Mines Physique 1 PC 2001

Thème de l'épreuve Relation de Bernoulli. Mission pour Mars.
Principaux outils utilisés hydrodynamique, thermodynamique, problème à deux corps

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 PHYS. PC I

, ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ] -- Filière PC
Cette épreuve comprend 4 pages de texte.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené
à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé.

o Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que
des qualités de rédaction de la copie.

Conventions typographiques : un vecteur est noté en gras (A), sa norme en 
italique (" A " = A) ;

le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté 'la-

L'épreuve comprend trois problèmes indépendants les uns des autres, et que l'on 
pourra
traiter dans l'ordre de son d10ix. Les deux derniers sont inspirés du film de 
Brian de PALMA
Mission to Mars, diffusé en France en mai 2000.

1. La relation de BERNOULLI

On considère un référentiel galiléen Rg(0,ux,uy,u__) Où u: est vertical dirigé 
vers le haut.

L'espace est rempli d'un fluide parfait, homogène, incompressible et de masse 
volumique p.

Fluide en translation uniforme

Û'l -- Le fluide est en équilibre dans Rg sous l'action des forces de pression 
et du
champ de pesanteur g : ---guz. Montrer qu'au point courant M(x, y, z) la 
pression p(x, y, 2)
ne dépend que de 2 de telle sorte que :

p(x,y,z)+pgz=Coe=K. [1]

E] 2 -- Le fluide se déplace maintenant en bloc dans Rg avec la vitesse v : 
v0ux, Où vo
est une constante. L'égalité [l] est--elle encore valable '?

Tournez la page S.V.P.

Fluide accéléré

D 3 -- Le fluide se déplace en bloc dans Rg avec une accélération constante a = 
a() ux,

où ao est une constante. En exprimant l'équilibre de l'élément de fluide de 
volume dxdydz
situé au point courant M dans le référentiel R,,g en mouvement de translation 
rectiligne,
d'accélération a par rapport à Rg, montrer que :

p(x,y,z) + pgz + ;)an == Cte : K'. [2]

E] 4 -- En passant du point M,(xl, y,z) au point M2(x2, y,z), une particule de 
fluide

voit sa vitesse passer de v, à v2 dans le référentiel galiléen Rg. Exprimer ao 
en fonction de V,,
v2, x, et x2 et déduire de ce résultat la relation de Bernoulli.

- D 5 --- On considère l'écoulement

permanent du fluide incompressible à
l'intérieur d'une canalisation cylindrique
horizontale d'axe ()c. Dans la zone x < 0,
le rayon de la canalisation est noté R1 et la
vitesse du fluide est notée v.. Dans la zone

"

ï

@

|

|

|

| '!
,--EUR?
' V
|

|

|

...-.--.-..-.---

2 x>L, le rayon est R2 et la vitesse v2.
x . , . , , . .
------------- l--------> L'1negalite (R,--R2)<< 10" lN.m2.kg'2).

D 11 -- Déduire de [3] que l'orbite devient elliptique et montrer que la 
distance r,, de

2
l'apogée A de la nouvelle trajectoire au centre de la planète est r,, : R(l + 
2--l--]. [4]

R2

D 12 -- Lorsque le vaisseau arrive en A, l'équipage débloque la barre, le 
vaisseau passe

à l'état ]. Au regard des ordres de grandeur mis en jeu, on peut admettre que 
ce passage à
l'état 1 se fait à énergie mécanique constante'. En admettant cette dissymétrie 
du travail des
forces intérieures dans les passages 2 --> 1 et l ----> 2, que représente la 
variation d'énergie--

mécanique [3] calculée à la question 10 '? En déduire que le vaisseau repasse 
par P.

E] 13 -- Au point P, l'équipage effectue une nouvelle manoeuvre et porte le 
vaisseau

dans l'état 2 ; il débloque la barre au nouvel apogée et ainsi de suite à 
chaque tour. Au bout
de combien de tours, n, le vaisseau sera-t-il libéré de l'attraction planétaire 
? Calculer n dans

le cas où l = 0,7 km, selon que la planète est la Terre (R7. = 6378 km, M7. = 6 
><1024 kg), ou
Mars (RM : 3397 km, MT =6,6><1023 kg). Donner un ordre de grandeur du temps 
néces-

saire à la libération.

E] 14 ---- Selon ce mode de calcul, pour quelle longueur 1 la libération 
serait--elle obtenue
dès le premier tour '?

Cl 15 -- Montrer que l'énergie dépensée par l'équipage ne dépend que de la masse
volumique p de la planète et de la géométrie du vaisseau. La manoeuvre dure 1 = 
1 minute,

la masse du vaisseau est m =...4 kg, 1 = 0,7 km ; calculer la puissance moyenne 
développée
par l'équipage pendant le dépliement au voisinage de Mars. Quel est 
approximativement le
nombre d'hommes nécessaire à la manoeuvre ?

D 16 -- Le cosmonaute en péril dans le film se couche dans le plan de son 
orbite, l'axe

de son corps tangent à l'orbite. Il possède deux états : l'état 1 où ses bras 
sont repliés le long
de son corps et l'état 2 où ses bras sont perpendiculaires au plan de l'orbite. 
Comment doit-il

s'y prendre pour rejoindre le vaisseau ?

D 17-- La masse du cosmonaute est mc = 100 kg. Ses bras sont supposés être 
équiva--

lents à un haltère (m = 30 kg, 1 = 0,70 111). Avant sa nage dans l'espace, 
l'orbite du cosmo--
naute est circulaire. Quelle est la variation du grand axe de l'orbite 
lorsqu'il effectue un
mouvement de brasse spatiale '?

FIN DE CE PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE

' Au regard, aussi, du but poursuivi, qui est de s'éloigner de la planète 
attractrice. Une modélisation
plus fine affecterait les trajectoires, mais pas l'effet global.

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Olivier
Choffrut (Mines de Paris) et Arnaud Spinelli-Audouin (École Supérieure de 
Physique
et Chimie Industrielles de Paris).

Ce problème se compose de trois parties totalement indépendantes. Les thèmes
abordés sont centrés autour de la mécanique des fluides, de la thermodynamique
et de la mécanique du point. Ce sujet n'est pas très calculatoire et d'une 
longueur
raisonnable ; cependant, la troisième partie est assez délicate.
· La première partie aborde une démonstration originale de la relation de 
Bernoulli. Il faut se laisser porter par le texte sans essayer de « réciter » 
son cours.
On y trouvera aussi une application directe.
· La deuxième partie aborde quelques points précis de thermodynamique et de
théorie cinétique des gaz. Très courte et peu dirigée, elle demande quelques
initiatives.
· Enfin, la troisième partie est un problème de mécanique du point assez long et
centré autour du problème à deux corps : on s'intéresse à une version simplifiée
d'un modèle de déplacement dans l'espace.

Indications
Première partie
4 L'accélération est purement convective. Commencer par arriver à a0 = dvx 2 
/dx .
5 Cette question est assez calculatoire. Il faut utiliser la conservation du 
débit volumique pour obtenir la loi v(r) et utiliser l'expression de a0 donnée 
dans l'indication
précédente. En combinant ces deux résultats, on a une équation différentielle 
qui
relie a0 et r. Il reste à l'intégrer et à utiliser une deuxième fois la 
conservation du
débit volumique pour exprimer a0 en utilisant le résultat obtenu à la question 
4.
6 Ici, contrairement au reste de cette partie, on revient à une question de 
cours
classique. L'énoncé reste relativement évasif mais il ne faut pas oublier que la
relation de Bernoulli, dans le cas où l'accélération est quelconque, reste 
vraie,
mais sur une ligne de courant seulement.

Deuxième partie
7 L'expansion du gaz se fait dans le vide, donc sans travail extérieur.
8 Montrer que la vitesse caractéristique des molécules reste la même au cours de
la manoeuvre. Justifier le fait que l'on peut choisir la vitesse quadratique 
moyenne
pour vitesse caractéristique.
9 Commencer par montrer que le nombre de molécules N est proportionnel à la
pression et établir l'équation de variation de N en adoptant des hypothèses 
simplificatrices (par exemple en supposant qu'un sixième des molécules se 
dirige dans
la bonne direction pour passer par le trou...).

Troisième partie
10 La transformation étant supposée instantanée, la variation d'énergie 
cinétique
est nulle. Il suffit de calculer la variation d'énergie potentielle (due à la 
seule
gravitation universelle) en n'oubliant pas de faire un développement limité pour
tenir compte du fait que   R .
11 Utiliser la courbe qui donne l'énergie potentielle effective en fonction de 
r pour
justifier que l'orbite devient elliptique. Justifier ensuite que P est le 
périgée de
la nouvelle orbite et en calculer le grand axe en utilisant la relation qui le 
lie à
l'énergie totale. rA se déduit alors par simple différence.
13 Utiliser la troisème loi de Képler pour établir une estimation du temps de 
libération. Vu les ordres de grandeur que l'on obtient (la libération est 
impossible par
cette méthode), ne pas hésiter à utiliser des hypothèses très simplistes.

I.

Relation de Bernoulli

1 On s'intéresse à un fluide parfait dans un référentiel galiléen soumis au 
seul champ
de pesanteur. L'équation d'Euler s'écrit

--
d-
v

= - grad p + -
g

dt

-

Or ici, le fluide est au repos, donc -
v = 0 . On projette alors l'équation obtenue sur
les trois axes et on obtient
p
· sur -
ux
=0;
x
p

· sur -
u
=0;
y
y
p

· sur -
u
= - g .
z
z
En intégrant la première équation, on déduit que p ne dépend pas de x, ce que 
l'on
peut écrire p (x, y, z) = f1 (y, z) . En reportant cette expression dans la 
deuxième
équation, on déduit que p ne dépend que de z : p (x, y, z) = f2 (z) . 
L'intégration de
la dernière équation fournit alors le résultat demandé
p (x, y, z) +  g z = K

(1)

Cette question demandait d'établir un résultat très classique d'hydrostatique.
Comme en outre, c'est la première impression du correcteur, il faut 
particulièrement soigner sa rédaction tout en restant concis. En particulier 
ici, on
remarquera que la projection sur les trois axes est nécessaire : une simple
 ne suffit pas à établir le résultat.
projection sur -
u
z
2 Ce que nous avons écrit à la question précédente reste valable si le vecteur 
vitesse
est non nul et constant puisque la vitesse n'intervient que par sa dérivée 
particulaire,
donc l'égalité (1) reste valable dans ce cas.
On peut proposer une autre justification pour cette question : on peut se
ramener à la situation de la question 1 par changement de repère galiléen.
L'égalité (1), qui traduit un équilibre de force, doit être maintenue par cette
opération (invariance galiléenne des forces).
3 Soit une particule fluide de volume d = dx dy dz et de masse volumique . On se

place dans le référentiel non galiléen Rng uniformément accéléré avec 
l'accélération -
a
par rapport au référentiel galiléen Rg . Dans ce référentiel, la particule est 
au repos.
Cette particule fluide est un système fermé auquel on peut appliquer la relation
fondamentale de la dynamique. Elle est soumise à :
-
· son poids  
g d ;
· la résultante des forces de pression
· la force d'inertie d'entraînement

--
- grad p d ;
-
- 
a d .

La relation fondamentale de la dynamique donne
--

-

0 = -
g d - grad p d -  -
a d

p

+ a0
0=

x

p
0=
En projetant, il vient

y

 0 = p + g
z
De la deuxième équation, on déduit que p ne dépend pas de y. En intégrant la
première équation, il vient
p (x, y, z) = - a0 x + h(z)
En reportant cette expression dans la troisième équation, on tire l'expression 
de h(z) :
h(z) = - g z + Cte
Si on appelle K la constante, on obtient finalement
p (x, y, z) +  g z +  a0 x = K

(2)

4 On est en régime permanent, donc l'accélération est purement convective :
-- 
-

a = (-
v . grad )-
v . Ici, l'accélération est supposée constante et portée par -
ux , donc les
composantes de vitesse selon y et z sont constantes. On peut, après avoir 
éventuellement procédé à un changement de référentiel galiléen, les supposer 
nulles. On obtient
alors simplement

vx
1 d vx 2
a0 = vx
=
x
2 dx
Une intégration immédiate entre M1 et M2 conduit alors à
a0 =

1 v2 2 - v1 2
2 x2 - x1

On a donc la relation générale suivante
1 v2 2 - v1 2
x = K
2 x2 - x1
On applique cette relation en deux points M1 et M2 où on note la pression p1 et
p2 respectivement :
 x1

· en M1 (x1 , y, z1 ) :
p1 +  g z 1 +
v2 2 - v1 2
= K ;
2
x2 - x1
 x2

v2 2 - v1 2
= K .
· en M1 (x2 , y, z2 ) :
p2 +  g z 2 +
2
x2 - x1
 (x, y, z)

p (x, y, z) +  g z + 

Attention, les points M1 et M2 sont différents de ceux utilisés précédemment
car ici, ils n'ont pas la même altitude a priori.
En égalant les deux expressions, on déduit la relation de Bernoulli
p1 +  g z 1 +

 v1 2
 v2 2
= p2 +  g z 2 +
2
2