Mines Physique 2 PC 2002

Thème de l'épreuve Le ressaut hydraulique
Principaux outils utilisés fluides parfait et visqueux, théorème de Bernoulli, bilans de quantité de mouvement et d'énergie, analyse dimensionnelle
Mots clefs viscosité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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J. 2076

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :'
Physique Il -- Filière PC

L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de lafilière PC, 
comporte 6 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même S'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, 
même lorsque
l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que des

qualités de rédaction de la copie.

. Les vecteurs sont notés en gras.

LE RESSAUT HYDRAULIQUE

Le ressaut hydraulique est un phéno--
mène que la plupart d'entre nous a observé
dans un évier de cuisine: l'eau du jet qui
frappe verticalement l'évier s'étale d'abord
radialement en une mince nappe circulaire,
de vitesse élevée. Pour une certaine valeur
R de la distance au jet, l'épaisseur de la
nappe augmente brutalement et sa vitesse
_ _ diminue. La zone de discontinuité est ce
... .. __ _ '_ qu'on appelle le ressaut hydraulique. Ce
problème de mécanique des fluides avec des conditions aux limites libres inclut 
plusieurs
aspects : le profil du flot dans la région laminaire et dans la région 
turbulente, le méca-
nisme du ressaut, la dissipation d'énergie dans son voisinage et la dépendance 
de R avec,
par exemple, la vitesse d'impact et le débit volumique du jet, la densité et la 
viscosité du
fluide. On considère dans ce problème quelques aspects simplifiés de cette 
dernière ques--
tion : la position R du ressaut.

Page 1/6 Tournez la page S.V.P.

Physique Il ---- Filière PC - 2002

1 x On modélise le système comme indiqué sur la

fig. 1. Un point du fluide est repéré en coor-
données cylindriques d'axe vertical Ox. On
note h(r) la hauteur de la nappe fluide et g
l'accélération de la pesanteur. Le phéno-
mène, de symétrie cylindrique, est caractérisé
par une discontinuité de la hauteur du fluide
en r= R, position du ressaut. Pour 8> 0, on

note h,= h(R --8) et 112 = h(R+£) les hau-

_ ,_ _ teurs immédiatement avant et immédiate--
Flg- 1:M0delzsaüon ment après la discontinuité. L'ensemble est
dans l'air, à la pression atmosphérique.

Première modélisation : écoulement parfait

Dans un premier temps, le ressaut est étudié sous l'hypothèse de l'écoulement 
par-
fait d'un liquide incompressible de masse volumique p. Le jet, vertical, est 
caractérisé par

sa vitesse uniforme u0 et son rayon et au voisinage de la nappe horizontale, 
avant qu'il ne
soit perturbé par cette nappe.

En l'absence de forces de viscosité, le champ de vitesses sera considéré comme 
radial

et indépendant de la hauteur x: u= u(r)e où er est le vecteur unitaire associé 
à la

,»9
coordonnée radiale. On note u1 : u(R-- EUR) et u2 = u(R + EUR) les vitesses 
immédiatement

avant et après la discontinuité.

Cl 1 ---- Montrer qu'une analyse dimensionnelle permet d'affirmer que le rayon 
R de res--
z

\

u
r - r ' 0 ' ' \
saut s'ecr1t sous la forme generale R= af ---- ou fest une fonction, inconnue a 
ce
ag

2
. . , U
stade, de la grandeur non dmensronnee F = --Q- , avec % = "no".
ag

Cl 2 ---- Soit q le débit volumique ; en appliquant le théorème de Bernoulli << 
a la surface »
(donc sur une ligne de courant), montrer que la hauteur h(r) du fluide avant le 
ressaut et à
une distance r suffisante du centre du jet vérifie

2

q __ oe__
8n2r2h2(r)+gh(r)--C ""K--

El 3 -- Considérer les valeurs numériques typiques suivantes : le débit est de 
deux litres par
minute, l'épaisseur de la couche liquidejuste avant le ressaut est de 0,5 mm, a 
= 2 mm et
R = 3 cm pourjustifier que l'un des termes de la relation donnée à la question 
2 est petit

devant l'autre, et que l'on peut donc le négliger (on prendra g= lg"= 
9,81m.s_2).

Cette approximation reste-t-elle valable plus près du centre du jet '?

Cl 4 --Déduire de cette remarque l'expression de la constante K de la question 
2 et la
manière dont la vitesse varie avec r. Montrer, en revenant sur le théorème de 
Bernoulli,

Page 2/6

Physique Il --- Filière PC -- 2002

8h . .
que l'inégalité -8-- << 1 est équivalente à l'inégalité entre termes établie à 
la question 3.
r
Démontrer enfin la relation
2
a C]
h r = -- = . 1
( ) 2r 27m... [ ]

E] 5 -- On effectue maintenant un bilan de quantité
de mouvement sur l'élément de fluide compris à un
instant t dans le volume limité par les surfaces élé-

mentaires de largeur angulaire dB et de hauteurhl

immédiatement avant et h2 immédiatement après

le ressaut (fig. 2). Déterminer la variation de la
quantité de mouvement de cet élément de fluide

entre les instants t et t+dt. La hauteur 112 étant
nettement supérieure à h], la conservation du débit
massique élémentaire dDm = pRhluld9 implique

que la vitesse "2-- est nettement inférieure à "1-

0 , 5\ _ Simplifier dans ces conditions l'expression obtenue.

Fi2-- 2 -' Un élément defluide Cl 6 -- Considérant le même élément de fluide, 
mon--

trer que la variation de la pression P(x) suivant x est
la même qu'en statique. Calculer la résultante des forces de pression sur cet 
élément et,

appliquant le théorème d'Euler, en déduire la relation 2 h1 uÎ == ghË.

Cl 7 -- Déterminer l'expression du rayon R en fonction de a, u... g et h2.

d2EC
dtd6

temps et d'angle, en fonction des vitesses et du débit massique élémentaire.

Cl 8 -- Exprimer , variation de l'énergie cinétique de cet élément par unité de

E] 9 -- Déterminer la puissance des forces de pression s'exerçant sur le 
ressaut. Comparer

C

cette puissance à la puissance ---- déduite de la question 8. Simplifier le 
résultat obtenu

dt
lorsque u2 << "1-

El 10 -- Qu'est devenue l'énergie cinétique manquante '? Avec quelle hypothèse 
ce résultat
est--il incompatible '? Il faut donc raffiner ce premier modèle.

Seconde modélisation : écoulement d'un fluide visqueux

Jusqu'ici, nous ne sommes pas parvenus à déterminer la position du ressaut en 
fonc-
tion des données, la hauteur h2 subsistant dans le résultat. Considérons que la 
viscosité
joue un rôle essentiel dans la position du ressaut. On note 17 la viscosité 
dynamique du

fluide et v : .Û. sa viscosité cinématique.

p

Page 3/6 _ Tournez la page S.V.P.

Physique Il -- Filière PC - 2002

Considérations qualitatives approchées

Cl 11 -- Expliquer en quelques mots la signification et l'intérêt de la notion 
de couche
limite.

Cl 12 -- On admet que, lorsque le fluide est emporté vers la périphérie, 
l'épaisseur 5 de la

I'

couche limite le long de la plaque augmente selon la loi 5= k'il'cv, où tc=-- 
est le
"0

temps typique de convection du fluide jusqu'à la distance r. La valeur précise 
de la cons-

tante k dépend de la structure de la couche limite. En tout état de cause, k 
est de l'ordre de
l'unité. Déterminer sa dimension.

Cl 13 --Connaissez--vous d'autres phénomènes pour lesquels on observe une 
relation du

type précédent(ô °C J?) entre distance 5 et temps t '? Comment les nomme-t-on '?

[:| 14 -- On suppose que la gravité ne joue pas de rôle dans la position du 
ressaut. Montrer
qu'une analyse dimensionnelle permet d'écrire R = aw(Re), où l// est une 
fonction incon--

_ , u et
nue de la quantite Re = --î--;-- .

Un traitement élémentaire

L'étude détaillée de l'écoulement est difficile. Nous utiliserons donc quelques 
idées physi-
ques pour en appréhender les aspects essentiels. Nous conviendrons (modèle de 
GODWIN)
que le ressaut hydraulique apparaît pour une épaisseur de la couche limite 
égale à l'épais-

']
27ïu0R

seur prévue par le modèle du fluide parfait, soit hl= . La viscosité envahissant

alors tout l'écoulement, elle n'est plus négligeable.

Cl 15 -- Déterminer le rayon R du ressaut en utilisant la relation donnée à la 
question 4

pour un fluide parfait. Le résultat suggère la loi d'échelle R3 oc q2 uO--lv_1

Remarque : Les données expérimentales de BRECHET et NÉDA de l'INPG (1998) 
suggèrent que, pour

un liquide, un robinet et une hauteur de chute donnés, les paramètres les plus 
importants sont le

, . . . . , . , . 0,703 --0,295
debut volumique q et la vnsc051te cmematuque v: R °C q V .

E] 16 -- Comment s'exprime la fonction W(Re) de la question 14 ?

. . , , . --1
Cl 17 -- Vorc1 quelques resultats exper1mentaux obtenus avec a=0,5 cm, % = 80 
cm.s
et trois liquides de viscosités cinématiques variées.

Liquide Huile Glycérine
Viscosité cin. (cm2/s) ] 10
5

Rayon mesuré (cm) _ 1 0,5

Montrer que ces résultats sont compatibles avec la relation précédente. 
Déterminer l'or-
dre de grandeur de la constante k.

Page 4/6

Physique Il -- Filière PC - 2002

Un traitement moins élémentaire

On souhaite approcher le problème de manière un peu plus précise, en 
déterminant le
champ de vitesses et la hauteur quand la viscosité a envahi l'ensemble de 
l'écoulement. On

modélise le champ de vitesses pratiquement horizontal avant le ressaut par
u = u(x,r) er. On note us(r) la vitesse à la surface du fluide. Des 
considérations, hors de

propos ici, conduisent à donner à la fonction u(x,r) la forme u(x,r) = us(r)(p 
h--)(C--) ,

du

où donc (p(1) =]. Les conditions aux limites sont u(O,r) :O et ('à--] :O ; cette
x

x=h(r)

dernière condition signifie que la force de frottement sur l'air à la surface 
libre est nulle.
On adopte pour ça la fonction le plus simple compatible avec ces conditions aux 
limites :

un polynôme du second degré.

D 18-- Exprimer u(x,r) en fonction de us(r), x et h(r) ; exprimer alors us(r) en

fonction de q, r, et h(r) . Expliciter enfin u(x,r) en fonction de x, r, h(r) , 
a et u0.

Cl 19 -- Montrer (Fig. 3) que, entre les instants [
et t+dt, la variation de quantité de mouvement
P de la tranche de fluide contenue à l'instant t
dans le volume de largeur angulaire d9, de

hauteur h(r) et de largeur dr est
' d 1

d3P : ÇP(ÙZ"°)ZÊ rh(r)

où C1 est une constante numérique que l'on
déterminera, sachant que

d9drdlev

r+dr

F ig. 3 : Pour un autre bilan élémentaire

J:(4h2x2 -- 4hx3 + x4 )dx =Î8g h5 .

Cl 20 -- On néglige les forces de pesanteur. La seule force agissant sur la 
tranche est la
force de viscosité, agissant sur la base, et qui s'écrit

d2Fr = --nr d 9dr (%LOe,.

Montrer que l'équation différentielle vérifiée par h(r) est

où C2 est une constante que l'on déterminera.

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Physique Il -- Filière PC - 2002

, . . , . , , 1 C .
Cl 21 -- Etablir que la solution de l'equatnon precedente est h(r) :? br2 
+--3-- ou C3 est une
r
V
constante non connue et b= C2 2
a %

Cl 22 -- La distance r est supposée être assez grande pour que, dans la 
solution précédente,

! ° , C3 ' A ! ' r ' °
le terme non determine en -- puisse etre negl1ge devant le terme en r2. Ecr1re 
alors
r

qu'en r=R, position du ressaut, la hauteur h(R) calculée pour le fluide avec 
viscosité
coïncide avec la hauteur h(R) calculée avec le R de la question 7. En déduire 
l'expression
de R. Comparer au résultat de la question 15.

Une approche énergétique

La dissipation d'énergie dans une tranche d'épaisseur dx du volume élémentaire

considéré Fig. 3 peut s'exprimer comme une dissipation d'énergie due à la 
viscosité ou
comme la divergence du vecteur flux d'énergie cinétique. Soit encore une fois 
7]: pv le

coefficient de viscosité dynamique ; la puissance élémentaire dissipée, H, 
vérifie

dH 8 du x,r
d(3)=(2fl1")773; u(x,r)---%ÿ-Ç--2 dx.

Le flux d'énergie cinétique Jtraversant la tranche d'épaisseur dx par unité de 
temps est

dJ(X,F) _ 1 2
de _{2nprîu (X,Ï)dX}u(xvr)'

El 23 -- Donner les idées générales permettant d'arriver aux expressions 
fournies ci--des--
sus pour la dissipation par viscosité et pour le flux énergétique.

dJ dfl
El 24 -- Exprimer la relation différentielle entre -- et ---- qui traduit le 
bilan énergéti--

dr dr

que.
Pourquoi le modèle de Godwin donne-t-il de si bons résultats ?

Un inconvénient des approches précédentes est qu'elles utilisent toutes une 
conjec--
ture non prouvée sur les conditions d'apparition du ressaut. Les principes de 
base de
l'hydrodynamique permettent cependant d'établir des lois d'échelle sur R sans 
faire appel
à cette conjecture. Admettons seulement que le ressaut se produit lorsque la 
couche limite

. . . . 1 2 (:3 .
atteint la surface libre et que le profil de vrtesse h(r) = - br +-- sont 
acceptable. Impo-

3 r

sons alors à la couche limite en R une évolution douce : les fonctions h(r) et 
5(r) (ques-

tion l2, où l'on prendra k = l) et leurs dérivées se raccordent en r = R.

Cl 25 -- Trouver la dépendance de R en fonction de V, a et 240. Comparer au 
résultat de
la question 14.

Fin du problème

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par
Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Jean-David Picon (École Polytechnique).

Cette épreuve de mécanique des fluides étudie quelques aspects du ressaut 
hydraulique. Chacun a pu observer ce phénomène au fond d'un évier : autour du 
jet du
robinet, il se forme une mince couche de fluide en écoulement laminaire et, à 
quelques
centimètres du centre du jet, on trouve un « bourrelet » de fluide. C'est cette 
variation
brutale de hauteur de fluide qui fait l'objet de ce sujet.
· La première partie traite de la modélisation de ce phénomène par un écoulement
de fluide parfait, ce qui est l'hypothèse la plus simple. Si, grâce au théorème
de Bernoulli, on parvient à proposer une formule pour le rayon du ressaut, on
aboutit cependant à une contradiction puisque l'écoulement perd de l'énergie.
· Dans une seconde partie, plus longue, on essaie donc d'affiner la première 
description en prenant en compte la viscosité avec un modèle simple, le modèle 
de
Godwin.
Ce sujet est d'une longueur raisonnable mais il n'est cependant pas facile à 
traiter
car il demande un certain recul sur le programme de mécanique des fluides. Le 
théorème de Bernoulli constitue le point central de la première partie, mais il 
n'est pas
exploité de manière tout à fait classique. Seules les questions 18 à 21 sont 
réellement
calculatoires. Ce sujet est globalement intéressant et il permet d'établir 
quelques résultats non triviaux. On ne peut que regretter cependant les erreurs 
de l'énoncé :
à la question 6 où il est fait référence à un théorème hors programme (et 
inutile) et
à la question 23 où s'est glissée une coquille.

Indications
Première partie
4 Montrer que, en négligeant un terme dans l'équation obtenue à la question 3,
la vitesse u(r) est en fait constante.
Réécrire alors le théorème de Bernoulli avec la vitesse et dériver l'expression
obtenue par rapport à r.
Le dernier résultat de cette question est la traduction directe de la 
conservation
du débit volumique entre le jet et l'écoulement radial avant le ressaut.
5 Pour cette question et la suivante, l'élément de masse correspondant à 
l'élément
de volume décrit par l'énoncé est le système qu'il s'agit de suivre et dont on
cherche à caractériser l'évolution. Remarquer que ce système se déforme lors du
passage du ressaut mais est fermé (il n'y a pas d'échange de matière).
6 Le théorème d'Euler est non seulement hors programme mais surtout inutile
puisque le système est fermé : appliquer simplement le principe fondamental de
la dynamique au système défini à la question 5.
9 Pour calculer la puissance des forces de pression, il faut bien séparer les 
deux
contributions de chaque « face » (du côté où la hauteur est h1 et la vitesse u1 
et
du côté où la hauteur est h2 et la vitesse u2 ). Attention, on ne peut pas 
utiliser
la résultante calculée à la question 6. . .
Pour vérifier la conservation de l'énergie cinétique, faire tout de suite 
l'hypothèse
h2  h1 . Pour interpréter la conclusion, remarquer que la variation d'énergie
cinétique comme la puissance des forces de pression sont négatives.

Deuxième partie
15 Exprimer h1 de deux façons différentes : avec la relation (1) et avec 
l'hypothèse
que la couche limite a une épaisseur  = h1 .
18 Pour calculer us (r), il suffit de calculer le débit volumique q sur un 
cylindre de
rayon r et de hauteur h(r) en faisant attention au fait que la vitesse dépend
maintenant de x.
19 Il faut être bien soigneux dans le calcul : le volume d défini par l'énoncé 
constitue
un système fermé déformable qui passe, entre t et t + dt de la position r à la
position r + dr. Commencer par calculer la quantité de mouvement de l'élément
d à l'instant t.
20 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'élément de fluide de 
masse
 d .
23 Pour démontrer l'expression de la puissance des forces de viscosité, revenir 
à la définition de la force de frottement qu'exerce une couche de fluide sur le 
fluide placé
en dessous de lui (c'est cette action qui permet de définir la viscosité 
dynamique).
Une coquille s'est glissée dans l'expression du flux d'énergie cinétique 
puisque le
résultat proposé n'est pas homogène : il faut supprimer l'élément dx du membre
de gauche.
24 Appliquer le théorème de l'énergie cinétique et dériver la relation obtenue 
par
rapport à r.

I.

Première modélisation : écoulement parfait

1 Le problème fait apparaître différentes échelles caractéristiques 
indépendantes :
· une échelle de longueur a ;
· une échelle de vitesse u0 ;
· une échelle d'accélération g ;
On suppose que l'ensemble de ces trois échelles forme un système complet. 
Toutes les
autres grandeurs du problème peuvent s'exprimer en fonction de ces échelles. R 
est
homogène à une longueur. On peut donc exprimer R comme le produit d'une longueur
particulière du problème, ici a, par une fonction qui dépend uniquement de 
nombres
sans dimension caractéristiques du problème. À partir des échelles 
indépendantes du
problème, on cherche donc à construire un nombre sans dimension. Pour cela, on
cherche des entiers ,  et  tels que
[a] [u0 ] [g] = 1
Il convient de préciser ce que l'on entend par « échelle indépendante ».
Cela signifie que l'on peut choisir de modifier la valeur d'une seule de ces
grandeurs sans que les deux autres ne soient modifiées. C'est pourquoi R n'est
pas une échelle indépendante : il est clair que sa valeur dépend du système
choisi donc en particulier des choix de a, u0 et g.
On utilise des notations conventionnelles que l'on rappelle brièvement ici :
les crochets désignent « la dimension de » et les dimensions fondamentales
longueur, masse, temps sont notées respectivement L, M, T.
En remplaçant les dimensions des échelles caractéristiques, on obtient

(L) L T-1
L T-2 = 1
d'où

L++ T-(+2 ) = 1

Cette égalité ne peut être réalisée que si les exposants de L et T sont nuls ce 
qui
implique

++ = 0
 +2 = 0
On a un système de deux équations à trois inconnues : on peut choisir de tout 
exprimer
en fonction de  par exemple. On obtient

 = -2 
 =
Sans restreindre la généralité de cette démonstration, on peut choisir 
n'importe quelle
valeur non nulle pour . Si l'on prend par exemple  = -1, on a le paramètre sans
dimension u0 2 /a g. On obtient donc
 2
u0
R = af
avec f fonction indéterminée
ag

2 On a un écoulement permanent de fluide parfait. On peut appliquer le théorème
de Bernoulli sur une ligne de courant. Choisissons une ligne de courant à la 
surface
de l'écoulement. Si P désigne la pression et u la vitesse, on a
P u2
+
+ g h(r) = Cte

2
La ligne de courant choisie est soumise à la pression atmosphérique P0 donc le 
terme
de pression peut être incorporé à la constante. Il reste donc
u2
+ g h(r) = Cte
2
Par hypothèse, u ne dépend que de r. Le débit volumique qui traverse un cylindre
de base le cercle de rayon r et de hauteur h(r) s'écrit donc simplement
q = 2 r h(r) u(r)
En remplaçant u(r) dans l'équation de Bernoulli, on obtient finalement
q2
+ g h(r) = Cte = K
8 2 r2 h2 (r)
3 Évaluons, compte tenu des valeurs typiques fournies par l'énoncé, le rapport 
des
deux termes de l'équation précédente en r = R :
q2
 13
8 g  2 R2 h1 3
On se place maintenant en r = a. Puisque la vitesse est continue, on peut 
supposer
que la vitesse radiale est à peu près u0 à cet endroit. La conservation du débit
volumique implique
q =  u0 a2 = 2 u0 a h(a)
a
d'où
h(a) 
2
On peut alors à nouveau calculer le rapport
q2
 360
g  2 a5
On constate donc que le premier terme est au moins d'un ordre de grandeur
supérieur au second entre r = a et r = R. On choisit donc de négliger le second
terme. Plus on s'approche du centre, tout en restant en dehors du jet, 
meilleure est
l'approximation. Cependant, si l'on pénètre dans le jet, elle n'est plus 
valable car on
ne suit plus une même ligne de courant : le théorème de Bernoulli ne s'applique 
plus
et la hauteur h n'est plus définie.
4 On déduit de la question précédente
K=

q2
8 2 R2 h1 2

Or, on a vu à la question 2, lors de l'application du théorème de Bernoulli que
u2 (r)
q2
=
2
8 2 r2 h2 (r)
On a donc

u2 (r)
=K
2
La vitesse u(r) est constante avant le ressaut.