Mines Physique 1 PC 2009

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2009
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

LE RAYONNEMENT FOSSILE
Le sujet est compose de quatre parties independantes. Les deux premieres 
parties etudient l'expansion
de l'Univers. La troisieme partie etudie le positionnement d'une sonde 
d'observation du rayonnement
cosmologique. La quatrieme partie approfondit l'etude du rayonnement. Les 
donnees numeriques
-
necessaires sont en fin d'enonce. Les vecteurs sont generalement notes avec une 
fleche, 
v , sauf s'ils
sont unitaires et sont alors surmontes d'un chapeau kb
ex k = 1. Les nombres complexes sont soulignes :
z  C. On notera j2 = -1.

I. -- Expansion de l'Univers
1 -- Expliquer brievement la phrase suivante, souvent utilisee dans les revues 
de vulgarisation
scientifique : plus on regarde loin dans l'Univers, plus on regarde dans le 
passe .
On raisonne dans le cadre de la cinematique classique (non-relativiste). Le 
point O represente un observateur sur la Terre et le point M represente un 
objet celeste (etoile, galaxie, etc.). On considere le
referentiel R ou O est fixe et M est en mouvement. Le milieu interstellaire est 
assimile au vide pour
les ondes electromagnetiques et on note c la celerite de ces ondes dans R.
On convient de ne pas tenir compte de l'attenuation de l'amplitude des ondes au 
cours de leur propagation.
Soit sM (t) le signal electromagnetique emis par le point M a l'instant t. Ce 
signal est recu a l'instant
t  par le point O. On note sO (t) le signal recu par O a l'instant t. On note 
OM = r(t). D'apres les
hypotheses, sO (t  ) = sM (t).
2 -- Exprimer t  en fonction de t, c et de la distance r(t).

LE RAYONNEMENT FOSSILE

-
3 -- L'emetteur M a une vitesse notee 
v (t), de norme v(t) et
--
faisant avec OM un angle  (t) (voir figure 1). L'emetteur emet des
signaux periodiques de periode T . On suppose que la frequence des
signaux est suffisamment grande pour pouvoir negliger les variations
-
de 
v et de  sur une periode. On suppose egalement qu'a chaque
instant t, v(t)T /r(t)  1. Exprimer, au premier ordre, la difference
r(t + T ) - r(t).
4 -- En deduire, toujours au premier ordre, la periode T  des
signaux recus par l'observateur en O. On exprimera T  en fonction
de T , v, c et  .

M
v
r

O
F IG . 1 ­ Geometrie

5 -- On appelle vitesse radiale de M la quantite vr = v cos  . On note  la 
longueur d'onde du
signal emis par M et   la longueur d'onde du signal recu en O. Donner la 
relation qui existe entre  ,
  , vr et c. On mettra cette relation sous la forme   / = 1 + Z. La quantite Z 
ainsi definie s'appelle
le redshift.
6 -- On suppose que M se rapproche de O. Si M emet une longueur d'onde  situee 
dans le jaune
( = 585 nm), la longueur d'onde   recue en O est-elle decalee vers le rouge ou 
bien decalee vers
le bleu par rapport a  ? On justifiera la reponse.
En 1929, le physicien Edwin Hubble a releve
le spectre de la lumiere issue des galaxies dont
la distance a la Terre etait connue. En comparant ces spectres a ceux 
d'elements chimiques
connus, il en a deduit le redshift Z de ces
galaxies. Les points experimentaux pour plusieurs galaxies sont representes sur 
la figure 2.
En notant d la distance Terre-galaxie et vr la
vitesse radiale de la galaxie par rapport a la
Terre, les mesures suggerent une loi lineaire
du type vr = H × d. Cette loi porte le nom de
loi de Hubble et H s'appelle la constante de
Hubble (le mot constante signifie qu'il s'agit
d'une constante par rapport a l'espace et non
dans le temps).
F IG . 2 ­ Loi de Hubble
d
Z × 102

0,87

1,05

1,56

1,76

2,11

2,26

2,48

2,77

3,92

4,59

4,30

5,32

6,92

7,21

11,22

14,47

0,71

0,83

1,06

1,23

1,67

1,72

1,92

1,92

2,68

2,93

3,23

3,69

4,55

4,95

7,42

10,00

Donnees experimentales ayant permis la construction de la figure 2, d est 
exprimee en unite de 1024 m.

7 -- Donner une estimation numerique de H en unites du systeme international, 
puis en km.s-1 par
million d'annees-lumiere. Que signifie cette unite. On ne s'offusquera pas du 
fait que la loi de Hubble
puisse donner des vitesses radiales depassant c pour des galaxies tres 
eloignees. Cette impossibilite
n'apparait pas lorsque les phenomenes relativistes sont pris en compte.
8 -- La loi de Hubble suggere que l'Univers soit en expansion. Le modele du 
big-bang permet
de postuler que cette expansion a commence depuis un temps fini et donc que 
l'Univers peut se voir
attribuer un age. Avec des arguments qualitatifs simples, expliquer pourquoi 
l'inverse de la constante
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Physique I, annee 2009 -- filiere PC

de Hubble est un bon ordre de grandeur de l'age de l'Univers. Estimer 
numeriquement l'age de
l'Univers en milliards d'annees.
9 -- Dans cette question, on veut savoir si l'expansion de l'Univers va un jour 
s'arreter ou non.
Pour cela, on modelise l'Univers par une boule homogene de masse volumique  
constante et dont
le rayon R(t) suit la loi d'expansion de Hubble. On considere une galaxie 
(supposee ponctuelle) de
masse m situee a la surface de la boule et s'eloignant radialement a la vitesse 
R = dR/dt du centre de
la boule. Exprimer l'energie mecanique de cette galaxie. En deduire qu'a partir 
d'une certaine masse
volumique de l'Univers, notee c , la galaxie ne pourra pas s'eloigner 
indefiniment. Exprimer c en
fonction de la constante de gravitation G et de la constante de Hubble H = R/R.
10 -- Donner la valeur numerique de c . Les observations de la matiere visible 
de l'Univers
donnent une masse volumique moyenne   3 × 10-28 kg.m-3 . D'apres cette donnee, 
l'expansion
durera-t-elle indefiniment ?
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Le rayonnement fossile
II.A. -- Proprietes generales
Des 1948, le physicien Gamow a prevu que le big-bang a
du laisser une trace dans l'Univers sous forme de rayonnement 
electromagnetique, appele rayonnement fossile. Ce
rayonnement a ete decouvert en 1962 par Penzias et Wilson (prix Nobel 1978). La 
densite volumique w d'energie
electromagnetique de ce rayonnement par unite de longueur
d'onde  est representee sur la figure 3.
11 -- Quel type d'ondes electromagnetiques est associe
au rayonnement fossile ? On justifiera la reponse en donnant des ordres de 
grandeur connus.
F IG . 3 ­ Spectre du rayonnement fossile
La courbe de la figure 3 a exactement la meme forme que celle correspondant a 
l'emission d'un
corps chauffe (braise chaude, interieur d'un four etc.). Pour ce type de 
rayonnement, la longueur
d'onde m au maximum d'emission est liee a la temperature T du corps chauffe par 
la loi de Wien :
m × T = constante  2, 9 mm.K. Par abus de langage, T est appelee temperature du 
rayonnement.
12 -- Determiner la temperature actuelle du rayonnement fossile.
On decide qu'a chaque instant depuis son emission, on peut identifier la 
temperature de l'Univers a
celle du rayonnement fossile.
13 -- Le rayonnement fossile est le resultat d'un processus physique qui s'est 
deroule pendant
une phase tres breve de l'histoire de l'Univers durant laquelle sa temperature 
T valait environ 3000 K.
En admettant que les longueurs d'onde aient subi la meme dilatation que 
l'Univers, de quel facteur
l'Univers s'est-il dilate entre le moment de l'emission du rayonnement fossile 
et aujourd'hui ?

II.B. -- Proprietes thermodynamiques
On montre que la densite volumique d'energie electromagnetique par unite de 
frequence  associee
au rayonnement contenu dans une enceinte dont les parois sont a la temperature 
T et reflechissent
parfaitement ce rayonnement s'ecrit idealement
w ( , T ) =

1
8 h 3

c3 exp h - 1
kB T

ou h est la constante de Planck, c la celerite de la lumiere et kB la constante 
de Boltzmann.
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Tournez la page S.V.P.

LE RAYONNEMENT FOSSILE

14 -- Quelle est l'unite de w ? Montrer que la densite volumique totale 
d'energie electromagnetique
u du rayonnement se met sous la forme u = aT  , ou  est un nombre entier que 
l'on precisera et a
une constante que l'on exprimera en fonction de kB , h et c et dont on 
precisera la valeur numerique.
On rappelle que
Z 
x3
4
dx
=
x
15
0 e -1
L'Univers est assimile a une enceinte spherique de rayon R et de volume V . On 
admet que le rayonnement fossile est modelisable par un gaz a la temperature T 
et dont la pression p verifie l'equation
d'etat p = u/3, ou u designe toujours la densite volumique totale d'energie 
electromagnetique introduite a la question 14. Cette hypothese sera justifiee 
dans la partie IV. A cause de l'expansion de
l'Univers, ce gaz subit une detente adiabatique supposee quasistatique.
15 -- Demontrer que, dans ce modele, le rayon R de l'Univers et sa temperature 
T obeissent a une
relation du type R × T = constante. On ne demande pas d'exprimer la constante.
FIN DE LA PARTIE II

III. -- La sonde Planck
Afin d'etudier certaines proprietes du
rayonnement fossile, l'Agence Spatiale
Europeenne va placer en orbite la sonde
Planck dans le courant du mois d'avril
2009 ! De maniere a ce qu'elle ne soit
pas eblouie par le soleil lors des mesures, cette sonde a ete placee dans le
cone d'ombre de la Terre situe a l'oppose
du Soleil, comme indique sur la figure 4
(cette figure ne respecte pas les echelles).

F IG . 4 ­ Position de la sonde

16 -- Donner la position du centre de masse du systeme Terre-Soleil. Estimer 
l'erreur relative que
l'on commet si on assimile le centre du Soleil au centre de masse Terre-Soleil.
Desormais, on considere que le centre de masse du systeme Terre-Soleil et 
confondu avec le centre
du Soleil. Le referentiel heliocentrique sera considere comme galileen. On 
assimile la Terre a un
point de masse MT se deplacant sur une trajectoire circulaire de rayon r autour 
du Soleil. On neglige
l'influence des astres autres que le Soleil.
17 -- Montrer que la Terre tourne a vitesse constante autour du Soleil. 
Exprimer la periode T de
rotation de la Terre autour du Soleil ainsi que la vitesse angulaire  de cette 
rotation en fonction de la
constante de la gravitation universelle G , r et de la masse MS du Soleil. 
Calculer la valeur numerique
de T .
La sonde devant toujours etre situee dans le cone d'ombre de la Terre, on 
travaillera desormais dans
le referentiel R  centre sur le Soleil S, en rotation a la vitesse angulaire  
par rapport au referentiel
heliocentrique galileen. La Terre est donc fixe dans R  . Dans le referentiel R 
 , on choisit un repere
-
cartesien orthonorme direct (S, ebx , eby , ebz ). Le vecteur rotation 
 =  ebz est tel que  > 0. Le plan
(S, ebx , eby ) est le plan de revolution de la Terre autour du Soleil.

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Physique I, annee 2009 -- filiere PC

On ne s'interesse qu'aux cas ou la sonde est
dans ce plan. La vitesse de la sonde dans R  est
supposee toujours assez faible pour que la force
d'inertie de Coriolis soit negligee. On note m
la masse de la sonde, r la distance Terre-Soleil,
rT = T M la distance sonde-Terre, rS = SM la
distance sonde-Soleil, et ebr le vecteur unitaire
qui pointe du Soleil vers la sonde

F IG . 5 ­ Referentiel lie a la Terre

18 -- Montrer que l'equation du mouvement de la sonde dans R  s'ecrit
-
-----
d2 SM
m 2 = -grad (E p )
dt
ou E p est une energie potentielle dont on donnera l'expression en fonction de  
, m, MS , MT , rS et rT .
Les positions d'equilibre de la sonde dans R  correspondent aux extrema de E p 
, on montre qu'il en
existe cinq, toutes contenues dans le plan (S, ebx , eby ). Ces positions sont 
appelees points de Lagrange.
19 -- Montrer qu'il existe trois points de Lagrange sur l'axe (S, ebx ). Puis, 
a l'aide d'arguments
energetiques, preciser si ces points d'equilibre sont stables ou instables 
vis-a-vis de perturbations
dans la direction ebx .
On s'interesse au point de Lagrange L2 , situe sur l'axe (S, ebx ) dans le cone 
d'ombre a l'oppose du
Soleil par rapport a la Terre (voir figure 4). On note  la distance entre le 
centre de la Terre et L2 .
20 -- Donner, sans la resoudre, l'equation algebrique verifiee par . En faisant 
l'hypothese que
  r, trouver une expression litterale approximative de , et en deduire sa 
valeur numerique. Verifier
a posteriori l'hypothese sur .
Il est possible de montrer que L2 est stable vis-a-vis de perturbations dans 
les directions eby et ebz . On
considerera donc, pour simplifier, que tout se passe comme si la sonde etait 
astreinte a se deplacer
uniquement sur l'axe (S, ebx ), sans frottement .
21 -- La sonde etant placee en L2 , on envisage une petite perturbation de sa 
position de la forme

-
 (t) =  (t)b
ex . Ecrire l'equation differentielle verifiee par  (t). Lineariser cette 
equation en supposant
qu'a chaque instant t on puisse ecrire r     (t). On fera apparaitre dans 
l'equation linearisee un
temps caracteristique  dont on donnera l'expression litterale en fonction de r, 
G et MS . En deduire
un ordre de grandeur numerique de l'intervalle de temps separant deux 
repositionnements consecutifs
de la sonde Planck.
FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Pression de radiation
Le but de cette partie est de justifier l'expression de l'equation d'etat du 
rayonnement utilisee dans
la partie II.B. Le rayonnement cosmologique peut etre considere comme une 
superposition d'ondes
electromagnetiques planes progressives monochromatiques de frequences et de 
directions de propagation differentes. On note u l'energie du rayonnement par 
unite de volume, moyennee en temps
et en espace et p la pression de radiation, c'est-a-dire la force par unite de 
surface, moyennee en
temps, qu'exercerait le rayonnement sur les parois parfaitement reflechissantes 
d'une enceinte qui le
contiendrait. Avec ces notations, on veut etablir l'equation d'etat du 
rayonnement : p = u/3. Pour cela,
on commence par etudier la reflexion d'une onde electromagnetique 
monochromatique en incidence
oblique sur un miroir metallique parfaitement conducteur.
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LE RAYONNEMENT FOSSILE

L'espace est rapporte au repere orthonorme direct (O, B) avec
B = (b
ex , eby , ebz ). Le demi-espace x < 0 est le vide et le demiespace x > 0 est 
rempli par un metal de conductivite electrique
infinie. L'onde incidente est une onde plane progressive monochromatique de 
pulsation  , de longueur d'onde  , polarisee rectilignement dans la direction 
ebz et se propageant dans la direction

-
donnee par le vecteur d'onde k i = k cos( ) ebx + k sin( ) eby ou
k = 2 / .

Figure 6

En un point M de coordonnees (x, y, z) dans B, a l'instant t et en 
representation complexe, le champ
electrique de cette onde incidente s'ecrit :

- --

-
E i (M,t) = E0i ej( t- k i .OM) ebz

ou

E0i = cste  R+ et j2 = -1.

-
22 -- Determiner la representation complexe des composantes du champ magnetique 
B i de l'onde
incidente dans B.
Cette onde provient des x < 0. Elle rencontre en x = 0 le miroir metallique parfaitement conducteur et donne naissance a une onde plane reflechie, caracterisee par sa pulsation r , ses champs electrique - - - E r et magnetique B r , ainsi que par son vecteur d'onde k r . La representation complexe du champ electrique associe a cette onde s'ecrit : ( - - - - -- - - E 0r = cste j(r t- k r .OM) E r (M,t) = E 0r e avec - k r = krx ebx + kry eby + krz ebz 23 -- Justifier que le champ electrique est toujours nul dans le metal. En traduisant les conditions aux limites sur le champ electrique en x = 0, montrer que la pulsation de l'onde reflechie est la meme - que celle de l'onde incidente, puis determiner les composantes de k r dans B en fonction de k et  . Que constatez-vous ? - 24 -- Montrer que E 0r = -E0i ebz . Donner alors l'expression dans B de la representation complexe - - du champ E r de l'onde reflechie. En deduire, toujours dans B celle de B r dans . 25 -- En utilisant les resultats obtenus precedemment, determiner les expressions reelles du champ - - electrique E et du champ magnetique B resultant de la superposition des ondes incidente et reflechie dans le demi-espace x < 0. On exprimera les resultats dans B. 26 -- Determiner l'expression de u, definie comme la moyenne temporelle et spatiale de la densite volumique d'energie de l'onde resultante. Cette expression fait-elle intervenir ? - 27 -- On note j s l'expression reelle de la densite de courant surfacique qui prend naissance sur la surface x = 0 du miroir. A l'aide des conditions aux limites relatives au champ magnetique en x = 0, - determiner les composantes de j s dans B. 28 -- Un element d'aire dS de la surface x = 0 du miroir est soumis a la force elementaire - - - d F = 12 j s  B dS. Preciser ce que represente cette force et justifier la presence du facteur 12 dans l'expression. Calculer la valeur moyenne temporelle p de la quantite - dF .b ex . = dS Cette quantite p = h it est appelee pression de radiation d'une onde sous l'incidence  . Page 6/7 Physique I, annee 2009 -- filiere PC 29 -- L'onde incidente peut arriver de la region x < 0 sur le miroir dans toutes les directions possibles (en trois dimensions). En supposant que toutes les directions sont equiprobables, donner l'expression de la pression de radiation p, qui est definie comme la moyenne sur toutes les directions de p . En deduire l'equation d'etat du rayonnement. 30 -- L'equation d'etat du rayonnement a ete etablie pour un rayonnement monochromatique. Justifier qu'elle reste valable pour un rayonnement polychromatique. Remarque : l'etude de cette partie a traite uniquement le cas ou l'onde incidente etait polarisee perpendiculairement au plan d'incidence. Cependant, le meme resultat final serait obtenu pour une onde dont la direction de polarisation est contenue dans le plan d'incidence. FIN DE LA PARTIE IV FIN DE L'EPREUVE Notations et valeurs numeriques ­ masse du Soleil : MS  1, 99 × 1030 kg ; ­ masse de la Terre : MT  5, 97 × 1024 kg ; ­ distance Terre-Soleil : r  1, 49 × 1011 m ; ­ constante de gravitation universelle : G  6, 67 × 10-11 kg-1 .m3 .s-2 ; ­ celerite de la lumiere dans le vide : c  3, 00 × 108 m.s-1 ; ­ constante de Planck : h  6, 62 × 10-34 J.s ; ­ constante de Boltzmann : kB  1, 38 × 10-23 J.K-1 ; ­ permittivite electrique du vide : 0  8, 85 × 10-12 F.m-1 ; ­ permeabilite magnetique du vide : µ0 = 4 × 10-7 H.m-1 . Page 7/7