Centrale Physique 2 PC 2014

Thème de l'épreuve Automated Transfer Vehicle
Principaux outils utilisés mécanique du point, mécanique des fluides, diffusion thermique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


fi

% Physique 2 
'

trajectoire circulaire de l'ISS. On introduit le vecteur rotation 518 : wsey

SC

0

Terre > Z
ISS
M
.
ATV

Orbite de l'ISS
Figure 4

II.B.1) Quelle est la nature de ce référentiel si le référentiel géocentrique 
est considéré comme galiléen ?

II.B.2) L'ATV est considéré comme ponctuel, on néglige les forces d'attraction 
gravitationnelles entre l'ATV
et l'ISS. Dans le référentiel d'étude, quelles sont les forces s'exerçant sur 
l'ATV ?

II.B.3) Démontrer que l'accélération d'entrainement de l'ATV peut se mettre 
sous la forme :

î5 %
äe : _kT--Og +(ÏJS /\ ((ÎJSA OM)

II.B.4) En considérant le point M de coordonnées (oe,y,z) dans le référentiel 
lié a l'ISS, déterminer une
expression au premier ordre vis--à--vis des coordonnées de M de la quantité

fifî5

TM3 _ TO3

On pourra chercher à établir une approximation sous forme vectorielle avant 
d'utiliser les coordonnées
cartésiennes.

II.B.5) Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'ATV dans le 
référentiel de l'ISS, démontrer
qu'il s'exprime alors sous la forme du système différentiel suivant :

âî + 2w82': : 0

ÿ + wîy = 0

.:2-- 2wS:Ë --3wîz : 0
Ce sont les équations de Olohessy--Wiltshirel.
II.B.6) On s'intéresse à la résolution du système précédent pour les conditions 
initiales a t = 0 de position
M = (a:... 0, zo) et de vitesse fÜM : (55... O, 20). Montrer que z(t) peut se 
mettre sous la forme

z(t) : A + B cos(wst) + Csin(wst)

et déterminer les expressions de A, B et C .

II.B.7 ) En déduire l'expression de oe(t) en fonction des conditions initiales 
(cv... 270» :'co, 20) et de cas.

II.B.8) Le processus de dérive analysé en II.A vérifie théoriquement les 
équations de Olohessy--Wiltshire.

a ) Si on envisage la dérive (mouvement parallèle a l'axe oe), quelle relation 
vérifient les grandeurs wS, OE'O et zo ?
Que peut--on dire de 20 ?

b} En remplaçant dans la solution obtenue des équations de Olohessy--Wiltshire, 
vérifiez que le mouvement
prévu est bien rectiligne.

Olohessy W. H., Wi1tshire R. S., Terminal Guidanoe for Satellite Rendezvous, 
Journal of the Aerospace Sciences, Vol 27, 1960, p.
653.

2014--03-19 11:20:34 Page 3/8 OE=C BY-NC-SA

II.C -- La phase d'approche radioguidée : du pre-homing au homing

Une fois arrivé en A1, l'Edoardo Amaldi active son processus de guidage 
automatique, il devient alors autonome
et assure lui--même son contrôle de trajectoire en se repérant par laser 
(optique) et radio--guidage par rapport a la
station spatiale. Le contrôle humain se limite a une commande d'échappement 
d'urgence si l'un des astronautes,
spationautes ou cosmonautes juge une telle mesure nécessaire. L'ATV va 
maintenir sa trajectoire en confirmant
ses paramètres de position jusqu'au point A2 qui n'est plus distant que de L2 : 
15,0 km du point de coïncidence
de phase de la station.

Au point A2, l'ATV allume brièvement ses moteurs pour acquérir une impulsion 
supplémentaire, dans la direc--
tion a:. Il s'en suit une modification, supposée instantanée, de sa vitesse, 
appelée « DeltaV >>. Cette méthode
de navigation, qui utilise des modifications rapides de la vitesse du mobile 
dans des phases de propulsion de
courte durée par rapport à l'ensemble du vol, a été introduite en 1925 par 
Walter Hohmann (ingénieur allemand,
1880--1945). Ce « DeltaV >> permet a l'ATV d'atteindre le point A3 se trouvant 
à la même altitude que l'ISS et
distant de L3 : 3500 m de cette dernière.

Zone d'interdiction

Closing

Pré--homing

Figure 5

Nous nous plaçons en A2 et étudions la trajectoire a partir de cet instant 
considéré comme initial, nous noterons
(OE'O,ÉO,ÇUO, zo) les vitesses et positions initiales de l'ATV. La vitesse 
initiale est parallèle à l'axe oe. Dans ces
conditions particulières, le système de Clohessy--Wiltshire admet une solution 
de la forme :

2 4
= -- ' -- -- -- ' -- cos 15
Z ou. (oe 3% (w.. v.) (ou. >)
. 4 4 . .
x = --3 (5130 -- --"US> t--l-- --(oe0 -- vs) sm(wst) + %
3 cas
où vs est une constante.
II.C.1) Que représente vs ?

Déterminer son expression en fonction des conditions initiales et de cas, la 
vitesse angulaire de l'ISS dans le
référentiel géocentrique.

II.C.2) Nous noterons Av le « DeltaV >> qui a lancé l'ATV sur sa trajectoire de 
homing, exprimer oe(t) et z(t)
en fonction de Av, "US, cas et L2.

II.C.3) Déterminer l'expression que doit vérifier le temps de homing permettant 
à l'ATV de passer de A2
a A3.

Quelles sont les conditions sur le « DeltaV >> pour que ce temps existe ?

Quelle valeur de « DeltaV >> sera la plus pertinente en fonction du coût 
énergétique de l'impulsion initiale ?
II.C.4) L'analyse de la trajectoire se fait en introduisant des variables 
réduites. On effectue a cette fin le
changement de variable

X: Z:

_on _270

La figure 6 présente Z (X ) pour des valeurs croissantes du rapport "US /Av 
variant par pas entier de 3 a 7. Laquelle
vous parait la plus pertinente ? Pourquoi ?

En déduire une estimation numérique du A"U nécessaire.

II.C.5) Que vaut le temps de vol si le choix du cout énergétique minimum 
s'impose ?

II.C.6) Vu la nature de la trajectoire que doit--il se passer en A3 ?

2014--03-19 11:20:34 Page 4/8 OE=C BY-NC-SA

1,5

\

03/
"V

0,5 \

\

0 1 2 3 4'

Figure 6 Trajectoire réduite

II.D -- Phase finale : le closing

L'ATV va maintenant s'approcher au plus près de l'ISS en passant du point A3 au 
point A4 qui n'est plus qu'à
L4 : 250 m de la station. A nouveau, on procède par « DeltaV >>, cette fois ci 
une impulsion est communiquée
à l'ATV vers le centre de la Terre, les seuls paramètres initiaux non nuls sont 
donc oe0 : --L3, 230 : --vf. Les
équations de Clohessy--Wiltshire se résolvent alors sous la forme :

"f

= __ ' 75
2: Cds sm(ws )
"f
x = --2-- (cos(wst) -- 1) -- L3
608

II.D.1) En déduire la nature géométrique de la trajectoire et préciser ces 
paramètres caractéristiques en
fonction de L3 et L4.

II.D.2) Calculer le temps de vol du point A3 au point A4.

II.D.3) En considérant les différentes techniques de navigation déployées pour 
l'ATV, que pensez--vous de
façon générale de la navigation « a vue » dans l'espace ?

III Autodestruction de l'ATV

Il est prévu que l'ATV, lors de son retour dans l'atmosphère, s'autodétruise a 
une altitude d'environ 75 km
grâce à l'échauffement de son carburant résiduel (les ergols).

III .A -- Lors de l'entrée dans l'atmosphère, l'ATV rencontre les hautes 
couches de l'atmosphère a très grande
vitesse et reçoit alors un flux de chaleur considérable. La figure 7 représente 
un plan de coupe simplifié de
l'intérieur de l'ATV. À l'avant de celui--ci se situe une cellule étanche de 
longueur E qui renferme en particulier
huit cuves sphériques de rayon RC contenant les ergols résiduels qui doivent 
exploser afin de détruire l'ATV.

face avant 2R
E C E

%

l

> Cuves a ergols

///

Flux therm1que

Dimensions: R = 2,2 m, EUR = 2,0 m, RC : 55 cm
Figure 7

La figure 8 représente la distribution de la pression tout autour du véhicule 
pour une altitude de 75 km. L'air
ambiant a cette altitude a une masse volumique p = 4 >< 10_5 kg-m_3.

III.A.1) Donner un ordre de grandeur de la vitesse de l'ATV en s'aidant de la 
formule de Bernoulli et de la
figure 8. Les hypothèses permettant d'utiliser cette formule sont-elles toutes 
remplies ?

III.A.2) À quoi est dû le flux thermique qui s'applique sur la face avant ?

III .B -- Nous allons chercher à estimer le temps auquel va survenir 
l'explosion qui doit pulvériser l'ATV. Nous
supposerons que, sur l'ensemble de son parcours d'entrée dans l'atmosphère, sa 
vitesse est constante et vaut

2014--03-19 11:20:34 Page 5/8 OE=C BY-NC-SA

2500

2000

1500

pression (Pa)

1000 " Points de repère autour
/ de la coque de l'ATV
500 (4)
(3) (5) (6) (7 ) (8)
0 | | | | | | | _|
0 1 2 3 4 5 6 7 8

abscisse curviligne (m)

Figure 8 Pression autour de l'ATV a 75 km d'altitude

?} = 7 200 m-s_1, et que son angle d'entrée dans l'atmosphère par rapport a la 
verticale est de 80°. Il est prévu par
les ingénieurs de l'ESA que, sous l'effet de la chaleur et des contraintes 
mécaniques, la face avant soit perforée
lors de l'entrée dans les hautes couches de l'atmosphère. Cette perforation 
devrait survenir pour une altitude
ho : 100 km et on peut estimer qu'elle prendra la forme d'un trou de diamètre 3 
= 20 cm au centre de la face
avant.

III.B.1) À partir de la perforation de la face avant, de combien de temps TmaX 
dispose--t--on au maximum pour
faire exploser l'ATV avant d'atteindre l'altitude de 75 km ?

III.B.2) Donner un ordre de grandeur Tail. du temps que met l'air chaud a 
s'engouffrer, a travers le trou, dans
la cellule de longueur EUR située à l'avant de l'ATV et contenant les huit 
cuves a ergols sphériques de rayon RC.

III.C -- L'air chaud entoure dès lors les cuves a ergols consti--
tuées d'une paroi d'aluminium d'épaisseur e = 4,0 mm. Une seule
des huit cuves est encore remplie d'ergols au cours de cette phase.

On pose 8 : 47TRÊ. On prend comme origine du temps (instant

t = 0) l'instant où l'air a fini de s'engouffrer et on considère 2RC
qu'à cet instant, l'ensemble de la cuve (enveloppe et ergols) est
a la température T() = 290 K et que sa surface extérieure reçoit Enveloppe en
un flux thermique uniformément réparti et constant, de densité aluminium a T0
de courant thermique jc. On se propose de déterminer l'ordre F' 9
de grandeur du temps au bout duquel les ergols vont exploser 1gure
spontanément.
On fournit les données thermodynamiques suivantes :
Ergols Aluminium solide

Capacité thermique massique (kJ -K"1-kg'1) ce1rg : 2,7 cA1 : 0,88

Conductivité thermique (W-m"'-K"') /\erg : 0,15 ÀA1 : 230

Masse volumique (kg-m'3) pe,g = 800 pm = 2700

On étudie l'évolution de la température dans une zone assez proche de la 
surface de la cuve. On introduit alors
la profondeur z par rapport a la surface (2: << RC) et on simplifie le problème 
de symétrie sphérique en un
problème unidimensionnel de variable 2: (voir figure 10). On considèrera que 
les transferts énergétiques au sein
de la cuve (enveloppe et ergols) résultent uniquement de phénomènes de 
conduction.

Chaleur Chaleur
0 L L L L L 3,
ËËËËËÎËËËËËËËËEYgOlSÈÈÊËÎËËËËËËËËË
\rZ

Figure 10

III.C.1) Pour une profondeur z telle que 0 < 2: < 6, effectuer un bilan 
d'énergie entre les profondeurs z et
z + dz et établir l'expression de l'équation différentielle vérifiée par T(z, 
t) en fonction de pA1, ÀA1 et CA1. On
supposera que l'aluminium est totalement a l'état solide.

2014--03-19 11:20:34 OE=C BY-NC-SA

Page 6/8

III.C.2) Exprimer et calculer la constante de diffusion D A1- Exprimer et 
calculer le temps caractéristique "Fer"
de diffusion thermique dans l'enveloppe en fonction de e et D A1-

III.C.3) Etablir l'expression de l'équation différentielle vérifiée par la 
densité de courant thermique j(z, t) dans
l'enveloppe. Vérifier alors qu'une solution possible est :

J'(Z7t) = f = A [& exp<--s2> ds + B avec a : Z

S=O 2\/DAlt

où A et B sont des constantes.

III.C.4) La figure 11 donne le graphe de la fonction g(oz) : / exp(--32) ds.
S=Û

+oo
On donne également ] = / exp(--32) ds : @.

s=0 2
1 0,5
0,9
0,8 0,4
0,7
0,6 0,3
0,5
0,4 0,2
0,3
0,2 0,1
0,1
0 0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Figure 11

Donner les expressions de A et B en fonction de jc.

Représenter les graphes de la fonction j(z, t) en fonction de 2: pour 0 < 2: < 
6 aux instants t : 0+, t : TenV et
t --> +oo. On donnera notamment l'expression de j(e, Tenv).

III.C.5) On considère donc qu'après un temps valant t = 57'

env, le courant thermique est totalement établi
dans l'enveloppe, si bien que j(z, t) = je pour 0 < 2: < 6.

On prend cet instant comme nouvelle origine du temps t' = 0 et on suppose :
-- j(z : e,t') : jc : 50 kVV-m_2 (continuité du courant thermique) ;

-- T(z, t' = 0) = T() (inertie thermique des ergols).

Pour 2 > EUR, la solution pour j(z, t') est de la forme :

/
@

j(z,t') : f'(o/) : A'/ exp(--32) ds + B' avec o/ = i
s=0 2 D t'

erg

Exprimer et calculer la constante de diffusion Derg. Exprimer A' et B' en 
fonction de jc.

et t'.

ôT
III.C.6) Donner l'expression de la dérivée ÿ
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) 
;
il a été relu par Bruno Salque (Agrégé de physique) et Stéphane Ravier 
(Professeur
en CPGE).

Ce problème est consacré à l'étude des différentes phases du vol de l'Automated
Transfer Vehicle (ATV), un module destiné à ravitailler la station spatiale 
internationale (ISS). Il est composé de trois parties :
· La première permet de décrire les différents paramètres influençant l'orbite
circulaire de l'ISS autour de la Terre, dont on détermine d'abord le champ
gravitationnel.
· La deuxième partie propose d'étudier les phases d'approche successives de
l'ATV : on caractérise d'abord son orbite circulaire, qui est voisine de celle 
de
l'ISS, puis on s'intéresse à la modification de sa trajectoire lors des 
différentes
phases de transfert permettant l'approche finale.
· La troisième partie est consacrée à la destruction de l'ATV lors de sa 
rentrée dans l'atmosphère. On modélise son échauffement progressif, qui provoque
l'explosion du carburant résiduel et la destruction du module.
Cette épreuve est de difficulté inégale. La première partie est très facile et 
très
proche du cours, et les résultats que l'on y obtient sont indispensables pour 
traiter la
partie suivante. Les deuxième et troisième parties sont en revanche originales 
et laissaient les candidats formuler quelques hypothèses nécessaires à leur 
progression. Elles
s'inscrivent de ce fait dans l'esprit des nouveaux programmes. En outre, 
l'ensemble
des chapitres abordés par l'énoncé, ainsi que les méthodes de résolution 
utilisées,
figurent encore dans les nouveaux programmes. Pour ces raisons, et aussi parce 
que
les phénomènes étudiés sont passionnants, il est très intéressant de s'exercer 
sur ce
problème dans l'optique de la préparation des concours.

Indications
Partie I

-
I.A.2 Introduire le champ électrique dont A est l'analogue.

-
I.A.3 Identifier k A (RT )k à g0 .
I.B.1 Appliquer le théorème de la puissance cinétique.
Partie II
II.B.2 Ne pas oublier la force de Coriolis !
II.B.3 Que peut-on dire de l'accélération de O dans le référentiel géocentrique 
?
II.B.6 Essayer d'obtenir une équation du deuxième ordre pour z.
II.C.1 Quelle valeur peut-on donner à x0 pour retrouver un résultat connu ?
II.C.3 Encadrer les valeurs possibles du cosinus.
II.C.4 Faut-il se laisser une marge de manoeuvre ?
II.D.1 Une petite coquille s'est glissée dans l'énoncé et peut engendrer une 
incompréhension : il faut lire « ses » et non « ces ». Chercher l'équation 
cartésienne
de la trajectoire en fonction de v f ,  s et L3 , et l'écrire sous la forme
2 
2

z - z0
x - x0
+
=1
a
b
qui caractérise une trajectoire elliptique de demi grand axe a (si a > b)
dirigé suivant l'axe des x, de demi petit axe b suivant l'axe des z et centrée
au point (x0 , z0 ). Exprimer ensuite (L3 - L4 ) en fonction de v f et de  s .
Partie III
III.A.1 Penser à une sonde Pitot.
III.B.2 Calculer le débit volumique d'air à travers l'ouverture.
III.C.4 Déterminer les conditions aux limites en z = 0 et à t = 0+ afin de 
trouver A
et B. Il est judicieux d'adimensionner l'expression de j(z, t) en remplaçant D
par e2 / env .

I. L'orbite de l'ISS
I.A.1 La force d'attraction gravitationnelle exercée par un point M de masse m
et de charge q  sur un point M de masse m et de charge q est
---

-
mm M M
F grav = -G
MM2 MM
---

où G est la constante de gravitation. Posons -
r = M M et r = k-
r k pour écrire

-
-

r
F grav = -G mm 3
r
De même, la force de Coulomb entre ces deux points est

-

r
qq  -
F Coulomb =
40 r3
où 0 est la permittivité diélectrique du vide.
 -
-

I.A.2 Par analogie avec le champ électrique E = F Coulomb /q, écrivons le champ
d'attraction gravitationnelle induit par la masse m :

-

-
-
-
F grav
r
A (
r)=
= -G m 3
m
r

-

-
On constate que le facteur -G m joue le même rôle dans A que q  /40 dans E .
Le théorème de Gauss exprime le flux du champ électrique à travers une surface 
fermée en fonction de la charge électrique à l'intérieur du volume V délimité 
par  :
ZZ
 -
-

q
E · dS =
0

où q est la charge totale dans le volume V. Les champs électriques et 
d'attraction
gravitationnelle ont la même expression pour un point, et obéissent tous deux au
principe de superposition, donc on peut écrire l'équivalent du théorème de Gauss

-
pour A en remplaçant q/0 par -4Gm :
ZZ
 -
-

A · d S = -4Gm

où m est la masse totale contenue dans le volume V enfermé dans .

-
I.A.3 Calculons le champ A en un
point M à l'extérieur de la Terre. La

-
dS
Terre est considérée comme sphérique,
r

-
M
donc, d'après le principe de Curie, A
--
RT

-
est porté par r = TM, où T est le

-
centre de la Terre, et son amplitude
A (M)
ne dépend que de r. Choisissons une
T
sphère de rayon r centrée en T pour 
ainsi que le montre la figure ci-contre.
Un élément de surface de  s'écrit alors

-

d S = r2 sin2  d d -
er en coordonnées

-

sphériques, avec er = -
r /r.

-
Le flux de A à travers  s'écrit dès lors :
ZZ
Z 2 Z
 -
-

A · d S = r2 A
d

0

sin2  d = 4 r2 A(r)

0

Puisque r est plus grand que le rayon de la Terre, la masse totale enfermée 
dans 
est la masse de la Terre MT . Le théorème de Gauss appliqué au champ 
gravitationnel
donne alors, d'après la question précédente :
4 r2 A(r) = -4GMT
Soit

A(r) = -

GMT
r2

-
-
De plus, A est porté par 
er , ce qui conduit à
- -

k
A (
r ) = - 3-
r
avec
k = GMT
r

-
Lorsque r = RT , k A k = g0 , donc g0 = k/RT2 . Isolons k pour obtenir :
k = g0 RT2
--

I.B.1 On se place dans le plan contenant le vecteur -
r = TM et la vitesse instantanée du mobile. En coordonnées polaires cette 
vitesse s'écrit :

-

v = r -
e + r -
e
r

Puisque la trajectoire est circulaire, r = 0, ce qui implique que la vitesse 
est orthoradiale. Appliquons le théorème de la puissance cinétique à un mobile 
de masse m

-
décrivant la trajectoire circulaire dans le champ de gravitation terrestre A (-
r ) qui

est porté par -
er :
 
-
dEc
= mA · -
v =0
dt
Ainsi, l'énergie cinétique du mobile est constante, et la vitesse du mobile est
uniforme.
I.B.2 Écrivons l'accélération de M en coordonnées polaires :

-

a = (r - r2 ) -
e + (2r  + r) -
e
r

La trajectoire est circulaire, donc r = 0 et r = 0, et uniforme, ce qui conduit 
à
poser  =  = v/r et  = 0. Seule l'accélération centripète demeure :
2

v 
-

a = -r  2 -
er = - -
er
r
Appliquons le principe fondamental de la dynamique au mobile de masse m. La 
seule
force s'exerçant sur M est la force gravitationnelle, donc
v2 -
k 
k 

er = -m 3 -
r = -m 2 -
er
r
r
r

Projetons cette relation sur -
er et simplifions par -m pour obtenir
r
r
k
k
v=
et
=
r
r3
-m

(car  = v/r)