergétiques de 
l'électromagnétisme
dans les milieux matériels.
· La première partie du sujet s'intéresse à la propagation d'ondes 
électromagnétiques dans les milieux matériels. Il s'agit là d'un retour aux 
sources de
l'optique, car la lumière est une onde électromagnétique dont on peut étudier
toutes les propriétés à partir des lois de l'électromagnétisme dans les milieux.
On y regarde les différences de propagation dans des milieux où les permittivité
et perméabilité relatives sont positives, puis négatives.
· La deuxième partie consiste en l'étude de la réflexion et de la réfraction 
d'une
onde électromagnétique plane sur un dioptre plan séparant un milieu ordinaire
(où les permittivité et perméabilité relatives sont positives) et un milieu où
les permittivité et perméabilité relatives sont négatives. On y établit que le
rayon réfracté émerge du même côté de la normale que le rayon incident ce
qui, via la deuxième loi de Descartes de la réfraction, justifie la notion 
d'indice
négatif. Cette partie s'achève sur des considérations énergétiques ; on y 
constate
notamment que l'expression « naïve » de la densité d'énergie électromagnétique
n'est pas valable dans un milieu où la permittivité et la perméabilité sont
négatives.
· L'objet de la troisième partie est d'établir une expression pour la densité 
d'énergie dans un diélectrique non absorbant. Cette étude détaillée conduit à 
une
expression positive de la densité d'énergie, ainsi qu'à diverses considérations
sur les notions de propagation, de vitesse de phase et de vitesse de groupe.
· L'objet de la quatrième partie est d'établir dans un cadre plus général 
l'expression de la densité d'énergie dans un milieu dispersif. Pour atteindre 
cet
objectif, l'énoncé fournit un certain nombre de relations qu'on ne peut pas 
établir avec les connaissances du programme d'électromagnétisme. Cette partie se
termine sur une question consacrée aux milieux d'indice négatif, en proposant
un élément de réfutation de l'existence de ces milieux.
Ce sujet est très ambitieux, très intéressant, même si l'on peut regretter 
qu'il faille
admettre certains résultats fournis par l'énoncé : c'est le prix à payer pour 
établir des
résultats dont la démonstration complète dépasse largement le cadre du 
programme.
On peut aussi regretter la présence de quelques erreurs d'énoncé qui ne 
facilitent
pas la résolution d'un sujet déjà difficile ; il en est de même pour les 
fluctuations de
notations, ainsi que la donnée d'explications ou de relations qui ne sont ni 
justifiées,
ni utiles à la compréhension et à la résolution du problème.

Indications
1 En utilisant les champs réels, le vecteur de Poynting s'écrit
-

 -
-

S = EH
2 Pour établir les équations de propagation des champs électrique et magnétique,
- - --
il faut faire usage de l'identité rot rot = grad div -.

3 La notion de « direction de propagation de l'onde » n'est pas forcément très 
claire :
on pourra distinguer la direction de propagation de la phase et la direction du
flux d'énergie.
7 Quand l'énoncé annonce que « la direction de propagation de l'onde transmise
est dans le sens des z croissants », il faut comprendre que la composante 
suivant
l'axe (Oz) du vecteur de Poynting de l'onde transmise est positive.
1

10 L'énergie potentielle d'un ressort de raideur A et d'allongement -
r vaut A r2 .
2
12 On montrera l'expression suivante pour g :
g(, 0 , p ) =

p 2  2
2

(0 -

2
2)

=

s
2

(1 - x2 )

15 On montrera que la densité d'énergie um est stationnaire et uniforme.
17 Il y a une erreur de signe dans l'énoncé : l'équation de Maxwell-Ampère 
s'écrit

 -
-

-

Nq-
r
k B = 2 -
-E
c
0
19 On rappelle que vg = d/dk. Son expression s'obtient simplement en 
différentiant
la relation k 2 = r  2 /c2 .
21 On rappelle la formule du double produit vectoriel :
 
-

-

-
-

a (b -
c ) = (-
a ·-
c ) b - (-
a · b )-
c
25 L'expression recherchée pour r est celle donnée par le modèle de l'électron 
élastiquement lié.
26 Il y a une erreur dans l'énoncé : il faut lire
-

-

D0 =  () E0

au lieu de

-

-

D0 = () E0

27 Dans le cas d'un signal quasi-monochromatique, on utilisera le fait que
hX(t)iT0 = hX0 (t) exp(-j 0 t)iT0  0
29 Dans le cas considéré, les densités d'énergie électrique et magnétique ne 
sont plus
égales.

1. Ondes planes dans un matériau homogène
1 Les champs électrique et magnétique (complexes) s'écrivent
 
-
 
-
 -
-

 -
-

E = E0 exp j( t - k · -
r)
et
B = B0 exp j( t - k · -
r)

Avec cette convention de signe, on a

= j
t

et

-
-

 = -j k

-
-
B
- 
rot E = -
t
 -
-

-

devient
-j k  E0 = -j  B0
-

On en déduit l'expression de B0 :
-

k
) = - k E -

B0 = -
uz  (E0 -
u
y
0 ux

-
et par conséquent celle de B :
L'équation de Maxwell-Faraday

 -
-
-

k

B = - E0 -
u
x exp j( t - k · r )

Comme E0 et k sont réels, B0 l'est aussi, et les champs électrique et magnétique
réels s'écrivent
 -
 
-

-
-

k
 cos( t - -
E = E0 -
u
k ·
r)
et
B = - E0 -
ux cos( t - k · -
r)
y

ce qui donne pour le vecteur de Poynting
 -
-

 -
-

-
k E0 2 -
EB
-

2
S =
=-
(u
u
y
x ) cos ( t - k · r )
µ0 µr
µ0 µr 
 
-
-

-

De plus, hcos2 ( t - k · -
r )it = 1/2, et -
u
y ux = -uz , ce qui implique pour la valeur
moyenne du vecteur de Poynting
-

h S it =

-
k E0 2 -
E0 2 k

uz =
2 µ0 µr 
2 µ0 µr 

Notons que l'on obtient la même expression pour la valeur moyenne du vecteur de 
Poynting si l'on travaille (correctement !) avec les champs complexes.
En effet, on obtient directement la valeur moyenne du vecteur de Poynting à
partir des champs complexes :

-
 -
-

1
h S it = Re ( E  H )
2
où le facteur 1/2 a pour origine la valeur moyenne de cos2  t.
Ainsi, le champ magnétique est dirigé suivant --
ux . Quant au vecteur de Poynting,
qui s'interprète comme le vecteur densité surfacique de puissance 
électromagnétique

 : il a donc la direction et le sens de -
et il est dirigé selon -
u
k . L'énergie se propage
z

donc dans la même direction et dans le même sens que la phase de l'onde.

2 Pour établir l'équation de d'Alembert, on prend d'abord le rotationnel de 
l'équation de Maxwell-Faraday

-

- -

B
 rot B
- - -
- -
rot E = -
soit
rot rot E = -
t
t
--
- -
et on utilise l'identité rot rot = grad div - pour obtenir

- -
 --
-

-
 rot B
- E + grad (div E ) = -
t
Il faut ensuite faire usage des équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère,
qui en l'absence de charge et de courant libres se réduisent à

-

-
 D
- -
div D = 0
et
rot H =
t
Comme le matériau est linéaire et homogène,

-

-

-

-
D = 0 r E
et
B = µ0 µr H
les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Faraday deviennent

-

-

E
- -
div E = 0 et rot B = r µr 0 µ0
t
où 0 µ0 c2 = 1. On obtient

-
  r µr  2 E
-
E = 2
c
t2

qui constitue l'équation de propagation du champ électrique.
Montrons maintenant que le champ magnétique satisfait la même équation de
propagation. Pour cela, commençons par prendre le rotationnel de l'équation de
Maxwell-Ampère :
-
-
--

-
  rot D
-
  rot D
- - -
rot rot H =
soit
grad (div H ) -  H =
t
t

-

-
En fonction de E et B , cette équation s'écrit
-
--

-

-
 rot E
grad (div B ) -  B = r µr 0 µ0
t

-
L'équation de Maxwell du flux magnétique, div B = 0, et l'équation de 
MaxwellFaraday conduisent à l'équation de propagation du champ magnétique

-
  r µr  2 B
-
B = 2
c
t2

-

-
1 2 X
Or, l'équation de d'Alembert  X - 2
=0
v t2
-

décrit un champ X se propageant à la vitesse de phase v. Par identification, la 
vitesse
de phase des ondes électromagnétiques dans un milieu caractérisé par r et µr est
donc
c

v=
avec
n =  r µr
n
 
-
Notons qu'une onde proportionnelle à exp j( t - k · -
r ) satisfait l'équation
de d'Alembert obtenue précédemment si et seulement si
2
k 2 = n2 2
c