Mines Physique 1 PC 2012

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2012
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

PROPAGATION DE LA LUMIERE
L'objectif de ce probleme est d'etudier differents aspects de la propagation de 
la lumiere. Dans une
premiere partie on etudiera le modele geometrique de la lumiere. Dans une 
deuxieme partie, on
modelisera la lumiere par une onde ce qui permettra d'introduire une particule 
appelee photon. On
evoquera finalement la possibilite d'une eventuelle masse pour ce photon et on 
essaiera d'en tirer les
consequences.
La valeur des constantes fondamentales utilisees ainsi qu'un formulaire 
d'analyse vectorielle sont
fournis en fin d'epreuve. Hormis le nombre j tel que j2 = -1, les nombres 
complexes seront soulignes, et leurs complexes conjugues seront notes par le 
symbole  en exposant : si a et b sont deux
reels et si z = a + jb alors z = a - jb. Les vecteurs seront surmontes d'un 
chapeau s'ils sont unitaires
ou d'une fleche dans le cas general.

I. -- Propagation geometrique de la lumiere
Dans le modele geometrique de la lumiere, on represente la trajectoire de 
l'energie lumineuse dans
un milieu d'indice de refraction n(M) au point M, par une courbe geometrique C 
nommee rayon
lumineux. L'objectif de cette partie est l'obtention d'une equation 
differentielle dont la solution admet
cette courbe pour graphe.
1 -- Definir la notion de milieu lineaire, homogene, transparent et isotrope. 
Quelle est la trajectoire
d'un rayon lumineux dans un tel milieu ?
2 -- Rappeler les lois de Descartes et faire un dessin pour les illustrer. Au 
cours de quel siecle ces
lois ont-elles ete proposees ?

Propagation de la lumiere

3 -- On considere un dioptre delimitant deux milieux d'indice constants n1 et 
n2 . Expliquer la
notion de reflexion totale ; Demontrer qu'il existe un angle d'incidence limite 
lim pour la refraction.
On exprimera lim en fonction de n1 et n2 .

...

...

...

...

...

...

y

...

...

On etudie maintenant la trajectoire d'un rayon lumineux dans un milieu non 
homogene le long d'une
direction. On considere pour cela dans un premier temps, le milieu stratifie 
represente sur la figure
1 : chaque couche horizontale est reperee par un entier i, toutes les couches 
ont la meme epaisseur et
l'indice ni de la couche i est constant. On suppose finalement que l'indice 
decroit avec i : pour deux
entiers i et j si i < j alors ni > n j . On note i l'angle entre le rayon qui 
se propage dans la couche
d'indice ni et le vecteur ebx .

4 -- Relier les couples (ni , i ) et n j ,  j pour i 6= j. Reproduire le schema 
sur la copie et dessiner
la trajectoire du rayon lumineux.

n0

y

...

...

ni

x

0

O
F IGURE 1 ­ Milieu inhomogene stratifie suivant Oy
Afin de determiner l'equation differentielle de la trajectoire du rayon 
lumineux, on rend la stratification infiniment fine : on tend vers un milieu 
continu. A l'ordonnee y, l'indice de refraction est n(y)
et l'angle entre le rayon et le vecteur ebx est note  (y). Le point M(x, y) 
decrit la trajectoire du rayon
lumineux, on note s son abscisse curviligne, c'est-a-dire la longueur de la 
trajectoire OM, et ebs le vecteur unitaire tangent a la trajectoire. Ainsi en 
tout point M de la trajectoire, on a ds ebs = dx ebx +dy eby
avec ebs = cos [ (y)] ebx + sin [ (y)] eby .
5 -- Determiner une quantite C0 constante en tout point M de la trajectoire en 
fonction de n(y) et
 (y) puis exprimer n(y) en fonction de C0 , ds et dx.
6 -- Montrer que la courbe C correspond a la solution de l'equation
 2
d
n
d2 y
=-
- 2
2
dx
dy

ou l'on exprimera  en fonction de C0 . Quelle analogie mecanique peut-on 
envisager ? En utilisant
cette analogie, retrouver le resultat de la question 1.
7 -- L'indice du milieu s'ecrit sous la forme n2 (y) = n20 + ky2 ou n0 et k 
sont deux constantes
reelles. Determiner, selon le signe de k, l'expression de la trajectoire y = y 
(x) passant par l'origine O
de coordonnees x = 0 et y = 0. On exprimera y (x) en fonction de x, 0 , k et n0 
. Quel est le signe de k
dans le cas d'un mirage et dans le cas d'une fibre optique.
FIN DE LA PARTIE I
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Physique I, annee 2012 -- filiere PC

II. -- Nature ondulatoire de la lumiere
La lumiere est a present modelisee par une onde electromagnetique plane de 
pulsation  et de vecteur

-
d'onde k . On associe a cette onde une particule, appelee photon, d'energie E = 
h  et de quantite de

-
-
mouvement 
p = h k ou h est la constante de Planck. On suppose que ces expressions sont 
toujours
valables, quel que soit le milieu dans lequel se propage l'onde et 
independamment de l'eventuelle
masse du photon. On utilisera les notations suivantes :

-
­ Champ electrique au point M a l'instant t : E (M,t),

-
­ Champ magnetique au point M a l'instant t : B (M,t),

-

-

-
­ Champ de Riemann-Silberstein au point M et a l'instant t :  (M,t) = E (M,t) + 
jc B (M,t) ;
­ Potentiel scalaire au point M a l'instant t : V (M,t) ;

-
­ Potentiel vectoriel au point M a l'instant t : A (M,t) ;

-
­ Vecteur de Poynting au point M a l'instant t :  (M,t) ;
­ Densite volumique d'energie electromagnetique au point M a l'instant t : uem 
(M,t) ;
­ Densite volumique de charge en M a l'instant t :  (M,t) ;

-
­ Densite de courant en M a l'instant t : j (M,t).

-
On pourra utiliser le vecteur  represente dans la base cartesienne B = (ebx , 
eby , ebz ) par le triplet

 x ,  y ,  z . Dans le referentiel galileen {O, B}, on repere le point M par le 
vecteur
-

-r = -
OM = xebx + yeby + zebz .

II.A. -- Propagation dans le vide

-
8 -- Ecrire les equations de Maxwell dans le vide. Donner l'expression de  et 
de uem en fonction

-

- 
-
de E et B ainsi que des constantes utiles. En quelles unites s'expriment  et 
uem ?
9 -- Enoncer l'equation locale de conservation de l'energie dans le vide, 
appelee aussi equation
locale de Poynting. Par analogie avec une ou plusieurs equations de bilan local 
dans d'autres domaines

-
de la physique que l'on precisera, donner l'interpretation physique de  et uem 
ainsi que celle du flux

-
de  a travers une surface fermee arbitraire.

-

-
10 -- Retrouver en les justifiant les expressions de E (M,t) et B (M,t) en 
fonction des potentiels

-

-

-
V (M,t) et A (M,t). En deduire l'expression de  (M,t) en fonction des 
potentiels V (M,t) et A (M,t).

-

-
Montrer que les quatre equations de Maxwell en E (M,t) et B (M,t) se reduisent 
a deux equations

-
aux derivees partielles ne faisant intervenir que  (M,t) et c.

-

-

-

-
11 -- Relier chacune des deux grandeurs  (M,t)·  (M,t) et  (M,t)  (M,t) a une 
grandeur
physique connue.

-
12 -- Determiner l'equation de propagation du champ  (M,t). Nommer cette 
equation et en
deduire les equations de propagation du champ electrique et magnetique. Dans le 
cas etudie, le champ

- 
-

-

-
electrique s'ecrit sous forme complexe E (M,t) = E 0 e j( t- k . r ) . En 
deduire la relation de dis
-
persion reliant la norme du vecteur d'onde k = k k k et la pulsation  . 
Determiner l'expression de
-
l'energie du photon E en fonction de sa quantite de mouvement 
p .

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Tournez la page S.V.P.

Propagation de la lumiere

On souhaite determiner la vitesse moyenne de deplacement dans le
vide de l'energie electromagnetique associee a une onde plane monochromatique 
de pulsation  et de vecteur d'onde ~k = kebz . On
considere le cylindre elementaire de longueur d et de section dS
incluse dans le plan d'onde de cote z represente sur la figure 2. Afin
de simplifier le modele, on suppose que l'onde etudiee est polarisee
rectilignement, la representation complexe du champ electrique as
-
socie s'ecrit donc E (M,t) = E0 e j( t-kz) ebx .
F IGURE
2
elementaire

­

Cylindre

D
-E

-
13 -- Exprimer  et huem i, valeurs moyennes temporelles (sur une periode) 
respectives de 
et uem , en fonction de E0 et des constantes utiles. Determiner les deux 
energies moyennes temporelles
sur une periode, celle contenue dans le cylindre elementaire et celle 
traversant l'element de surface
dS pendant le temps dt. En supposant que l'energie electromagnetique se deplace 
dans le vide a la
vitesse moyenne ve =d/dt , deduire des expressions precedemment obtenues dans 
cette question, la
valeur de ve .

II.B. -- Propagation dans un dielectrique
On suppose maintenant que la lumiere se propage dans un dielectrique d'indice 
de refraction constant
n. Cela signifie que les equations de Maxwell sont modifiees en remplacant la 
permittivite du vide 0
par une permittivite n2 0 .
14 -- Quelle est la nouvelle relation de dispersion ? Quelle est la vitesse de 
phase de l'onde ?
15 -- On considere l'interface plane entre
deux dielectriques d'indice n1 et n2 representee
sur la figure 3 . L'interface est dans le plan Oxy,
sa taille suivant l'axe Oy est supposee tres grande
devant sa longueur L suivant l'axe Ox. Une onde
plane de pulsation  arrive avec un angle d'incidence  sur l'interface. On 
modelise l'interface comme une pupille de diffraction suivant
l'axe Ox. Calculer l'eclairement I( ) dans la direction  . Dans quelle 
direction trouve-t-on le
maximum de diffraction ? Conclure. On notera I0 F IGURE 3 ­ Interface entre les 
deux dielectriques
l'eclairement maximum.

II.C. -- Propagation de l'onde lumineuse avec une masse de photon non nulle
On suppose a present et jusqu'a la fin du probleme que le photon possede une 
masse m non nulle.
Dans ce cas, son energie, sa quantite de mouvement et sa masse doivent verifier 
la relation :
E2 = p2 c2 + m2 c4 .

(1)

ou E et p representent toujours l'energie et l'impulsion du photon donnees en 
introduction de la
partie II.
16 -- Quelle est la dimension de la constante  =

h
?
m c

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Physique I, annee 2012 -- filiere PC

17 -- Determiner la nouvelle relation de dispersion entre  , k, c et  . En 
deduire l'equation
aux derivees partielles dont les solutions sont les formulations complexes des 
champs electrique

- 

- 
-
-

-

-

-

-
et magnetique E (M,t) = E 0 e j( t- k . r ) et B (M,t) = B 0 e j( t- k . r ) . 
Cette equation est appelee
 equation de Klein-Gordon .
On souhaite generaliser les equations de Maxwell de maniere a ce qu'elles 
permettent de retrouver l'equation de Klein-Gordon. Pour conserver la linearite 
de ces equations, on effectue deux hypotheses :
­ H1 Les densites de charge et de courant sont modifiees de facon additive par 
l'existence d'une
masse pour le photon
 (M,t) est remplace par  (M,t) + f (M,t)

-

-

-
j (M,t) est remplace par j (M,t) + F (M,t)

-
ou f (M,t) et F (M,t) sont des champs scalaires et vectoriels.

-

-

-
­ H2 L'expression des champs E (M,t) et B (M,t) en fonction des potentiels V 
(M,t) et A (M,t)
n'est pas modifiee par l'introduction de la masse du photon.
18 -- Reecrire les equations de Maxwell dans le vide sous l'hypothese H1 . 
Montrer que l'hypothese H2 n'est pas en contradiction avec ces equations. En 
ecrivant les nouvelles equations de
propagation, montrer que l'on peut fixer des conditions dites de jauge pour 
lesquelles

-

-
A = 1 F et f = 2V
ou l'on determinera 1 et 2 en fonction de  et µ0 ou 0 . On conservera ces 
conditions dans la suite
du probleme.
19 -- Demontrer que

V

-
=  div( A ).
t
ou l'on determinera  en fonction de c. On supposera que cette relation est 
toujours valable dans tout
le reste du probleme.

-
20 -- Determiner les deux equations de Maxwell verifiees par le champ  (M,t). 
En deduire que

-

-
 (M,t), V (M,t) et A (M,t) sont aussi solutions de l'equation de Klein-Gordon.
Une source emet une onde plane progressive se propageant le long de l'axe Oz. 
Elle est decrite
par le potentiel vecteur complexe ~A(M,t) = ~A0 e j( t-kz) et le potentiel 
scalaire complexe V (M,t) =
V0 e j( t-kz) . On decompose ~A0 = ~A|| + ~A ou ~A|| est la projection de ~A0 
sur l'axe de propagation et ~A
est la projection de ~A0 dans le plan perpendiculaire a l'axe de propagation. 
Le vecteur d'onde s'ecrit
~k = kebz .
21 -- Montrer que la relation de dispersion associee a la propagation de cette 
onde s'ecrit sous la
forme k2 c2 =  2 -  p2 ou  p est une pulsation de coupure que l'on determinera.
22 -- Determiner l'expression des vecteurs ~E 0 et ~B0 tels que ~E = ~E 0 e j( 
t-kz) et ~B = ~B0 e j( t-kz) .
On exprimera ~B0 en fonction ~k, ~A|| et/ou ~A puis ~E 0 en fonction en 
fonction de  ,  p , ~A|| et/ou ~A .
Qu'en deduire de la nature transverse du champ electromagnetique si la masse du 
photon est non
nulle ?
23 -- Etudier en fonction de la position de  par rapport a  p , l'existence 
d'une onde progressive.
Calculer dans ce cas la vitesse de phase et en deduire l'evolution d'un paquet 
d'onde.
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Propagation de la lumiere

De nombreuses experiences ont ete effectuees pour determiner l'eventuelle masse 
du photon. Nous
allons en decrire deux.
Un interferometre de Michelson, regle en lame d'air, est eclaire par une onde 
monochromatique de
pulsation  . On place une lentille convergente en sortie de l'interferometre. 
L'axe optique de cette
lentille coincide avec l'axe du bras de sortie de l'interferometre.
24 -- A quel endroit du dispositif doit-on disposer un ecran pour observer des 
franges d'interference ? Caracteriser ces franges. Comment ces franges 
evoluent-elles lorsque l'on translate le
miroir mobile de l'interferometre (on justifiera sa reponse) ? Un capteur 
d'intensite est place au centre
de la figure d'interference. Il detecte N maxima d'intensite lorsque le miroir 
est translate de e. Etablir la relation entre N, e, m ,  et les constantes 
utiles. En deduire une methode de mesure de m .
Qu'est-ce qui limite la precision de cette mesure ?
On peut egalement envisager une experience d'astrophysique. On etudie la 
lumiere emise par une
etoile distante de D = 1000 annees-lumiere et recue par la terre. Les 
pulsations rouge r = 8 1014 rad.s-1
et bleue b = 16 1014 rad.s-1 de cette lumiere peuvent etre associees a deux 
photons l'un dit rouge
et l'autre bleu. L'existence d'une masse pour le photon induit un decalage 
temporel t separant les arrivees de ces deux photons sur le detecteur 
terrestre. L'experience montre que t  10-3 s. On suppose
que r , b   p .
25 -- Determiner la masse du photon en fonction de t et des donnees du 
probleme. En deduire
une limite superieure m l pour la masse du photon.
FIN DE LA PARTIE II
Constantes fondamentales
1
-9 F.m-1 ,
36 10
= 4 .10-7 H.m-1 ,

· Permittivite dielectrique du vide : 0 =
· Permeabilite magnetique du vide : µ0

· Celerite de la lumiere : c = 3.108 m.s-1 ,
· Constante de Planck : h = 6, 62.10-34 J.s et h =

h
= 1, 05.10-34 J.s
2

Formulaire d'analyse vectorielle.
h
i --
-
 -
 
-
-
-
· rot rot ( u ) = grad [div ( 
u )] - 
u,
--
-
 -
-
 -
-
· Si g est un champ scalaire, rot (g 
u ) = g rot (
u ) + grad (g)  
u,
-
 
-

-

-

-
-

-
-
· div [ u  v ] = - u · rot ( v ) + v · rot ( u ),
h
i
h
i 
-- -
-- - 
-- - 
-
 -
 -
-
-v  -
-
· grad (
u .-v ) = 
u  rot ( 
v ) +
rot ( 
u ) + 
u · grad 
v + -v · grad 
u,
-
-v  
-
-
-
-v - (
-
-v ) 
-
· 
u  (
w ) = (
u ·
w )
u .
w,
FIN DE L'EPREUVE

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