Mines Physique 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Étude de transformations irréversibles en thermodynamique
Principaux outils utilisés thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 00 PHYS. I

, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMÜNICATÏONS,
DES MINES DE PARIS DES MINES DE SAINT-ETIENNE DES MINES DE NANCY
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2 000
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition du concours ENSTIM, INT, TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE ] -PC

L'én0ncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 8 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d' énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il est amené
à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numén'ques)
qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

L'épreuve comprend deux problèmes indépendants entre eux, et qui pourront être
traités dans l'ordre que l'on voudra. Le premier étudie l'irréversibiiité d'une 
évolution, le
second s'intéresse à une manière de tendre vers la réversibilité. Les diverses 
parties de
ces problèmes sont liées par le sens et certains de leurs résultats sont 
analogues.

PROBLÈME I : IRRÉVERSIBILITÉ ET FONCTION G*

Toute évolution spontanée d'un système quelconque génère une création d'entropie
Quand le système est en interaction avec une source unique, 1 irréversibilité 
de la transfor-
mation est calculable à partir d' une fonction nommée G. Le problème présente 
cette fonc-
tion successivement pour un fluide parfait homogène, pour un fluide diphasé et 
pour une
particule en mécanique.

1. Cas du Fluide Parfait

1.1. Déséquilibre mécanique

Un corps de pompe horizontal contient une mole de gaz parfait dans les 
conditions de
température et de pression T0 et p. La capacité calorifique molaire Cp du gaz à 
pression

constante est constante. Le piston et le corps de pompe sont de bons 
conducteurs thermiques
(parois diathermanes).

L'atmosphère extérieure est une source d'énergie thermique et de travail. Sa 
tempéra--
ture est notée T 0 et sa pression po. Elle peut ainsi, d'une part échanger une 
quantité finie
d'énergie thermique (" chaleur ") sans voir varier sa température, d'autre part 
changer de
volume sans que sa pression varie. Le piston (fig. 1) est débloqué à l'instant 
t= 0_ ; on attend

l'équilibre final. Les frottements du piston sont négligés.

D 0 -- Établir l'expression de la variation d'entropie
d'une mole de gaz parfait, subissant une transformation
réversible entre deux états 1 et 2 (on note R la constante
des gaz parfaits, ou constante molaire) :

Fig.]:piston,àt=O_ Sz_SI=CPln--TÀ--Rlnfä

1 P1

D 1 -- Quelle est la variation AS 1 de l'entropie S du gaz ? Quelle est son 
signe selon que
p > po ou p < po ? L'évolution du gaz n'est--elle pourtant pas irréversible 
dans les deux cas ?

D 2 -- Calculer la variation de l'entropie de l'Univers (AS 1 )U et exprimer 
cette dernière

en fonction de x = -p--°. À l'aide d'une étude graphique, déterminer le signe 
de (AS1)U dans

P
les deux cas p > po etp < po. On pourra poser, ici et ailleurs, s(x) = (x -- l) 
---- ln(x)

1.2. Déséquilibre thermique

La géométrie du système est la même que la pré-
cédente, mais le piston et le corps de pompe sont main--
tenant recouverts d'un isolant thermique. Le gaz est
dans les conditions de température T et de pression po.
Le piston est libéré à l'instant t = 0 et l'isolant est sup-
primé (figure 2).

Fig. 2 : t = O-- ; éléments isolés

E] 3 -- Exprimer la variation ASZ de l'entropie du
gaz en fonction de T et de TO.

D 4 -- Toujours en procédant graphiquement (poser y : 1), calculer la variation

76
d'entropie de l'Univers (ASZ)U ; déterminer son signe dans les deux cas T> T 0 
ou T < T 0.

1.3. Déséquilibre thermodynamique

Dans les conditions initiales les plus générales, on note T la température du 
gaz et p sa
pression ; le gaz est isolé thermiquement, le piston est bloqué. A l'instant t= 
O, le piston est
libéré et l'isolant supprimé.

Cl 5 -- Exprimer et commenter l'expression de (AS)U en fonction de (AS 1 )U et 
(AS2)U.

1.4. La fonction G *

On considère (fig. 3) la transformation la plus générale où le gaz est en 
déséquilibre
thermodynamique aux deux instants initial et final. Pratiquement, on bloque le 
piston avant

que l'équilibre mécanique soit atteint et on remet en place l'isolant 
thermique. Le gaz est
alors dans l'état (T', p').

On définit la fonction G' par G'= U + p0v --TOS où U et v désignent 
respectivement
l'énergie interne et le volume du gaz.

D 6 -- On note Avs et ASs les variations de volume et d'entropie de la source. 
Exprimer

la variation d'énergie interne de la source AUs au cours de la transformation 
en fonction de
Avs, ASS, po et T0.

E] 7 -- Exprimer la variation d'entropie de l'Univers (AS)U en fonction de AG'. 
En
déduire que AG' mesure l'inéversibilité de la transformation. Quel est 
l'intérêt de la fonction

G' par rapport à SU pour ce type d'interaction ? Justifier le nom de potentiel '
thermodynamique donné à G'.

Fig. 3a : état initial Fig. 3!) : état intermédiaire Fig. 3c : étatfinal

E] 8 -- La situation de déséquilibre mécanique (section 1.1) est définie par x 
= 2, celle
du déséquilibre thermique (section 1.2) par y = 2. Quelle est, selon la mesure 
introduite à la
question 7, la transformation la plus irréversible ?

2. Cas d'un système diphase'

La figure 4a décrit la situation : à l'instant t = 0_, le corps de pompe, isolé 
thermique-

ment, contient 1 mole d'eau à la température T = 100 °C. Le piston est bloqué 
et le volume
intérieur est vi= 10" m3. La température de l'atmosphère extérieure est T 0 
=100 °C, sa pres-

sion est po = 105 Pa (pression atmosphérique). On suppose que le volume de 
l'eau liquide est
négligeable et que l'eau vapeur se comporte comme un gaz parfait.

À 100°C la pression de vapeur saturante de l'eau est p...(73) :] atm et la 
chaleur

latente de vaporisation vautL(73) : 41 kJ.mol" ; la constante molaire est R = 
8,3 J .K".

A l'instant t= 0+, le piston est libéré. On bloque ce dernier lorsque le volume 
intérieur
atteint la valeur vf= 10"2 m3 (fig. 4h).

Fig. 4a : état initial Fig. 4b : état final

E] 9 -- Déterminer les titres molaires initial xi et final xf en vapeur d'eau. 
Il sera com-

mode de formuler une hypothèse, que l'on vérifiera, sur l'état initial de l'eau 
dans le corps
de pompe.

D 10 -- Exprimer littéralement puis numériquement les variations d'énergie 
interne Au

et d'entropie As d'une mole d'eau se vaporisant à la température de 100° C. En 
déduire la
variation A G' entre les états initial et final. Commenter.

D 11 -- Le piston est à nouveau débloqué. Que se passe-t--il ? On déplace alors 
très len-
tement le piston jusqu'à ce que le volume occupé par l'eau soit v} = 3 >< 10_3 
m'. Quelle est

la nouvelle variation AG* de la fonction G' ? Comparer cette variation à la 
variation
d'enthalpie libre AG de l'eau au cours de la même transformation.

3. Thermodynamique du mouvement unidimensionnel d'une particule

En mécanique classique comme en mécanique relativiste, la loi fondamentale de la
dynamique dans un référentiel galiléen appliqué à une particule en mouvement 
sur un axe

sous l'action d'une force F s'exprime sous la forme% = F. On considère un gaz 
de parti-
cules identiques et équivalentes et on s'intéresse à l'une d'entre elles, 
représentative de
l'ensemble. L'équation d'état de cette particule, c'est-à-dire la relation 
liant la quantité de
mouvement p àla vitesse v est supposée, à ce stade, inconnue. La particule 
représentative est
en interaction avec une source de chaleur de température T0 et une source de 
vitesse vo (cette
source peut échanger une quantité de mouvement finie sans changer de vitesse). 
La tempé-

rature de la particule est notée T.

CI 12 -- Montrer que les différentielles des énergies internes de la particule, 
U, et de la
source (dont les grandeurs sont affectées de l'indice " s "), s'écrivent 
respectivement

dU=vdp+TdS et dUs=vodps+TOdS

&

D 13 -- Par analogie avec les exemples précédents, on définit la fonction G' de 
la parti-
cule par : G'= U -- v0p -- TQS. Montrer que la variation de G' au cours de 
l'interaction parti-

. , ' . , . * ,
cule-source est rehee a l'entropie cree par la relation AG = -- T OASU.

D 14 -- On suppose à partir de maintenant que le mouvement est unidimensionnel 
; les

grandeurs p et v sont des scalaires. L'expression à l'ordre le plus bas de la 
variation élémen-
taire dG' de G pour des variations élémentaires dp et dT est

dG* =(dG*)l =(ÊÎ) dT+(âÿp*ldp

ar ap

3--5 et Û_S ; en déduire les grandeurs T et v d'équilibre de la particule.
ar p ap ,

Cl 15 -- Quelle est alors, à l'ordre le plus bas, la forme de l'expression de 
dG' autour de

2 * 2 * 2 * 2 *
l'équilibre ? Exprimer(a G ] , (à G ] et (à G ] : (3 G ) à l'équilibre en
17 T p,T T.p ' '

* *
Exprimer dans le cas général (3G ) et (8G ) en fonction de (T -- 78), (v 
----vo),
p T

ar2 ap2 arap apar
fonction de dérivées premières de S et de v.

Cl 16 --En déduire le sens de variation de l'entropie avec la température ainsi 
que le
sens de variation de la quantité de mouvement avec la vitesse.

Cl 17 ----En mécanique classique, l'équation d'état p = mv est évidemment 
compatible
avec le sens de variation de la fonction p(v) établi à la question 16 ; qu'en 
est--il en mécani-
m

que relativiste où p =

Fin de ce problème

PROBLÈME 11 : UNE APPROCHE DE LA RÉVERSIBILITÉ

La mole de gaz parfait considérée dans cette partie est caractérisée par son 
coeffi-

C

cient? = E'--'--, rapport des chaleurs massiques à pression et à volume 
constant, supposé indé-

V

pendant de la température. La constante des gaz parfaits est notée R. Pour 
chacune des évo-
lutions du gaz, l'état initial sera l'état d'équilibre, caractérisé par les 
grandeurs (R,, VO, 75) :

(pression, volume, température) ; on cherchera chaque fois à limiter la 
production d'entropie
associée à l'évolution.

]. Étude d'une transformation monatherme

CI 18 -- Le gaz parfait est placé dans un récipient à
parois fixes. Une des parois est mise en contact avec un

TT thermostat dont la température est notée T T. Les autres
parois sont calorifugées (fig. 5). Déterminer l'état final

(Pf, V f , Tf) du gaz quand, à l'issue de la transformation,

Fig- 5 --' éV01ufi0n mon01herme l'équilibre est atteint. Effectuer un bilan 
d'entropie. La
transformation est--elle thermiquement réversible ?

Cl 19 -- On réalise la transformation précédente en mettant la paroi non 
calorifugée du
récipient contenant le gaz avec une succession de N sources dont les 
températures respecti-

T --T NT--T
esT lSkSN sont T= --T----° k+--°--T--=T+ k--19 ce uidéfinit9.0n
v k( ) k (N--l) N--l 0( ) ( q )
ade la sorte T] : T0 et TN=TT. Définir l'état final du gazàl'issue de 
cetensemble de trans-

formations. Effectuer un bilan entropique pour la transformation élémentaire 
fi_l --> 7}. En

déduire, pour la transformation totale, l'expression de la quantité d'entropie 
liée à une
éventuelle irréversibilité thermique de la transformation.

Cl 20 -- Cette quantité d'entropie peut-elle s'annuler lorsque N est assez 
grand (en toute
2

rigueur, N ----> °°) ? on rappelle que ln(l -- 8) = --8 -- %-- + 0(82).

2. Étude d'une transformation monobare

Cl 21 -- Le gaz parfait est initialement en contact

avec une source àla température T 0, dans un récipient

To Pr, To dont les autres parois sont calorifugées (fig. 6). Une
de ces parois, initialement bloquée, peut se déplacer

sans frottement. On libère la paroi mobile, la pression

extérieure, constante, est notée PT. Déterminer l'état

Fig. 6 " éV01ufi0n monobare final (Pf, Vf, Tf) du gaz quand, à l'issue de la 
trans-

formation, l'équilibre est atteint. Effectuer un bilan
d'entropie. La transformation est--elle thermiquement réversible ?

D 22 -- On réalise la transformation précédente en déplaçant la paroi mobile 
par étapes
successives. À l'étape k, la pression du gaz esth = F0 + (k --1)ÎI, de sorte 
que P] =P0 et
PN =PT. Avec 1 S k 5 N , cela définit l'incrément de pression H. Définir l'état 
final du gaz

à l'issue de la transformation complète. Effectuer un bilan entropique pour la 
transformation
élémentaire P,,_] ----> B,. En déduire, pour la transformation totale, la 
quantité d'entropie liée
à une éventuelle irréversibilité mécanique de la transformation.

D 23 -- Cette quantité d'entropie peut-elle s'annuler ?

3. Étude d'une transformation plus générale

La figure 7 illustre la
situation initiale du système.
La paroi A est diathermane.
Les parois latérales et la
paroi B sont calorifugées.
Cette dernière, initialement
bloquée, peut se déplacer
sans frottement. La pression
extérieure, notée PT, est
constante. La transformation consiste à mettre le gaz 1 en contact avec la 
source à la tempé-

F i g. 7: Évolutions de gaz parfaits

rature TT et à libérer la paroi B.

3 24 -- Déterminer l'état final de chacun des deux gaz. Faire un bilan 
d'entropie.

Cl 25 -- Analyser la nature d'éventuelles irréversibilités.

:| 26 -- Est--il possible, tout en arrivant aux mêmes états finaux, de diminuer 
l'entropie
créée ?

4. Au-delà du gaz parfait...

Un ressort élastique de raideur k est chargé en N étapes par une masse M ; à 
chacune
M

des étapes, une masse m = Î est ajoutée au système, et la longueur du ressort 
augmente de

h. Au total, la longueur du ressort a augmenté de H : Nh. On rappelle la 
formule somma-

_ N(N+1)
t01re:l+2+3+...+N=----.

" D 27 -- Calculer la variation d'énergie potentielle asso-
ciée au chargement progressif du ressort, calculer la variation
d'énergie élastique et en déduire l'expression de l'énergie

> k dissipée sous forme thermique.

E] 28 -- La température du milieu est constante, calculer
la variation d'entropie associée au processus.

D 29 -- Un condensateur de capacité C est chargé sous

une différence de potentiel U en N étapes identiques. À cha--
cune des étapes, la différence de potentiel entre les armatures

Fig. 8 : Ressort élastique

U

est augmentée de Î' par le branchement d' une source d' alimentation 
supplémentaire. La

température est constante. Calculer l'énergie totale perdue par les sources, 
l'énergie électro-

statique accumulée dans le condensateur et montrer que l'augmentation 
d'entropie liée à ce
1 CU2

processus est AS = --

2NT'

M Une mole de gaz parfait en contact avec un ther--
m---- -- -- mostat à la température T est comprimée de la pression Pi
à la pression Pf, son volume varie de Vi à Vf. Lorsque la
/ \4l transformation est soudaine, comme c'est le cas par

exemple si l'on pose sur le piston un objet de masse
appropriée le système se stabilise après quelques oscilla--
tions amortiès. L' énergie thermique dissipée dans le

milieu extérieur est AQ-- --- Pf(Vi-- Vf).

WW///

/5
--

Fig. 9 : Compression d 'un

gaz parfait D 30 -- Exprimer la variation d'entropie du ther-

mostat, (ASL, et celle du gaz, (AS )

tion totale d'entropie en fonction de R et des pressions initiale et finale.

G. Exprimer la varia--

D 31 --Exprimer la variation totale d'entropie lorsque le processus est réalisé 
enN éta-
pes. '

Pi_Pf

Cl 32 -- Dans le cas où << ], simplifier l'expression de la variation d'entropie

i

établie à la question 31.

Cl 33 -- Montrer que, q désignant la charge du condensateur sous une tension U 
et V le

. . . 1 CU2
volume du piston sous une pressron P, la relation AS = --

2NT

le piston peuvent être mises respectivement sous les formes

et la relation analogue pour

(AS) =L(Uf "Ui)2ä

condensateur 12 N T aV âU (R1 et R2)
2
(AS)... = "2N--T(Pf " Pi) 370

En comparant R1 et R2, proposer une analogie entre les deux systèmes et leurs 
varia-
bles caractéristiques ; étayer cette analogie par un argument énergétique et 
justifier qualitati-
vement la différence des signes qui figurent dans ces deux relations.

Fin de ce problème

FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon) ; il a été relu par
Patrick Charmont (ENS Lyon) et Fabien Guérin (École polytechnique).

Cette épreuve, qui comporte quelques difficultés, est entièrement consacrée à
l'étude (quelque peu répétitive) de transformations irréversibles en 
thermodynamique.
Les deux parties, bien qu'indépendantes se recoupent.
Dans le premier problème, on introduit la fonction G , pour étudier 
l'irréversibilité
de différentes transformations. On s'intéresse d'abord à un fluide parfait, 
puis à un
système diphasé, et enfin à une particule matérielle.
Dans le second problème, on essaie de voir dans quelle mesure on peut réduire
l'irréversibilité de certaines transformations sur des systèmes aussi divers 
qu'un gaz
parfait, un ressort et un condensateur.

Indications

Premier problème
0 Utiliser l'enthalpie H.
1 L'entropie étant une fonction d'état, on peut appliquer le résultat de la 
question
0.
5 Il peut être intéressant de noter que U = Cv T et que Cv = Cp - R.
6 Intégrer l'inégalite thermodynamique.
9 La transformation est isotherme.
-

-
-

d
p
12 La puissance d'une force est P = F .-
v , avec F =
.
dt

15 Développer G autour de l'équilibre d'une part, et différencier G deux fois 
d'autre
part. Identifier.
16 Examiner la stabilité de l'équilibre.

Deuxième problème
18 Il peut être intéressant d'établir la relation S = Cv ln
dans toute la suite.

Tf
Vf
+ R ln
. Elle servira
T0
V0

20 On peut chercher un équivalent de SU lorsque N devient très grand, en 
effectuant
un développement limité de (SU )k , puis en sommant.
23 Inutile de refaire les calculs, c'est la même chose qu'à la question 20...
24 Effectuer les bilans sur les sous-systèmes, et sommer.
27 Établir tout d'abord l'expression de la variation d'énergie potentielle pour 
une
étape.
28 On suppose que l'entropie du ressort ne dépend pas de l'allongement.
dq
. En déduire l'énergie
29 La puissance fournie par un generateur est UI, et I =
dt
fournie.
32 Même calcul qu'à la question 23. Attention au nombre d'étapes.

Premier problème :

1.

Irréversibilité et fonction G

Cas du fluide parfait

0 L'expression qu'on veut établir fait intervenir P et T. On utilise donc 
l'enthalpie
H qui est reliée à S par l'identité thermodynamique :
dH V
- dP
T
T
L'équation des gaz parfaits PV = RT, ainsi que la relation dH = Cp dT nous 
permettent d'écrire
dT
dP
dS = Cp
-R
T
P
Cette dernière équation différentielle, à variables séparées, ne fait 
intervenir que deux
variables, P et T. qui sont donc indépendantes. On peux donc intégrer 
indépendamment par rapport à T et P.
Z 2
Z 2
Z 2
dT
dP
dS = Cp
-R
T
P
1
1
1
dS =

Les valeurs de P et T finales et initiales étant connues, on obtient finalement 
l'expression recherchée :
S2 - S1 = Cp ln

T2
P2
- R ln
T1
P1

Une équation différentielle à variables séparées, contenant P, T, et V, ne
peut pas être résolue en intégrant indépendamment sur ces trois variables.
En effet, elles sont liées par l'équation d'état PV = RT, et ne peuvent donc
pas varier indépendamment.
1 Le piston est libre, et la paroi diatherme. À l'équilibre on a donc égalité 
des
températures et des pressions à l'interieur et à l'exterieur du piston.
Comme l'entropie est une fonction d'état, l'expression établie à la question 0 
est
valable pour une transformation quelconque d'un gaz parfait. On applique donc 
cette
relation à la transformation proposée, sachant que l'état d'équilibre est (P0 , 
T0 ).
S1 = -R ln

P0
P

­ Si P > P0 , on a S1 > 0 ;
­ si P < P0 , on a S1 < 0.
L'évolution du gaz est irréversible dans les deux cas, bien que le signe de S1 
ne
soit pas le même. En effet, le gaz dans le piston n'est pas un système isolé, 
puisqu'il
peut échanger chaleur et travail avec l'extérieur. Comme le second principe S > 
0 ne
s'applique qu'à des systèmes isolés, le signe de la variation d'entropie du gaz 
ne donne
pas d'information particulière sur l'éventuelle irréversibilité de la 
transformation.
2 L'entropie est additive. On connait déjà la variation d'entropie du gaz, il 
reste
donc à calculer la variation d'entropie du thermostat, qui est toujours

Sthermostat =

Qthermostat
Tthermostat

Il nous faut donc trouver la quantité de chaleur que le thermostat a échangé 
avec la
source. Pour cela, on se rappelle que l'énergie interne d'un gaz parfait ne 
dépend que
de sa température. Comme elle est la même pour les états initial et final, on a 
:
U = 0 = W + Q
Or W = -Pext V, donc Q = P0
V. En utilisant l'équation des gaz parfaits, on
1
1
peut calculer V = RT0
-
. Comme Qgaz = -Qthermostat , on a finalement :
P0
P

1
1
-
Sthermostat = -RP0
P0
P
D'où :

(S1 )U = R

Ce qu'on peut écrire en fonction de x =

P0
P0
- 1 - ln
P
P

P0
, avec s(x) = (x - 1) - ln x :
P

(S1 )U = R (x - 1 - ln x) = Rs(x)

4
2
0
-2
0

1

2

3

4

5

On voit que la courbe d'équation y = x - 1 est toujours au-dessus de la courbe
y = ln x. Donc (S1 )U > 0.
Le second principe est bien vérifié.
3 Comme pour la question 1, on applique la formule obtenue à la question 0. 
L'état
final, à l'issue de cette transformation isobare, est (P0 , T0 ) :
S2 = Cp ln

T0
T

4 On procède exactement comme à la question 2 : on cherche à exprimer le 
transfert
thermique reçu par le thermostat. Ici, on a affaire à une transformation à 
pression
constante. Le transfert thermique reçu par le gaz est donc Qgaz = -Qth = Cp T.
D'où

(S2 )th = -

Cp T
T0