Mines Physique 1 PC 2001

A 2001 PHYS. PC I

, ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ] -- Filière PC
Cette épreuve comprend 4 pages de texte.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené
à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé.

o Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que
des qualités de rédaction de la copie.

Conventions typographiques : un vecteur est noté en gras (A), sa norme en 
italique (" A " = A) ;

le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté 'la-

L'épreuve comprend trois problèmes indépendants les uns des autres, et que l'on 
pourra
traiter dans l'ordre de son d10ix. Les deux derniers sont inspirés du film de 
Brian de PALMA
Mission to Mars, diffusé en France en mai 2000.

1. La relation de BERNOULLI

On considère un référentiel galiléen Rg(0,ux,uy,u__) Où u: est vertical dirigé 
vers le haut.

L'espace est rempli d'un fluide parfait, homogène, incompressible et de masse 
volumique p.

Fluide en translation uniforme

Û'l -- Le fluide est en équilibre dans Rg sous l'action des forces de pression 
et du
champ de pesanteur g : ---guz. Montrer qu'au point courant M(x, y, z) la 
pression p(x, y, 2)
ne dépend que de 2 de telle sorte que :

p(x,y,z)+pgz=Coe=K. [1]

E] 2 -- Le fluide se déplace maintenant en bloc dans Rg avec la vitesse v : 
v0ux, Où vo
est une constante. L'égalité [l] est--elle encore valable '?

Tournez la page S.V.P.

Fluide accéléré

D 3 -- Le fluide se déplace en bloc dans Rg avec une accélération constante a = 
a() ux,

où ao est une constante. En exprimant l'équilibre de l'élément de fluide de 
volume dxdydz
situé au point courant M dans le référentiel R,,g en mouvement de translation 
rectiligne,
d'accélération a par rapport à Rg, montrer que :

p(x,y,z) + pgz + ;)an == Cte : K'. [2]

E] 4 -- En passant du point M,(xl, y,z) au point M2(x2, y,z), une particule de 
fluide

voit sa vitesse passer de v, à v2 dans le référentiel galiléen Rg. Exprimer ao 
en fonction de V,,
v2, x, et x2 et déduire de ce résultat la relation de Bernoulli.

- D 5 --- On considère l'écoulement

permanent du fluide incompressible à
l'intérieur d'une canalisation cylindrique
horizontale d'axe ()c. Dans la zone x < 0, le rayon de la canalisation est noté R1 et la vitesse du fluide est notée v.. Dans la zone " ï @ | | | | '! ,--EUR? ' V | | | ...-.--.-..-.--- 2 x>L, le rayon est R2 et la vitesse v2.
x . , . , , . .
------------- l--------> L'1negalite (R,--R2)<< 10" lN.m2.kg'2). D 11 -- Déduire de [3] que l'orbite devient elliptique et montrer que la distance r,, de 2 l'apogée A de la nouvelle trajectoire au centre de la planète est r,, : R(l + 2--l--]. [4] R2 D 12 -- Lorsque le vaisseau arrive en A, l'équipage débloque la barre, le vaisseau passe à l'état ]. Au regard des ordres de grandeur mis en jeu, on peut admettre que ce passage à l'état 1 se fait à énergie mécanique constante'. En admettant cette dissymétrie du travail des forces intérieures dans les passages 2 --> 1 et l ----> 2, que représente la 
variation d'énergie--

mécanique [3] calculée à la question 10 '? En déduire que le vaisseau repasse 
par P.

E] 13 -- Au point P, l'équipage effectue une nouvelle manoeuvre et porte le 
vaisseau

dans l'état 2 ; il débloque la barre au nouvel apogée et ainsi de suite à 
chaque tour. Au bout
de combien de tours, n, le vaisseau sera-t-il libéré de l'attraction planétaire 
? Calculer n dans

le cas où l = 0,7 km, selon que la planète est la Terre (R7. = 6378 km, M7. = 6 
><1024 kg), ou Mars (RM : 3397 km, MT =6,6><1023 kg). Donner un ordre de grandeur du temps néces- saire à la libération. E] 14 ---- Selon ce mode de calcul, pour quelle longueur 1 la libération serait--elle obtenue dès le premier tour '? Cl 15 -- Montrer que l'énergie dépensée par l'équipage ne dépend que de la masse volumique p de la planète et de la géométrie du vaisseau. La manoeuvre dure 1 = 1 minute, la masse du vaisseau est m =...4 kg, 1 = 0,7 km ; calculer la puissance moyenne développée par l'équipage pendant le dépliement au voisinage de Mars. Quel est approximativement le nombre d'hommes nécessaire à la manoeuvre ? D 16 -- Le cosmonaute en péril dans le film se couche dans le plan de son orbite, l'axe de son corps tangent à l'orbite. Il possède deux états : l'état 1 où ses bras sont repliés le long de son corps et l'état 2 où ses bras sont perpendiculaires au plan de l'orbite. Comment doit-il s'y prendre pour rejoindre le vaisseau ? D 17-- La masse du cosmonaute est mc = 100 kg. Ses bras sont supposés être équiva-- lents à un haltère (m = 30 kg, 1 = 0,70 111). Avant sa nage dans l'espace, l'orbite du cosmo-- naute est circulaire. Quelle est la variation du grand axe de l'orbite lorsqu'il effectue un mouvement de brasse spatiale '? FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE ' Au regard, aussi, du but poursuivi, qui est de s'éloigner de la planète attractrice. Une modélisation plus fine affecterait les trajectoires, mais pas l'effet global. Page 4 sur 4