Centrale Physique 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Étude de la formation et de la croissance des stalactites
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique des fluides, diffusion thermique, diffusion de particules

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2009

Épreuve :

PHYSIQUE II

Filière

PC

PHYSIQUE II

Filière PC

PHYSIQUE II
Calculatrices autorisées.
Le ruissellement d'eau sur une surface est un
phénomène très courant (Partie I) qui joue un
rôle essentiel dans la formation de stalactites.
Ainsi, sur la voûte d'une grotte où ruisselle une
eau chargée en carbonate de calcium, des concrétions de calcaire appelées 
stalactites peuvent se
former et croître à partir de la voûte (cf. figure 1)
par précipitation du carbonate de calcium selon la
réaction chimique :
Ca

2+

-

+ 2HCO 3

Figure 1

CaCO 3 ( s ) + CO 2, aq

La croissance de la stalactite est pilotée par la diffusion du dioxyde de 
carbone rejeté par la solution dans l'atmosphère (Partie II).
De même lorsque de l'eau de pluie ruisselle en
hiver sur un garde-corps, on observe souvent la
formation de stalactites de glace (figure 2).
Après avoir étudié les conditions nécessaires à
leur formation (Partie III) on étudie leur croissance pilotée par la diffusion 
thermique (Partie
IV) et enfin on tente d'interpréter les ondulations de leur surface (Partie V).
Dans tout le problème, le référentiel terrestre
est supposé galiléen, e Z est un vecteur-unitaire
orienté selon la verticale descendante et le
champ de pesanteur g = ge Z est uniforme avec
­2
g = 9, 8 m u s . On prendra garde à ne pas confondre e Z et le vecteur unitaire 
e z qui est introduit dans certaines parties pour repérer la
direction perpendiculaire à l'écoulement.

Concours Centrale-Supélec 2009

Figure 2

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PHYSIQUE II

Filière PC

Filière PC
Partie I - Ruissellement d'eau sur une stalactite
I.A - Étude d'un écoulement modèle
On étudie dans un premier temps un écoulement incompressible et stationnaire
d'eau (masse volumique + et viscosité dynamique d uniformes et constantes)
sur un plan incliné faisant un angle e avec l'horizontale (cf. figure 3). On 
note
h l'épaisseur du film liquide à l'abscisse x , supposée uniforme et constante et
on cherche un champ des vitesses de la forme u ( M ) = u ( x, z ) e x . On 
rappelle
l'équation de Navier-Stokes qui pilote l'écoulement :
Du
+ -------- = ­ grad p + d6u + + g .
Dt

ez

Figure 3
I.A.1)
Montrer que u ( x, z ) ne dépend pas de x .
Comment se simplifient alors les expressions de
ex
Du / Dt et de 6u ?
eZ
I.A.2)
Expliciter la projection de l'équation de
e
Navier-Stokes sur e z et en déduire l'expression de la
pression p en fonction de h , e , z , + , g et de la pression p 0 imposée par 
l'atmosphère à l'interface
liquide-air.
I.A.3)
Établir l'équation différentielle dont est solution u ( z ) et en déduire
son expression en fonction de z , g , e de la viscosité cinématique i = d / + 
et de
deux constantes d'intégration.
I.A.4)
Quelle est la condition aux limites imposée par le plan incliné en
z = 0 ? On néglige la viscosité de l'air. En considérant un élément de surface 
dS
de l'interface eau-air sans masse, justifier la condition aux limites :
£ ,u
¥
= 0.
¤ -----,z ¦ ( z = h )

I.A.5)
I.A.6)
vaut :

Achever la détermination de u ( z ) en fonction de e , g , i = d / + , z et h .
En déduire que le débit volumique pour une profondeur b selon e y
3

g sin eh b
q = ------------------------3i

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(1)

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PHYSIQUE II

Filière PC

I.B - Application aux stalactites
On étudie désormais l'écoulement d'eau le long d'une stalactite réelle d'axe OZ
et de rayon R ( Z ) pour laquelle on peut définir un angle e ( Z ) local (cf. 
figure 4)
sur des échelles de temps telles que la croissance de la stalactite est
imperceptible : R ( Z ) et e ( Z ) ne dépendent pas du temps.
Du fait que h ( Z ) « R et
que R et e varient doucement avec Z , on peut
exprimer le débit volumique q ( Z ) à travers le
plan de cote Z à l'instant t en utilisant
l'expression (1) établie
en I.A.6) en y remplaçant b par 2/R ( Z ) .
I.B.1)
À quel endroit
de
la
stalactite
l'expression de q ( Z )
ainsi obtenue est-elle
erronée ?
I.B.2)
Le
débit
q ( Z = 0 ) = q 0 en haut
Figure 4
de la stalactite est supposé indépendant du
temps. Proposer une méthode de mesure expérimentale de q 0 .
I.B.3)
Montrer que l'épaisseur du film h est de la forme :
4/3

h = lc

( R sin e )

­1 / 3

(2)

où l c est une longueur caractéristique qu'on exprimera en fonction de q 0 , g 
, i .
­1
I.B.4)
Pour une stalactite de calcaire on prend q 0 = 50 mL u h ,
R 0 = R ( Z = 0 ) = 5cm et e ( Z = 0 ) = / / 2 . La viscosité cinématique de 
l'eau vaut
­6 2
­1
i = 10 m u s .Calculer l c , h 0 = h ( Z = 0 ) et la vitesse moyenne u m ( Z = 
0 ) définie comme la vitesse d'un écoulement uniforme qui aurait le même débit 
volumique.
I.B.5)
Expliciter un nombre de Reynolds associé à cet écoulement en adoptant h 0 comme 
distance caractéristique. Le calculer numériquement avec les
valeurs de la question I.B.4. Commenter.
­1
I.B.6)
Le modèle n'est valable que si h / R < 10 . Quelle condition numérique
en déduit-on sur R ?

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PHYSIQUE II

Filière PC

Partie II - Formation d'une stalactite dans une grotte
Pour toute cette partie, on adopte les valeurs caractéristiques suivantes, 
données en ordre de grandeur pour la stalactite étudiée :
Longueur de la stalactite

L0

10 à 100 cm

Rayon à la base

R0

5 à 10 cm

Épaisseur du film liquide

h0

10+m

Vitesse moyenne de l'écoulement

um

1 à 10 mm / s

Coefficient de diffusion pour tout soluté

D

10

Taux d'allongement

bL / bt

1 cm par siècle

­5

2 ­1

cm s

II.A - Diffusion de CO 2 dans le film liquide et précipitation de CaCO 3
II.A.1) Justifier qu'on peut négliger le mouvement de l'eau lors de l'étude de
la diffusion d'une espèce chimique dans le film liquide en évaluant 
numériquement le temps de diffusion o d des espèces chimiques dans l'épaisseur 
h de film
liquide et le temps o L nécessaire pour que l'eau parcoure la stalactite de la 
base
à la pointe.
II.A.2) Justifier qu'on peut supposer le régime de diffusion stationnaire en
comparant o d et la durée o h nécessaire pour que la stalactite croisse d'une 
longueur égale à l'épaisseur h 0 du film.
II.A.3) On admet dans cette question que l'allongement de la stalactite 
équivaut formellement à l'ajout d'un disque de CaCO 3 à sa base. Estimer la 
masse
­3
de CaCO 3 (de masse volumique l CaCO3 = 2, 7 kg u m ) déposée par siècle, puis 
la
masse de calcium correspondante. On donne le rapport des masses molaires
M Ca / M CaCO = 0, 4 .
3
2+
­1
Si on suppose que la concentration moyenne en ions Ca est de 150 mg u L pour
l'eau qui ruisselle sur la stalactite, trouver en ordre de grandeur la 
proportion
d'ions calcium qui précipite. Commenter en liaison avec la présence de 
stalagmites sous les stalactites.
II.A.4) Compte tenu de la faible épaisseur
Figure 5
z
h du film d'eau, on adopte un modèle de difatmosphère
fusion plane (cf. figure 5) : le système z + dz
h
est contenu dans un cylindre d'axe Oz et de
z
section droite dS et le nombre n ( z ) de molé0
cules de CO 2 par unité de volume, est indédS
solide
CaCO
3
pendant de x et y . Le carbonate de calcium
solide CaCO 3 occupe le domaine z ) 0 , l'eau le

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PHYSIQUE II

Filière PC

domaine 0 ) z ) h et l'air le domaine z * h . Dans la solution aqueuse, la 
réaction
de précipitation de CaCO 3 engendre une production de CO 2 telle que le nombre
de molécules de CO 2 créé dans une tranche d'épaisseur dz pendant une durée
dt vaut :
n0 ­ n
2
b N c = --------------- dS dz dt
oc

où o c est une durée liée à la cinétique de la réaction de précipitation (en 
ordre
4
2+
de grandeur o c 5 10 s et n 0 une concentration liée à [ Ca ] et au pH qu'on 
peut
raisonnablement supposer constante d'après l'étude de la question II.A.2.
Montrer que n ( z ) est solution de l'équation différentielle :
2
n0
, n n
--------2- ­ ----2- = ­ -----2b
,z
b

et expliciter b en fonction de o c et D et donner son ordre de grandeur.
II.A.5) Exprimer n ( z ) en fonction de z , b et de deux constantes 
d'intégration
A et B .
II.A.6) Quelle idée simple traduit la condition aux limites ,n / ,z = 0 en
z = 0 ? Comment se simplifie alors l'expression de n ( z ) précédente ?
II.A.7) Le coefficient de diffusion de CO 2 dans l'air étant très supérieur à sa
valeur dans l'eau, on le suppose infini, ce qui conduit à supposer que le nombre
de molécules de CO 2 par unité de volume dans l'air est uniforme, égal à sa
valeur n ' loin de la stalactite. Par ailleurs la condition d'équilibre chimique
entre le dioxyde carbone dissous dans l'eau et le dioxyde de carbone présent
dans l'air impose la condition aux limites n(z = h - ) = rn(z = h + ) avec r 5 
1, 3 à
T = 280 K (loi de Henry). En déduire l'expression de n ( z ) en fonction de n ' 
, n 0 ,
r , h , z et b .
II.A.8) On suppose que h « b . Exprimer le vecteur densité de flux de molécules
de CO 2 en z = h en limitant les calculs à l'ordre un en h / b . En utilisant 
le bilan
chimique de la réaction de précipitation donné dans l'introduction du problème,
en déduire que le nombre de molécules de CaCO 3 qui se dépose par unité de
temps et par unité de surface de stalactite au voisinage d'un point où le film
d'eau a pour épaisseur h est de la forme :
2

b N
-------------- = mh et expliciter m en fonction de n 0 , n ' , r et o c .
dSdt

(3)

II.A.9) La figure 6 donne l'allure des variations de m en fonction du pH pour
­4
une pression partielle en CO 2 dans la grotte égale à 3 u 10 bar . Commenter
sachant que le pH de l'eau qui ruisselle est égal à 9 .

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PHYSIQUE II

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II.B - Croissance et forme de la stalactite
On revient à la stalactite réelle, décrite par
le profil R ( Z ) . L'étude de la Partie I a montré que l'épaisseur du film 
d'eau en un point
où le rayon de la stalactite vaut R et où son
inclinaison par rapport à l'horizontale vaut
e est donnée par l'expression (2) établie en
I.B.3 :
4/3

h = lc

( R sin e )

­1 / 3

Figure 6

(2)

où l c est une longueur caractéristique du
problème, dépendant notamment du débit
de l'eau de ruissellement.
II.B.1) En utilisant les relations (2) et (3), montrer que la vitesse de 
croissance
V OE perpendiculairement à la surface de la stalactite est de la forme :
­1 / 3
V OE = a ( R sin e )
et exprimer a en fonction de m , l c , du volume molaire v m du
carbonate de calcium et du nombre d'Avogadro N a .
II.B.2) L'observation de stalactites conduit à supposer qu'elles tendent vers
une forme asymptotique telle que la stalactite grandisse comme si elle se 
translatait verticalement avec une vitesse caractéristique V p constante. 
Exprimer à
l'aide d'une figure, la relation très simple entre V p , V OE et e qui traduit 
cette
hypothèse.
II.B.3) On suppose désormais que e 5 / / 2 de telle sorte que sin e 5 1 et
cos e 5 ­ d R / dZ . Établir l'équation différentielle dont est solution R ( Z 
) . L'intégrer et obtenir le profil Z ( R ) en prenant R(Z = 0 ) = R 0 .
Tracer l'allure du graphe et commenter.

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PHYSIQUE II

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Partie III - Formation d'un germe de stalactite sur une
main courante cylindrique en bois
Un cylindre en bois,
horizontal d'axe Ox , de
longueur L et de rayon
a , est soumis à une
pluie
verticale
(cf.
figure 7). Pour simplifier, on ne prend pas en
compte le fait que la
pluie tombe en gouttes,
et on la modélise par un
vecteur densité de flux
de masse j m = s m e Z
uniforme et stationFigure 7
naire. La température
de l'air est T a inférieure à la température
de fusion de la glace
T f = 273 K sous la pression atmosphérique. La température de l'eau de pluie est
Tg > Tf .
On repère un point M de la surface du cylindre par son angle polaire _ par 
rapport à la verticale ascendante. On se place en régime stationnaire et on note
T ( _ ) (respectivement D m ( _ ) ), la température (respectivement le débit 
massique), de l'eau qui s'écoule à la surface du cylindre. Les gouttes de pluie 
ne rebondissent pas sur le cylindre et l'eau ne peut quitter le cylindre qu'en 
_ = / .
On néglige l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur de l'eau. 
On
suppose l'eau incompressible et on note c sa capacité thermique massique. On
suppose dans un premier temps que T ( _ ) > T f en tout point.
III.A - Bilans de masse
On envisage le système ouvert et fixe ( S ) constitué à chaque instant de l'eau
s'écoulant sur le cylindre et comprise entre _ et _ + d_ .
III.A.1) On suppose tout d'abord que 0 < _ < / / 2 .
a) Établir l'équation différentielle :
dD m
------------- = Las m cos _
d_

(4)

b) Justifier sommairement que D m = 0 pour _ = 0 .

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PHYSIQUE II

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c) En déduire l'expression de D m en fonction de a , L , s m et _ tracer 
l'allure
du graphe de D m en fonction de _ pour 0 < _ < / / 2 .
III.A.2) On suppose désormais que / / 2 < _ < / . En quoi la situation est-elle 
différente de celle qui prévalait en III.A.1 ? Compléter sans nouveaux calculs 
le
graphe de D m pour / / 2 < _ < / .
III.A.3) Justifier par ailleurs par un raisonnement global que
D m (_ = / ) = aLs m et vérifier la cohérence avec la question précédente.
III.B - Bilans d'énergie
On envisage toujours le système ouvert et fixe ( S ) constitué à chaque instant 
de
l'eau s'écoulant sur le cylindre et comprise entre _ et _ + d_ et on note H son
enthalpie, supposée indépendante du temps (régime stationnaire).
III.B.1) Indiquer sans calculs la valeur de T ( _ ) si on néglige tout transfert
thermique de l'eau aussi bien vers l'atmosphère que vers la main courante 
cylindrique. Dans la suite, on néglige toujours les transferts thermiques entre 
l'eau
et la main courante mais on suppose désormais que l'eau en écoulement sur la
main courante, reçoit de la part de l'atmosphère, à travers un élément de 
surface
2
cc
dS pendant dt , un transfert thermique de la forme b Q = h ( T a ­ T ( _ ) 
)dSdt où
cc
h
est une constante positive. On admet que l'enthalpie massique de l'eau
liquide à la température T s'écrit cT + K et on prend la constante K nulle pour
alléger les calculs.
III.B.2) On étudie le cas 0 < _ < / / 2 .
a) On envisage le système fermé ( S * ) constitué de ( S ) et de la masse d'eau 
qui
va y entrer pendant dt soit par ruissellement sur la main courante en _ , soit
par captation directe de la pluie. Exprimer son enthalpie H * ( t ) en fonction 
de
H , a , L , s m , _ , D m ( _ ) , c , T ( _ ) et T g .
b) À l'instant t + dt , ( S * ) est constitué de ( S ) et de la masse d'eau qui 
en est sortie pendant dt par ruissellement en _ + d_ . Exprimer son enthalpie H 
* ( t + dt )
en fonction de D m ( _ + d_ ) , T ( _ + d_ ) , c , T ( _ + d_ ) et H .
cc
c) On pose ` = h / cs m . Établir l'équation différentielle :
d
------- ( ( T ­ T g ) sin _ ) = ` ( T a ­ T )
d_

(5)

d) En _ = 0 , on a dT / d_ = 0 ; interpréter sommairement. En exploitant (5),
exprimer T(_ = 0 ) en fonction de T a , T g et ` . La figure 8 donne T ( _ ) 
pour
0 < _ < / / 2 , pour T a = 272 K , T g = 274 K et diverses valeurs de ` . 
Vérifier la pertinence de l'expression de T(_ = 0 ) .

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PHYSIQUE II
III.B.3) On se place dans le domaine
/ / 2 < _ < / . En opérant comme en III.B.2,
on montre (travail non demandé) que
T (_)
est
solution
de
l'équation
différentielle :
dT
-------- + ` ( T ­ T a ) = 0 .
d_

Filière PC
Figure 8

274
273.8
273.6
273.4
273.2
273
272.8

0.2

0.4

a) En déduire l'expression de T ( _ ) en
posant T(_ = / / 2 ) = T ( / / 2 ) . Tracer l'allure d'un graphe de T ( _ ) 
pour 0 < _ < / en utilisant une des courbes
au choix de la figure 8 et en admettant la continuité de
dT / d_ en e = / / 2 .
b) Quel est le point de la main courante le plus propice
à la formation de glace ?
c) Indiquer en justifiant brièvement la réponse si
l'apparition de glace est favorisée ou défavorisée
lorsqu'on remplace la main courante en bois par une
main courante en métal.

0.6

0.8

1

xxxxx
xxxxx
1.2

modèle du corps
de la stalactite
cylindrique
longueur

L(t)

1.4

film liquide

272.6

Figure 9

Partie IV - Croissance d'une stalactite de glace
On schématise la stalactite de glace (cf. figure 9) par un cylindre d'axe 
vertical,
de rayon R ( t ) et de longueur L ( t ) , accroché en Z = 0 à un support fixe. 
De l'eau
ruisselle avec un débit massique q 0 constant à la base Z = 0 de la stalactite.
L'épaisseur h du film de liquide est uniforme sur la surface de la stalactite. 
On
suppose pour simplifier que toute la stalactite et l'eau de ruissellement sont 
à la
température de fusion T f , alors que l'atmosphère est à la température T a < T 
f
loin de la stalactite. On suppose également que l'eau liquide et la glace ont
même masse volumique + . On donne l'enthalpie massique de fusion de la glace
lF .
IV.A - Modèle conducto-convectif
Dans cette question, on suppose que l'atmosphère fournit pendant une durée dt
à travers un élément d'interface air-eau dS une chaleur donnée par la loi de
2
cc
cc
Newton : b Q = h ( T a ­ T f ) dS dt où h est une constante positive donnée et
T a la température de l'atmosphère loin de l'interface stalactite-air. Cette loi

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prend en compte de manière phénoménologique le couplage entre la diffusion
thermique et la convection au voisinage de l'interface stalactite-air.
IV.A.1) On définit un système fermé constitué à l'instant t de la tranche de
stalactite de rayon R ( t ) comprise entre les cotes Z et Z + dZ et de l'eau 
liquide
qui stagne à sa surface (on peut ici négliger son mouvement). On néglige ici 
tout
phénomène de croissance verticale. À l'instant t + dt , ce système est constitué
de la tranche de stalactite de rayon R ( t + dt ) et de l'eau qui ne s'est pas 
condensée. Exprimer la variation d'enthalpie de ce système fermé entre les 
instants t
et t + dt .
IV.A.2) Exprimer la chaleur bQ reçue par ce système de la part de l'atmosphère 
entre les instants t et t + dt .
cc
IV.A.3) En déduire la vitesse de croissance radiale d R / dt en fonction de h ,
+ , l F , T f et T a .
IV.A.4) Un raisonnement analogue (non demandé) conduit à une vitesse de
croissance axiale dL / dt ayant la même valeur que d R / dt . Évaluer 
grossièrement à l'aide des clichés (cf. figure 2), le rapport L / R du taux de 
croissance vertical dL / dt sur le taux de croissance radial d R / dt et 
conclure.
IV.B - Effet de pointe
On modifie le modèle précédent au niveau de la pointe : on suppose les effets
conducto-convectifs négligeables devant les effets purement diffusifs, de telle
sorte qu'on n'exprime plus la chaleur échangée avec l'atmosphère avec la loi de
Newton. On modélise désormais la pointe de la stalactite comme une boule de
rayon a et de centre O supposée isolée dans une atmosphère de conductivité
thermique h qui remplit le reste de l'espace. On cherche un champ de 
température T ( r ) à symétrie sphérique, solution de l'équation de la 
diffusion thermique
en régime stationnaire à l'extérieur de la boule ( r * a ). On néglige la 
convection.
IV.B.1) Donner sans justification l'équation aux dérivées partielles dont est
solution T ( r ) . Montrer que le potentiel électrique créé par une charge 
ponctuelle
est solution de la même équation. Justifier qu'on peut chercher un champ de
température de la forme T ( r ) = _ + ` / r .
IV.B.2) Achever la détermination de T ( r ) avec les conditions aux limites
T(r = a ) = T f et T(r = ' ) = T a .
IV.B.3) En déduire que le flux thermique q reçu algébriquement par la pointe
de la stalactite se met sous la forme q = G ( T a ­ T f ) et expliciter G en 
fonction
de h et a .

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IV.B.4) On suppose que le flux
thermique
reçu
algébriquement
par
la
pointe
hémisphérique
d'une stalactite est
en ordre de grandeur égal à la moitié du flux évalué
en
IV.B.3.
En
déduire le facteur
d'amplification de
dL / dt
qui
en
résulte au voisinage de la pointe
par rapport à sa
valeur obtenue en
IV.A avec la loi de
Newton en fonction de h , h et a .
Avec
­2

Figure 10

­1

­1

cc

­1

­2

et h = 10 W u K u m ,
cet effet vous paraît-il à même de résoudre les difficultés apparues en IV.A.4 ?
IV.B.5) L'effet de pointe se manifeste aussi en électrostatique : au voisinage
d'une pointe, le champ électrique peut atteindre le champ critique E m 
permettant l'air de s'ioniser. Quel est l'analogue thermique du champ 
électrique ?
IV.B.6) On observe expérimentalement que la stalactite est « creuse » et 
remplie d'eau liquide dans sa phase de croissance. Au niveau de la pointe, 
l'eau se
solidifie donc seulement sur un anneau d'épaisseur e « a , à la base de la 
goutte
d'eau liquide hémisphérique (cf. figure 10).
cc
En déduire le nouveau facteur d'amplification de dL / dt en fonction de h , h ,
e et a . Faire l'application numérique pour L / R avec les valeurs 
expérimentales
e = 80+m et a = 5 mm .
h = 10

WuK

um

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Partie V - Ondulations sur la surface des stalactites
On observe très souvent des ondulations sur la surface des stalactites (cf. 
figure 11) dont la période spatiale R est de l'ordre de quelques millimètres.
V.A - Interprétation de l'instabilité
On suppose que la stalactite est ondulée, son rayon R ( Z ) étant
modélisé par une fonction créneau de période R et de valeurs extrêmes R ­ et R 
+ (cf. figure 12). L'étude de la Partie I a montré que
l'épaisseur du film d'eau en un point où le rayon de la stalactite vaut
R est donnée par l'expression :
4/3

h = lc

R

­1 / 3

(2)

où l c est une longueur caractéristique du problème, dépendant
notamment du débit de l'eau de ruissellement. On note h + et h ­ les Figure 11
épaisseurs du film d'eau associées respectivement à R + et R ­ . On
suppose la température de l'atmosphère uniforme égale à T a et celle
de la glace uniforme égale à T f .
V.A.1) On considère une couronne cylindrique de hauteur
L , de conductivité thermique h , comprise entre deux surfaces
cylindriques de même axe OZ , de rayons respectifs r 1 et r 2
( r 1 < r 2 ), maintenues respectivement aux températures constantes T 1 et T 2 
. Déterminer l'expression de la densité volumique de courant thermique, la 
diffusion thermique étant
radiale. En déduire le flux thermique \ s'écoulant vers l'extérieur, puis la 
conductance G = \ / ( T 1 ­ T 2 ) en fonction de h ,
L , r 1 et r 2 .
V.A.2) En déduire la conductance thermique G ­ (respectivement G + ) du film 
d'eau liquide de hauteur R / 2 et de rayon
R ­ (resp. R + ) en fonction de R ­ (resp. R + ), R , h , l c .
V.A.3) À l'aide de bilans thermiques analogues à ceux faits
dans la Partie IV, on montre (travail non demandé) que le rapport des taux de 
croissance des rayons vaut :
G+ R­
d R + / dt
---------------------- = ---------------- .
d R ­ / dt
G­ R+

Figure 12

En déduire qu'une irrégularité de la surface initialement faible peut 
s'amplifier.
V.A.4) La formation d'une interface glace-eau est associée à une énergie
potentielle E p = AS où A > 0 est le coefficient de tension superficielle et S 
l'aire
de l'interface. Justifier que la prise en compte de cette énergie potentielle

Concours Centrale-Supélec 2009

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PHYSIQUE II

Filière PC

modère l'effet d'origine thermique décrit en V.A.3. Cette modération est-elle 
plus
efficace pour les grandes ou les petites valeurs de R ?
V.B - Période spatiale des ondulations
V.B.1)
L'analyse précédente suppose qu'il n'y a pas de conduction thermique
selon e Z , ce qui est inexact. Du fait du mouvement de l'eau, l'équation dont 
est
solution le champ de température s'écrit :
,T
D th 6T = ------- + v u gradT
,t
­7

2

(6)

­1

où D th = 10 m u s est la diffusivité de l'eau liquide. Interpréter sans 
calculs la
forme du membre de droite de l'équation (6). Dans la suite, on néglige le terme
,T / ,t .
V.B.2)
Par une simple analyse en ordre de grandeur de l'équation (6), exprimer la 
période spatiale R des ondulations en fonction de la vitesse moyenne u m
de l'écoulement, de son épaisseur h 0 et de D th .
V.B.3)
L'article de Furukawa et Ogawa publié dans Physical Review E
66,041202 (2002) montre qu'une résolution effective de l'équation (6) ne modifie
l'expression de R que par un facteur multiplicatif supplémentaire égal à 2, 2 .
­2
­1
En déduire la valeur numérique de R avec h 0 = 0, 1mm et u m = 3 u 10 m u s .
Conclure.
··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2009

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Wahb Ettoumi (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent
Freulon (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Le sujet aborde différents phénomènes à l'origine de la formation et de la 
croissance des stalactites, et donne une explication aux ondulations observées 
sur celles-ci.
Il se compose de cinq parties indépendantes.
· Dans la première partie, on étudie le phénomène de ruissellement d'eau sur une
surface plane ; il s'agit d'un exercice proche du cours de mécanique des 
fluides.
· Les résultats obtenus sont appliqués dans la deuxième partie à un modèle qui
prend aussi en compte le phénomène chimique sous-jacent. Cette partie utilise
le cours de diffusion de particules à une dimension.
· La troisième partie traite de la formation d'un germe de stalactite, grâce à 
des
bilans macroscopiques. Le cours sur les bilans en mécanique des fluides suffit
pour l'appréhender.
· On étudie la croissance des stalactites dans la quatrième partie grâce à un
modèle plus élaboré où l'on introduit les changements d'état puis la diffusion
thermique.
· La dernière partie s'intéresse à la description des ondulations constatées à 
la surface des stalactites en étudiant une instabilité hydrodynamique. On n'y 
aborde
pas de nouveau thème et les raisonnements y sont essentiellement qualitatifs.
Ce sujet porte exclusivement sur le programme de deuxième année ; il est de
surcroît entièrement abordable par un élève de la filière PSI. Des résultats 
intermédiaires sont donnés ou rappelés tout au long de l'énoncé. Il ne comporte 
aucune
difficulté calculatoire, les questions de mécanique des fluides restant très 
proches du
cours ; la résolution des questions plus difficiles passe par l'écriture 
correcte de bilans
macroscopiques.

Indications
Partie I
I.A.4 Appliquer la seconde loi de Newton.
I.A.6 Le débit volumique q s'exprime comme l'intégrale du champ de vitesse sur
une section plane de largeur b.
I.B.1 La formule du débit est valable pour un écoulement plan.
I.B.2 Utiliser la conservation du débit pour en déduire h.
Partie II
II.A.3 Calculer la masse de calcium qui s'est écoulée le long de la stalactite, 
et
faire le rapport avec celle qui a précipité pendant la même durée. Attention
notamment à l'erreur qui s'est glissée dans le sujet, la masse volumique
CaCO3 donnée est en effet mille fois trop faible (2,7 kg.m-3 au lieu de
2 700 kg.m-3 ).
II.A.4 Effectuer un bilan de matière sur le système entre les instants t et t + 
dt.
II.B.1 Calculer la variation élémentaire de volume de deux façons différentes.
II.B.3 Intégrer l'équation en séparant les variables R et Z.
Partie III
III.A.2 L'eau est contrainte à rester sur la main courante pour  > /2.
III.B.2.a Exprimer les différentes masses reçues pendant dt par le système pour 
aboutir à l'enthalpie de (S ).
III.B.2.c Appliquer le premier principe au système (S ).
III.B.3.c Le métal augmente la conductivité thermique de la main courante.
Partie IV
IV.A.1 Relier l'enthalpie massique de fusion de la glace F à la variation 
d'enthalpie
du système pendant la durée dt.
IV.A.3 Le raisonnement est le même que pour la question III.B.2.a.
IV.B.4 Établir un bilan enthalpique mettant explicitement en jeu la croissance 
verticale de la stalactite, et considérer le transfert thermique avec 
l'atmosphère
à travers la demi-sphère modélisant la pointe.
IV.B.6 Même démarche qu'à la question IV.B.4, mais en considérant la 
solidification radiale sur une épaisseur e.
Partie V
V.A.1 Écrire un bilan thermique en symétrie cylindrique et en régime permanent

pour en déduire -
 , connaissant les conditions limites de température.
+  R+ pour exprimer G+ .
V.A.3 Utiliser le fait que h-
-
-

V.B.2 Comparer les distances caractéristiques d'évolution des deux membres de
l'équation afin de faire le bon choix.

I. Ruissellement d'eau sur une stalactite
I.A

Étude d'un écoulement modèle

I.A.1 L'incompressibilité de l'écoulement impose

div -
u =0=

ux
uz
+
x
z

-

Comme 
u est orienté seulement selon -
ex , il reste
ux
=0
x
Ainsi,

u ne dépend pas de x.

-

En régime permanent on a de plus  -
u /t = 0 , et comme u ne dépend que de
la variable z,

-- 
D-
u
-
u

=
+ (-
u · grad )-
u
Dt
t
-- 

-

= 0 + (-
u · grad )-
u
=

u -

u
ex
x

-
D-
u
= 0
Dt
Finalement,

-  2 u -

u =
ex
z 2

-
I.A.2 Projetons l'équation de Navier-Stokes sur 
ez pour obtenir
p
- µg cos 
z
Ainsi, en notant f la fonction ne dépendant que de x résultant de l'intégration 
de
l'équation par rapport à la variable z, il vient
0=-

p(x, z) = -µgz cos  + f (x)
Or, par hypothèse
On en déduit
donc

p(x, h) = p0
f (x) = p0 + µgh cos 
p(z) = p0 - µg(z - h) cos 

On néglige tout phénomène de tension de surface en admettant la continuité
de la pression à l'interface liquide-air. De plus, la forme obtenue pour p(z)
correspond à une répartition hydrostatique de pression dans la direction 
orthogonale à l'écoulement.

I.A.3 De même, la projection sur -
ex fournit
p
2u
-
+ µ g sin  + 
=0
x
z 2
 2u
1 p µ g
d'où
=-
-
sin 
2
z
 x

Or, p/x = 0, et avec  = /µ la viscosité cinématique, il vient
u
g sin 
=-
z+C
z

où C est une première constante d'intégration. On déduit l'expression de la 
vitesse
de l'écoulement par une seconde intégration
u(z) = -

g sin  2
z + Cz + D
2

où D est la seconde constante demandée.
I.A.4 Le support est fixe dans le référentiel d'étude, et le fluide est 
visqueux donc
la vitesse tangentielle s'annule en z = 0, soit
u(0) = 0
Considérons une tranche de fluide sans masse (dm  0) à l'interface eau-air.

En notant az la projection sur -
ez de l'accélération de ce système, la seconde loi de
Newton s'écrit

u
u
-
0 × az = 
(z = h ) - air
(z = h+ )
z
z
Ainsi, en négligeant la viscosité de l'air, on obtient la condition limite 
voulue
u
(z = h) = 0
z
L'énoncé demande de considérer un système sans masse. On peut justifier

l'annulation de dm × -
a lorsque dm  0 par la valeur finie de l'accélération.
I.A.5 La condition u(0) = 0 impose D = 0 et l'annulation de la dérivée de u en h
g sin 
C=
h

Finalement, l'expression complète de u sous ces conditions s'écrit
u(z) =

g sin 
z(2h - z)
2

I.A.6 Intégrons le champ de vitesse sur une section de profondeur b orthogonale 
à
l'écoulement pour obtenir le débit volumique q
Z h
q=b
u(z) dz
0
Z
g sin  h
=b
(2hz - z 2 ) dz
2
0

b g sin 
h3
=
h3 -
2
3
q=

g sin  h3 b
3

(1)