Mines Physique 1 PC 2005

Thème de l'épreuve Chauffage par micro-ondes
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux, diffusion thermique, transitions de phase

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2005
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, 
TPE--BNP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 1 --PC

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 5 pages.

0 Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le 
signale sur sa copie

et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est 
amené à prendre.
0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
Vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement.

. Notations : vecteur --> V (on pourra écrire V) ; vecteur unitaire de la 
coordonnée c : c.

CHAUFFAGE PAR MICRO-ON DES

Ce problème s'intéresse aux transferts énergétiques entre un très grand nombre, 
noté N, de
molécules d'eau et le champ électrique d'une onde centimètrique.

Formulaire
------- Énergie potentielle W,, du dipôle électrique p dans le champ extérieur 
E : Wp : --p.E.
-- Moment M du champ extérieur E(t) sur le dipôle p : M : pA E.

_ T
-- Valeur moyenne temporelle de la grandeur G : on convient que G : Tlim 
-%_--IÛ G(t)d t.
N

---- Valeur moyenne d'ensemble (spatiale) (sommation sur les N molécules) : (G) 
: 7V1--2 Gi .

i=l

---- Soit X un vecteur attaché à un solide en mouvement et Q le vecteur 
rotation instantanée

de ce solide: 513: QA X.

d t
----- Produit mixte: (a,b,c) : (a A b). c : (bA c).a : (CA a).b.
Grandeurs fondamentales

Céléritê de la lumière c, : 3x108 m.s'1
Nombre d'Avogadro N A = 6,02 x1023 mol"1

Perméabilité magnétique du vide ,u0 : 472 x 10°7 H .m"1
Masses molaires MO2 : 32 g.mol"', M Hz : 2 g.mol'l

I. Relaxation diélectrique

Dipôle induit
D 1 ---- À partir de vos connaissances des ordres de grandeur à l'échelle 
moléculaire, détermi-
ner l'ordre de grandeur (puissance de dix et unité) du moment dipolaire # de la 
molécule

d'eau. Donner la définition du moment d'inertie .] de la molécule par rapport à 
un axe pas-
sant par son barycentre. Évaluer de la même manière (puissance de dix et unité) 
son ordre de
grandeur. Les molécules d'eau sont désormais modélisées comme des dipôles 
rigides de
moment d'inertie .] ; il n'y aura donc pas lieu de tenir compte des transitions 
électroniques

intramoléculaires.

Cl 2 --- Lorsqu'un très grand nombre de telles molécules est soumis à un champ 
électrique
uniforme et constant E = E 2, on constate que, à l'équilibre thermodynamique à 
la tempéra-

ture T, tout se passe comme si chaque molécule adoptait le même moment 
dipolaire électri-
que, nommé moment dipolaire moyen et noté (p)éq_ .Ce moment dipolaire moyen 
dépend de

la température T. La température T détermine aussi les fluctuations de moment 
autour de sa
valeur moyenne. Lorsque le champ est suffisamment faible, on pose (p)éq_ : 
--eoa E, ce qui

définit la polarisabilité a. Quelle est la dimension de la polarisabilité ?

D 3 -- Le modèle de Debye indique que, en régime transitoire, (p) est une 
fonction du temps

vérifiant l'équation différentielle

d

r--ä-}--+(p)= eOaE, où t' est un temps caractéristique de la molécule dans son environnement. On impose la forme du champ, E : Em cos(oe t) i, et celle de la solution en régime forcé, (p) = [ p'cos(oe t) + p" sin(wt)] â Exprimer p' et p" en fonction de 80,a,wt et Em. Pour faciliter le commentaire, la fig. 1 représente l'allure de la solution, avec conventionnellement ( p') =1 (car est en abs- max cisse). Justifier en particulier que l'on nomme T « temps de relaxation ». _ .. ===. _ .n.... _ ...... ...... 0 1 2 3 4 5 6 Fig.] :p' =Re (p) et p"= Im (p) Fig. 2 : Moyenne temporelle de II,--(t) Échanges énergétiques Cl 4---- Soit Q,(t) le vecteur rotation instantanée de la molécule n°i et p,(t) son moment . d . dipolaire instantané. En admettant l'égalité <%) : Σ'> , exprimer 7r,(t), puissance cédée par le champ à cette molécule, d'abord en fonction de p,(t), E( t) et Q,(t), puis en fonction de %È-'-- et de E(t). En déduire l'expression de la valeur instantanée de la puissance fournie par le champ électrique à un échantillon comportant un nombre élevé, N , de molécules : n dp- mst.( ) < dt > D 5 ---- Exprimer ÎÏ , moyenne temporelle de H..., en fonction de E..., EUR... a, N et an. H(wr) ñmx . Commenter la Fig. 2, qui donne la valeur normalisée de E(cor) : D 6 ---- La pulsation du champ électrique est a) =1010 s"'. Ce champ est appliqué à un échan-- . tillon d'eau liquide, dont le temps de relaxation est T,iq_ =10"11 s et à un échantillon de glace , de même masse, mais dont le temps de relaxation est {gla_ : IO"4 ' s . On suppose que les pola- risabilités «a » de l'eau liquide et de la vapeur d'eau sont du même ordre.de grandeur. Comment expliquer, pour le même matériau, l'inégalité Tsalide >> Tüquide ? Calculer le rapport des puissances fournies ÎÏ . L'eau liquide étudiée est contenue dans un récipient de . < - gla. - - = ' verre ; ce dernier reste froid. Un récipient en faïenceressort brûlant... Que peut-on en déduire ? Il Interaction d'un milieu aqueux avec une onde cenfimétrique Un matériau gorgé d'eau liquide est soumis à un champ électrique sinusoïdal de fréquence f (f= -"-'- z 2,5 om) de la forme 27: E(x,y,z ;t)= E(x ;:)= Em(x)cos[w(t-- E)) %, co où n est l'indice du milieu (supposé transparent) pour la fréquence f. L'amplitude de l'onde à son entrée dans le matériau, en x = O, est notée E() : Em (0). Dans un tel milieu, la n 2l--'oco de l'étude précédente que la puissance volumique moyenne foum_ie au matériau par le champ électromagnétique est de la fonne II vol : DE 3, 1 A On adoptera les valeurs numériques, n = 8 et D =l W.V"°flm' . dx S V D 7 --Effectuer un bilan énergétique pour un élément î î d'échantillon d'aire S et d'épaisseur élémentaire dx et en déduire la fonction E... (x). Le résultat fait apparaître une lon- R(x) _ R(x + dx) gueur caractéristique, L, dont on vérifiera qu'elle est de l'ordre E2 (x) i. Il résulte m moyenne temporelle du vecteur de Poynting R s'exprime par ÎÏ : de 2 cm. D 8 -- Quel est l'avantage, dans un four à micro-ondes, d'avoir des parois réfléchissantes '? Pourquoi le plateau est-il tournant ? D 9 -- Une préparation de masse m est cuite dans un four classique en un temps ®(C'Ï) et en un temps 9533 dans un four à micro--ondes. On convient que la cuisson est atteinte lorsqu'un point central de l'aliment atteint une température convenue. Estimer, par des arguments dimensionnels, les tem s de cuisson (9%...) et ®(2m) our une ré aration semblable à la P P P P première, mais de masse 2m (quitte à critiquer cette hypothèse, on pourra supposer que la dimension caractéristique de la préparation est petite devant la dimension caractéristique L de la question précédente). III. Transferts thermiques Profils de température Un échantillon de matériau aqueux est placé dans un four à micro-ondes. La conductivité thermique K , la capacité thermique massique c et la masse volumique p de l'échantillon sont supposées être indépendantes de la température. Cet échantillon e'st parallélépipédique, d'aire S et d'épaisseur 2e, suffisamnient faible pour que l'0n puisse admettre que le pro- _ blème reste unidimensionnel (selon x) et que la valeur maximale" du champ électrique, Em,' soit la même en tout point. Il s'agit dedéterminer le profil de température T(x,t). Cl 10 -- Ces hypothèses vous semblent--elles toutes être réalistes ? . La températuredu milieu extérieur, T0 , est supposée constante. La» température d'interface est notée E(t) : T(--e,t)= T(e,t). Les échanges themiques au niveau des interfaces sont modélisés par la loi (1) - gS[T (t )-- TO]: jThS, qui exprime la puissance sortant du matériau en faisant intervenir le flux thermique, de grandeur jTh , et le coefficient d'échange thermique g. Mii. On note P la âx puissance moyenne fournie au matériau par le champ ; on suppose cette quantité constante. Le matériau obéit à la loi de Fourier : jTh(x,t) : --Kgrad(T) : --K C] 11 -- Établir l'équation aux dérivées partielles (EDP) relative au profil de température T(x,t). Donner l'expression des flux thermiques aux limites, jTh (--e,t) et jTh (e,t), en fonc- tion de g et de Ts(t)-- To. Cl 12 ---- Déterminer l'expression et tracer l'allure du graphe de T,,(x), profil de température dans l'échantillon en régime permanent, en fonction de Tp(e), x et des paramètres pertinents du système. Établir les relations _È_ ge Pe T,,(o)-- T+ZSg(l+-2----K)-- T (e)+ .... D 13 -- La température initiale étant, en tout point, To, on cherche les conditions sous lesquelles l'équation aux dérivées partielles établie à la question 11 admet une solution de la forme : T(x,t)= T0 +[Tp(x)-- T0]x [l--f(t)]. Une telle forme sera dite "séparable" ; en réalité, c'est T(Jt,t)--T0 qui est séparable. Déterminer a priori f(O) et lim f (t) t--->°° Cl 14 --- Montrer qu'une solution séparable est possible et acceptable si ge << 2K . Quelle est la constante de temps, notée ts , de la fonction f ainsi trouvée '? Suggestion : la forme donnée dans la question 13, insérée dans l'EDP de la question Il conduit pour f à l'équation différentielle f'(t)+ç0(x) f (t)=0, qui n'a de sens que si l'on peut considérer (p(x) comme constant. CI 15 -- Calculer ts et T,. (O) pour pc: 4><106 ].m 'Î.K"', e=5><..."3 m, 5'=10"2 m2, g=lO W.K"'.m"î K=O,5W.K .m , P=SOOW et T0=293K. Séchage Un four à micro- ondes est utilisé pour le séchage d'un corps poreux dont tous les pores sont remplis d' eau. Le volume de ces pores est égal à la moitié du volume total, VT =2.S'e_=10'4 m'. Tant que l'eau reste liquide, le profil de température garde la forme établie ci-- dessus, les valeurs numériques des constantes étant inchangées. La chronologie des phénomènes analysés maintenant est la suivante : " o ' ' montée en température, ' ." . "début d'apparition des bulles de Vapeur, . . expulsion d'eau liquide hors de VT. au fur et à mesure que la vapeur d'eau se forme, 0 " "et fin de la vaporisation. Û16 ----Calculer la valeur tE de l'instant d'apparition des premières bulles de vapeur. Calculer la température de surface à cet instant. Cl 17 --Cette vapeur est un gaz parfait, dont la pression de vapeur saturante reste égale à la pression atmosphérique (=z105 Pa). La constante des gaz parfaits est R= 8,31 J .mol'1 .K"l. Calculer la masse d'eau vaporisée pendant l'expulsion. D 18 -- À l'issue de cette phase, l'eau liquide et la vapeur sont à la même température, de 100°C. Calculer, avec cette hypothèse, la durée tx de la brusque expulsion d'eau liquide qui intervient au début de la vaporisation. L'enthalpie massique de vaporisation de l'eau à 100°C est L\, : 2,2XlO°I.kg°'. La durée calculée est, sans doute, largement inférieure à celle que l'on aurait pu attendre. Quelles sont les hypothèses les plus suspectes de ce modèle ? FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE

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Mines Physique 1 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) ; il a été relu par
Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Benoît Lobry (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur le chauffage des aliments dans un four micro-ondes, dont le
principe physique repose sur l'absorption d'énergie électromagnétique par les 
molécules d'eau présentes dans les aliments. Il s'articule en trois parties 
très largement
indépendantes.
· La première permet de comprendre comment la molécule H2 O interagit avec
le champ électrique produit par la source de micro-ondes. Les questions 4 et 6
sont assez délicates.
· Dans la deuxième partie, le système étudié est le champ électromagnétique.
On étudie son évolution au sein du matériau. Ceci permet de comparer le
chauffage par micro-ondes au chauffage traditionnel.
· Enfin la dernière partie, plus longue et difficile que les deux premières, 
étudie
le profil de température de l'aliment à chauffer.
Le sujet s'appuie sur le cours d'électromagnétisme dans les milieux (interaction
d'une onde électromagnétique avec un milieu), ainsi que sur le cours de 
thermodynamique (transition de phase, diffusion thermique).
Sa difficulté ne réside ni dans les aspects calculatoires ni dans sa longueur, 
mais
dans la compréhension des phénomènes physiques mis en jeu. De nombreuses 
questions nécessitent en effet une bonne analyse qualitative conduisant à une 
modélisation
raisonnable ; c'est le sens physique des candidats qui est ainsi testé.
Il permet de comprendre l'intérêt du choix du système d'étude lors de bilans
d'énergie, et de montrer que l'association de différents domaines de la 
physique étudiés
dans l'année séparément permet de modéliser des phénomènes physiques complexes
et d'aspect pratique. Cela en fait un bon problème de révision.

Indications

Partie I
1 Pour un raisonnement d'ordre de grandeur, on peut supposer la liaison O-H
purement ionique. Attention, il existe une infinité d'axes passant par le 
barycentre
d'une molécule ! Choisir l'axe le plus simple pour l'évaluation du moment 
d'inertie.
2 Utiliser l'expression de la force de Coulomb.
3 Que devient l'équation différentielle lorsque le champ électrique est coupé ?
4 Comment s'exprime la puissance mécanique reçue par un solide ? Comment se
simplifie cette expression si le système n'est soumis qu'à un couple ? Le moment
dipolaire s'exprime par
----

-
pi = q O - O +
où O- et O+ sont les positions des barycentres des charges négatives -q et 
positives q de la molécule. Faire le lien avec le formulaire.
5 La valeur moyenne temporelle d'une grandeur G périodique de période T est
Z
1
G=
G(t) dt
T

6 Dans la glace, les molécules d'eau interagissent entre elles principalement 
par des
liaisons hydrogène, qui sont partiellement rompues à l'état liquide.
Partie II
7 Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface donnée correspond à la
puissance électromagnétique la traversant.
9 On peut trouver le temps caractéristique recherché par un raisonnement 
dimensionnel sur le coefficient de diffusion thermique. Dans un four 
traditionnel, l'aliment est chauffé par diffusion thermique depuis ses bords. 
Dans le four à microondes, sous les hypothèses adoptées ici, le chauffage est 
uniforme.
Partie III
10 Lire l'énoncé en entier avant de répondre à cette question.
11 Effectuer un bilan d'enthalpie à une épaisseur entre x et x + dx en 
n'oubliant pas
le terme source.
12 Utiliser soit les deux conditions aux limites, soit plus directement un 
argument
de symétrie du problème pour exprimer les constantes d'intégration.
16 Où se forme la première goutte de vapeur ?
17 La masse molaire de l'eau est M = 18 g.mol-1 .
18 Effectuer un bilan d'enthalpie sur un système judicieusement choisi. Les 
pertes
latérales sont elles négligeables ?

I. Relaxation diélectrique
zb
1 Les caractéristiques structurales de la molécule d'eau sont représentées sur 
la figure cicontre. L'atome d'oxygène étant plus électronégatif que celui 
d'hydrogène, la molécule d'eau
présente un moment dipolaire permanent
(
-
-
 = q -
µ
OHa

-
-

-

a
µ = µa + µb
avec
--

-
µb = q OHb

k-
µ k = 2 q dOH cos

D'où
et en ordre de grandeur,
q  e = 1, 6.10-19 C
Finalement,

cos

2

1

O
-

µ
a

-2 q
-

µ
b

Ha

Hb

+q

+q
-

µ

2

et

dOH  1A = 10-10 m

µ  e d0H  10-29 C.m

La valeur expérimentale du moment dipolaire de l'eau est µ = 1, 85 D, avec
1 D = 1/3.10-29 C.m. Ce raisonnement permet d'obtenir la bonne puissance
mais pas le facteur numérique : en effet, outre les approximations faites sur
l'angle et sur la distance dOH , avec q  e, on a supposé la liaison O-H
purement ionique, ce qui est faux.
Le moment d'inertie par rapport à un axe zb est défini pour un solide par
ZZZ
J = Jzb =
dP 2 dm(P)
P

où dP est la distance du point P à l'axe zb. L'énoncé ne nous précisant pas par 
rapport
à quel axe calculer le moment d'inertie, on choisit l'axe zb de la figure, qui 
passe bien
par le barycentre de la molécule. Sachant que me /mp  5.10-4, seuls les noyaux
contribuent de façon significative au moment d'inertie. On peut de plus les 
supposer
ponctuels. Il en résulte que pour l'axe considéré,
J  2 mH dH 2

1 MH2
Sachant que
mP =
et
dH = dOH sin
 dOH
2 NA
2
on en conclut

J

MH2 2
d
 10-47 kg.m2
NA OH

On peut évaluer la contribution du noyau d'oxygène en le supposant
sphérique de taille r  10-15 m (taille typique du noyau atomique) et en
supposant la répartition massique homogène
2
Jzb  mO r2  10-56 kg.m2
5
Cette contribution est bien négligeable devant celle des protons.
En choisissant un autre axe passant par le barycentre, on obtient le même
ordre de grandeur, cela résulte du caractère coudé de la molécule.

-

2 On définit la polarisabilité par la relation h-
p iéq = 0  E

[h-
p i]

-
[0 E ]

Dimensionnellement,

[] =

avec

[h-
p i] = Q.L

Or, d'après la loi de Coulomb, et par définition du champ électrique,
[F] =

-
1 Q2
= Q[E]
[0 ] L2

-
Q
[0 E ] = 2
L

D'où

[] = L3

Il en résulte

La polarisabilité est homogène à un volume.
En l'absence de champ électrique, du fait de l'agitation thermique, l'orienta
-

tion des dipôles est isotrope donc h-
pi= 0.
3 Négligeons le régime transitoire pour rechercher la solution forcée de 
l'équation
d'évolution de la valeur moyenne du dipôle électrique. Injectons la forme 
proposée
dans l'équation différentielle et projetons sur zb :

avec
Il en résulte

d hpi
+ hpi = 0  Em cos(t)
dt

hpi = p cos (t) + p sin(t)
0  Em cos(t) = - p sin(t) +  p cos(t)
+ p cos(t) + p sin(t)

On en déduit, en remarquant que cos(t) et sin(t) sont linéairement indépendants,
- p + p = 0

Finalement,

pmax

 p ( ) = 1 + ( )2
 p ( ) =  pmax

1 + ( )2

et

 p + p = 0  Em

avec

pmax = 0  Em

La figure 1 de l'énoncé montre que

· pour une excitation trop rapide, le dipôle n'arrive pas à suivre le champ 
(l'amplitude de la courbe p diminue lorsque  augmente). Le temps  s'interprète
alors comme le temps de relaxation du système, caractérisant le temps moyen
mis par un dipôle pour s'orienter suivant le champ.
· il y a un déphasage, c'est-à-dire un retard, entre l'excitation et l'effet, 
déphasage visualisé par la courbe p . La réponse à l'excitation n'est pas 
instantanée.
Ce déphasage s'annule quand  -
 , c'est-à-dire quand l'évolution du dipôle
se découple complètement de celle du champ.