Centrale Physique 2 PC 2016

Thème de l'épreuve Vers une nouvelle définition du kelvin
Principaux outils utilisés thermodynamique, électricité, acoustique, physique quantique, spectroscopie
Mots clefs agitation thermique, ammoniac, résonance, ondes stationnaires

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Phyaque 2 \--l
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ffEURll 4 heures Calculatrices autorisées N

Vers une nouvelle définition du kelvin

L'actuelle définition de l'unité de température, le kelvin, est fondée sur la 
valeur du point triple de l'eau, fixé à
la température TFT : 273,16 K.

Figure 1 Appareil à point triple de l'eau

Pour s'abstraire de la référence a une substance particulière, en l'occurrence 
l'eau, il serait préférable de relier la
définition de l'unité de température a des constantes fondamentales. Ainsi, 
dans la future définition du système
international d'unités, il est envisagé de fixer une valeur numérique exacte de 
la constante de Boltzmann kB. Le
kelvin serait alors défini par

Le kelvin est l'unité de température thermodynamique; son amplitude est 
déterminée en

fixant la valeur numérique de la constante de Boltzmann a exactement 1,3806oeoe 
>< 10123

lorsqu'elle est exprimée en s_2-m2-kg--K_l, unité du SI égale au J --K"1.
Le symbole xx désigne les chiffres qui entreront dans le choix de kB et qui 
seront fixés par l'incertitude atteinte
dans plusieurs expériences en cours de développement. Par conséquent, la mesure 
d'une température ne portera
plus sur T seul, mais sur le produit kBT, lui--même relié au mètre, à la 
seconde et au kilogramme. Pour que le
choix de la valeur exacte de kB soit pertinent, il est essentiel que les 
mesures actuelles de kB soient réalisées
à l'aide d'expériences faisant appel a des lois physiques différentes. Ce 
problème étudie plusieurs méthodes de
mesure de cette constante.
La constante des gaz parfaits R est liée à la constante de Boltzmann kB et a la 
constante d'Avogadro NA par
Les différentes parties de ce problème sont indépendantes. Une liste de données 
utiles et un formulaire figurent
en fin d'énoncé.

I L'agitation thermique

I.A -- L'agitation thermique dans l'atmosphère

I.A.1) On décrit le champ de pression d'une atmosphère isotherme de température 
T dans un champ de
pesanteur uniforme ÿ. Le modèle de fluide est celui du gaz parfait ; la masse 
molaire du gaz est M. À l'altitude
nulle 2 = 0, la pression est PO, la densité volumique de molécules est NO.

a) Établir, à partir de l'équilibre d'un domaine d'atmosphère, l'expression de 
la pression P(z).

mgz

, , ËBT
est la masse d'une molecule. Que represente le terme mgz pour une molecule '?

b) En déduire l'expression de la densité volumique n,,(z) : N0 exp (-- ) en 
fonction de l'altitude, où m

I.A.2) Déduire de la loi précédente une hauteur caractéristique H de 
l'atmosphère, en fonction de kB, T, m

et g. Quelle vitesse 'UÆ atteindrait une molécule en chute libre tombant de la 
hauteur H sans vitesse initiale '?

\ . . , 3k T , \
Com arer v a la Vitesse uadrat1 ue mo enne @ donnee ar v2 = B de cette molecule 
dans un az a la
p @ q q y q q m

température T .

2016--03«22 09:52:19 Page 1/11 Î@_

I.A.3) Les molécules de l'atmosphère gardent une agitation incessante. 
Pourtant, l'expérience de la vie cou--
rante montre qu'une balle qu'on lance finit par s'immobiliser, après 
éventuellement quelques rebonds.

Y a--t--il vraiment immobilisation absolue de la balle '?

I.B * L'agitation thermique dans un circuit électrique

I.B.1) Dans un métal à la température T, les électrons libres forment un gaz 
circulant dans le réseau cristallin
des cations. Peut--on utiliser la physique non relativiste pour décrire les 
électrons libres à température ambiante '?

L'agitation thermique des électrons libres est responsable de fluctuations de 
l'intensité électrique traversant un
circuit, appelées bruit thermique. Ainsi, même en l'absence de générateur, il 
apparaît dans un circuit fermé
comportant une résistance, à toute température T non nulle, une intensité i(t) 
et une tension u(t) fiuctuantes.
Il s'agit ici d'établir l'expression, appelée formule de NYQUIST, de la valeur 
efficace de cette tension d'origine
thermique.

I.B.2) Soit le circuit formé d'un condensateur de capacité C et d'une bobine 
idéale d'inductance L (figure 2).

Figure 2 Circuit LC

Établir deux relations indépendantes entre les grandeurs temporelles ue, us, 
ic, is et leurs dérivées.
I.B.3) Pour étudier les fluctuations de tension et d'intensité liées au bruit 
thermique d'une résistance, on
place a la suite de celle--ci une ligne électrique bifilaire constituée de deux 
fils parallèles. Cette ligne est repérée
par l'axe 033. On considère dans cette question une portion de ligne de 
longueur infinitésimale dæ et on note

respectivement À et 7 les inductance et capacité linéiques de cette ligne 
(figure 3).

i(æ,t) Àdst i(oe+das,t)
fffffffff ä--W--+ÏÏÏÏÏÏÏÏÏ

u(æ, t) "ydæ :

l l
:
A
&
+
Q..
&
3

Figure 3 Schéma électrique d'une portion de ligne de
longueur da:

a) Établir deux équations aux dérivées partielles indépendantes reliant les 
fonctions u(oe,t) et i(æ, 75), À et "y.

b ) En déduire l'équation de propagation pour la seule fonction u(æ, 1%). 
Donner l'expression de la célérité 06 des
ondes en fonction de A et 7.

c) Soient g(æ, t) = Q expi(wt -- kæ) et i(:c, t) : £ expi(wt -- lex) les 
solutions harmoniques en notation complexe.
Établir l'équation de dispersion de la ligne. On appelle résistance 
caractéristique de la ligne le rapport RC : Q/ 1 .
Exprimer A et "y en fonction de la célérité ce et de RC.

I.B.4) La ligne précédente a pour longueur D. Elle est fermée à ses deux 
extrémités par un court--circuit
(figure 4) après avoir été alimentée par un générateur de tension.

E u(æ,t) 3

| |
l I
O 95 D
Figure 4 Ligne court--circuitée
a ) On cherche les solutions u(oe, t) pouvant exister sur la ligne fermée sous 
forme de modes propres
u(oe,t) : U(æ) cos(wt)

Établir l'équation différentielle régissant U(oe).

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Montrer, en précisant les conditions aux limites, que les solutions s'écrivent
U(:t) : UOn sin(K...r)

Où K" est proportionnel à un entier n appelé l'ordre du mode et U0n une 
constante quelconque. En déduire les
pulsations eu,, des modes propres en fonction de n, D et Ce'

b) Dans un intervalle de fréquence de largeur A f , quel est le nombre N de 
modes propres ? On supposera que
A f est suffisamment grand pour que N soit grand devant 1 (N >> 1).

0) Soit un (x, t) le mode propre d'ordre n d'amplitude UG". Quelle est 
l'expression de l'intensité i,,(oe, t) du mode
d'ordre n, en fonction de UG", n, RC, D et La" ? On prendra l'intensité nulle 
pour U0n : 0.

1.3.5)

a) Donner l'expression de l'énergie de,,(æ,t) emmagasinée dans le tronçon de 
ligne entre les abscisses cc et
a: + dæ pour le mode d'ordre n, en fonction de UG", 7, À, K,, et w,,. Exprimer 
sa moyenne temporelle (de,,>(x).
Commenter.

b ) En déduire l'énergie moyenne (E,) du mode d'ordre n dans la ligne entière 
en fonction de Un... RC, ce et D.

I.B.6) Les modes propres sont générés par l'agitation thermique dans la 
résistance branchée a l'entrée de la
ligne, qui est ensuite remplacée instantanément par un court--circuit. Le 
transfert d'énergie entre la résistance
et la ligne est réalisé lorsque la résistance caractéristique RC de la ligne 
est égale à la résistance R. Dans ce cas,
on montre qu'en moyenne, l'énergie du mode d'ordre n est (En) : kBT.

a ) En déduire l'expression du carré de la valeur efficace uîffn(æ) de la 
tension du mode d'ordre n au point a:,

. 2 _ 2 '. 2 \ ' ;

en fonction de R, D, Ce: kB et T. Montrer que ueffn(æ) -- Ueñn sm (K,,æ) ou 
Ueffn est une constante, appelee
valeur efficace du mode n, qu'on determmera.

b) Les carrés des valeurs efficaces des différents modes s'ajoutent. En déduire 
que la valeur efficace U0ff corres--

pondant aux modes dont les fréquences sont comprises dans l'intervalle de 
fréquence de largeur A f est donnée
par la formule de NYQUIST

ueff : . /4 kBTR A f

I.B.7) Les modes propres générés par la résistance sont mesurés par une chaîne 
électronique schématisée
ci--dessous (figure 5).

Amplificateur Filtre
R "(Ü de tension passe--bande v(t) voltmètre
A A f

Figure 5 Mesure de la tension efficace de bruit thermique

On trace (figure 6) la valeur efficace 'ueff mesurée par le voltmètre en 
fonction de la résistance pour deux valeurs
de la bande passante Af, pour A : 500 et T = 300 K.

* 2
10Î5A Af__10 Hz
Af=le

10*6
EUR
$?

10*7

10*8 >

100 101 102 103 104
R(Q)

Figure 6 Valeurs efficaces veff(R)

2016--03-22 09:52:19 Page 3/11 ("à BY--NC-SA

a ) Montrer que ces courbes sont compatibles avec la formule de NYQUIST. En 
déduire un ordre de grandeur de
la constante de Boltzmann.

b ) Pourquoi faut--il protéger le montage expérimental par une enceinte 
métallique '?

Une mesure précise nécessite plusieurs jours d'acquisition. Quels sont alors 
les facteurs qui peuvent en limiter
la précision '?

II Mesure acoustique

La méthode consiste à mesurer la vitesse des ondes acoustiques dans un gaz, 
l'argon, en utilisant un résonateur
sphérique de rayon (1. Ces mesures sont effectuées à la température TFT du 
point triple de l'eau, pour des
pressions statiques allant de 0,5 a 7 bar.

II. A * Principe

On considère une onde acoustique plane, se propageant selon l'axe cartésien Ox. 
Cette onde est décrite par le
champ de surpression 7T(OE, t), le champ eulérien des vitesses 'Ü(æ, t) : v(:c, 
75) EUR,, et le champ de masse volumique
,u(as,t). Le milieu de propagation est un fluide caractérisé par sa masse 
volumique statique #0» sa pression

ôP
II.A.1) À la température TFT : 273,16K, quel est l'ordre de grandeur de la 
pression th en dessous de laquelle
un gaz réel peut être décrit par le modèle du gaz parfait '? On considèrera que 
les interactions intermoléculaires
ont une portée de l'ordre de 5nm et qu'un gaz est parfait si les distances 
moyennes entre molécules sont
supérieures à la portée de l'interaction.

II.A.2)

a) Établir, dans le cadre de l'approximation acoustique, l'équation de 
d'Alembert vérifiée par la surpression
7r(æ, t). En déduire l'expression de la célérité ca des ondes acoustiques en 
fonction de po et X S.

. . .. , . . 1 au
statique P0 et sa compress1brhte 1sentroprque XS : -- .
# S

1 8
b) Exprimer la compressibilité isotherme XT : -- (8%) d'un gaz parfait.
# T

On montre que X S : X--T, où 7 est le coefficient de Laplace. En déduire que
"Y
02 _ VNA/'îBT
@ _ M

où M est la masse molaire du gaz et T la température absolue.

c) Pour un gaz réel, la célérité des ondes acoustiques est donnée, au premier 
ordre par rapport a la pression P,
par

2 : 7NAkBT

a M (1+BP)

C

où fi : 1,3 >< 1041 Paf1 pour l'argon.
Pour quelles valeurs de la pression la célérité des ondes acoustiques dans 
l'argon ne s'écarte--t--elle pas de celle
d'un gaz parfait de plus de 10*6 en valeur relative ?

II.A.3) L'incertitude relative sur kB doit être au plus égale à 2 >< 10"". Le 
tableau ci--dessous donne les valeurs
et incertitudes relatives de diverses grandeurs, dont la masse molaire de 
l'argon (M Ar) et son coefficient de

Laplace ("YAÙ-

Valeur Incertitude relative
NA : 6,022 140 86 >< 1023 molf1 1,2 >< 10*8
MAr : 39,947 85 g-molÏ1 1,5 >< 10*6
"... = 5/3 0
T : TFT : 273,16 K 3 >< 10"7
, . . . . . ôkB . . . .
Determmer l'express1on de l'incertitude relative Î en fonction des incertitudes 
relatives des autres grandeurs.
B
5
Quelle est la valeur maximale admissible de l'incertitude relative de la 
célérité des ondes acoustiques & dans
c

(L
l'argon a la température TPT ?

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II.B -- L'onde acoustique sphérique

En raison de la forme du résonateur, on étudie les ondes sonores qui possèdent 
la symétrie sphérique. En
particulier, le champ de surpression s'écrit 7r(r, t) et le champ des vitesses 
Ü(r, t) : v(r, t) ê,. où 7" est la coordonnée
sphérique radiale et EUR, le vecteur unitaire associé.

II.B.1) Équation du potentiel

a ) Montrer qu'on peut définir un potentiel des vitesses zb(r, t). Relier une 
dérivée partielle du potentiel au champ
de surpression et a la masse volumique #0: en considérant le potentiel 
identiquement nul si 7r(r, t) = 0 quel que
soit le temps 15.

b) La surpression obéit à l'équation de d'Alembert généralisée

2
A7T(r,i) -- c%ôÔTË(TI t) : 0

Montrer que le potentiel des vitesses vérifie la même équation.

On cherche des solutions de la forme < 10*2 m 1,8 >< 10...5
1/1 = 4,402 004 068 >< 103 Hz 5 >< 10"10
xl : 4,493 409 45791 2 >< 10"11
En déduire la valeur de la célérité ca et l'incertitude relative &. 
L'incertitude ôca est--elle acceptable ?
Ca
II.B.7) Calculer la valeur de la constante de Boltzmann kB déterminée par cette 
mesure, ainsi que son in--
5k
certitude relative ÎB et son incertitude absolue 6kB. Combien de chiffres 
significatifs peut--on fixer par cette
B

mesure '?

III Mesure par spectroscopie laser

La mesure de kB est réalisée ici par une expérience de spectroscopie laser où 
une vapeur moléculaire, à l'équilibre
thermodynamique, contenue dans une cellule, est en interaction avec une onde 
laser progressive de fréquence
réglable. On enregistre le profil d'absorption autour d'une fréquence de 
résonance (figure 7).

fréquence 11 ] intensité

-WV\

Figure 7 Schéma de principe de la spectroscopie laser

détecteur

fréquence

cavité a gaz

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La raie d'absorption moléculaire est élargie par effet Doppler--Fizeau en 
raison de l'agitation thermique des
molécules. La mesure de cette largeur permet d'en déduire une valeur de kB. La 
molécule choisie est l'ammoniac
NH3.

III.A -- Conformations de la molécule d'ummonz'ac

La molécule d'ammoniac 14NH3 se présente sous la forme d'une pyramide 
symétrique, l'atome d'azote étant à
son sommet. Les trois atomes d'hydrogène définissent le plan de référence. La 
position de l'atome d'azote est
repérée par l'abscisse oe telle que |æ| soit la distance de l'atome au plan de 
référence Oyz (figure 8).

Ay A V(OE)

v0 = 0,25 eV
b = 38,7 pm

Figure 8 Géométrie et énergie potentielle de la molécule d'ammoniac

III.A.1) lnterpréter la forme, la symétrie et les points particuliers de la 
courbe d'énergie potentielle V(æ).

La molécule d'ammoniac peut se trouver dans deux états de conformation, selon 
que l'atome se trouve du coté
95 > 0 (conformation D, figure 9) ou du coté x < 0 (conformation G). Les deux 
états sont séparés par une
barrière de potentiel V0 = 0,25 eV. On appelle inversion le passage d'une 
conformation à l'autre, lorsque l'atome
d'azote traverse la barrière d'énergie due aux trois atomes d'hydrogène.

H

Conformation D Conformation G

i ure nversion e a mo écue ammoniac
F g 9 l d l l l d'

III.A.2) L'énergie kBT est--elle suffisante pour que la molécule puisse 
s'inverser si la température est celle du
point triple de l'eau TFT '?
À partir de quelle température cette inversion peut--elle s'effectuer '? 
Commenter.

III.B * Inversion quantique de la molécule d'ammoniac

On se propose de montrer que l'inversion de la molécule d'ammoniac est possible 
du point de vue quantique,
indépendamment de la température. La fonction d'onde décrivant le mouvement 
relatif de l'atome d'azote et
des trois atomes d'hydrogène est notée 1/1(:c, t) ; elle vérifie l'équation de 
Schrôdinger

2
m%'f@,æ : --%Ë%Ê(æ.t> + V(oe)ü(cc.t)

où m est la masse réduite du système composé de l'atome d'azote et des trois 
atomes d'hydrogène (on prendra
m oe 2,5 mH).

III.B.1) On s'intéresse aux états stationnaires d'énergie E et on pose 1j)(æ, 
t) :  500 + EUR ?
Quelles sont les conditions aux limites de 90,4 ($) et  t ? Conclure.

On modélise cette fois le profil d'énergie potentielle par un double puits 
infini rectangulaire a saut fini, V2(æ)
(figure 11).

V2: 0 siæ0<|ælgæo+EUR

+oo siæ0+Ëélæ|

{VO si |sc| : saG<æ> : %, ( + wï"ti<æ>)

< 1043 eV. Dans quel domaine spectral se situe une onde 
électromagnétique de fréquence f ?

C'est sur cette transition que fonctionna le premier maser construit par C. 
Townes, J. Gordon et H. Ziegler
en 1954.

d) Décrire l'état de la molécule d'ammoniac a l'instant t = 'r/ 2. En quoi ce 
changement d'état entre les instants
t : 0 et t : T / 2 permet--il d'illustrer l'effet tunnel '?

6) Quelle est l'influence de la barrière de potentiel V0 et de la largeur % sur 
la fréquence d'oscillation f '? Pour
l'arsine, de formule ASH3, de même structure que NH3, la hauteur de la barrière 
de potentiel est multipliée par
six et sa largeur par cinq. Calculer la fréquence ]" d'inversion de l'arsine 
ainsi que la période T'. Commenter.

2016--03-22 09:52:19 Page 8/11 @@ BY--NC-SA

III.C * Spectre d'absorption de la molécule d'ammoniac

Un faisceau lumineux monochromatique, dont le champ électrique est donné par 
É(æ, t) : EO êy expi (aut -- Ëoe)
en notation complexe, traverse, dans le sens des æ croissants, un milieu 
matériel homogène localement neutre,
dont la conductivité électrique est "y > 0. La célérité de la lumière dans le 
vide est notée c.

III.C.1) Quelle est l'équation de propagation du champ électrique dans le 
milieu '? En déduire la relation de
dispersion Ë2(w) en fonction de "y, Mo, 0 et w.
III.C.2)

a) On note & : k,. -- ik,- où k,, et le,- sont respectivement les parties 
réelle et imaginaire de E. Montrer, sans
chercher a expliciter le,-, que [EUR,- > 0. Que cela signifie--t--il pour 
l'onde '?

L'onde traverse une cuve de longueur L contenant le milieu puis se propage a 
nouveau dans le vide. On admet
que les coefficients de transmission en amplitude sont égaux à 1, en entrée et 
en sortie de cuve.

b ) Rappeler la relation liant l'intensité ] de l'onde électromagnétique et le 
vecteur de Poynting ïr. Montrer
que l'intensité de l'onde [ (L) après la cuve s'exprime en fonction de 
l'intensité 10 avant la cuve selon la loi
[(L) : IO exp(--aL). Donner l'expression de oz en fonction de le,-.

III.C.3) La transition choisie pour la mesure de l'absorption lumineuse est une 
raie de l'ammoniac de fréquence
1/0 : 2,895 3694 >< 1013 Hz, fortement absorbante et située dans un domaine 
d'émission d'un laser à 002. Le
spectre d'absorption représente l'intensité lumineuse ayant traversé le milieu, 
en fonction de la fréquence du
rayonnement (figure 14).

a ) Quelle longueur d'onde est associée à un rayonnement électromagnétique de 
fréquence 1/0 '? À quel domaine
électromagnétique appartient cette raie ? Exprimer, en eV, l'énergie E7 d'un 
photon de cette fréquence.

b) Cette absorption correspond, pour la molécule d'ammoniac, à la transition 
entre deux états d'énergie E1
et E2 > El. Le niveau E1 est supposé parfaitement défini alors que le niveau E2 
présente une largeur 613
(figure 14). En quoi cette largeur explique--t--elle le spectre d'absorption ? 
Estimer la valeur de la largeur dite
naturelle 51/ pour 5E : 2,0 >< 10*8 eV.

] intensité transmise

Figure 14 Niveaux d'énergie et spectre d'absorption

III.C.4) Effet Doppler-Fizeau

Le faisceau laser traversant le milieu absorbant possède la fréquence 1/ dans 
le référentiel du laboratoire. En
raison du mouvement des molécules d'ammoniac, la fréquence perçue par ces 
molécules n'est plus 1/ mais une
fréquence 1/' dépendant de leur vitesse. Soient 58 le référentiel du 
laboratoire, a: l'abscisse d'un point M donné
selon un axe (0, am) lié a W, 58' le référentiel lié a une molécule, en 
translation rectiligne uniforme de vitesse
Ü : vOEëOE par rapport à 58 , et oe' l'abscisse de M selon l'axe (O', @) telle 
que O' coïncide avec 0 a l'instant t : 0
(figure 15).

Figure 15 Effet Doppler--Fizeau

La phase @ d'une onde est un invariant par changement de référentiel : elle 
possède la même valeur en un point
et a un instant donnés pour deux observateurs placés dans deux référentiels 
différents.

a) Pour une onde monochromatique de fréquence 1/0, de célérité e, se propageant 
dans le sens de êOE dans le
référentiel ÿEUR, écrire l'expression de la phase instantanée çf) en fonction 
de 1/, a:, c et 75.

b) Etablir l'expression de x' en fonction de JC, 'UOE, et t dans le cadre de la 
mécanique newtonienne (si |vOE| << 0).
En déduire que, si |UOE| << 0, la fréquence 1/ de l'onde perçue par un 
observateur placé dans le référentiel 58' est
donnée par

1/--1/'
l//

@
/_ OE N
y_y( C)etquev,-c

Donner un exemple d'application de cet effet.

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c) Le spectre d'absorption de la figure 14 est celui d'une molécule d'ammoniac 
au repos dans le laboratoire.
Tracer le spectre d'absorption d'une molécule de vitesse 'UOE > 0 telle que 
your/c > 51/.

On considère dans la suite que les molécules d'ammoniac au repos absorbent 
uniquement les rayonnements dont
la fréquence se situe dans l'intervalle de largeur 51/ autour de la fréquence 
1/0, soit l'intervalle {VO--5V/ 2, V0+61//2].
Dans l'ammoniac gazeux a la température T, les molécules de masse ma sont 
animées de vitesses aléatoires,
dont la répartition suit la loi de Maxwell--Boltzmann. Selon cette loi, la 
probabilité dP(væ) que la composante
selon êOE de la vitesse soit comprise entre v,, et vw + dvoe est donnée par

mavî
dP(UOE)=KOGXp _2kBÎ drum

où Ko est une constante de normalisation.

III.C.5) L'ammoniac gazeux est traversé par un faisceau laser de fréquence 11 
dirigé selon êOE. Exprimer la
probabilité dP(1/,VO) qu'une molécule perçoive la fréquence 1/0 a 6)! près, en 
fonction de K... ma, kB, T, c, V,
51/ et 1/0. Si 110 est le nombre de molécules éclairées par le faisceau laser, 
quel est le nombre 511 de molécules
pouvant absorber une partie de l'intensité du faisceau ?

III.C.G)

a) Expliquer pourquoi le spectre d'absorption d'une vapeur à la température T 
diffère de celui d'une molécule
au repos dans le référentiel du laboratoire.

b ) En se référant aux propriétés de la courbe de Gauss (figure 16), donner 
l'expression de la largeur AV du
spectre d'absorption, en fonction de kB, T, m,l et c.

exp <-- --(u gaÏ°)2)

Figure 16 Courbe de Gauss

0) Calculer la largeur AV pour T : 273,16 K. Comparer à la largeur naturelle 
511.

Peut--on négliger cette dernière si l'on exige une précision relative de 10*6 
sur la valeur de kB '?

2016--03-22 09:52:19 Page 10/11 @_

Données numériques

Célérité de la lumière dans le vide 0 = 299 792 458 m-sf1
Charge élémentaire e = 1,602 176 621 >< 10719 C
Constante d'Avogadro NA : 6,022 140 86 >< 1023 molf1
Constante de Planck h : 6,626 070 040 >< 1034 IS

ñ : h/27r : 1,054 571 800 >< 10734 J-s
Masse de l'électron me : 9,109 383 56 >< 10731 kg
Masse de l'atome d'hydrogène mH : 1,673 72 >< 10*27 kg
Masse molaire de l'ammoniac MNH3 : 17,031 g-molÿ1

Température du point triple de l'eau TFT : 273,16 K

Formulaire
cosp+cosq= 2cosp;qcospgq cosp--cosq : --2sinp;qsinpgq
lim s1n£jkæ) : k
oeaO
Moyenne d'une fonction
'r/2
' 1
< > -- 733100 T/ f(t)dt
fr/2
Moyenne quadratique (ou valeur efficace)
fcff : 
Composition des incertitudes
2 2
Si f : q°"hfl et _q et h sont indépendants, alors 6% = 072 <%) + 62 <%)

Laplacien scalaire d'une fonction de la variable radiale sphérique r

7 1 ÔQ(Tf(T))
Af(?") -- ??

Gradient en coordonnées sphériques

_ôVa lôVä 1 ôVa
gradV-- ôr EURT+ T 89 69+ rsin9 ô
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Raphaël Galicher (Maître de conférences) ; il a été 
relu
par Jean-Christophe Tisserand (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon 
(Professeur
en CPGE).

Le sujet porte sur l'étude de plusieurs méthodes de mesure de la constante de
Boltzman k B . Il comporte trois parties indépendantes qui permettent de tester 
ses
connaissances sur différents domaines de la physique : loi des gaz parfaits, 
effet
Doppler-Fizeau, solutions stationnaires de l'équation de Schrödinger, effet 
tunnel
puis solutions d'équations de D'Alembert pour une ligne électrique et un 
résonateur
acoustique.
Dans la première partie, une courte sous-partie étudie une atmosphère isotherme
dans un champ de pesanteur uniforme. Le reste de cette partie traite de 
l'agitation
thermique dans un circuit électrique. On explique comment obtenir une mesure de 
k B
à partir de la tension efficace d'ondes stationnaires dans une ligne électrique.
Dans la deuxième partie, on exprime la vitesse de propagation des ondes 
acoustiques dans un gaz parfait en fonction de k B , puis on étudie les ondes 
stationnaires
dans un résonateur sphérique.
La troisième partie commence par l'étude quantique de la molécule d'ammoniac
en considérant un modèle simple d'énergie potentielle à double puits infinis. 
Puis, un
modèle à double puits infinis à saut fini permet d'expliquer l'inversion de la 
configuration de la molécule d'ammoniac par effet tunnel. Enfin, le sujet 
explique l'élargissement par effet Doppler-Fizeau de la raie spectrale 
d'absorption d'une molécule
d'ammoniac.

Indications
Partie I
I.A.3 Comparer énergie d'agitation thermique et énergie potentielle de 
pesanteur.
I.B.1 Estimer l'ordre de grandeur de la vitesse de déplacement des électrons 
libres
dans un métal.
I.B.2 Écrire la loi des mailles et la loi des noeuds.
I.B.3.a Utiliser le résultat de la question I.B.2.
I.B.3.c Utiliser une des équations de la question I.B.3.a pour trouver Rc .
I.B.4.a Écrire la solution générale de l'équation de d'Alembert et appliquer les
conditions aux limites en x = 0 et x = D. Montrer que sin(KD) = 0.
I.B.4.b Utiliser que les fréquences fn sont proportionnelles à 2 D f /ce .
I.B.4.c Exprimer la dérivée spatiale de in à partir d'une équation de la 
question
I.B.3.a et intégrer.
I.B.5.a L'énergie est emmagasinée dans la capacité  dx et l'auto-inductance  dx.
2
I.B.6.a Penser que un 2 = 2 ueff
n.

I.B.6.b Utiliser le résultat de la question I.B.4.b.
I.B.7.a Vérifier l'évolution de ueff avec R en remarquant que les échelles du 
graphique sont logarithmiques. Mesurer les pentes des droites et exprimer
Ueff2 /(R f ) en fonction de k B , T et A.
I.B.7.b Noter l'ordre de grandeur des tensions mesurées.
Partie II
II.A.1 Trouver la densité volumique maximale de particules et en déduire la 
pression maximale.
II.A.3. Exprimer k B à partir de l'expression de ca 2 trouvée à la question 
II.A.2.b.
II.B.1.a Calculer le rotationnel du champ de vitesses. Utiliser l'équation 
d'Euler
pour relier (r, t) et (r, t).
II.B.1.b Remplacer (r, t) dans l'équation de d'Alembert par l'expression 
trouvée à
la question II.B.1.a.
II.B.3 Pour interpréter, noter que les ondes dans le résonateur sont 
stationnaires.
II.B.4 Utiliser l'expression de (r, t) dans l'équation de d'Alembert de la 
question
II.B.1.b. Se souvenir que sin x/x = 1 en x = 0.
II.B.5 Appliquer la condition aux limites trouvée à la question II.B.2 et faire
apparaître la fonction x cos x - sin x.
II.B.6 Comparer l'incertitude ca /ca à la valeur trouvée à la question II.A.3.

II.B.7 Appliquer les résultats de la question II.A.3. en supposant un gaz 
parfait.
Partie III
III.A.1 Étudier la symétrie du potentiel créé par les trois atomes d'hydrogène.
Se demander quelle quantité d'énergie il faut fournir pour arracher l'atome
d'azote. Étudier l'équilibre de cet atome en x = 0 et en déduire l'existence
des positions d'équilibre stable +
- x0 .

III.A.2 Se rappeler que l'énergie EeV exprimée en eV est reliée à l'énergie E 
en J
par EeV = E/e.
III.B.2.a Penser à la position de la particule décrite par la fonction d'onde.
III.B.2.b Relier la fonction d'onde à la densité de probabilité que la mesure 
de la
position de la particule soit x à l'instant t.
III.B.2.c Penser à la probabilité de trouver la particule dans le domaine de 
localisation.
III.B.3.a Appliquer les conditions aux limites de la question III.B.2.b et la 
normalisation de la question III.B.2.c.
III.B.3.c Commencer par trouver la fonction d'onde à tout instant t et chercher 
où
la densité de probabilité de présence de la particule est non nulle.
III.B.4 Suivre le même raisonnement qu'à la question III.B.3.a.
III.B.5.b Se souvenir que la fonction d'onde (x, t) doit être deux fois 
dérivable.
III.B.6.a Les fonctions 1 sym et 1 anti sont solutions orthogonales de 
l'équation III.1.
III.B.6.b Penser à la densité de probabilité de présence des particules 
décrites par
chacune de ces fonctions d'onde.
III.B.6.c Étudier la dépendance temporelle de la densité de probabilité |(x, 
t)|2 .

III.B.6.d Se rappeler que l'énergie de la molécule E est inférieure à la 
barrière de
potentiel V0 .
III.C.2.a Étudier le module du champ électrique quand x tend vers l'infini.
III.C.2.b Exprimer la norme du vecteur de Poynting en fonction de la norme du
champ électrique.
III.C.5 Trouver la vitesse vx d'une molécule qui perçoit la fréquence 0 et 
relier
l'incertitude  sur cette fréquence en fonction de dvx .
III.C.6.a Relier l'ensemble des vitesses vx possibles à l'ensemble des 
fréquences qui
peuvent être absorbées.
III.C.6.b Identifier l'expression de n de la question III.C.5. à l'expression 
de la
gaussienne de la figure 16.
III.C.6.c Utiliser la largeur naturelle calculée à la question III.C.3.b. 
Relier l'incertitude relative sur k B à celle sur  en négligeant les autres.

Vers une nouvelle définition du Kelvin
I. L'agitation thermique
I.A.1.a Considérons le volume d'atmosphère d'épaisseur dz à l'altitude z0 . 
Notons
nv (z) la densité volumique de particules. La loi de la statique des fluides 
s'écrit
dP
(z)
dz
P(z) = nv (z) k B T

nv (z) m g = -
D'après la loi des gaz parfaits,

Combinons les deux équations pour obtenir l'équation différentielle
dP
mg
(z) +
P(z) = 0
dz
kB T
On reconnaît une équation différentielle du premier ordre à coefficients 
constants car
T est supposée uniforme. La solution qui vérifie la condition P(z = 0) = P0 est

mgz
P(z) = P0 exp -
kB T
I.A.1.b En utilisant l'expression de P(z) dans la loi des gaz parfaits, on 
trouve

mgz
P0
nv (z) = N0 exp -
avec N0 =
kB T
kB T
Le terme mgz représente l'énergie potentielle de pesanteur d'une particule de
masse m à l'altitude z.
I.A.2 La hauteur caractéristique de variation de nv est
H=

kB T
mg

Considérons une particule tombant de la hauteur H sans vitesse initiale. Par
conservation de l'énergie mécanique, on peut écrire :

d'où

1
m v 2 = m g H
2

v = 2 g H

On remplace H par son expression pour trouver la vitesse limite
r
2 kB T
v =
m
qui est une bonne approximation de la vitesse quadratique moyenne v q (v q  
1,22 v ).
I.A.3 Considérons une balle de masse m = 100 g à la température T = 300 K.
En comparant ses énergies potentielle et thermique, on trouve que la balle 
pourrait
atteindre au maximum l'altitude z telle que
m g z = k B T
d'où

z =

kB T
 4.10-21 m
mg