Mines Physique 1 PC 2013

Thème de l'épreuve Autour d'un dragster à réaction
Principaux outils utilisés mécanique du point, électronique, thermodynamique des systèmes ouverts, électronique, optique ondulatoire
Mots clefs oscillateur amorti, régime sinusoïdal forcé, système ouvert, détection synchrone, interféromètre de Michelson, coin d'air, lame d'air

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE DES PONTS PARISTEOH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTEOH,
TELECOM PARISTEOH, MINES PARISTEOH,
MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTEOH (EILIERE MP)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2013
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ] -- PO.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il
aura été amené à prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

AUTOUR D'UN DRAGSTER À RÉACTION

Il existe des courses automobiles pour lesquelles le but est de parcourir le 
plus rapidement
quelques centaines de mètres. Pour cela, des engins surpuissants appelés 
dragsters sont fabriqués
par des passionnés, de façon << artisanale >> au sens où il ne s'agit pas de 
modèles de série. Ce
problème aborde certaines problématiques que l'on peut rencontrer lors de la 
fabrication de
tels engins. Pour les applications numériques on utlisera 3 chiffres 
significatifs, le module de
l'accélération de la pesanteur sera g = 9,81 m--s_2. Les vecteurs sont 
surmontés d'un chapeau
s'ils sont unitaires @, ou d'une flèche dans le cas général 17. La dérivée 
totale par rapport au

, . . da: . . .
temps sera notee par un pomt : a: : Æ. Les tr01s parties de ce probleme sont 
largement
indépendantes.
I. -- Mesure de l'accélération par un système embarqué

Pour mesurer l'accélération du dragster, le choix se porte sur un MEMS ( 
Micro--Electro--
Mechanical--System). Il s'agit d'une famille technologique très utilisée par 
l'industrie automobile
(notamment pour l'airbag) mais aussi par les particuliers car on les retrouve 
dans certaines ma--
nettes de consoles de jeu. La taille de ces capteurs est inférieure à celle 
d'une pièce de monnaie !

I.A. -- Analyse du mouvement mécanique

On modélise le fonctionnement du MEMS par le système représenté sur la figure 
1. Seule la
masse mobile de masse m, cube d'arête b, de centre de gravité 0 peut se 
déplacer. Le reste du
dispositif, appelé bâti, est fixé au dragster et demeure solidaire de celui--ci.

Autum- d'un dmgster & réaction

Le mouvement, sans frottements, ne peut se
faire que selon l'axe des 1'. La masse est liée à
deux ressorts de raideur k et de longueur à vide
Z0, mais aussi à deux amortisseurs induisant
une force proportionnelle à la vitesse relative de
la masse par rapport au bâti avec le coefficient
de frottement f. On ne se préoccupe pas de
la présence éventuelle d'autres forces notament
électrostatiques. On note :cE : %(11 + :52), la
position du centre de gravité O de la masse m
lorsque celle-ci et le dragster sont immobiles,
par ailleurs on note 1 la position de 0 a un
instant t quelconque dans le référentiel lié au
sol. On suppose que les ressorts n'ont pas d'al--
longement à l'équilibre. On introduira les quantités L : 1 + ze, wa : Æ et p : 
%.
L'accéléromètre est fixé sur le châssis de la voiture qui se déplace en ligne 
droite. La direction
de déplacement du dragster est la même que celle de la masse et de 
l'accéléromètre.

FIGURE 1 + Modélisation mécanique 1D du
MEMS

E' 1 -- Exprimer la résultante É des forces de tension des ressorts appliquée à 
la masse
en fonction de k, L et du vecteur EUR,. Exprimer la résultante F,, des forces 
d'amortissement
appliquée à la masse en fonction de f , L et du vecteur ê}.

D 2 -- En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le 
référentiel lié au sol,
déterminer l'équation différentielle vérifiée par L et décrivant le mouvement 
de la masse m
lorsque le dragster possède une accélération de module a dans la direction des 
au > 0.

D 3 -- Afin d'étudier la réponse mécanique globale de ce système, on 
s'intéresse au cas
particulier d'une accélération sinuso'i'dale de pulsation w, les 
représentations complexes des
grandeurs physiques L et a sont notées @ : A...e"" et L : L...e7M; calculer la 
transmittance
L/g de ce système en fonction de EUR : 5--0, ,a et G : m;2. En déduire le 
régime de pulsation dans
lequel une mesure de L permet de déterminer l'accélération subie par le 
système. On justifiera
le raisonnement.

LB. -- Mesure du déplacement

Comme le montre la figure 17 le mobile est solidaire d'une lame pou--
vant se déplacer devant les faces 1 et 2. La face 1 et la lame forment
un condensateur Cl. La face 2 et la lame forment un condensateur Cz. C LL H
Ces capacités dépendent de L. 1 i 0
Dans un MEMS une série de de micro--lamelles sont imbriquées comme

si deux peignes à cheveux étaient en regard l'un de l'autre. Les conden-- (;2 ::
sateurs sont alors simplement plus nombreux que dans le modèle que
nous utilisons. Le dispositif formé par les condensateurs est alimenté
par les tensions v1 (t) : %Vs + Vlsin (Lot) et o; (t) : %V, + V1 sin (Lot). , _
Le modèle électrique du MEMS est celui de la figure 2. On introduit la EIGU,RE 
2_ * M0dellsä'
constante de temps T : äH (C1 + C2). tion electrique

' WW
""2

D 4 -- Déterminer l'équation difiérentielle vérifiée par 113 (t) en fonction de 
V" T, m, cos (uit)

v i (: eux
et de la tension V2 * C;+C2V1

E' 5 -- Résoudre cette équation en trouvant l'expression de v3(t) en fonction 
de V,, '/2, w.
T, cos (ut + ga) et d'une constante Vo associée au régime libre, fixée par les 
conditions initiales
et que l'on ne cherchera pas à déterminer. En particulier, on exprimera d'une 
part la phase à
l'origine Ap en fonction de w et T et d'autre part l'amplitude des oscillations 
en régime permanent
en fonction de m, V; et T.

Page 2/6

Physique 1, année 2013 * filièm PC

D 6 -- On fixe T : 5 ms et w : 105 rad.s*1, la mesure de 113 (t) est faite pour 
t > T. En
déduire, dans ces conditions, une expression approchée de v3(t) ne dépendant 
plus que de V_,,
V2 et sin (mt).

E' 7 -- Soit deux plaques parallèles, chacune de surface S, séparées par une 
distance e petite
devant les autres dimensions. La normale aux plaques est un vecteur é} 
orientant l'axe 01. On
néglige les effets de bords ainsi que l'épaisseur des plaques. La première 
plaque située en :L' : 0,
porte la charge Q et la seconde située en 1 : 9 porte la charge iQ. Déterminer 
la capacité C
du condensateur plan formé par ces plaques en admettant que le champ est nul a 
l'extérieur de
ce dernier. On exprimera C en fonction de S, e et de la permittiv'ité du vide 
E,,

D 8 -- Les condensateurs du schéma de principe de l'accéléromètre de la figure 
1 sont plans et
les surfaces en regard ont une aire S. En utilisant le résultat de la question 
précédente, exprimer
01 et Oz en fonction de (1, L, S et 5...

E' 9 -- Sous les hypothèses de la question 6, exprimer v3(t) en fonction de V1, 
L, (1, V, et
sin (alt). On conservera cette expression pour la suite de l'étude.

Pour extraire l'information, le principe utilisé est celui de la démodulation 
synchrone : le signal
v3(t) est multiplié par v1(t) pour obtenir un signal sl (t) : h >< v1(t) >< va 
(t) où Il est un
gain positif, puis le résultat est filtré pour obtenir le signal 3 (t). 
L'ensemble de ce dispositif
d'acquisition est représenté sur la figure 3.

R, 10 ko

v3(z)-- @ "È1(1) C, 100 nF:: WLs(/)

FIGURE 3 * Module d'acquisition de l'accélération

E' 10 -- Après avoir écrit l'expression de 31 (t), déterminer le signal 3 (t) 
qu'il est possible
d'observer en mode DC sur un oscilloscope. On détaillera le raisonnement 
permettant d'obtenir
cette expression, on exprimera tout d'abord s(t) en fonction de h, V1, L, d et 
V, puis, en
supposant que L et a ne dépendent pas du temps, en fonction de h, V1, a, m, lc, 
d et V,.

FIN DE LA PARTIE 1
II. -- Propulsion de l'engin par un réacteur d'avion!

II.A. -- Premier principe pour un système ouvert

On considère le Volume "VPC d'une partie commune, toutes les grandeurs 
physiques utiles de cette
partie, grisée sur la figure 4, seront notées avec un indice pc, par exemple, 
l'énergie interne de
la partie commune est ainsi notée UFC. Un fluide s'écoule de gauche à droite 
sur le schéma de
la figure 4, On considère le système fermé E constitué par le fluide compris 
entre les frontières
A et B a l'instant t puis A' et B' à l'instant t+ dt. La masse de fluide 
contenue dans la partie
commune est notée m,,c(t) a la date t et m...(t + dt) a la date t + dt. Pendant 
l'intervalle de
temps dt, une masse dme entre dans la partie commune par une ouverture de 
section S2 et une
quantité de matière de masse dm, en sort par une ouverture de section S,.

On suppose que le régime est permanent. Les grandeurs intensives (pression, 
température. . .)
ont des valeurs uniformes avant la partie commune et seront notées PE, TE. .. 
De même, elles
sont toujours uniformes après la partie commune où elles seront notées P,, T,. 
.. Toutes les
parois sont calorifugées.

Page 3/6 Tournez la page S.V.P.

Autum- d'un dmgster & réaction

dms D 11 -- Démontrer que le débit massique
D... est constant entre l'entrée et la sortie du
système.

D 12 -- On indice avec un e les grandeurs en
entrée et avec un s les grandeurs en sortie, on
note W,- le travail autre que celui des forces
de pression. Appliquer le premier principe au
système fermé E entre les instants t et t + dt
en régime permanent et trouver une relation
entre les énergies internes (UE, Us), poten--
tielles (E,,,e, EM), cinétiques (E", E"), les
pressions (Pe, P,), les sections (SE, S,), les
longueurs (die, dis) et le travail 5VV,.

FIGURE 4 * Schéma d'un système ouvert

D 13 -- La vitesse macroscopique du fluide entrant est notée 52 : age} et celle 
du fluide sortant

E_, : c,ê} , on note 2EUR et z_, les altitudes correspondantes (l'axe 2 est 
orienté vers le haut) et

5VVi . . .
w,- : $ le travail indiqué massique en posant dm : dm2 : dm... Le volume 
massique à

l'entrée de la partie commune est UE et v, a la sortie, les enthalpies 
massiques sont notées h.
Réécrire le premier principe pour obtenir une expression massique de ce dernier 
reliant ha, h_,,
6... 057 9, z... Z. et %

II.B. -- Force de poussée du réacteur * Étude de la tuyère

Schématiquement, un turboréacteur
absorbe de l'air par « une manche d'en--

trée d'air ». La première partie est une , Sens Partie Tuy ere
partie active qui comprime l'air et le dé'à°"'ÿ'_"ent active
e

chauffe. La seconde partie (grisée sur la
figure 5 et appelée tuyère) est chargée

d'éjecter l'air a l'extérieur. Pour fournir Manche /
une poussée, la vitesse l'éjection doit d=emrée

être supérieure à celle de l'admission.
Le rôle de la tuy'ere est de maximiser la FIGURE 5 * Schéma du réacteur
Vitesse d'éjection.

L'écoulement du gaz dans la tuyère est supposé unidimensionnel, horizontal 
(zEUR : zs), perma--
nent, adiabatique et réversible. Le gaz, supposé parfait, y subit une détente. 
La Vitesse d'entrée
des gaz dans la tuyère est négligeable. En effet, la partie active reçoit de 
l'air à Vitesse non négli--
geable, mais ceux--ci ressortent avec une vitesse insignifiante dans le 
référentiel lié au réacteur.
Il n'y a pas de travail indiqué dans la tuyère (a); : O). A l'entrée de la 
tuyère, on mesure une
pression PE : 3,00 bar et une température 92 : 850°C , et en sortie de la 
tuyère une pression
P, : 1,00 bar. Dans les conditions d'utilisation, le rapport des capacités 
calorifiques a pression
constante et à volume constant de l'air vaut [' : % et sa capacité thermique 
massique à pression
constante c,, : 1,17 kJ-kgÏ1-KÏ1.

E' 14 -- Déterminer l'expression de la température 0, du gaz à la sortie de la 
tuyère et sa
valeur numérique.

E' 15 -- Exprimer la vitesse E_, du gaz à la sortie de la tuyère en fonction de 
c,, et des
températures BE et EUR,. Calculer la valeur numérique de sa norme.

Page 4/6

Physique 1, année 2013 * filièm PC

D 16 -- La variation de la quantité de mouvement du gaz qui entre et qui sort 
du réacteur au
cours du temps, lorsque l'on est en régime permanent, génère une force appelée 
force de poussée
du réacteur. On se place dans le référentiel lié au réacteur supposé galiléen. 
Calculer cette force
fi en fonction du débit massique de gaz D... (entrant dans le réacteur) et des 
vitesses d'entrée
52 et de sortie È, exprimées dans le référentiel lié au réacteur. Déterminer la 
valeur numérique
de la norme de la force de poussée subie par le dragster lors d'un départ 
arrêté, pour un débit
massique constant D... : 80,0 kg-s*1 et en l'absence de vent.

D 17 -- Déterminer la valeur de la norme a de l'accélération subie au démarrage 
par un
dragster de 1,06 - 103 kg équipé du réacteur décrit dans la question 
précédente. On exprimera
cette accélération en g (accélération de la pesanteur).

D 18 -- Le débit massique est supposé constant. On admet que la force de 
poussée calculée dans
le référentiel lié au réacteur garde la même valeur (norme, direction et sens) 
dans le référentiel
lié au sol. Calculer le temps mis par le dragster pour parcourir les 305 m de 
la piste dans le
cas ou la seule force existante serait la force de poussée. Le résultat attendu 
est numérique a
deux chiffres, et non littéral, de manière à pouvoir conclure sur la capacité 
de ce véhicule a faire
mieux qu'un dragster classique (sans réacteur) qui parcourt la distance en 3,80 
s.

FIN DE LA PARTIE II
III. -- Contrôle d'épaisseur de certaines pièces

Pour une bonne mise au point mécanique et aérodynamique du dragster, il est 
important de
contrôler précisément certaines épaisseurs, on utilise pour cela des 
dispositifs interférentiels. La
première mesure consiste en la vérification de l'épaisseur d'un dépôt 
métallique opaque destiné
à protéger certaines pièces, la seconde est la mesure de l'épaisseur d'une 
pièce en verre et donc
transparente.

HLA. -- Contrôle d'épaisseur d'un dépôt métallique

On éclaire une lame de verre semi--réfléchissante, supposée infiniment fine, et 
formant un angle
s : 0,1° avec une plaque réfléchissant totalement la lumière sur laquelle le 
dépôt métallique
a été effectué. L'éclairement est assuré par une lumière monochromatique de 
longueur d'onde
)... : 532 nm. L'incidence est quasi normale. Le dépôt est assimilable à un 
parallélépipède
métallique opaque d'épaisseur constante posé au contact de la lame 
réfléchissante. L'ensemble
est représenté sur la partie gauche de la figure 6.

Lumière incidente

l

Lame semi--
réfléchissante

Lame
réfléchissante

Dépot métallique

FIGURE 6 * Dispositif optique et franges observées sur l'écran

Au voisinage des lames, on observe des franges non rectilignes, on dit qu'elles 
sont « décrochées » .
Ces franges sont observées sur un écran placé à 50 cm d'une lentille 
convergente de distance
focale f' : 4 cm. Elles sont représentées sur la partie droite de la figure 6.

Page 5/6 Tournez la page S.V.P.

Autuw d'un dmgster & réaction

D 19 -- Déterminer l'expression de l'interfrange d,» observée sur l'écran dans 
la zone où le
dépôt est absent. On exprimera d,» en fonction de /\0, E et du grandissement 'y 
de la lentille et
on calculera sa valeur numérique.

E' 20 -- Expliquer ce que l'on observe sur l'écran (présence du décroché) et 
montrer que
l'épaisseur e du dépôt métallique dépend de la valeur u du décroché mesurée sur 
l'écran (partie
droite de la figure 6). On explicitera la relation entre 6, u et d'autres 
paramètres utiles de
l'expérience. On mesure u : 0,59 mm sur l'écran, quelle est la valeur numérique 
de l'épaisseur
du dépôt? On commentera ce résultat.

D 21 -- Qu'observe--t--on sur l'écran si on remplace l'air par de l'eau dans la 
même expérience.
Préciser, en le justifiant, ce qui est modifié et ce qui ne l'est pas.

E' 22 -- Qu'obsewe--t-on sur l'écran si l'on augmente l'angle 5. Préciser, en 
le justifiant, ce
qui est modifié et ce qui ne l'est pas.

III.B. -- Mesure de l'épaisseur de la pièce transparente

La pièce transparente dont on veut déterminer l'épaisseur L est une lame de 
verre homogène.
On utilise un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air et éclairé par 
une lampe à vapeur
de sodium dont on a isolé le doublet jaune de longueur d'onde moyenne )... : 
589,3 nm. On
considère dans un premier temps cette source comme monochromatique. Il est 
configuré pour
l'observation d'anneaux d'égale inclinaison. On se place au contact optique 
(teinte plate). On
introduit la lame à mesurer devant le miroir mobile M2, a son contact. On 
translate M2 en
l'éloignant de la lame. Des anneaux finissent par être visibles. On continue de 
charioter de
façon a retrouver une teinte plate (à ne pas confondre avec une 
anticoïncidence), et l'on note
la position du chariot. Soit d la distance de chariotage depuis le contact 
optique. A la longueur
d'onde moyenne du doublet jaune du sodium, le verre possède un indice n : 1,517.

D 23 -- On note i l'incidence, par rapport à la normale de la lame, du rayon 
lumineux et 7
son angle de réfraction dans la lame de Verre. Montrer que la différence de 
marche entre deux
rayons peut s'écrire 6 : 2A cos(i) + 23 cos(r) où l'on expi'imera A et B en 
fonction de L, d et
71. À quel endroit l'observation se fait--elle?

E' 24 -- En prenant en compte le fait que T et i sont de petits angles, montrer 
que lorsque
l'on atteint le contact optique il est possible d'exprimer l'épaisseur L en 
fonction de d et n.

La source n'est plus considérée comme monochromatique. Pour obtenir les Valeurs 
du doublet du
sodium À1 : À... * %AÀ et À; : /\... + %AÀ, on cherche les positions du 
brouillage lorsque la lame
de verre n'est plus la. On supposera que /\... >> A)... On part du contact 
optique et on translate
le chariot mobile. Une première anticoïncidence correspond à la division el : 
9,69 mm pour la
position du chariot. La onzième anticoi'ncidence correspond à la division en : 
12,61 mm. On
suppose que les sources de ces deux raies ont la même intensité.

E' 25 -- Exprimer la différence AÀ entre les des deux longueurs d'onde de la 
raie double du
sodium en fonction de el, en et À.... En déduire la valeur numérique de cette 
différence.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L 'ÉPREUVE

Page 5/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PC 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Louis
Salkin (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est composée de trois parties indépendantes qui abordent des 
méthodes vues au cours des deux années de classes préparatoires.
· La première partie porte sur l'étude d'un accéléromètre utilisé dans les 
smartphones et les manettes de jeu. On l'étudie comme un oscillateur harmonique
amorti soumis à une excitation sinusoïdale. La conversion de la réponse 
mécanique de l'accéléromètre en un signal électrique est effectuée à l'aide 
d'une
détection dont on établit les propriétés.
· Dans la deuxième partie, on analyse le fonctionnement d'un turboréacteur.
Après avoir démontré des lois générales sur les systèmes ouverts en régime
permanent, on se penche sur l'accélération d'un véhicule propulsé par le 
turboréacteur.
· Les interférences en optique sont utilisées dans la troisième partie pour 
diagnostiquer des défauts de surface. C'est l'interféromètre de Michelson qui 
est au
coeur de cette étude, en coin d'air puis en lame d'air.
Cette épreuve est de longueur et de difficulté raisonnables. Elle touche à des 
domaines très différents du programme et constitue un bon entraînement aux 
épreuves
de trois heures du concours Mines-Ponts.

Indications
Partie I
2 Remarquer que x = L + a.
3 La fonction de transfert est celle d'un filtre passe-bas.
4 Écrire la loi des noeuds en termes des potentiels.
5 Chercher la solution de l'équation homogène, puis la solution particulière 
pour le
cas du second membre constant et enfin la solution particulière correspondant au
régime sinusoïdal forcé. La solution générale est une combinaison linéaire de 
ces
trois solutions.
6 Montrer que

v3 (t) 

Vs
+ V2 sin t
2

7 Après une brève discussion sur les invariances, invoquer les relations de 
passage
pour le champ électrique à la traversée d'une interface.
10 Le filtre Rf Cf ne laisse passer que la composante continue.
Partie II
11 Invoquer la conservation de la masse pour le système proposé par l'énoncé.
12 Sous sa forme la plus générale, le premier principe s'écrit
dEc + dU = W + Q
14 Utiliser la loi de Laplace pour le gaz parfait.
15 La deuxième loi de Joule permet de relier la variation de température à la 
variation
d'enthalpie.
16 Effectuer un bilan de quantité de mouvement.
Partie III
21 di dépend de n mais u n'en dépend pas.
22 di et u dépendent tous les deux de .
24 L'énoncé comporte une erreur : il faut rapprocher M2 en sorte que d < 0.
25 Exprimer l'intensité lumineuse résultante. Exploiter les annulations du 
cosinus
oscillant le plus lentement.

Autour d'un dragster à réaction
I. Mesure de l'accélération par un système embarqué
1 Écrivons la force due à chaque ressort. Pour le ressort de droite (indicé 2),
-

Fr2 = k (x2 - x - 0 ) -
ex
où 0 est la longueur à vide du ressort. Pour le ressort de gauche (indicé 1),
-

Fr1 = -k (x - x1 - 0 ) -
ex
Par conséquent,

-
 - -
Fr = Fr1 + Fr2

= k (x2 + x1 - 2x) -
ex

= 2k (xe - x) -
ex
-

Fr = - 2k L -
ex

donc

La force de friction est proportionnelle à la vitesse du point O par rapport aux
deux amortisseurs solidaires du dragster qui évolue à la vitesse xe par rapport 
au sol.
Cette force est donc proportionnelle à x - xe . Mais L = x - xe , d'où
-

Fa = -2f L -
ex
Le facteur « 2 » s'explique par la présence de deux amortisseurs.
Le paragraphe, en haut de la deuxième page de l'énoncé, peut paraître 
contradictoire puisque l'on y précise d'abord qu'il n'y a pas de frottements et 
un
peu plus loin que le coefficient de frottement est noté f . Il faut certainement
comprendre que l'on néglige tout frottement solide et que le coefficient pour
le frottement fluide (supposé proportionnel à la vitesse) est noté f .
2 Après projection sur l'horizontale, le principe fondamental de la dynamique 
appliqué au dragster dans le référentiel du sol, supposé galiléen, s'écrit
mx = -2k L - 2f L
On a la relation

(car x¨e = a)

x = L + a

que l'on injecte dans l'équation précédente, pour obtenir
mL + 2f L + 2k L = -ma
Utilisons les grandeurs 0 et µ introduites dans l'énoncé. Puisque
µ 0 =
Il vient

f
m

et

0 2 =

2k
m

L + 2µ 0 L + 0 2 L = -a

3 En notation complexe, l'équation différentielle précédente devient
- 2 L + 2jµ 0  L + 0 2 L = -a
L
1
= 2
a
 - 0 2 - 2jµ 0 

Ainsi,

Factorisons 0 2 au dénominateur de cette fraction,
L
G
= 2
a
 - 1 - 2jµ 
Il apparaît que cette fonction de transfert est celle d'un filtre passe-bas du 
second
ordre. Pour que la mise en mouvement du capteur soit fidèlement reproduite 
(c'està-dire que l'on obtient bien a à une constante près quand on mesure L), 
il faut que
  1 c'est-à-dire que
  0
4 Écrivons la loi des noeuds,
v3
v3 - Vs
d(v3 - v2 )
d(v3 - v1 )
+
+ C2
+ C1
=0
R
R
dt
dt
Remplaçons v1 et v2 par leur expression et rassemblons les termes en v3 ,
(C1 + C2 )
d'où

dv3
2
Vs
+ v3 =
+ V1 (C1 - C2 ) cos t
dt
R
R

dv3
Vs
+ v3 =
+   V2 cos t
dt
2

5 La solution v 3h de l'équation sans second membre associée à cette équation 
est
v 3h (t) = V0 e -t/
La solution particulière est la somme d'une fonction constante v 3c et d'une 
solution
sinusoïdale v 3s oscillant à la pulsation . Pour déterminer v 3c , il suffit de 
l'injecter
dans l'équation différentielle :
dv 3c
Vs
+ v 3c = 0 + v 3c =
dt
2

Vs
2
s'obtient en traduisant l'équation, en régime sinusoïdal forcé,

Par conséquent,
v 3s

v 3c (t) =

qui devient
Ainsi,

dv 3s
+ v 3s =   V2 cos t
dt

(j   + 1)v 3s =   V2 e jt
v 3s =

v 3s = p
1 + ( )2

(1 - j  ) V2 e jt
1 + ( )2
1

- 

p
+jp
1 + ( )2
1 + ( )2

!

V2 e jt