E3A Physique PC 2008

Thème de l'épreuve Échangeur thermique à fluide caloporteur
Principaux outils utilisés diffusion thermique, mécanique des fluides, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


KA84

&? 3 &)
CONCOURS ENSAM -- ESTP -- ARCHIMEDE

Epreuve de Physique PC

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

Echangeur thermique à fluide caloporteur

Le problème comprend trois parties qui s'intéressent à divers aspects des
échangeurs thermiques à fluide calopofieur. La première partie concerne les
transferts thermiques entre le milieu extérieur et un fluide s'écoulant dans 
une conduite.
La seconde partie est consacrée à l'étude simplifiée d'un système de régulation
thermique par contrôle de débit. La troisième partie, presque totalement 
indépendante
des deux autres, décrit une technique électromagnétique de contrôle non 
destructif des
tubes métalliques, couramment utilisée pour contrôler les échangeurs thermiques.

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre
que les développements analytiques et les applications numériques ;

. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème ;

. tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas
été démontré par les candidat(e)s ;

. les applications numériques seront toutes données avec deux chiffres 
significatifs. A
défaut, elles ne seront pas comptabilisées.

Tournez la page S.V.P.

PREMIERE PARTIE

ECHANGES THERMIQUES A TRAVERS UN TUBE CYLINDRIQUE

1 I CONDUCTANCE THERMIQUE A TRAVERS UN TUBE CYLINDRIQUE

Considérons un tube cylindrique d'axe Oz, de rayon intérieur R, de rayon 
extérieur R2 et
de trés grande longueur (figure 1). Le tube est réalisé dans un matériau de 
conductivité

thermique notée À.

1*a. Dans le cas général, rappeler la loi de Fourier qui relie
le vecteur densité de courant thermique , noté jo , au
gradient de la température.

1*b. Justifier en quelques mots que la conductivité
thermique, telle qu'elle apparaît dans la loi de Fourier,
est toujours un nombre positif.

Le système est en régime permanent: la température
T(r) en un point M du tube ne dépend donc que de r, la
distance de M à l'axe {coordonnées cylindriques). Les

températures de surface sont notées T, : T(R,) et T2 == T(R2).

1*c. Préciser la direction du vecteur jQ dans le tube.

1*d. Exprimer la puissance thermique ?... sortant d'un cylindre de rayon r (r1 
< r < r_.,_) et de

longueur EUR, en fonction de jQ(r) et r.

1*e. En appliquant le premier principe de la thermodynamique à un système 
correctement
choisi, montrer que la puissance thermique @... est indépendante de r.

1*f. En déduire l'expression de la température T(r) en fonction de OE..., r, 
R,, ?... T1 et EUR.

Ë£L Etablir que la puissance thermique ?... peut s'écrire :
OEh=gf(Ti'--T2)u ...
en exprimant g en fonction de À, R, et R2.

1*h. Calculer g pour un tube possédant les caractéristiques suivantes :
conductivité thermique À = 0,40 kW.m".K", rayons R, = 8,0 mm et R2 = 8,5 mm.

Le tube précédent est utilisé comme « échangeur thermique » permettant les 
transferts

thermiques entre un fluide (appelé fluide calopon'eur --- ici il s'agit d'eau) 
transporté dans le tube
et le milieu extérieur.

Le fluide caloporteur est supposé incompressible, de masse volumique p 
constante et
de capacité thermique massique à pression constante Cp (phase condensée idéale) 
; il s'écoule

dans le tube avec un débit massique D....

Dans cette partie, tout phénomène de viscosité est négligé. L'écoulement est 
supposé

uniforme et stationnaire, la vitesse d'écoulement s'écrivant en tout point : v 
: vez, (v est une

constante positive). Dans une section d'abscisse z constante, la température du 
fluide est
uniforme et notée Tfl (Z).

3

2 I PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
APPLIQUE A UNE PORTION DE FLUIDE

Afin d'effectuer un bilan thermique permettant de déterminer Tf, (z), 
envisageons le

système fermé (2 ) constitué parle fluide qui, à l'instant t, se trouve entre 
deux cotes 2e et zS
dans le tube (figure 2).

ooooooooooooooooo

.
...........
ooooooooooooo
ooooooooooo
ooooooooooo
ooooooooooo
oooooooooooooo
00000000000
ooooooooooo

...................
ooooooooooo
oooooooooooo
ooooooooooooooooooo
000000000000

ccccccccccc
ooooooooooo

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ooooooooooo

nnnnnnnnnnnnnnnnnnn
ooooooooooo

ooooooooooooooooooo
oooooooooooo

ooooooooooooooooooo
oooooooooooo

oooooooooooooooooooo

ooooooooooo
00000000000
...........

La pression, uniforme sur une section droite du tube, est notée P.;. en ze et 
PS en 25. La

section 8 = 7er du tube est supposée constante. Entre les instants t et t + dt, 
le système (23)
se translate de v dt (voir figure 2) selon Oz.

_

Figure 2

2*a. Exprimer le débit massique D... à travers la section 8 du tube en fonction 
de p, 8 et v.

2*b. Déterminer la puissance ?... des forces de pression agissant sur (E) en 
fonction de D...,
Pe, PS et p.

2*c. Montrer que la variation d'énergie interne de (2) entre t et t + dt 
s'écrit :
dU : Dm (u$ ---- ue ) dt, où us (resp. ue) désigne l'énergie interne par unité 
de masse du

fluide en 25 (resp. en ze).

2*d. La puissance thermique totale entrant dans (E) est notée OE.... En 
appliquant le premier
principe de la thermodynamique, établir la relation suivante :

Dm Cp [Tfl(zs) "' Tfl(Ze)] : ÿth (2)

3 ! THERMALISATION DU FLUIDE

Le tube, parcouru parle fluide caloporteur
est mis en contact, sur une longueur L {comprise

entre les sections 2 == 0 et 2 == L) avec un milieu
extérieur de température T... , qui demeure
constante et uniforme dans tout l'espace, comme
l'illustre la figure 3.

Les contacts thermiques sur les faces
internes et externes du tube sont supposés
parfaits : la température T2 de la surface externe
du tube est égale à Tm et, localement, la
température T1 de la surface interne est égale à
T,«, (2). Le fluide pénètre dans le tube a la

température d'admission : Ted... : Tf, (O). _g__Fi ure 3

Sauf indication contraire, toute conduction thermique au sein du fluide est 
négligée.

Tournez la page S.V.P.

4

3*a. En appliquant les relations (1) et (2) à une portion élémentaire située 
entre 2 et 2 + dz,

D C
exprimer % en fonction de T... --- Tfl(z) et de la longueur EUR, : mg " .

3*b. Déterminer Tfl (z) en fonction de z, Tadm, Tm et 61 .
Représenter graphiquement Tfl (z ) .

3*c. Exprimer la puissance thermique totale ?fith,ech fournie par le fluide 
calopodeur au

milieu en fonction de D..., Cp, T..., Tad..., L et 61.

La longueur L est suffisamment grande pour que la puissance thermique .Û/3th,æh 
puisse
s'écrire : %h,æh : Dm Cp (Tadm --- Tm ) (3).

Les questions 3*d et 3*e qui suivent prennent en compte la conductivité 
thermique du
fluide de façon à déterminer le domaine de validité de l'analyse précédente.

3*d. Le fluide possédant une conductivité thermique ?... non nulle, reprendre 
l'analyse du 3*a
et écrire l'équation différentielle vérifiée par Tfl (2) sous la forme :

de| _ 2 d2Tfl

Æ1*d--£' [T...--Tf|(Z)]+Æ2 d22 ,

où Æ2 est une longueur qui sera exprimée en fonction de ?..., S et g.

3*e. Par un raisonnement en ordre de grandeur, établir une condition sur 62 et 
61 pour que
la contribution des transferts thermiques diffusifs au sein du fluide puisse 
être négligée.

Montrer que cette condition est vérifiée si le débit massique est beaucoup plus 
grand
qu'une valeur critique D..., à exprimer en fonction de 8, g, ?... et Cp.

Calculer Dmc avec les données numériques suivantes :
>... = 0,58 W.m".K'*, c,, = 4,2 kJ.K".kg", g = 40 kW.m".K'1 et s = 2,0.10'4 m2.

Nous supposerons dans toute la suite que l'équation (3) décrit correctement les
échanges thermiques entre le fluide et le milieu.

4 I CHAUFFAGE D'UNE PIECE

Le tube modélise un radiateur dans une installation domestique de chauffage 
central. Le
milieu extérieur est l'air d'une pièce, considérée comme une enceinte fermée où 
règne une
température uniforme mais pouvant dépendre du temps, notée T...(t) et une 
pression constante.

La capacité thermique de la pièce à pression constante est notée I'". La pièce 
n'est pas

parfaitement iso/ée thermiquement par rapport à l'extérieur, où règne la 
température constante
Tex, ; la puissance thermique perdue parla pièce vers l'extérieur s'exprime 
alors sous la forme :

fÿth,fuite : Gfuite [Tm (t ) '" Text ]

4*a. Montrer que la température de la pièce évolue avec le temps selon une 
équation
différentielle de la forme :

dTm __1_ __
""'ä'" "'" T[Tst Tm(t)] (4)

Exprimer Tst et T en fOflCfi0fl de Tadm, Text, r, Dm, Gfuite et Cp.

4*b. Que représentent concrètement la température Tst ainsi que le temps 17 '?

4*c. Commenter les valeurs limites de Tst dans les cas respectifs suivants :
G...ioe >> Dme et Gfuioe << Dme.

5

4*d. Calculer numériquement le débit massique D...... nécessaire pour obtenir 
Tst= 292 K, à
l'aide des données suivantes: température extérieure Text--_: To-- _ 283 K; 
température
d'admission du fluide Tad...-- _ 333 K, ainsi que les caractéristiques pour la 
pièce

considérée : r = 56 kJ.K" et G..., = 40 WK".

4*e. Comparer les débits D... et Dmc, puis commenter ces résultats.
Calculer la grandeur t pour le débit D....

Les valeurs de température et de débit étudiées dans la suite sont proches des 
valeurs
numériques de la question 4*d, si bien qu'en première approche l'équation (4) 
pourra être
remplacée par l'équation simplifiée suivante (justification non demandée) :

[_
Gfuite

(5).

dT..._ {D_1_... ...C,,

T -- + T ---- Tm t avec ==
dt Gfuite ( adm ext) ext ( )} 2'O

DEUXIEME PARTIE

CONTROLE DU DEBIT DE FLUIDE

Dans une pièce d'habitation ou un bâtiment de stockage, il est souvent 
souhaitable de
maintenir la température constante, indépendamment des variations de la 
température
extérieure T.... Parmi les différents systèmes de régulation envisageables, le 
plus simple
consiste à agir sur le débit du fluide calopon'ew dans la conduite.

Cette partie est consacrée à l'analyse simplifiée d'un tel système de 
régulation.

La viscosité 77 du fluide s'écoulant dans le tube est désormais prise en 
compte. La
pesanteur est négligée. Il est rappelé qu'alors, le champ de vitesse v(M,t)et 
le champ de

pression P( M, t) dans un fluide incompressible sont reliés par l'équation de 
Navier--Stokes :

p(%--î+ (|? grad)v ]=--gradP+nAv

Pour simplifier les calculs, considérons une géométrie plane (figure 4) :

X

|7=V(x)ël

""'"

Figure 4

Tournez la page S.V.P.

6
1 I ECOULEMENT D'UN FLUIDE ENTRE DEUX PLANS FIXES

L'espace étant rapporté au triédre can'ésien Oxyz de base orthonormée directe

---------.--------.-----ÿ

(ex,ey,ez ) considérons un fluide en écoulement stationnaire et unidirectionnel 
entre les deux

plans x : --al2 et x = a/2 (figure 4). Le champ de vitesses est de la forme : v 
: v(x)éÇ .

__ 2
1*a. Exprimer gradP en fonction de n et Ë--É.
dx
1*b. En déduire que la pression P ne dépend que de z et montrer que la quantité 
K : ----%--È

est une constante.

1*c. Rappeler les conditions aux limites vérifiées par v(x) en x = .--.t al2 .

1*d. Déterminer v(x) en fonction de x, K, a et n.
Représenter graphiquement le profil de vitesse entre les deux plans.
Justifier physiquement pourquoi la grandeur K doit être strictement positive 
pour que

l'écoulement soit dirigé selon eZ .

1*e. Montrer que le débit massique total transporté suivant ez, à travers une 
section de

largeur H selon Oy, s'écrit : Dm : oc K a3 , en explicitant ou en fonction de 
n, p et H.

2 I CONDUCTANCE HYDRAULIQUE

Considérons le système précédent, compris entre les abscisses z =-- 0 et z =-- 
L.

2*a. Exprimer la quantité K en fonction de P(O), P(L) et L.

2*b. Montrer que le débit à travers une section de largeur H selon Oy peut 
s'écrire :
D... : Gh [P(O) --- P(L)],
où le terme G.1 sera exprimé en fonction de a, a et L.

2*c. Justifier le nom de « conductance hydraulique » pour Gh en faisant une 
analogie
électrique. Préciser en particulier l'équivalent électrique de D... et celui de 
la chute de

pression P(O) --- P(L).

3 I CONTROLE DU DEBIT PAR CHANGEMENT DE SECTION

Le système, toujours invariant selon Oy, présente maintenant un rétrécissement
ajustable (figure 5) de longueur L,. Ce rétrécissement est obtenu à l'aide 
d'une pièce plane (C)
(dite « pièce d'obstruction ») coulissant (de façon étanche!) selon Ox dans une 
ouverture
pratiquée dans le plan inférieur. La position de cette pièce est repérée parle 
débordement x
représenté en figure 5 ; au--dessus de (C), la largeur dela conduite devient a 
----- x .

Il est admis que chaque portion (rétrécie ou non) se comporte comme le système 
infini
étudié aux sous--parties 1 et 2 précédentes.

3*a. En considérant le système comme une association de conductances 
hydrauliques,
exprimer le débit massique à travers une section droite de largeur H selon Oy en

fonction de HD)--P(L), oc, L, L... a et x.

" L

\

Figure 5

Position ajustable

La différence de pression P(O) --- P(L) étant fixée, le débit est ajusté en 
modifiant la
valeur de x autour d'une valeur moyenne x0. Les déplacements de (C) sont de 
faible
amplitude, si bien qu'il est possible de poser x =-- x0 + a, avec EUR << x0.

3*b. Montrer qu'au premier ordre en EUR , le débit massique peut s'écrire :

D... =Dmo(1--be), (6)
p ..
en posant D... = W et où b est une constante positive à exprimer en
"' r + r

33 (a "' Xo )3
fonction de L, L,, a et xo.

4 I CONTROLE DU DEBIT PAR LA TEMPERATURE DE LA PIECE
VANNE THERMO$TATIQUE

Le dispositif étudié reproduit le principe des vannes thermostatiques les plus 
courantes :
pour asservir le débit de fluide dans la conduite a la température qui règne à 
l'extérieur ( T...), la
pièce d'obstruction (C) est reliée par une tige rigide sans masse à un piston 
coulissant dont la
position est sensible àla température (figure 6).

Le piston, de masse négligeable, ferme un réservoir cylindrique de section s, 
contenant
un gaz parfait (dit « gaz de contrôle ») qui est à chaque instant à la 
température T.... L'espace
entre le piston et le tube est vide.

Le poids est négligé ainsi que tout frottement. Le référentiel d'étude est 
considéré
comme galiléen. La pièce (C) a un simple mouvement de translation selon Ox.

Le système est à l'équilibre lorsque la pièce est à la température (dite de 
consigne) T....
Dans cette situation, le volume du gaz de contrôle est V0 et le débordement de 
(C) est tel que

x = X,). La pression qui règne dans le fluide est indépendante dela position de 
(C).

Tournez la page S.V.P.

...............................................
.................................................................................
...........................................................................................
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
....................................................................................
.....

{:5:5EÏüläägïfififîäÿâlfiüäflî'Q]ËîtîîiïïïîîîîîîEîîîîîîîîî5îEîEïîîEïîîîîïî$îïîïîîîîïEîîîîîïîïîîîîîîîîïïîïî£ïîîïîïîïîEîîîîîîîîîï

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n 0
0 O o
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----------------------------------------

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Figure 6 "99 Vide
PiSton_> .:::1:::::I:Z:.:I;Z:Z;Z:Z:I;î;:::;I;Z;I:I;Z:I:Z:.;îjlçîjî Aire S
Gaz de contrôle Tm
* ,, . ' . . , , , . d2x . . . ,
4 a. Levolutron est tres lente, SI bien que lacoeleratron de (C), dtî peut etre 
neglrgee.

Montrer que le gaz de contrôle évolue à pression constante.

4*b. La température T... est voisine de la température de consigne : T... = ... 
+ ôTm.
Exprimer la variation de volume ôV du gaz de contrôle en fonction de V0, ôT... 
et T....

4*c. En utilisant l'équation (6) du 3*b, écrire l'expression du débit Drn dans 
la conduite sous la
forme :

Dm =Dm0(1"BôTm)l (7)
en exprimant B en fonction de b, Vo, s et T....

4*d. Expliquer qualitativement pourquoi ce système peut être utilisé comme 
dispositif de
régulation de la température de la pièce (considérer une situation de chauffage 
où

Tadm >Tm >Text )

5 I STABILISATION EN TEMPERATURE

Les résultats établis ci--dessus sont généralisables au cas d'un tube 
cylindrique
{moyennant une modification du paramètre b).

La température Text de l'air hors de la pièce subit de petites fluctuations 
autour d'une
valeur moyenne To : TWt : T0 + 5Text (t). La température d'admission Ted... 
reste inchangée.

La température de consigne T... est la température stationnaire obtenue quand
l'extérieur est à la température T0 et quand le débit de fluide vaut D....

Les relations (5) et (7) ci--dessus conduisent, aprés linéarisation, à 
l'équation :

W : 5T9X'(1-- Dm0 CP ) _5T... avec -l--- = --1---(1 + D"... C,, 5 (Tadm "' To)] 
(8)
dt TO Gfuite TSÎ TS! 1'0 Gfuite

A l'instant t = 0, alors que la température dans la pièce est T... la 
température
extérieure passe brusquement de T0 a T0 + 5T0, où 5T0 est constante.

9

Considérons pour commencer un systéme de chauffage pour lequel Tadm > To .

5*a. Montrer que ôTm tend, lorsque le temps devient infini, vers une valeur 
limite notée
ôTm,oe. Ecrire ôTm,oe en fonction de ôTO, IS,, 130, D..., Cp et Gf...te.

5*b. Sans régulation (c'est à dire pour B = 0), la température de la pièce 
tendrait vers une

ôT
limite ôTm,oe,nr au bout d'un temps infini. Exprimer le rapport &, : ""°° en 
fonction de

Tm,oo,nr

"Est et 150 .

5*c. Quelle propriété le rapport & doit-il vérifier pour que le dispositif de 
régulation puisse
limiter les variations de température dans la pièce ? Est--ce le cas ici ?

5*d. Exprimer le rapport ?, en fonction des paramètres D..., Cp, B, (Team -- 
T0) et G....

Pour chacun de ces paramètres, indiquer si une augmentation favorise ou 
défavorise le
bon fonctionnement du système ; commenter ces résultats.

5*e. Quel sens concret peut--on donner a ts, ?

Enfin, envisageons le cas d'un dispositif de climatisation par eau froide, où 
Tadm < TO.

5*f. Montrer que le dispositif de régulation conduit à une température 
stationnaire seulement

si TO ----- Tac...n est inférieur à une valeur critique Tc à exprimer en 
fonction de B , D..., CD et
et Gtuite-

5*g. Expliquer que, même dans le cas d'une évolution stable, ce système est 
inadapté à la
régulation de la température de la pièce.

TROISIEME PARTIE

CONTROLE NON DESTRUCTIF DES TUBES METALLIQUES
PAR COURANTS DE FOUCAULT

Nota: en dehors des paramètres géométriques du tube, les notations de cette 
partie
sont indépendantes de celles des parties précédentes.

Cette partie s'intéresse à une méthode de contrôle des caractéristiques des 
tubes

métalliques, non destructive et qui ne nécessite pas le démontage de 
l'installation où ces tubes
sont utilisés.

Le tube étudié a les mêmes caractéristiques qu'en première partie (axe Oz, rayon

intérieur R1, rayon extérieur R2 ---- voir figure 1). Il est constitué d'un 
métal de conductivité
électrique 0. Son épaisseur est notée e = R2 ----- R,.

Une bobine (dite « excitatrice ») d'axe Oz comportant n spires circulaires par 
unité de
longueur, de rayon b et de longueur totale EUR (figure 7) entoure localement le 
tube. Elle est

parcourue par un courant sinusoi'dal d'intensité l(t) : lo cos(wt), dont les 
variations sont

suffisamment lentes pour que l'approximation des régimes quasi--stationnaires 
soit valable.
L'ensemble est plongé dans l'air dont les propriétés électromagnétiques sont 
celles du vide.

------p---.------ç

Utilisons le système des coordonnées cylindriques (r,9, z) de base locale 
(e,,ee, eZ ).

Tournez la page S.V.P.

10

Vue en perspective Figure 7 Vue en coupe

1 I COURANTS INDUITS DANS LE TUBE

La bobine, située entre 2 = 0 et z = EUR est assimilée à un soiénoïde infini : 
en dehors du
volume cylindrique intérieur (de rayon b et de longueur EUR ) qu'elle délimite, 
le champ

magnétique créé par I (t) est nul. Dans ce volume, il est uniforme et s'écrit È 
: BO (t)éÇ .

Dans cette sous--partie 1, ce champ magnétique est le seul a prendre en compte. 
En
particulier, l'éventuel champ magnétique créé par les courants susceptibles 
d'exister dans le
tube est négligé.

1*a. Justifier la direction de Ë par un argument de symétrie.
Rappeler sans démonstration l'expression de Bo(t) en fonction de n, l(t) et po

(perméabilité du vide).

Soit une portion du tube comprise entre 2 et 2 + dz. L'épaisseur du tube étant 
très faible,
cette portion peut être assimilée à une spire circulaire quasi--filiforme de 
rayon moyen

R... = R' ;R2 , comme le montre la figure 8.

Figure 8

Portion de tube assimilée à une spire filiforme

11

1*b. Exprimer la conductance électrique dg d'une telle spire en fonction de e, 
dz, R... et o.
1*c. Déterminer la force électromotrice d'induction e...d qui apparaît dans la 
spire du fait des
. . . B . . .
variations de Bo(t) en fonction de Êdtg et R... (l'orientation est celle de la 
figure 8 : sens

direct par rapport a &; ).

1*d. En déduire l'expression de l'intensité induite dl...d (orientée comme sur 
la figure 8) qui

circule dans cette portion de tube, en fonction de d, e, dz, R..., u0, n et 
--Ë%.

2 I CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR LES COURANTS INDUITS

Avec la description précédente, il est possible de considérer la portion de 
tube située

. . . 1 . . ,
entre 2 == 0 et z = EUR comme une bobine Circulaire comportant n' = d? spires 
par unité de

longueur, parcourues par un courant d'intensité dl...d.

2*a. Avec les mêmes approximations qu'à la sous--partie 1, donner l'expression 
en tout point

. . . -- . |
du champ magnétique induit Bind en fonction de 0, e, R..., u0, n et â--.

2*b. Les calculs précédents sont valables si "ËÇQ << "É". Montrer que cette 
condition est

valable (en ordre de grandeur) si e << ec, où eC sera exprimée en fonction de la

grandeur 8 == ,/ 2 et de R....
(D].l00

Calculer le rapport eleC à l'aide des données suivantes, puis commenter la 
valeur

obtenue.
Données: 0 : 6,0.107 s.m'1 , R... = 8,3 mm , e = 0,50 mm , ..., =...-- 4n.10°7 
H.m'1

fréquence de travail : f= 100 Hz.

2*c. Que représente la grandeur 6 ? Quel est le phénomène de 
l'électromagnétisme des
conducteurs qui est négligé s'il est admis que "Bind << "BH ?

Cette approximation " ËÆ << "È " sera supposée vérifiée dans toute la suite de 
l'étude.

3 I IMPEDANCE APPARENTE DE LA BOBINE EXCITATRICE

3*a. Exprimer le flux (I)... de Ëind à travers la bobine excitatrice en 
fonction de n, 6, B... et
R....

3*b. Montrer que la force électromotrice totale d'induction à travers la bobine 
excitatrice peut

s'écrire sous la forme :
dl d2l

etotal ="Laî+raîî

où L est l'inductance propre de la bobine et en posant F = k u02 n2 et eRm3, k 
étant une
constante numérique à expliciter.

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3*e. La bobine excitatrice a une résistance interne R. Quelle est l'impédance 
complexe __Z_(oe)

de cette bobine « à vide » (c'est--à--dire en l'absence du tube), exprimée en 
fonction de
L, 00 et R ?

3*d. Expliquer comment le tube entraîne une modification de la résistance 
apparente de la
bobine, qui devient alors R' = R + ôR.

Exprimer ôR en fonction de F et (D.

3*e. Calculer ôR pour le tube précédent, à une fréquence de travail f = 100 Hz, 
avec les

caractéristiques suivantes pour la bobine : n : 3,0.104 spires.m'1 et EUR = 
0,10 m.
Commenter le résultat obtenu.

La mesure de (SR permet de mettre en évidence les modifications locales des
caractéristiques du tube et donc d'en analyser les défauts éventuels.

3*f. Discuter qualitativement les types de défauts du tube qui sont 
susceptibles d'être mis en
évidence par la mesure de ôR.

3*g. Quelle est selon vous la fréquence optimale f... a utiliser pour accéder 
aux
caractéristiques « en volume » du tube ? '
Réaliser l'application numérique avec les valeurs précédentes.

Que se passerait--il si, comme c'est souvent le cas en pratique, une fréquence
nettement plus élevée était utilisée ? Quels types de défauts pourraient alors 
être mis en
évidence?

FIN DE L'EPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Physique PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Sandrine Ngo (ENS Cachan) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE).

Cette épreuve, composée de trois parties qui sont assez largement indépendantes,
étudie un échangeur thermique à fluide caloporteur. Les deux premières parties 
visent
à établir quelques caractéristiques d'un système de chauffage régulé tandis que 
la
troisième esquisse un modèle de contrôle de la qualité d'un réseau de tubes à 
partir
d'une méthode non invasive.
· Dans la première partie, on s'intéresse à la conduction thermique dans une
géométrie cylindrique. Après quelques rappels sur la conduction, on applique
les résultats à un écoulement fluide parfait. La partie se termine sur des 
bilans
énergétiques globaux à l'échelle d'une pièce. Le principal thème abordé est la
thermodynamique des phénomènes diffusifs. Une large part est consacrée aux
systèmes ouverts.
· La deuxième partie se focalise sur le contrôle du débit du fluide dans le but
de réguler la puissance de chauffage. Le fluide est alors supposé newtonien.
C'est l'occasion de redémontrer les résultats classiques de l'écoulement de 
Poiseuille plan et de formuler (et utiliser !) une analogie électrique pour 
faciliter
l'analyse en présence de plusieurs dispositifs analogues. Le début de cette 
partie
est essentiellement constitué de questions de mécanique des fluides newtoniens
tandis que la fin fait davantage appel à la thermodynamique.
· La troisième partie est indépendante des deux précédentes. On cherche à 
montrer comment « sonder » des tubes pour en détecter certains défauts. Le 
dispositif s'appuie sur une bobine placée autour de la portion de tube à 
analyser, pour
laquelle on établit les variations d'une propriété (la résistance apparente) par
induction. L'avantage d'un tel dispositif est qu'il permet de sonder facilement
et sans démontage de grandes longueurs de tube. Cette partie n'est pas difficile
si l'on a bien compris la notion de flux du champ magnétique, notamment les
notions de flux propre et flux induit.
L'ensemble forme un problème de longueur et de difficulté raisonnables. Il 
permet
de faire le point sur les connaissances de base en conduction thermique, 
mécanique des
fluides visqueux et induction. Notons qu'il est principalement centré sur les 
connaissances de deuxième année. En cours d'année, il peut être utilisé pour 
l'apprentissage
de ces parties du programme.

Indications
Partie I
I.1.d Par définition, la puissance thermique sortant du cylindre est égale au 
flux
du vecteur -

Q sur la surface du cylindre.
I.1.e Faire un bilan énergétique sur un volume compris entre deux cylindres de
rayons r et r + dr.
I.2.b Les forces de pression s'exercent en amont et en aval : utiliser la 
définition de
la puissance d'une force.
I.2.d Faire apparaître l'enthalpie massique h = u + P/ en rassemblant l'énergie
interne et le travail des forces de pression.
I.3.a L'énoncé utilise, pour les relations (1) et (2) deux fois P th alors que 
les
termes sont en fait opposés. Ne pas oublier d'introduire le signe moins !
I.3.d Pour prendre en compte la conduction thermique au sein du fluide, ajouter
un terme au bilan énergétique (1) : il s'agit de la différence entre ce qui est
« reçu » en z et ce qui est « cédé » en z + dz par la tranche de fluide.
I.4.b Écrire la solution générale de l'équation (4) pour pouvoir interpréter  
et Tst .
Partie II
II.1.c Le fluide étant visqueux, il y a adhérence de ce dernier aux parois.
II.3.a Vérifier que les trois portions ainsi agencées sont montées en série. En 
déduire
la loi d'association écrite en terme de conductances.
II.4.a Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la pièce 
d'obstruction (C).
II.4.c La variation de volume V du gaz de contrôle s'exprime simplement en 
fonction de la variation de position de (C) x = .
II.4.d La situation à considérer est Tadm > Tm0 > Text .
II.5.f Dans une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients 
constants
df
f
+ =B
dt

une solution stationnaire n'existe que si  > 0 (sinon, f est exponentiellement
croissante).
II.5.g Étudier la valeur de  dans ces conditions.
Partie III
III.1.c Utiliser la loi de Faraday qui lie les variations du flux du champ 
magnétique
et la force électromotrice induite.
III.2.a Écrire à nouveau le champ magnétique créé par un solénoïde infini en 
tenant
compte des hypothèses.
III.3.a Le champ induit est uniforme à l'intérieur de la bobine et nul à 
l'extérieur.
La bobine est constituée de n  spires identiques de rayon Rm .
III.3.a Le flux total à travers la bobine est égal à la somme du flux propre et 
du flux
du champ induit.
III.3.e Pour commenter, calculer R/R en supposant par exemple que la bobine est
filiforme, qu'elle est fabriquée dans le même conducteur que le tube et a même
dimension que ce dernier.
III.3.g Pour sonder tout le tube, il faut que les courants induits pénètrent au 
moins
sur une épaisseur e.

Échangeur thermique à fluide caloporteur
Le rapport du jury de cette épreuve mentionne qu'elle n'a pas été bien
réussie par les candidats. Les applications numériques, pourtant peu 
nombreuses, n'ont pas été bien traitées et la consigne, pourtant très explicite 
en
début de problème, de donner exactement deux chiffres significatifs n'a été
respectée que dans un tiers des copies. Signalons également que le barème
prévoyait explicitement une bonification (qui atteignait au total environ 10 %
du nombre total de points) pour les candidats qui traiteraient correctement
une série de questions consécutives. Il était quasiment impossible d'avoir la
moyenne sans avoir une partie de ces points. L'objectif, assumé, est de 
pénaliser les « grappilleurs de points ». Le rapport regrette que les calculs, 
pourtant
peu exigeants dans cette épreuve, aient été fort mal conduits dans l'ensemble.
La simple résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à 
coefficients constants semble insurmontable pour beaucoup de candidats.
Le rapport est également l'occasion de rappeler des conseils généraux :
· « Apprendre le cours de façon plus exigeante. La connaissance des formules ne 
suffit pas en elle-même. Il faut en comprendre le sens concret
et en connaître le domaine d'application. »
· « Soigner les questions qualitatives et s'y entraîner pendant l'année. »
· « S'entraîner au calcul en résolvant soi-même les exercices (plutôt qu'en
lisant des corrigés) et en menant les calculs jusqu'au bout ! »

I. Échanges thermiques à travers
un tube cylindrique
I.1

Conductance thermique à travers un tube cylindrique

I.1.a La loi de Fourier est une loi phénoménologique qui relie le vecteur 
densité de
courant thermique -

Q au gradient de température selon
--
-

Q = - grad T
I.1.b Un transfert thermique spontané se fait toujours des zones de plus haute
--
température vers celles de plus basse température. Ainsi, -

Q et - grad T sont-ils
colinéaires et de même sens. On en déduit que
La conductivité thermique  est une grandeur positive.
I.1.c La température ne dépendant ni de , ni de z, son gradient s'écrit 
simplement
--
dT -

grad T =
er
dr
Ainsi,
Le vecteur -
 est radial.
Q

Ce sont des arguments d'invariance qui permettent d'expliquer pourquoi
la température ne dépend pas de  ou de z. En effet, on a une invariance par
rotation autour de l'axe (Oz), ce qui justifie l'indépendance par rapport à la
variable . En outre, le tube est de « très grande longueur », ce qui revient à
dire que l'on peut négliger les effets de bords et considérer qu'il y a 
invariance

par translation selon la direction -
ez du système, ce qui assure l'indépendance
par rapport à la variable z.
Rappelons l'expression du gradient en coordonnées cylindriques :
--
f -
1 f -
f -

grad f =
er +
e +
ez
r
r 
z
I.1.d Par définition, la puissance thermique sortante est égale au flux du 
vecteur
densité de courant thermique à travers la surface du cylindre. Ceci s'écrit
ZZ

-
-
P th =

Q · dS
cyl.

-

où d S est orienté selon la normale sortant du cylindre. On peut décomposer 
cette
intégrale sur une surface fermée en trois intégrales sur des surfaces ouvertes 
: une
pour chaque disque délimitant le cylindre (« supérieur » et « inférieur ») et 
une pour
la surface latérale. Puisque -

Q est radial, les faces supérieure et inférieure ont une
contribution nulle à la puissance sortante. Il reste
Z  Z 2

-

-
-

P th =

avec
d S = r ddz -
er
Q · dS
z=0 =0

Puisque jQ ne dépend ni de , ni de z, cette intégrale se réduit à
P th = 2  r jQ (r)
I.1.e Considérons le volume élémentaire de matériau délimité par deux cylindres 
de
hauteur  et de rayons respectifs r et r + dr (avec R1 < r < R2 ). Notons H 
l'enthalpie
de ce système et faisons un bilan d'énergie entre deux instants t et t + dt :
dH = H(t + dt) - H(t) = 0
puisque l'on est en régime permanent. Appliquons le premier principe de la 
thermodynamique à ce système fermé ; en l'absence de travail reçu et de tout 
autre forme
de transfert thermique que la conduction, on a
dH = P th (r) dt - P th (r + dr) dt
On en déduit
et donc

dP th
=0
dr
La puissance thermique P th est indépendante de r.

L'enthalpie est la fonction d'état adaptée puisque l'on travaille sous la 
pression (constante) atmosphérique. En pratique, puisque l'on a un système 
indéformable, les fonctions énergie interne et enthalpie sont identiques.