Mines Physique 1 PC 2007

Thème de l'épreuve Corde pesante et vibrante
Principaux outils utilisés mécanique, physique des ondes
Mots clefs corde, ondes mécaniques, chute, barycentre, puissance mécanique, cinématique, parabole, ondes stationnaires, poids apparent, énergie cinétique, équation de d'Alembert, relation de dispersion

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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A 2007 PHYS. 1 PC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SEES,
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE LESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2007
PREMIERE EPREI WE DE PHYSIQUE
Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : EN SAE (Statistique), EN STIM, INT, 
TPE--BNP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner defaçon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 1 -PC
L'énonce' de cette épreuve comporte 5 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit
sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à 
prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques qui vous sembleront perti--
nents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de 
rédaction de la copie.

; vecteur unitaire --> â. Le

Notations vectorielles: Vecteur _) A ; norme du vecteur A --> A (italique) ou "A

vecteur unitaire correspondant à la coordonnée c est noté 6 ; par exemple 9 est 
le vecteur unitaire correspondant
àla coordonnée 9 en coordonnées cylindriques.

Dans toute l'épreuve, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signifie donner la valeur numérique.

CORDE PESAN TE ET VIBRAN TE

Ce problème comporte cinq parties, largement indépendantes.

Rappel d 'éle'ments de cours :
o Le point O étant quelconque, le centre de masse G d'un système de deux points 
matériels M1 et M2 de masses respec--

tives m1 et rn2 vérifie(m1 + m2)(Ê = m1 @ + m2 0--ng .
o Le centre de masse G d'un système matériel filiforme dont la masse totale mr 
est répartie le long d'une courbe (P)
selon une densité linéique ,a vérifie la relation mT O_G = (f)... ,a (P) (Î dÊ 
P , Où P est un point courant de (P)
et dÊ P la portion élémentaire de (P) centrée en P.
o Le théorème du centre de masse s'applique à (P) sous la forme mT a(G) = Ëext 
, Où £ (G) est l'accélération de
G dans un référentiel galfléen et Ëext la résultante des forces extérieures.
Dans tout le problème, l'objet de l'étude est une corde AB de longueur L, 
parfaitement flexible et sans frottements

internes, de section négligeable, homogène de masse totale rnT et de densité 
linéique uniforme ,u . On l'étudie

dans un plan vertical défini par le repère (O, x, z) (voir Fig. 1) dont la 
définition varie d'une partie à l'autre et qui est
choisie en fonction de la configuration du problème étudié. On sera donc 
attentif à l'orientation de l'axe OZ.
On appelle G le centre de masse de la corde.

Page 1/5

Physique I 2007 ; filière PC.

A : ÉTUDE CINÉMATIQUE D'UN MOUVEMENT BOEIRECTIONNEL

Première expérience

La corde AB est posée le long de l'axe Ox d'une table horizontale (Fig. 1). On 
soulève l'extrémité B avec une vi--
tesse verticale constante vo , la corde se déplaçant dans le plan vertical O(x, 
z), avec le vecteur unitaire î orienté

vers le haut (Fig. 2). À l'instant t, l'ordonnée de B est donc z = v0t (vo = "% 
||). On admettra que tous les

points de la corde qui sont en contact avec la table sont au repos et on 
conviendra que la corde est coudée en angle
droit au point C de la corde situé sur la table, à l'aplomb du point B (ce qui 
revient à négliger la courbure en C).

On note G1 la position du centre de masse G de la corde tant que cette dernière 
est sur la table et G2 la position

de G quand la corde est totalement verticale.

, _ 1 z2
D 1 -- Etabhr que, tant que la corde touche la table, 1' ordonnée de son centre 
de masse G1 est Z (G1 ) = 5 Î .
D 2 -- En déduire que la composante verticale de l'accélération â (G1 ) du 
centre de masse de la corde est cons-
tante et donner son expression en fonction de v 0 et de L .

Ü 3 -- Lorsque la corde est entièrement verticale en contact avec la table 
(nouvel instant initial), on abaisse le point
B avec la vitesse --YO jusqu'à ce que la corde se retrouve sur l'axe Ox de la 
table. Quelle est l'expression de

l'accélération instantanée â (G2 ) du centre de masse G2 de la corde ? On ne se 
préoccupera pas de la manière

dont la corde s'étale dans le plan de la table.

_ Jh _ Îû {__
fi :
Ë 'Î
Ü A H -1: Ü Pi ï\_4l' -1:
Fig. J' -- Üürdæ pf}fiëü sur En mMæ Fig. 3 -- Ümfl'æ ff:'ä9 1«'ËFS fe haut

D 4 -- Justifier sans calcul l'égalité des accélérations â (G1) et â (G2 ). 
Quelle est, selon ce modèle,

l'accélération en C ?

Seconde expérience

La corde est verticale, en contact avec la table au point A. On la lâche sans 
vitesse initiale
(Fig. 3). On admet que le mouvement de B est uniformément accéléré, 
d'accélération
@ = -- g 2 (accélération de la pesanteur). On admet toujours que les points de 
la corde

sont au repos dès qu'ils touchent la table.

D 5 -- Exprimer le temps de chute T de la corde en fonction de L et de g . 
Calculer T

pour L = 24 XlO_lm et g = 10 m.s_2 .

FÏË' " " ÜJ "OE MEE" D 6 -- Déterminer l'accélération instantanée â (G) du 
centre de masse en fonction de g ,

T et du temps t .

D 7 -- Représenter graphiquement l'évolution temporelle de a (G) pendant la 
chute. Justifier qualitativement la
présence d'un minimum de vitesse, vmin pendant la chute. Exprimer en fonction 
de T l'instant to où la vitesse du

centre de masse passe par vmin . Calculer to . Exprimer vmin en fonction de L 
et de T . Calculer vmin .

Page 2/5

Physique 12007 ; filière PC.

B : ÉTUDE DYNAMIQUE D'UNE CHUTE VERTICALE

La table est ici le plateau d'une balance électronique. On duplique la seconde 
expérience de
la partie A : corde verticale, vitesse initiale nulle et mouvement de B 
uniformément accéléré.

D 8 -- Exprimer le principe fondamental de la dynamique. On appelle << poids 
apparent» et
on note Pa la force dont le module est donné par l'indication de la balance. 
Justifier que

\" pour l'usage habituel -- statique - d'une balance, le poids apparent est 
égal au poids de l'objet
£

pesé. Montrer que, pour la seconde expérience, le poids apparent s'exprime à 
l'instant t par

13a = 3171 (t) ;; , où m (t) est la masse de la corde posée sur la balance a 
l'instant t .

D 9 -- À quel instant t1 de la chute de la corde la balance indique--t--efle le 
poids total de la corde ? Comment expli--
quer l'égalité t1 = t0 (t0 a été défini àla question 7) ?

D 10 -- La corde est verticale, en contact en A avec le plateau de la balance. 
L'expérimentateur retient la corde avec

une force E (t) telle que la vitesse de B soit constante, égale à VO . Montrer 
que E (t) = --/1 (L -- vOt)g .

D 11 -- En appliquant le principe fondamental de la dynamique a la corde 
complète, montrer que, pendant toute la
chute, le poids apparent de la corde est supérieur au poids réel de la partie 
de la corde effectivement posée sur le

plateau. Exprimer la différence PO entre le poids apparent et le poids réel en 
fonction de ,u et de V0 et montrer

qu'elle est constante.

C : CHUTE BOEIRECTIONNELLE DE LA CORDE

La corde AB est a présent posée le long de l'axe Ox de la
table horizontale de la Fig. 1. Cette corde glisse sans frot--
tement sur la table et l'on étudie sa chute dans le champ de
pesanteur, d'intensité g. On se place dans le référentiel
galiléen lié a la table et on utilise le repère (O, x, z), avec
l'axe Oz orienté vers le bas. La Fig. 4 précise quelques
données non répétées dans cet énoncé. À l'instant initial,
la corde est horizontale sur la table, sa vitesse est notée

VO. L' extrémité A est en O et l'extrémité B affleure le

..l \.
". I"

{È} Â

==:
l'.1

point C.
Hg. .{ : üÎ-Ëmir {!!"-mm {'ü'f'ffü .-'HË rir= ang-u.vrtr ! . \/g
rirm..--æ |'Ïr' pff... f:f»i'."æî{'rif ._f'-r- 3}. LM. J'{JIiÿï...tf'itï' tfr* 
Fra. On pose CZ : _ --
purÈ-æ'r: ul{"f'J'.ifffllt-' (."-H |":Z1'Ï '. j'": -Ü}. Ln r-u-rrir m:rrupra L 
_ _
in.-Mah".lfiMfi .'Ïr- m-ymr ..." {'Ï'Ü. n.m:r: Ü"Ï.Î = !... Lr* Ü _12 _ On n0oe 
; la longueur de la part1e de corde (1111 a
h-rrfcr-æÏ-r [Hu| grrrrmHt {jm= lt" 'H.'Ü'n!u'.ï'-'IË"FH{'HÏ .rfr: .'Ïu_ qu1tté 
la table OElg-- 4)-- Que vaut» pendant la Chute de la
I""'"l"' [? H ...» la rr_n'rÊr* r.:--.'f fnïr;n '|"H'.ÊH'fi..Ë_ corde, la 
résultante F des forces s'exerçant sur l'ensemble

de cette dernière ? Exprimer cette résultante en fonction de
z et justifier que l'accélération d'un point quelconque de la corde est 2 . En 
déduire une équation différentielle en z.

, V
D 13 -- Etablir la relation, valable pendant la chute de la partie verticale, z 
(t) = --0 sh (at) . Comparer cette loi
05

horaire z (I) avec celle qui est obtenue pour un point matériel M de même masse 
mT lâché du point C avec la

même vitesse initiale VO .

D 14 -- Déterminer les coordonnées du centre de masse (GH ) de la partie 
horizontale AC et celles du centre de

masse (GV ) de la partie CB.

D 15 -- Déterminer les coordonnées (X , Z) du centre de masse (G) de la corde 
et montrer que la trajectoire de

ce centre de masse est une parabole. Quelle est la direction de l'axe de cette 
parabole ?

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Physique 12007 ; filière PC.

D 16 -- Déterminer E T , énergie cinétique de la corde en fonction de la 
fonction z et de ses dérivées.

D 17 -- Déterminer de la même manière E C (P) énergie cinétique du point 
matériel P de masse mT qui serait à
chaque instant coihcidant avec G.
D 18 -- Déterminer de la même manière l'énergie cinétique barycentfique 
associée au mouvement de translation de

(H)

la partie horizontale de la corde, E C ; déterminer aussi l'énergie cinétique 
barycentfique associée au mouvement

de translation de la partie verticale de la corde, E (V) .

C

D 19 -- Expliquer pourquoi la différence ET -- {EÊH) + E S,) + E C (P)] n'est 
pas nulle. Que représente--t--efle ?

D : VIBRATIONS DE LA CORDE VERTICALE FIXÉE AUX DEUX EXTRÉMITÊS

? _ï La corde est à nouveau verticale, fixée en ses deux extrémités A et B 
(Fig. 5). L'axe
B ' : des z est toujours orienté vers le bas et l'origine est maintenant à 
l'extrémité B : les
- points 0 et B coihcident. L'axe Ox est dans un plan horizontal. La tension de 
la corde

?'l--"l !.

J/ 1% au point A, T (A) est très grande devant le poids de la corde :T (A) >> 
mT g . La
.«ï

position d'un point M de la corde est repérée par sa cote z dans un référentiel 
galiléen
Æ lié à B.
Fig. 5 - {:'erfl'ü !£wci"iee m

.. , _ _ , Position d'équilibre
__HlÏ-'Ë rm .ïE'H e.flrenumw-

D 20 -- Définir ce qu'est la tension T (M) de la corde en un point M. Exprimer

T (M) en fonction de T (A) , mT g et ,u gz . Montrer qu'à l'équilibre T (M ) 
est pratiquement constante le
long de la corde.
Vibrations

D 21 -- La corde vibre et le point M , de cote z à l'équilibre, se déplace 
transversalement. Ce déplacement, noté
x, est fonction de z et du temps t . On note 9 (z, t) l'angle que fait 
localement la corde avec l'axe vertical. Dé-

terminer l'équation des ondes suivie par la fonction x (z, t) en négligeant les 
termes du deuxième ordre en 9
{approximation des petits mouvements). Exprimer la célérité c des ondes en 
fonction de T (A) et de la masse

linéique ,u . Calculer c pour la = 10_3 kg.m_1 et T(A) =] N .

D 22 -- À l'instant initial, la forme de la corde est donnée par x (z, 0) = a 
sin (7ï %) , où a est une constante

positive. Les vitesses initiales de tous les points de la corde sont nulles. 
Déterminer la fonction d'onde stationnaire
x(z, t) sous la forme x(z,t) = X (z)A(t) .

D 23 -- À l'instant initial, la corde est excitée selon deux modes propres :

| U
. . Z . Z
Æ,OE x(z,O)=asm 7z-- +bsm 47z-- ,

ü.H L L
ü.ü _ . . . . .
il 4 où a et b sont des constantes pos1t1ves. Les Vitesses initiales de tous
ü." les points de la corde sont nulles. Déterminer avec le minimum de cal--
üE a;OE culs la nouvelle fonction d'onde x (z, t) .

Ü"ÜÜ Ü'Üñ Ü ' ! Ü Ü" E 5 __ Ü 'EÜ D 24 -- La Fig. 6 représente l'allongement 
relatif de la corde en fonction
FIÆ- Ü -- f......fÆË-'"'_Ë... "£f'fül Ü' "li--"* Îü' de l'amplitude initiale de 
la déformation. Commentez ce résultat, par
£-'flfifû_'- EUR" YF f3"_fi"ïf-"Ûff "rf- "r "'"PÙÜHÏÜ exemple en discutant 
l'hypothèse (implicite !) que la masse linéique ne
:'Ef'flfii-'f fl'Ë .l'ri ä5fr:i rnmfirm. changeait pas au cours du mouvement.

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Physique I 2007 ; filière PC.

E : VIBRATIONS DE LA CORDE FIXÉE À UNE EXTRÉMITÊ

Désormais (Fig. 7), l'extrémité B est fixe, l'extrémité A est libre.

Position et équilibre

D 25 -- La corde est en équilibre. Montrer que la tension de la corde au point
M estdonnéepar T (z) = yg (L -- z).

Vibrations

D 26 -- La corde vibre. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à
Fig- ;: _ f....fi, fiI£3ü. {... ...", l'élément dz de corde à la cote z, 
montrer que la fonction d'onde vérifie

E.ïfI'ËIHHÊ et f;r'hr.:æ fl} j',_«...;m l equation [l] :

a2_x _ g( _ ,) @ _ , a_x
af Ôz2 az'
. , . . . . -- Ôx A
D 27 -- Que dev1ent l'equaüon d'onde Si l'on tient compte de la force de 
frottement v1squeux df = --a ô_X dz
t

agissant sur l'élément de corde dz , a > 0 étant la constante de frottement ?

D 28 -- On cherche une solution à l'équation d'onde au voisinage du point de 
fixation ( z << L) . Montrer qu'une
onde sinuso'1'dale de pulsation a) et d'amplitude complexe & ( z, t) = & exp { 
j (cat -- kz)] , où k est une cons-
tante réelle ne peut se propager que pour une certaine valeur 050 de la 
constante de frottement, que l'on exprimera
enfoncüonde ,u , g et L (j2 = --l).

D 29 -- Donner, pour a = 050 , les expressions de la vitesse de phase v(/) et 
de la vitesse de groupe vg de l'onde. Y
a--t--il dispersion ?

D 30 -- On néglige maintenant le terme de frottement et on cherche une solution 
à l'équation [l] de la question 26
dans la région z << L sous la forme &(z,t) = aexp{j(wt --Ëz)] , avec & = k1 + 
jk2 complexe (k1 et k2

étant réels). Exprimer k2 . En déduire que l'amplitude de l'onde augmente 
pendant la propagation. Le résultat est--il

cohérent avec celui de la question 28 ?

D 31 -- Établir alors et représenter graphiquement la relation de dispersion. 
Poser coâ = % et montrer que la

corde se comporte comme un filtre passe--haut.
D 32 -- Déterminer la relation entre la vitesse de phase et la vitesse de 
groupe.
Considérations énergétiques

D 33 -- Montrer que la puissance mécanique (moyenne ou instantanée) qui 
traverse la corde àla cote z dans le
sens des z croissants est proportionnelle à la tension T (z) et au carré de 
l'amplitude du mouvement de la corde.

En déduire que l' amplitude du mouvement augmente avec z dans cette portion de 
la corde.

FIN DU PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE

Page 5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alban Sauret (ENS Lyon) ; il a été relu par Georges
Rolland (Professeur agrégé) et Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon).

Cette épreuve est centrée sur l'étude générale d'une corde ; elle est divisée 
en cinq
parties que l'on peut regrouper en deux grands thèmes indépendants.
· Dans un premier temps, on s'intéresse à la cinématique d'une corde posée sur
un support, puis à sa dynamique, ce qui permet d'introduire la notion de poids
apparent. Puis on étudie la chute de la corde d'une table. Cette partie est
assez calculatoire et nécessite des notions sur les paraboles. Ces trois 
premières
parties sont liées et assez délicates à traiter. Elles ne nécessitent que peu de
connaissances de cours, mais exigent de réfléchir très précisément aux systèmes
et aux forces à envisager pour mener à bien leur résolution.
· Le second thème, plus facile, porte sur l'étude des vibrations d'une corde 
verticale fixée à ses deux extrémités et traite des ondes qui peuvent se 
propager le
long d'une corde fixée à une seule extrémité. Cette partie est proche du cours
et des exercices types sur les ondes mécaniques.
Cette épreuve comporte des questions assez difficiles à cerner tandis que 
d'autres
sont beaucoup plus abordables. L'énoncé peut parfois être difficile à 
comprendre et
l'épreuve est plutôt longue pour une durée de trois heures. Il peut être 
judicieux de
commencer par les deux dernières parties.

Indications
Partie A
1 Appliquer la définition du centre de masse en séparant les deux parties de 
corde :
verticale et horizontale.
3 Effectuer le même raisonnement qu'aux questions 1 et 2. Il ne faut pas tenir
compte de la notation de G2 introduite en préambule.
4 Il y a ici une erreur dans l'énoncé : il faut supposer que la corde est 
initialement
en tas et non étalée.
5 La corde finit de chuter quand le point B touche la table.
Partie B
8 Utiliser le résultat de la question 6.
10 Effectuer un bilan des forces sur la portion élémentaire de corde autour du 
point B.
11 Utiliser la question 2, en prenant garde à l'orientation de l'axe vertical.
Partie C
12 Raisonner sur des systèmes ouverts. Effectuer un bilan de quantité de 
mouvement
pour la partie de corde horizontale puis pour la partie de corde verticale.
15 Se ramener à une équation de conique connue.
18 Utiliser la loi de composition des vitesses pour déterminer les vitesses 
dans le
référentiel barycentrique.
19 Il y a ici une erreur dans l'énoncé, il faut trouver une différence 
d'énergie nulle en
accord avec le théorème de König relatif à l'énergie cinétique.
Partie D
22 Résoudre l'équation de d'Alembert en effectuant une séparation des variables.
Partie E
25 Effectuer un raisonnement analogue à la question 20.
26 Prendre en compte la contribution du poids.
28 Injecter la solution pour x dans l'équation de propagation de l'onde puis 
écrire la
relation de dispersion.
33 La moyenne temporelle pour le produit de deux grandeurs complexes a et b 
s'écrit
1/2 Re (a · b ). Remarquer que l'énergie mécanique de la corde augmente.

Corde pesante et vibrante
A. Étude cinématique d'un mouvement bidirectionnel

Première expérience

1 Le centre de masse de la corde est égal au barycentre des centres de masse de 
la partie verticale et
de la partie horizontale. Étant donné que la masse
linéique de la corde µ est constante, on a
--
--
--
µL OG = µz OH1 + µ(L - z) OH2

z

B

H1

où H1 est le centre de masse de la partie vertiH2
A
x
C
cale (CB), H2 le centre de masse de la partie ho- O
rizontale (CA) et z l'ordonnée du point B.
--
--
-

Puisque OH1 = z/2 
ez et que OH2 est selon -
ex , il vient, en projection suivant (Oz)
z
Z(G1 ) = Z(H1 )
L
soit

Z(G1 ) =

1 z2
2 L

Cette relation est valable tant que la corde est en contact avec la table.
On obtient l'ordonnée du centre de masse de la corde en écrivant
Z
-- 
1 z
1 z2
u du =
Z(G1 ) = OG1 .-
ez =
L 0
2 L
Le centre de masse n'est pas sur la corde. De plus, son ordonnée ne dépend
pas de la façon dont la corde s'étale sur la table, à l'inverse de son abscisse.
2 L'ordonnée de B s'écrit z = v 0 t, ainsi on a
1 v 0 2 t2
d2 Z(G1 )
v0 2
d'où
=
2 L
dt2
L
La composante verticale de l'accélération de G1 est constante et vaut
Z(G1 ) =

v0 2
-

a (G1 ).-
ez =
= Cte
L
Il ne faut pas confondre le vecteur accélération de G1 et sa composante ver

ticale, en effet le mouvement de la corde impose -
a (G1 ).-
ex 6= 0. Il faut donc
faire attention aux notations de l'énoncé.

3 Le point G2 est la position de G lors de la descente de la corde.
La notation proposée par l'énoncé n'est vraiment pas claire. En effet, elle ne
correspond pas à la situation décrite dans le préambule de cette partie.
La vitesse des points de la corde au contact avec la table est nulle, de plus 
la corde
chute à la verticale, elle n'a donc pas d'accélération latérale. On effectue le 
même
raisonnement qu'à la question 1
1 z2
avec z = L - v0 t
2 L
L'accélération instantanée du centre de masse G2 est donc
Z(G2 ) =

v0 2 -
-

a (G2 ) =
ez
L
4 L'égalité entre les deux accélérations n'est pas possible. En effet, dans le 
cas où
la corde est tirée vers le haut (question 1), l'accélération du centre de masse 
contient
une composante latérale qui n'est pas présente lorsque la corde chute (question 
3).
On doit donc considérer le cas où au départ la corde est en tas et non étalée 
comme
indiqué sur la figure 2. Ainsi, il n'y a pas d'accélération latérale.
La descente et la montée sont identiques à un renversement du temps près.
On effectue la transformation

t  -t et -
r -
r
On a donc

-

v  --
v et

-

a -
a

(car l'accélération est une dérivée seconde de la position du centre de masse 
par
rapport au temps). Ainsi
-

a (G1 ) = -
a (G2 )
Selon ce modèle, le point C est en contact avec la table donc, d'après l'énoncé,
il est au repos, d'où
-

-

a (C) = 0

Seconde expérience
5 La corde finit de chuter quand son extrémité supérieure B touche la table.
B a un mouvement uniformément accéléré, ainsi

-

a (B) = -g -
e
z

Par projection suivant l'axe (Oz), on a alors
d2 z
= -g
dt2
En intégrant deux fois, compte tenu des conditions initiales,
dz
(0) = 0
et
z(0) = L
dt