Mines Physique 2 PC 2003

Thème de l'épreuve Enregistrement et lecture d'hologrammes
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, diffusion thermique
Mots clefs holographie, diffraction par une fente, effet thermo-optique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique Il -- Filière PC

L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 6 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors-
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie.
. Convention typographique : un vecteur est noté en gras, par exemple A, sa 
norme en italique

(A = " A ") ; le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté ua.

PRODUCTION ET STOCKAGE D'HOLOGRAMMES

L'addition cohérente de deux ondes optiques produit une figure d'interférence, 
dont
l'enregistrement est nommé hologramme. L'holographie consiste en l'étude de la 
production
et de l'utilisation d'hologrammeS ; elle diffère de l'étude classique 
d'interférences par la
complexité des ondes qui interférent et celle du dispositif expérimental. 
Convenablement
éclairé, un hologramme peut produire l'image tridimensionnelle d'un objet. 
L'utilisation
d'hologrammes est largement répandue à des fins publicitaires, éducatives, 
techniques ou

artistiques.

Les deux parties de ce problème sont largement indépendantes ; la partie I, 
proche du cours
dans son ensemble, concerne la production et la restitution d'un certain type 
d'hologrammes,
dits minces ; la partie Il s'intéresse à une méthode thermo--optique 
d'enregistrement

d'hologrammes.

Toutes les longueurs d'onde dont il sera question sont les longueurs d'onde 
dans le vide.

Partie I : Holagrammes minces

Pour former l'hologramme d'un objet, on utilise (Fig. 1) une onde lumineuse 
plane
monochromatique, de pulsation ca, de longueur d'onde À,éf, que l'on sépare en 
deux fais-

ceaux. L'un des faisceaux sert d'onde de référence ; l'autre faisceau éclaire 
un objet, et subit
simultanément réflexion, réfraction et diffusion. L'hologramme est produit en 
faisant interfé-

rer sur une plaque photosensible l'onde de référence avec l'onde ayant éclairé 
l'objet.

L'utilisation ultérieure d'un faisceau de lecture (Fig. 2) permettra d'obtenir, 
en transmission
dans ce problème, une onde non plane, de pulsation a), caractéristique de 
l'objet.

On note Q(M,t)=A0bj(M)exp[i(a}t--w(M)H l'amplitude complexe, au point M et à

l'instant t, de l'onde issue de l'objet. Dans le trièdre orthonormé Oxyz, 
l'onde de référence
d'amplitude Aréf, de phase nulle au point 0 et à l'instant !: 0 est 
caractérisée par son vec-

teur d'onde k , : Æréf(u_r sin(p+uzcosça). On la note Aréf exp[i(æt--k,éf.0M)] 
et l'on

r««"f

suppose, dans tout le problème, l'amplitude A,éf de l'onde de référence très 
supérieure à
- - A0bj

celle de l'onde 1ssue de l'objet :8 = A , le | << 1.

' réf

L'intensité [(M) au point M d'une onde d'amplitude complexe s_(M, 1) sera 
conventionnel-

lement définie par [(M) : g(M,t) >< £ *(M,t) : | s(M,t) F.

x
Faisceau
issu de l'objet >: ,.

/Ü\

?

. Plaque Plaque photosensible,
' (p > photosensible après enregistrement
Fig. ] Enregistrement d 'un hologramme mince Fig. 2 Lecture en transmission d 
'un hologramme mince

Cl 1 ---- Établir l'expression suivante de l'intensité lumineuse [(M) au point 
M de la plaque
photosensible :

[(M) : 1,,,(M)+ 1,,, + 2A,,,(M)A,,. cos[w(M)-- k,,f .0M] .

E] 2 -- La plaque photosensible est une plaque photographique rectangulaire, 
d'épaisseur
négligeable, placée dans le plan Oxy. Après développement, le coefficient de 
transmis-
sion en amplitude (ou transparence) t(x,y,0) de cette plaque en un point M de 
coordon-

nées (x, y, 0) ne dépend que du temps de pose et de l'intensité lumineuse ] en 
M au

. . . 1 M "2' '
moment de l'exp051tmn, selon la 101 t(x,y,0)= t0( (1 >) , ou y et to sont des 
coeffi-
O .
cients positifs et 10 : [réf : Aîéf. Montrer que, en se limitant aux termes du 
premier ordre
A .
en 8 : ab] ,
A

réf
Aobj (M)

A cos[tfl(x,y,0)-- kréfxsin((p)] }.

t(x,y,O) = t0{ 1 ---- }!
ref

E] 3 -- Après développement, la plaque est replacée dans la position qu'elle 
avait lors de
l'impression puis éclairée par une onde de lecture, que l'on suppose dans cette 
question
identique à l'onde de référence (Fig. 2). Montrer que l'amplitude de l'onde 
transmise par

la plaque holographique se compose de trois termes dont l'un est, à un 
coefficient multi-
plicatif près, identique à l'onde issue de l'objet. On présentera chacun de ces 
termes sous

la forme A,, exp[i(cut-- (p,, )], en explicitant An et (p,, , avec n EUR 
{1,2,3}.

D' 4-- L'onde obtenue après traversée de l'hologramme résulte de la diffraction 
de
l'onde de lecture par ce dernier. Il est possible ainsi de reconstituer l'onde 
1ssue d' un

objet éclairé par une lumière cohérente.
On suppose dans toute la suite du problème que l'objet dont on forme 
l'hologramme est

ponctuel et situé à l'infini sur l'axe Oz ; il produit alors une onde plane de 
vecteur
d'onde kabj-- . ="Æräu 2, en phase avec l'onde de référence au point O. La 
phase de cette

onde plane est maintenant explicite : l//(x,y,z) : kobj.OM. Établir dans ces 
conditions

l'expression approchée suivante de l'intensité au point M :
1(M) = 10[1+ mcos(OM.Ak)}, [1]

A0bj ' ' -
A . Caracter1ser les figues

réf
d'intensité maximale et exprimer la distance entre deux de ces lignes 
successives en
fonction de la longueur d'onde La et de (p.

où Ak=kOÔj--krä. Exprimer m en fonction de E=

Cl 5-- La plaque photographique permet d' enregistrer au plus N traits par 
unité de lon-
gueur. À quelle condition sur N, Àréf et ça la photographie sera-t-elle une 
reproduction

acceptable de la figure d'interférence '? Pour N= 500 mm"1 et ÂTéf= 500 nm, 
quelle est la
valeur maximale de (p ?

Cl 6 -- Exprimer t(x,y,0), coefficient de transmission de la plaque après 
déve10ppement,
en se limitant au terme du premier ordre en 8.

Cl 7 -- La plaque, de dimensions (centimétriques) a selon Ox et h selon Oy, est 
éclairée

par une onde de lecture, dans le domaine du visible, d'amplitude A..., de 
longueur
d'onde La et de vecteur d'onde (sin6 "" + cos9 u,) k,.éf, quelconque dans le 
plan Oxz. En

utilisant le principe de Huygens--Fresnel, calculer l'amplitude complexe de 
l'onde dif-
fractée par la plaque photographique dans la direction définie par le vecteur 
unitaire

ud = Ola,u_r + Edu}, + yduz. On constatera que cette amplitude est la somme de 
trois ter-

?
mes, que l on notera g d1 , gd2 et gd3.

On rappelle la relation: Jâ âexp( 2i7z-- --)d x= u sinc( ï").

E] 8 -- On étudie séparément les intensités II, 12 et 13 associées 
respectivement aux

amplitudes a , a et a . Montrer que les directions des maxima principaux
_d, -d _d,

2

d'intensité sont situées dans le plan (zx) et expliciter Bd pour de tels maxima 
; posant
ud : ux sin(9d)+ u2 cos(9d ), donner les relations vérifiées par sin(9d) pour 
les direc-

tions d'intensité maximale ; par analogie avec un réseau de fentes fines, 
donner les
ordres auxquels correspondent ces maxima d'intensité.

D 9 -- Déterminer, dans l'approximation des petits angles, les demi--largeurs 
angulaires

des pics principaux de diffraction par rapport aux axes x et y. Calculer, en 
fonction de m
et y, les valeurs relatives des maxima principaux d'intensité diffractée pour 
les compo--

santes dépendant de m par rapport au maximum de l'intensité diffractée par la 
compo-

sante qui n'en dépend pas.

Cl 10 -- À quelle condition sur (p, Àréf et a la distance angulaire entre les 
pics principaux

de diffraction est--elle grande devant leurs largeurs angulaires '? Déterminer 
dans ce cas
l'expression approchée de l'intensité diffractée. Représenter, pour & = 0, son 
allure en

fonction de %.

D 11 -- Déterminer, pour 9 = (0, la composante de l'amplitude diffractée qui 
permet de
reconstituer l'image de l'objet. Quelle est l'influence d'une variation de 6 
sur la direc--
tion de reconstitution de cette image ?

Cl 12 -- Pour que la reconstitution avec 9 = (0 soit acceptable, l'intensité 
associée à la
composante indépendante de m dans la direction de reconstitution de l'image 
doit être
inférieure à une certaine fraction ]" de l'intensité maximale associée à 
l'image. En
déduire l'ordre de grandeur de la valeur minimale à donner à l'angle (p (on 
majorera

|sinc(x)l par l/lx| ).
Application numérique : ym = 10--3, f = 10", a =l cm et Àréf= 500 nm.

D 13 -- La plaque photographique est remplacée à partir de maintenant et dans 
toutes les
questions qui suivent par une couche transparente de mêmes dimensions, orientée 
de
manière identique et d'épaisseur e suffisamment faible pour qu'elle puisse être 
considé-
rée comme une surface diffractante coïncidant avec le plan Oxy. Cette plaque 
est photo-
sensible : la valeur en tout point M de son indice de réfraction n(M) reproduit 
celle de

l'intensité incidente [(M) selon la loi n(M)=no+al(M). L'hologramme est ainsi

obtenu sous la forme d'un réseau d'indice. Les angles des divers faisceaux avec 
l'axe Oz
restent quasiment nuls. En phase de lecture, exprimer, pour tout point M, la 
différence
de chemin optique 5 (M) entre un rayon traversant la couche photosensible sous 
inci-

dence quasi-normale et un rayon se propageant dans le vide.

2715 M
D 14 -- On note ;(M)=ex{--%--â la transparence de l'hologramme associée à
ref/'
al M
5(M). Montrer que si le terme --_À(--_)--e_ est suffisamment petit, la 
transparence de
réf

l'hologramme peut s'écrire sous la forme g(M)=ng+_ÇI(M)], où 10 et Q sont des

constantes complexes, dont on donnera les expressions. En déduire que les 
caractéristi-
ques géométriques de la figure de diffraction lors de la lecture sont 
identiques à celles

obtenues avec une plaque photographique.

D 15 -- On enregistre successivement deux hologrammes. Les ondes de référence 
sont de
même intensité et de même longueur d'onde Àréf, leurs directions respectives 
sont carac-

térisées par les angles ça} et gaz. Les objets restent ponctuels et situés sur 
l'axe Oz, les

amplitudes des ondes objet sont A] et A2 (|All, |A2| << |Aréfl). Avec des 
notations analo--
gues à celles de la relation [1], les intensités lors des enregistrements sont :

11(M)= 10[1+ m1 cos(0M.Ak,)] et 1,(M)= 10[1+m,cos(0M.Ak,)].
La transparence après l'enregistrement est alors t(M) : Èg{ 1 + _Ç_'[ll(M)+ 
12(M)] } .

L'hologramme étant éclairé par l'onde de lecture sous l'angle d' incidence 9, 
caractéri-
ser les positions, les tailles angulaires et les intensités relatives des pics 
principaux de

diffraction. En déduire que l'on reconstitue simultanément les images des deux 
objets.

CI 16 -- Les images des deux objets sont dites séparées si les taches 
principales de dif--
fraction qui leur sont associées ne se recouvrent pas (les limites des taches 
principales de
diffraction sont ici les premières directions où l'intensité s'annule, de part 
et d'autre du
maximum principal). En déduire l'expression et la valeur de l'écart minimal 
(AQ)...
entre les directions des faisceaux de référence lors de l'enregistrement des 
hologrammes
successifs. Quels facteurs peuvent contribuer à augmenter (Aç0)min?

Partie II : Stockage d 'halogrammes

Cette partie étudie une méthode thermo-optique d'enregistrement d'hologrammes. 
On se
limite à des phénomènes unidimensionnels selon l'axe Ox. L'intensité lumineuse 
éclai-
rant le support lors de l'enregistrement s'exprime par 1 (x) = 10[1 + mcos(kx)] 
, le terme

de modulation [Om cos(kx) contenant l'information sur l'objet holographié. 
L'indice n

_d_n
dT

l'établissement au cours du temps d'un champ de température T(x,t) dans un 
milieu

du support dépend de la température : n(T)= no +( ) (T-- TO). On s'intéresse à
T=T0

transparent soumis à l'intensité lumineuse I(x). Ce milieu est caractérisé par 
sa masse
volumique p, sa capacité thermique massique c, sa conductivité thermique À... 
toutes

grandeurs indépendantes de la température. Le volume dt entourant le point M

d'abscisse x soumis à l'intensité lumineuse [(M) absorbe la puissance thermique
dp... = Bl(M)dr.

On néglige les effets de bord, ce qui permet de raisonner comme si le milieu 
était infini.

Cl 17 -- Établir, en effectuant le bilan thermique d'une tranche d'épaisseur dx 
du milieu,
l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de température T (x, 
t) :
ar 82T
-- = À ----+ 1 x .
luc âî C ax2 B ( )

Cl 18 -- La température initiale est homogène, égale à T 0 ; l'intensité 
lumineuse [(x) est
présente dans le milieu entre les instants 0 et Al. Sachant que T(x,t) est de 
la forme

T(x,t) = Tm (t)+ AT(t)cos(kx), déterminer Tm (t) et AT(I) pour 0 < t < At.

La solution obtenue n'est pas satisfaisante. Quels aspects du modèle vous 
semblent les
plus critiquables ?

Cl 19 -- Exprimer l'indice du milieu n (x,t) sous la forme n (x,t) = n (t)+ 
An(t)cos(kx).
Quel est le temps caractéristique TO d'évolution de An(t) ?

Cl 20 --- Exprimer le champ de température T (x, t) et l'amplitude de la 
modulation spa-
tiale d'indice An(t) pour t > At.

D 21 ---- Applications numériques : L'intensité lumineuse est confinée dans un 
cylindre

d'axe Ox de section 0,8 mm2 et de longueur 3 m. L'énergie absorbée durant
l'illumination est EO = 5,7)<10"5 J. m = l, gig--= 3 mn , At= 10 ns,

A, = 0,17 W.m".K", (%) : --3,6><10'4 K", Mc : 1,9 >< 103 kJ.m"'.K'l .

Déterminer le temps caractéristique 1:0 et la puissance moyenne absorbée par 
unité de
volume, [310. Simplifier l'expression de An(At) et calculer sa valeur numérique.

D 22 -- L'utilisation de l'effet thermo-optique pour la réalisation de mémoires 
hologra--
phiques durables est-elle commode '?

FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Éric Armengaud (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) et Vincent Fourmond (ENS Ulm).

Ce problème traite du principe de l'holographie. Il s'agit d'une technique de 
production d'images en « trois dimensions », basée sur des phénomènes 
d'interférences
et utilisant le laser. Il est composé de deux parties indépendantes et de 
longueurs
inégales.
· La première partie est la plus importante. Elle mobilise toutes les 
connaissances
acquises en optique ondulatoire, des interférences à la diffraction. Bien que
proche du cours, comme l'indique l'énoncé, elle nécessite une bonne maîtrise
d'ensemble de cette partie du programme. Elle permettra une révision des outils
indispensables à la résolution des exercices d'interférences et de diffraction :
notation complexe, fonction sinus cardinal, différences de marche, etc.
· La seconde partie permettra à ceux qui ne maîtrisent pas l'optique de se 
rattraper un minimum. Elle étudie essentiellement des équations de diffusion 
thermique. On pourra ainsi réviser la manière d'établir de telles équations, 
ainsi
que des techniques pour les résoudre.
La difficulté principale du problème réside dans les calculs de la première 
partie. Beaucoup sont simples techniquement mais nécessitent d'avoir une bonne 
compréhension physique des phénomènes étudiés, ce qui est parfois délicat en 
optique
ondulatoire. De plus, certaines questions, en particulier la troisième, ne sont 
pas
toujours formulées de façon très claire. Enfin, quelques questions menent à des 
résultats formels lourds. Le sujet n'est pas très long, aussi est-il important 
de justifier
correctement ses calculs, surtout dans la première partie.
Notons pour conclure que l'holographie est un sujet assez classique en optique,
qui a déjà fait l'objet de problèmes de concours et que l'on retrouve dans de 
nombreux
livres d'exercices.

Indications
Partie I
2 Dans l'expression I(M)/I0 , étudier l'ordre de grandeur (en fonction de ) de 
chaque
terme avant de développer le facteur de transmission.
3 Il faut se restreindre au calcul du champ sortant de la plaque à son 
voisinage immédiat. Exprimer l'amplitude de l'onde transmise en fonction de 
l'onde incidente
et du coefficient de transmission. Développer ensuite le cosinus du coefficient 
de
transmission en exponentielles pour faire apparaître 3 termes.
5 Utiliser le résultat de la question 4 donnant la distance entre deux lignes 
d'intensité maximale.
6 Utiliser le résultat de la question 2.
7 Après avoir posé l'intégrale, intégrer séparément sur les variables x et y. 
Utiliser
l'intégrale de l'énoncé en prenant garde aux notations.
9 Se souvenir de la définition : sinc(x) = sin(x)/x.
10 Quand les pics d'amplitude sont séparés, les intensités s'additionnent 
simplement.
13 L'intensité I(M) dont il est question dans l'énoncé est celle qui a été 
enregistrée à
l'inscription, pas celle qui sert à la lecture. Le chemin optique d'un rayon 
lumineux
s'écrit sous la forme  = indice × distance.
15 S'inspirer de la question 7 en essayant de ne pas refaire tous les calculs. 
L'énoncé
ne demande pas l'expression complète de l'intensité diffractée.

Partie II
17 Raisonner comme pour un problème de diffusion thermique classique, en 
appliquant la loi de Fourier, mais rajouter dans le bilan d'énergie 
l'absorption de
puissance due au faisceau lumineux.
18 Identifier les termes en cos(kx), comme pour une série de Fourier.
20 Pour résoudre l'équation aux dérivées partielles, utiliser la même 
décomposition
du champ de température que celle proposée par l'énoncé à la question 18.
21 Pour calculer  I0 , utiliser E0 et les dimensions du cylindre où est 
confinée l'intensité lumineuse.

I.

Hologrammes minces

1 L'onde issue de l'objet et l'onde de référence proviennent de la même source
initiale, et sont donc cohérentes entre elles. Au point M, l'intensité 
lumineuse résulte
ainsi de l'interférence entre ces deux ondes, d'amplitudes respectives :
(
a(M, t) = Aobj (M) exp (i (t - (M)))

-
--
aréf (M, t) = Aréf exp (i (t - k réf · OM))
On a donc, en utilisant la définition de l'intensité donnée par l'énoncé
I(M) = (a + aréf )(a + aréf )
= a a + aréf aréf + a aréf + a aréf
= Iobj (M) + Iréf
 -
-
 -
-
+Aobj (M) Aréf [e i (t--t+ k réf ·OM) + e-i (t--t+ k réf ·OM) ]

-
--
I(M) = Iobj (M) + Iréf + 2 Aobj (M) Aréf cos ((M) - k réf · OM)
Ce calcul est le développement des interférences à deux ondes vu en cours.
Il faut absolument savoir faire la distinction entre amplitude (grandeur 
complexe) et intensité. On additionne deux amplitudes lumineuses quand elles
sont cohérentes, ce qui est le cas ici. L'intensité lumineuse est ensuite 
obtenue
en prenant le module carré de l'amplitude ; c'est la grandeur physique mesurée 
par un détecteur. Si les deux ondes n'étaient pas cohérentes entre elles
(par exemple issues de deux sources distinctes), il faudrait alors simplement
additionner leurs intensités.
2 Développons le quotient

-
--
Iobj
Aobj
I(M)
=1+
+2
cos((M) - k réf · OM)
I0
Iréf
Aréf
Le deuxième terme est

Iobj /Iréf  (Aobj /Aréf)2  2

Le dernier terme est, lui, proportionnel à . Comme on se restreint à l'ordre 1 
en ,
il vient

-
--
Aobj (M)
t  t0 [1 + 2
cos((M) - k réf · OM)]-/2
Aréf
On développe cette expression en utilisant la formule (1 + )a  1 + a , valable

-
au premier ordre. On explicite ensuite M(x, y, 0) et k réf = k réf (sin , 0, 
cos ) et on
effectue le produit scalaire :

Aobj (M)
t(x, y, 0) = t0 1 - 
cos ((x, y, 0) - k réf x sin )
Aréf
3 Le calcul complet du champ dans tout l'espace est très complexe et n'est pas
attendu ici. En revanche, on peut faire le calcul dans un voisinage immédiat de 
la
plaque sans difficulté. Il s'agit alors de calculer l'amplitude transmise en un 
point
M(x, y, 0) de la plaque.

En tenant compte du facteur multiplicatif t à la traversée de la plaque, il 
vient
 -
-
A(M) = t(x, y, 0) Aréf e i(t- k réf ·OM)
Réécrivons l'expression de t(x, y, 0) grâce à la relation obtenue à la question 
précédente, en développant le cosinus en somme d'exponentielles et en utilisant 
le fait que

-
--
k réf x sin  = k réf · OM. On obtient

 -
-

-
 Aobj i((x,y,0)--
k réf ·OM)
i(t- k réf ·OM)
e
A(M) = t0 Aréf e
× 1-
2 Aréf

-
 Aobj -i((x,y,0)--
k réf ·OM)
-
e
2 Aréf

On écrit A sous la forme d'une somme de trois termes A = a1 + a2 + a3 , avec
an = An exp[i(t - n )]. En rassemblant les phases dans les exponentielles, il 
vient
· Pour le premier terme
A1 = t0 Aréf

-
--
et 1 = k réf · OM

C'est l'onde issue directement du faisceau de lecture.
· Pour le second terme

-
--
A2 = -t0  Aobj /2 et 2 = 2 k réf · OM - (M)
Cette onde a une phase opposée à celle de l'objet à cause du signe « - » devant
(M).
· Pour le dernier terme
A3 = -t0  Aobj /2 et

3 = (M)

Il s'agit de l'onde semblable à celle issue de l'objet. La phase de l'objet  est
directement reproduite, mais l'amplitude est bien sûr modifiée.
En fait, le raisonnement fait ici est heuristique. Ce calcul n'est valable que
pour un point M au voisinage immédiat de la plaque ; au-delà les effets de
propagation nécessiteraient un calcul compliqué, non demandé et de surcroît
hors-programme.
4 Partons de l'expression obtenue pour I(M)/I0 à la question 2, après 
développement
à l'ordre 1 en .

-
--
Aobj
I(M) = I0 1 + 2
cos [(M) - k réf · OM]
Aréf

-

-
--
= I0 (1 + 2  cos [( k obj - k réf ) · OM]
-- -
I(M) = I0 [1 + m cos (OM · k)] où m = 2  et

- -

-
k = k obj - k réf

Pour étudier les lignes d'intensité maximale sur l'hologramme, on doit chercher
les points M(x, y, 0) tels que
-- -
cos (OM · k) = 1
soit

-- -
OM · k = 2 n

nZ