Mines Physique 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Principe d'un détecteur de pluie pour les essuie-glace
Principaux outils utilisés électromagnétisme, électronique, optique géométrique, mécanique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


' A 00 PHYS. II , ,
ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES,

ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2000

SECONDE ÉPREUVE de PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours ENSTIM, INT, TPE-EIPV

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE Il - PC
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 7 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené à pren-
dre.

. Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques)
qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

ESSUIE-VITRE À DETECTEUR DE PLUIE

Ce problème, composé de trois parties indépendantes, se propose d'étudier le 
principe du détecteur de pluie que
l'on trouve actuellement sur certaines voitures et le fonctionnement de ! 
'essuie-vitre qu 'il commande. La partie
A évalue quelques ordres de grandeur relatifs à la chute de pluie sur le 
pare--brise. La partie B décrit le principe
de fonctionnement d'un détecteur de pluie, situé sur la partie supérieure du 
pare-brise de la voiture, hors de la
zone balayée par les balais d 'essuie-vitre. La partie C décrit le 
fonctionnement mécanique des essuie-vitres.

Les trois parties sont indépendantes ; toutefois, certaines données numériques 
précisées par l'énoncé sont

communes à plusieurs parties.

Dans tout le problème, l'accélération de la pesanteur sera prise égale à g = 
9,81m.s'2. On rappelle

quelques formules d'analyse vectorielle :
rot mt U =grad div U --AU

En coordonnées cartésiennes :
AU=AUXeX +AU},ey +AUzez pour U=U,ex +Uyey +Uzel

si les vecteurs unitaires des axes Ox, Oy et Oz d'une base orthonormée sont 
notés e,, ey et el.
PARTIE A : CHUTE DE LA PLUIE SUR LE PARE--BRISE

Le pare-brise du véhicule étudié est assi-
milé à une surface plane, d'airc supérieure à

Detecteur de plu1 . 1 m2, inclinée d'un angle [3 = 35° par rap-

Par EUR-bTÏSC port au plancher du véhicule.

Le pare--brise comporte deux essuie-vitres
dont les balais ont des longueurs différen-
tes, lc = 60 cm pour celui du conducteur et
l,, = 50 cm pour celui du passager. Les ba--

Page 1/7 Tournez la page S.V.P.

D , t t lais des essuie--vitres sont reliés à un bras
6 . . . , . .
e ec ur --* :) par une lrarson fixe srtuee au milieu, MC

et Mp respecti-

8 vement, de
là...--\"? chacun d'eux.
En 0EUR et OP

sont situés les
axes de rotation, perpendiculaires au
pare-brise. OcMc = de = 60 cm et O,,Mp
= d,, = 50 cm. Chaque essuie--vitre par-
court un angle total égal à 1c/2. L'axe

Zone essuyée par
les balais des deux
essuie--vitres

0 . . .
dp ° Oz, perpendiculaire à la figure, pornte
vers l'extérieur du véhicule. On ne tien-
Fig 2 : pare--brise, vu del'extérieur dra pas compte du caractère coudé du

bras, c'est-à-dire de l'angle £ représenté

ci-dessus. Il pleut régulièrement et verticalement dans un air calme. Les 
précipitations au sol sont de
10 mm de pluie par heure. La pluie est supposée formée de petites gouttes d'eau 
sphériques de rayon
re = 0,lmm qui tombent en ayant atteint leur vitesse limite. Les gouttes d'eau 
subissent la force

exercée par l'air selon le modèle de Stokes fair : --6flflr,v, où la viscosité 
de l'air sera prise égale à n
= 1,7 10"5 kg.m".s". La masse volumique de l'eau est [1 = 103 kg.m".

1. Déterminer la vitesse limite de chute de l'eau.

2. La voiture est arrêtée. Déterminer le nombre de gouttes et la masse d'eau 
évacués par les deux
essuie-vitres pendant la durée T = 1,6 5 d'un aller-retour des essuie-vitres 
(fonctionnement à
petite vitesse). On admettra que la surface du pare-brise commune aux deux 
balais représente
10 % de la surface totale balayée.

3. La voiture roule maintenant à 110 kilomètres par heure sur une autoroute 
horizontale et droite.
Déterminer le nombre de gouttes et la masse d'eau évacuée par les deux 
essuie--vitres pendant
la durée T = 1,0 5 d'un aller--retour des essuie--vitres (fonctionnement à 
grande vitesse).

4. Le délai de déclenchement de l'électronique de commande des essuie-vitres 
gérés par le
détecteur de pluie est de l'ordre de 0,01 5. Toujours dans le cas décrit à la 
question 3, détermi-
ner le nombre de gouttes qui, en moyenne, atteignent la surface utile du 
détecteur de pluie
pendant le délai de déclenchement. L'aire de la surface utile du détecteur est 
évaluée à 5 cm2.

PARTIE B : PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DU DETECTEUR DE PLUIE

Le principe du détecteur de pluie repose sur le comportement différent d'une 
onde électromagnétique
lorsqu'elle arrive sur un dioptre verre-air, séparant le verre (milieu 
d'entrée) et l'air (milieu de sortie)
et lorsqu'elle arrive sur un

Air (extérieur) dioptre verre--eau.

5. Calculer les valeurs des
angles d'incidence au-delà des-
quels il y a réflexion totale pour
les dioptres verre-air, verre-
eau, eau-air. Les indices de
réfraction du verre et de l'eau

\

: Air (intérieur) sont respectivement égaux a
1,50 et 1,33.

Fig. 3 .' principe du détecteur de pluie

Une diode électroluminescente

Page 2/7

(DEL) émet une onde électromagnétique qui, grâce à des prismes de verre, est 
envoyée sur le dioptre
verre-air constitué par le pare-brise du véhicule et l'air extérieur. Placé à 
la distance 1 = 4cm plus loin,
un autre dispositif à prismes conduit l'onde électromagnétique vers une 
photodiode qui fonctionne en
récepteur (REC). Le pare-brise sera localement assimilé à une lame de verre à 
faces parallèles
d'épaisseur e = 1 cm (cf schéma de la figure 3).

Fig. 4 : Le détecteur de pluie est placé au centre du pare-brise

6. Effectuer un tracé soigneux (sans qu'il soit nécessairement à l'échelle) de 
la marche d'un

ra on lum1neux artant de 0 dans le are-buse avec la direction initiale u = -- e 
+ e , sa--
y P P \/5 y z

chant qu'en y = 3 cm et z = e est présente une petite goutte d'eau qu'on 
représentera de façon
approximative. On expliquera le tracé sans qu'il soit nécessaire d'effectuer 
beaucoup de cal-

culs.
7. En déduire une explication rapide du fonctionnement du détecteur de pluie.
8. En réalité, le faisceau lumineux envoyé à partir de O est assimilable à un 
cône d'angle au

sommet 10°. Quel en est l'intérêt par rapport au cas du mince pinceau lumineux 
(assimilé à un
rayon lumineux) envisagé àla question précédente ?

La diode réceptrice présente une surface « active » de l'ordre de 1 m2. Quelle 
particularité,
non représentée sur la figure 3, doit présenter le dispositif à prismes afin 
d'augmenter la sensi-
bilité du détecteur ?

Afin de préciser quantitativement les conditions de fonctionnement du détecteur 
de pluie, nous allons
reprendre l'étude ci--dessus dans le cadre électromagnétique.

Nous allons donc étudier la propagation d'une onde plane progressive dans un 
milieu diélectrique,
linéaire, homogène, isotrope, non magnétique de permittivité relative en et 
d'indice de réfraction nl.
Ce milieu ne comporte pas de charges volumiques ni de courants volumiques 
libres. On notera À la

longueur d'onde que possède l'onde lorsqu'elle se propage dans le vide. On 
notera traditionnellement
c la vitesse de la lumière dans le vide.

9. Établir l'équation de propagation suivante du champ électrique dans le 
milieu d'indice n], (ce
2 2
_n_1_ 8 E1

champ est noté E1 ) :AE1 =
c2 8t2

On étudie la réfraction d'une onde plane progressive monochromatique sur un 
dioptre plan séparant
deux milieux d'indices n; et riz réels, présentant les mêmes propriétés que 
celui qui a été défini
précédemment. Le vecteur d'onde de l'onde incidente est noté ki = k,); ey + 
k,-z ez. Il fait un angle a]

avec la normale au dioptre. Le champ électrique de cette onde est E,] = E01 exp 
j(at -- k,.r) au temps

t et à la position r.

Page 3/7 Tournez la page S.V.P--

10. Le dioptre étant invariant par translation selon
Oy, on se propose de rechercher l'onde réfracte'e sous la

forme E,z=E,æ(z)[expj(oet--klyy)]er Établir

l'équation différentielle à laquelle obéit Et2 (z) , en fonc-

tion seulement des indices m et in des deux milieux, de la
longueur d'onde À et de an.

F ig. 5 : étude électromagnétique d'un dioptre

11.

12.

13.

A quelle condition l'onde réfractée est-elle progressive sans amortissement ? 
On définira alors
kt le vecteur d'onde de l'onde réfractée. Celui--ci fait un angle a; avec la 
normale au dioptre.

Montrer alors que la forme imposée par l'énoncé pour Et2 à la question 
précédente permet de
retrouver la loi de Descartes de la réfraction.

A quelles conditions sur les indices de réfraction n, et n; et sur l'angle 
d'incidence a], l'onde
réfractée est--elle amortie ? Définir alors, une épaisseur de peau que l'on 
notera &

Établir une relation numérique entre 6 et une longueur caractéristique du 
problème dans le cas

d'un dioptre verre--air où l'angle d'incidence est de 45°.
A quelle situation de l'optique géométrique correspond le cas étudié dans cette 
question ?

Savez-vous ce que l'on appelle, en physique, « effet tunnel >> ? En 
connaissez-vous une appli-
cation pratique ?

Comment pourrait-on mettre en évidence un « effet tunnel >> dans l'étude qui 
nous concerne ?
Votre réponse sera effectuée en liaison avec la question 12. Y voyez-vous une 
difficulté prati-
que ?

Dans l'affirmative, proposer une mise en évidence de l' « effet tunnel » 
réalisable en salle de
Travaux Pratiques de Lycée.

Afin de comprendre si la présence d'eau sur le pare-brise entraîne des 
modifications importantes ou
modestes sur le signal détecté par la diode de réception, nous nous proposons 
d'établir l'expression du
coefficient de transmission t de l'amplitude du champ électrique lors d'une 
réfraction verre-eau avec

une incidence a] = 45°.

On considère une onde incidente plane progressive monochromatique, non amortie, 
dont le champ

électrique est donné comme récédemment par E. = E ex ' cat --k..r . Elle donne 
naissance, au
P n 01 p] 1

niveau du dioptre, à une onde réfléchie d'amplitude E,] et à une onde réfractée 
d'amplitude En :

Erl : En [exp] (cat -- k,.r)]ex Etz : E,2 expj(al -- k,.r)]ex

On notera az l'angle de réfraction. On définit les coefficients de réflexion r 
et de transmission ! par :

E E

rl et t = 12
il il

r:

Les amplitudes des champs étant a priori complexes, r et t le sont a priori 
aussi.

14.

On suppose l'absence de toute charge surfacique libre et de tout courant 
surfacique libre sur la
surface du dioptre verre-air situé en 2 = e. Quelles sont les conséquences de 
cette hypothèse
sur la continuité des diverses composantes du champ électrique E et du champ B 
(induction
électromagnétique) de part et d'autre de ce dioptre ?

Page 4/7

15.

16.
17.

18.

19.

20.

Fig. 7 : montage proposé pour la mesure du,/lux lumineux

&?

Établir deux relations faisant intervenir r et t.
200so:l sin oc2 sin(oq " %)

s...(a, ...,) " ' =

En déduire que tet r se mettent sous la forme :' t = _ .
sm(oc1 + 062)

Calculer numériquement t pour on = 45°. Commentaire.

Dans ce problème de réfraction, on définit aussi un coefficient de transmission 
T et un coeffi-

2 tan oc1
tan 062

Expliquer, en quelques lignes et sans effectuer de calculs, comment on définit 
T et R.
Nous savons que l'énergie est proportionnelle au carré de l'amplitude des 
champs. Il pourrait
apparaître naturel d'obtenir les relations T = t2 et R = 72. Expliquer, 
toujours sans qu'il soit

nécessaire d'effectuer des calculs, pourquoi T: t2 alors que R = r2.

Les coefficients R et T doivent vérifier une relation importante. Quelle 
est--elle ? Quelle est sa
signification physique ?

et R =r2.

cient de réflexion R pour le flux énergétique. On peut montrer que T = t

Pour la même incidence qu'à la question 17, calculer numériquement R et T. Le 
calcul de T
est--il suffisant pour répondre à la question suivante: « Dans le cas du 
fonctionnement du
détecteur de pluie, pourrait-on se contenter d'une électronique de détection 
sommaire ? ».
Discuter.

L'élément sensible du récepteur est une photodiode, dont on indique ci-après 
(fig. 6) la carac-
téristique courant-tension pour divers régimes d'éclairement (en présence de 
divers flux lumi-

neux ci,--).
L'intensité is est approximativement proportionnelle au flux lumineux @ reçu 
par la photo-

diode. Les valeurs de 1°, sont de l'ordre
du milliampère.

Dans le montage électronique proposé
à la fig. 7, proposez, en les justifiant,
les valeurs numériques des grandeurs
uo et R à choisir pour obtenir en sortie
une tension de valeur raisonnable,
proportionnelle au flux lumineux reçu.

21. Le signal enregistré par la
diode de réception n'est pas utilisé tel
quel. Il est comparé (par différence) au


			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Fabien Guérin (École Polytechnique) ; il a été relu 
par
Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon) et Yannick Alméras (ENS Ulm).

Le problème, constitué de trois parties indépendantes, étudie sous divers 
aspects
le principe de fonctionnement des essuie-glace avec détecteur de pluie.
Dans une première partie, on cherche à évaluer des ordres de grandeur relatifs 
à la
chute de la pluie sur le pare-brise. Les questions de cette partie ne sont pas 
difficiles,
mais elles demandent un certain courage au moment des applications numériques.
La partie B s'attache à expliquer le principe de la détection. On a au préalable
une étude d'optique géométrique puis, pour préciser les résultats, on utilise 
les lois de
l'électromagnétisme pour bien comprendre le fonctionnement. Cette partie se 
termine
par l'étude du montage électronique à la base de la détection.
Enfin, la partie C étudie mécaniquement les essuie-glace pour évaluer la 
puissance
électrique nécessaire à leur bon fonctionnement.
Le problème en lui-même n'est pas difficile mais demande une connaissance solide
du cours, notamment en électromagnétisme. Enfin, certaines questions assez 
calculatoires peuvent paraître rebutantes.

Indications
2 Ne pas hésiter à calculer le nombre de gouttes qui tombent par unité de 
volume.
Cette valeur sera utile pour les questions 3 et 4. Il faut aussi calculer 
l'aire balayée
par les essuie-glace.
6 Comparer la valeur d'incidence du rayon lumineux 45 aux valeurs limites 
trouvées
à la question 5.
-
-
10 Trouver l'équation différentielle à laquelle obéit Et2 et injecter la forme 
de Et2
proposée. Il reste à trouver une relation entre kiy ,  et 1 .

-

11 Pour retrouver la loi de Descartes, remarquer que la composante de k selon -
e
t

y

vaut kiy .
z

12 Rechercher des solutions sous la forme Ae-  et chercher l'expression de .
13 Penser à une expérience utilisant des ondes centimétriques pour simuler 
l'effet
tunnel en TP.

-
15 Écrire les conditions trouvées à la question 14 ; il faut calculer B au 
préalable.
16 Il faut utiliser la relation de Descartes de la réfraction et la formule de 
trigonométrie sin (1 + 2 ) = sin 1 cos 2 + sin 2 cos 1 .
22 Considérer un tube d'air de section S dont les extrémités sont situées 
respectivement loin avant et loin après le déflecteur ; il faut alors calculer 
aux instants t et
t + dt la quantité de mouvement de ce tube d'air. La force exercée sur celui-ci 
est
trouvée grâce à la relation fondamentale de la dynamique.
Z T2

24 Écrire que
(t) dt = - .
2
0
25 Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un petit élément de 
chaque
--
balai et trouver une relation entre F, F0 et la réaction normale kdRn k. Enfin 
la
--
loi de Coulomb sur le frottement pour un objet en mouvement s'écrit : kdRt k =
--
-

f kdR k avec la condition dR .-
v < 0.
n

t

27 La tension de batterie actuelle est de 12 V.

Partie A

Chute de la pluie sur le pare-brise

1 Appliquons la relation fondamentale de la dynamique à une goutte d'eau :
mg

d-
v

= -6re -
v + mg -
g
dt

4
µre3 désigne le volume d'une goutte.
3
En régime stationnaire, pour lequel la vitesse limite de chute vlim est 
atteinte :

-
d-
v
= 0
dt
soit, en projetant sur l'axe Oz,
où mg =

6re vlim = mg g
vlim =

2 µre2 g
9 

vlim = 1, 3 m.s-1

A.N.

2 Calculons la surface balayée par le balai côté conducteur.

Bc

Ac

Cc

Dc

Oc

lc
dc

2

lc
dc +
.
4
2

2

lc
L'aire du quart de disque Oc Ac Dc vaut
dc -
.
4
2

L'aire du quart de disque Oc Bc Cc vaut

L'aire totale balayée par le grand balai est donc :

Ac =
4

2 
2 !
lc
lc

dc +
- dc -
= dc lc
2
2
2

Un calcul identique donne l'aire totale balayée par le petit balai :

2 
2 !

lp
lp

dp +
- dp -
= dp lp
Ap =
4
2
2
2
Il faut maintenant tenir compte de l'aire commune balayée par les deux balais
pour calculer l'aire totale A de balayage :
A = (Ap + Ac ) -

10
(Ap + Ac )
100

9
(dp lp + dc lc )
20
Pendant une durée T, les gouttes d'eau qui tombent sur le pare-brise sont à t = 
0
à une distance inférieure à vlim T du pare-brise. La figure suivante montre en 
coupe
le volume dans lequel sont les gouttes d'eau.
Pour calculer ce volume, remarquons que l'on peut se ramener à un prisme droit :
A=

pluie

v

lim

T

v

lim

A

T

os

pare-brise

A

Le volume occupé par les gouttes qui tombent entre 0 et T sur le pare-brise est
donc :
vlim TA cos 
Calculons le nombre n de gouttes de pluie qui tombent, par unité de volume.
Pendant une heure, il tombe 10 mm de pluie par m2 soit un volume de 10-2 m3 . En
10-2 3
une seconde, il tombe donc un volume V =
m par m2 soit
3600
V
4 3
r
3 e
gouttes de pluie. Dans cet intervalle d'une seconde, les gouttes sont dans un 
cylindre
de volume V0 = vlim × 1 s × 1 m2 . Il y a donc
n=

V
4 3
r V0
3 e

gouttes de pluie qui tombent par m3 .
On en déduit le nombre N1 de gouttes balayées par les balais d'essuie-glace :