Mines Physique 1 PC 2008

Thème de l'épreuve Quelques oscillations
Principaux outils utilisés mécanique du solide, électrocinétique
Mots clefs oscillations, modes propres, analogie mécanique-électrocinétique, rail, sphère

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2008
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PC
(Duree de l'epreuve : 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, Telecom 
SudParis (ex INT),
TPE­EIVP, Cycle international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PC.
L'enonce de cette epreuve comporte 4 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

QUELQUES OSCILLATIONS
Dans tout ce probleme, les vecteurs sont surmontes d'un chapeau ab s'ils sont 
unitaires, d'une fleche

-
a dans le cas contraire. Les nombres complexes sont soulignes : z  C.
Lorsqu'une bille spherique roule sur une piste de forme circulaire suspendue en 
un point, le couplage
entre la bille et la piste engendre un mouvement spectaculaire, objet de ce 
probleme.
Une sphere homogene, de centre C, de rayon r et de masse m, est mobile dans un 
plan vertical en
restant en contact avec un rail PP , de masse M, que l'on modelise par une 
portion de cercle de centre
O et de rayon R, dont l'axe de symetrie est vertical.
Le moment d'inertie de la sphere par rapport a un axe passant par C est J = 
2mr2 /5.
Le
fixe orthonorme direct Rg =
 referentiel

O, bi, b
j, b
k ou bi est vertical dirige vers le

Figure 1 : Sphere mobile sur un rail fixe

bas est suppose galileen (voir Figure 1). On
pourra egalement utiliser les vecteurs mob representes sur
biles polaires unitaires b
r et 
la Figure 1. Le mouvement de la sphere est
repere par deux parametres : l'angle  que
-
fait OC avec bi et l'angle de rotation  autour
de l'axe horizontal qui porte b
k. A chaque instant t, on appelle I le point de contact de la
sphere avec le rail. On note A le point du rail
situe sur son axe de symetrie. L'acceleration
-
de la pesanteur est 
g = gbi.

QUELQUES OSCILLATIONS

I. -- Rail fixe
-
La sphere roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos 
et OC fait un angle o avec
bi. Le systeme comprend deux degres de liberte cinematiques,  et  .
1 -- Ecrire la condition de roulement sans glissement de la sphere sur le rail 
sous la forme d'une
relation lineaire liant r, R,  = d  /dt et  = d  /dt. Controler la pertinence 
de la relation obtenue,
d'une part en comparant les signes respectifs de  et de  , et d'autre part en 
analysant la situation
lorsque r = R.
2 -- Determiner l'expression de l'energie mecanique totale Et du systeme. En 
deduire l'equation
differentielle verifiee par la fonction  (t).
3 -- Determiner la periode Tpo des petites oscillations.
On considere deux rails circulaires de meme rayon R. Sur chaque rail, on place 
a l'instant initial une
sphere de rayon r, de masse m en des points reperes par le meme angle o 
(situation deja representee
sur la Figure 1). Les spheres sont lachees au meme instant, avec une vitesse 
initiale nulle. Les deux
rails sont de nature differente, de sorte que la premiere sphere roule sans 
glisser et que la seconde
glisse sans rouler.
4 -- En utilisant des arguments energetiques qualitatifs, determiner quelle est 
la sphere qui arrive
la premiere au point le plus bas A. Le resultat est-il modifie si les masses 
des spheres sont differentes ?
5 -- Etablir une expression integrale du temps  mis par la sphere la plus 
rapide pour atteindre le
point A. Comment peut-on, sans calcul supplementaire, obtenir le temps   mis 
par la sphere la plus
lente pour atteindre ce point ? Determiner le rapport   / .
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Rail suspendu
Les points P et P sont attaches en O par
des fils inextensibles de masse negligeable,
ce qui permet au rail d'osciller autour de
l'axe horizontal passant par O. La position
du milieu A du rail est reperee par l'angle
 represente sur la Figure 2. Le centre de
masse G du rail se trouve a chaque instant
sur la droite OA a une distance  de O. On
note J  = MR2 le moment d'inertie du rail
par rapport a son axe de rotation. On appelle
respectivement N et T les composantes de
la force de reaction du rail sur la sphere au
b . La sphere roule sans glispoint I selon b
r et 
Figure 2 : Sphere mobile sur un rail suspendu
ser sur le rail, qui est maintenant en forme de
Les angles  et  sont mesures par rapport a la verticale
quart
de cercle, les grandeurs  et  sont les
-
et l'on note OG = 
memes que celles utilisees dans la partie I.

II.A. -- Description du mouvement
6 -- Ecrire la condition de roulement sans glissement reliant  ,  et  = d  /dt.
- de la sphere en C et en deduire l'expression du
7 -- Exprimer dans Rg le moment cinetique 
1C
-- de la sphere en O.
moment cinetique 
1O
-- du rail en O.
8 -- Exprimer dans Rg le moment cinetique 
2O
9 -- Exprimer dans Rg , l'energie cinetique ECS de la sphere, l'energie 
cinetique ECR du rail et enfin
l'energie cinetique ECT de l'ensemble rail-sphere.
Page 2/4

Physique I, annee 2008 -- filiere MP

10 -- Appliquer le theoreme du moment cinetique en O a l'ensemble rail-sphere 
et en deduire une
equation differentielle liant les fonctions  (t) et  (t).
11 -- Appliquer le theoreme du moment cinetique en C a la sphere seule et en 
deduire l'expression
de T en fonction de  = d 2  /dt 2 , puis, en utilisant le resultat de la 
question 6, en fonction de  =
d 2  /dt 2 et  = d 2  /dt 2 .
12 -- Appliquer le theoreme du moment cinetique en O au rail seul et en deduire 
la relation
differentielle
A

d2
d2
-
B
= -Mg sin 
dt 2
dt 2

(1)

On exprimera la constante A en fonction de M, m et R et la constante B en 
fonction de m, r et R
13 -- Deduire des resultats precedents la relation
A

d2
d2
-
B
= -mg (R - r) sin 
dt 2
dt 2

(2)

On exprimera la constante A en fonction de m, r et R. Verifier que l'equation 
(2) est en accord avec
le resultat de la question 2.
14 -- Retrouvez les equations (1) et (2) a partir de considerations 
energetiques. Demontrer que
AA > B2 .
15 -- Que traduit l'absence de termes en  et  dans les equations (1) et (2) ?

II.B. -- Modes d'oscillation
On considere dans cette sous-partie que les angles  et  sont l'un et l'autre 
voisins de zero, ce qui
permet de lineariser les equations (1) et (2). On pose D = Mg et D = mg (R - 
r). On cherche les
solutions du systeme linearise sous la forme

 (t) = Re o e

i t

i t
et  (t) = Re o e

(3)

ou o et o sont deux nombres complexes, i2 = -1.
On appelle pulsation propre du systeme tout reel positif  qui permet d'obtenir 
des solutions non
nulles du systeme linearise sous la forme (3).
16 -- Determiner les pulsations propres 1 et 2 du systeme (1 > 2 ) en fonction 
de A, A , B, D
et D .
On considere dorenavant que les conditions initiales du systeme sont

 (t = 0) = o et  (t = 0) =  (t = 0) =  (t = 0) = 0

(4)

17 -- Montrer que si o 6= 0, la solution  du systeme linearise est une fonction 
de la forme
 (t) =  [cos (1t) - cos (2t)]. On ne cherchera pas forcement a determiner la 
constante  en fonction des parametres du systeme.

Page 3/4

Tournez la page S.V.P.

QUELQUES OSCILLATIONS

On realise le montage experimental de la
Figure 2 avec les parametres physiques
suivants
r = 1, 27 × 10-2 m, R = 19 × 10-2 m
M = 90 × 10-3 kg, m = 67 × 10-3 kg
 = 17, 7 × 10-2 m, g = 9, 81 m.s-2
On dispose d'un systeme de mesure qui
permet d'enregistrer la valeur de l'angle
 en fonction du temps. Pour des conditions initiales du type (4), avec o 
suffisamment faible, on obtient l'enregistrement represente sur la Figure 3.

Figure 3 : Enregistrement de  en radians
en fonction de t en secondes
18 -- Determiner a partir de la Figure 3, une valeur approximative des 
pulsations propres du
systeme experimental. Cette estimation est-elle compatible avec les valeurs 
theoriques ?
FIN DE LA PARTIE II

III. -- Oscillations electriques

Figure 4 : Oscillateur electrique

19 -- On considere le montage electrique de
la Figure 4. Trouver les equations differentielles
verifiees par les charges q1 (t) et q2 (t) des deux
condensateurs.
20 -- Quel est le lien entre ce montage et
l'oscillateur mecanique de la partie II. Relier les
constantes A, A , B, D et D de la partie II aux caracteristiques des composants 
du montage de la Figure 4.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'EPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Jimmy Mullaert (École Polytechnique) et Jean-Julien Fleck (Professeur 
en
CPGE).

Ce sujet, intitulé « Quelques oscillations », aborde comme on peut s'y attendre 
la
physique des oscillations. C'est essentiellement un sujet de mécanique du 
solide qui
s'achève sur une analogie électrocinétique.
L'énoncé est court puisqu'il ne comporte que vingt questions, mais le traiter en
totalité prend du temps car il exige de nombreux calculs. Notons cependant que
l'énoncé incite les candidats à commenter physiquement les résultats obtenus. 
Il y
a en effet de nombreux points à discuter et ces discussions, prises en compte 
dans
le barème, rendent le sujet intéressant. Ces analyses supplémentaires, bien que 
non
obligatoires, sont un atout indéniable dans une copie. Le sujet est composé de 
trois
parties.
· La partie I est classique et simple puisqu'il s'agit de retrouver la période 
des petites oscillations d'une sphère roulant sans glisser sur un rail de forme 
circulaire
et fixe. Les deux dernières questions permettent d'exercer son sens physique.
· La partie II, de loin la plus calculatoire, traite de la même problématique, 
mais
cette fois le rail peut tourner librement. La partie II.A permet de vérifier la
connaissance des théorèmes généraux de la mécanique du solide (théorèmes
du moment cinétique et de la puissance cinétique). La partie II.B n'est en soi
pas très difficile et aborde les modes propres d'oscillation. Ceux-ci ne sont 
pas
explicitement au programme de physique, de sorte qu'il faut réussir à faire le
lien avec le cours de mathématiques sur les systèmes d'équations différentielles
linéaires à coefficients constants. Cette partie se termine par la seule 
application
numérique du problème.
· La partie III, très courte, étudie en deux questions une analogie avec un 
circuit
électrocinétique. Elle est facile et peut être abordée même sans avoir traité ce
qui précède. Il faut être capable de s'en rendre compte le jour du concours, ce
qui demande de parcourir le sujet jusqu'au bout dès le début de l'épreuve.
Malgré sa relative facilité, cette épreuve a pu dérouter certains candidats car
l'énoncé ne fournit aucun résultat intermédiaire. Un tel sujet demande une bonne
maîtrise des calculs. C'est un très bon problème de révision, de difficulté 
progressive,
de la mécanique au programme de deuxième année.

Indications
Partie I
2 Prouver que l'énergie mécanique totale est une constante du mouvement.
4 Pour la seconde sphère, commencer par montrer que le glissement sans roulement
impose l'absence de frottements. En déduire que dans les deux cas le système est
conservatif. En quoi est alors convertie l'énergie potentielle de pesanteur 
initiale ?
5 Écrire la conservation de l'énergie mécanique entre le point de départ et le 
point
d'arrivée A, puis séparer les variables. Montrer que pour la sphère qui roule, 
tout
se passe comme si elle était soumise à une accélération de la pesanteur 
effective
plus petite que g d'un facteur 5/7.
Partie II
7 À partir de cette question, remplacer  par son expression en fonction de  et .
10 Faire un bilan des actions mécaniques extérieures.
13 Soustraire l'équation (1) à l'équation obtenue à la question 10, afin 
d'éliminer le
terme -Mg sin .
14 Pour retrouver l'équation (1), appliquer le théorème de la puissance 
cinétique au
rail. Écrire ensuite la conservation de l'énergie mécanique du système 
rail-sphère,
dériver l'équation obtenue, montrer que le terme en  est nul d'après (1), puis
conclure.
16 Un système linéaire sans second membre n'admet de solution non nulle que si 
le
déterminant associé est nul. Montrer que l'équation bicarrée ainsi obtenue admet
bien deux solutions réelles positives. La positivité de AA - B2 ne sert pas à
montrer que le discriminant est positif.
17 Montrer que, pour chaque mode propre, les coefficients  0 et 0 ne sont pas
indépendants. La solution la plus générale étant la superposition des deux modes
propres, utiliser pour finir les conditions initiales, en utilisant la notation 
réelle.
18 Écrire (t) sous forme d'un produit de deux sinus.
Partie III
19 Faire attention aux conventions choisies pour les courants et les positions 
des
charges et aux signes qui en découlent.

Quelques oscillations
I. Rail fixe
1 La sphère S roule sans glisser sur le rail R si la vitesse de glissement est 
nulle

-
-

vg = -
v IS - -
v IR = 0
où I  S est le point de la sphère (notée S) coïncidant avec I, I  R celui du 
rail

-

(noté R) coïncidant avec I. Le rail étant fixe, -
v IR = 0 . En outre, la formule
de Varignon (ou relation fondamentale de la cinématique du solide) appliquée aux

points C et I de la sphère, dont le vecteur rotation a pour expression -
 =  b
k, donne
h
i

-
 -
-
b
v IS = -
v
b + ( b
k)  (r rb) = (R - r) + r 
C +   CI = (R - r) 
On en déduit la condition de roulement sans glissement
(R - r) + r = 0
La formule ci-dessus montre que  et  sont de signes opposés, ce qui est logique
car lorsque  augmente, la sphère tourne dans le sens conventionnel associé à -b
k,
autrement dit  diminue.
Lorsque r = R, on obtient  = 0. Or, la condition r = R signifie que le rail 
épouse
la forme de la sphère (d'où une infinité de points de contact). La sphère peut 
alors
uniquement tourner autour de l'axe fixe (C, b
k) : on a une liaison pivot. Dans ce cas,
une rotation se fait obligatoirement avec glissement. La sphère se doit donc de 
rester
immobile, soit  = 0.
Faisons une remarque physique de plus. Si R  , le rail devient asymptotiquement 
une droite et on trouve que  = 0, ce qui est logique puisque le point O est
situé à l'infini.
Dans cette question et dans la suite, on se place uniquement dans le référentiel
du laboratoire Rg , supposé galiléen. On ne le précise donc pas 
systématiquement. Notons de plus une imprécision de l'énoncé qui confond la 
notion de
référentiel et celle de repère.
2 L'énergie mécanique totale du système, notée Et , est la somme des énergies 
cinétique et potentielle de pesanteur. On peut ne considérer que la sphère, 
puisque le rail
est immobile et a une énergie cinétique nulle et une énergie potentielle de 
pesanteur
constante. L'énergie cinétique se calcule à l'aide du théorème de König (on 
note avec
une étoile les grandeurs dans le référentiel barycentrique)
Ec =
Avec J =

1 -
1
1 2
2

2 2
mv
C + Ec = m(R - r)  + J
2
2
2

2 2
mr et r = -(R - r) (d'après
5

1
2 2
Ec = m(R - r)  1 +
2

la question précédente), on trouve aussi

2
7
=
m(R - r)2 2
5
10

L'énergie potentielle de pesanteur vaut, à une constante additive sans 
importance
près, Ep = -mgxC où xC est la coordonnée selon bi du centre de la sphère. Le 
signe
moins provient de l'orientation vers le bas de l'axe des x. Ainsi, toujours à 
une
constante près,
Ep = -mg(R - r) cos 
Finalement, l'énergie mécanique totale a pour expression
Et = Ec + Ep =

7
m(R - r)2 2 - mg(R - r) cos 
10

Les actions de contact ne travaillent pas car le roulement s'effectue sans 
glissement, si bien que l'énergie mécanique totale est constante, soit

dEt
7
2
= 0 =  m(R - r)  + mg(R - r) sin 
dt
5
Or,  n'est pas identiquement nul, donc le terme entre crochets est forcément 
nul.
Après simplification de l'équation ainsi obtenue, on obtient
 +

5 g
sin  = 0
7R-r

3 Si l'angle  reste « petit », un développement limité à l'ordre un du sinus 
donne
r
5 g
2
 +  po  = 0
avec
 po =
7R-r
Cette équation d'oscillateur harmonique a pour période
r
2
7R-r
Tpo =
= 2
 po
5 g
Remarquons que cette période est celle d'un pendule simple, de longueur R - r,
mais soumis à une accélérationpde la pesanteur effective geff = 5g/7 plus 
petite que g
puisque dans ce cas Tpo = 2 (R - r)/geff .
4 Pour les deux situations considérées dans l'énoncé, le mouvement est 
conservatif
et on ne peut par conséquent pas invoquer la dissipation pour expliquer qu'un 
des
mouvements est freiné. En effet, pour la première sphère, le roulement se fait 
avec
frottements solides, mais sans glissement et l'énergie mécanique totale est 
conservée
(comme à la question 2). Pour la seconde sphère, il n'y a aucun frottement, car 
une
force de frottement parallèle à 
b aurait un moment en C non nul (contrairement
au poids et à la réaction normale du rail). Le théorème du moment cinétique 
barycentrique impliquerait que le moment cinétique change au cours du mouvement,
d'où une vitesse angulaire non constamment nulle. Ceci serait en contradiction 
avec
l'hypothèse que la seconde sphère glisse sans rouler.
L'absence de rotation de la seconde sphère montre qu'on peut étudier son
mouvement grâce aux outils de la mécanique du point.
La conservation de l'énergie mécanique Et = Ec + Ep , dans les deux cas, montre
que l'énergie potentielle est convertie en énergie cinétique, entre le point de 
départ
et le point d'arrivée A. Or, l'énergie cinétique est composée de deux termes 
d'après