Centrale Physique 2 PC 2008

Thème de l'épreuve À propos du débitmètre à effet Coriolis
Principaux outils utilisés mécanique du point, ondes stationnaires, induction électromagnétique, électronique
Mots clefs débitmètre, force de Coriolis, capteur de vitesse, phasemètre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2008

Épreuve :

PHYSIQUE II

Filière

PC

PHYSIQUE II

Filière PC

PHYSIQUE II
Calculatrices autorisées.

À propos du débitmètre à effet Coriolis
La mesure du débit massique d'un écoulement est une opération très courante dans
l'industrie. Les débitmètres à effet Coriolis, utilisés depuis le début des 
années 1980
prennent aujourd'hui de plus en plus d'importance en raison de leurs atouts 
considérables. Le problème comporte quatre parties largement indépendantes. La 
première partie
constitue un préliminaire traité dans le cadre de la mécanique du point. Les 
notions qui
y sont développées sont reprises dans la deuxième partie qui développe le 
principe physique de base d'un débitmètre à effet Coriolis. La troisième partie 
est consacrée à l'étude
d'un capteur de vitesse, élément essentiel de ce type de débitmètre. La 
quatrième partie
enfin est l'étude du module électronique permettant de traiter les signaux 
issus des capteurs de vitesse.

Partie I - Étude préliminaire
On s'intéresse dans cette étude à la force exercée par une particule sur un 
tube en rotation dans lequel elle se déplace.
On note ( R ) le référentiel galiléen du laboratoire et
Figure 1
y
( O, u x, u y, u z ) un repère cartésien de ce référentiel,
défini de sorte que u z soit vertical ascendant. On note Y
X
g
M
g = ­ gu z le champ de pesanteur. On considère un
tube en mouvement de rotation dans un plan horizonuy
uX
tal autour de l'axe fixe Oz (figure 1). On note ( R ) le
uY
référentiel du tube et ( O, u X , u Y , u Z ) un repère carté(t)
sien de ce référentiel défini de sorte que u X soit paralz
x
lèle à l'axe du tube et u Z = u z . Soit  ( t ) l'angle entre
ux
O
les axes Ox et OX .
Une bille M , assimilée à un point matériel de masse m de coordonnées ( X , 0, 
0 ) dans le
repère ( O, u X , u Y , u Z ) , se déplace sans frottements à l'intérieur du 
tube à la vitesse
v  = v  u X uniforme dans ( R ) . On notera F = F ( t )u X la force qui permet 
de maintenir la vitesse v  constante dans ( R ) (cette force est générée par un 
dispositif annexe
dont on ne s'occupe pas ici.On notera  = u z , avec  = d ( t ) / dt , le 
vecteur rotation
instantané du mouvement de ( R ) par rapport à ( R ) . Pour l'ensemble des 
questions de
cette partie, on suppose  constant. On considérera qu'à l'instant origine t = 0 
,
 ( 0 ) = 0 et X ( 0 ) = 0 .
I.A - Établir dans la base ( u X , u Y , u Z ) , en fonction de v  ,  et t , 
les expressions des
accélérations d'entraînement et de Coriolis de M intervenant dans le changement 
de
référentiel de ( R ) vers ( R ) .

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PHYSIQUE II

Filière PC

Filière PC
I.B - On étudie ici les forces d'interaction entre le tube ( T ) et la bille M .
I.B.1)
En appliquant la loi fondamentale de la dynamique du point matériel dans
( R ) , établir l'expression dans la base ( u X , u Y , u Z ) de la force R T  
M que le tube exerce
sur la bille M , en fonction de m , g , v et  .
I.B.2)
En déduire l'expression de la force R M  T que la bille exerce sur le tube.

Partie II - Principe du débitmètre à effet Coriolis
Un débitmètre à effet Coriolis est constitué d'un tube parcouru par 
l'écoulement dont on
désire mesurer le débit massique, maintenu en vibration par un système 
excitateur. Des
capteurs de vitesse permettent de suivre les vitesses de deux points 
particuliers du tube
afin de pouvoir, grâce à un module électronique approprié, en mesurer le 
déphasage. Il
existe plusieurs géométries de tube (tube rectiligne, tube en U , ...). Tout 
d'abord, afin de
dégager le principe physique de base d'un débitmètre à effet Coriolis, nous 
étudierons le
cas limite d'un tube rectiligne sans raideur fixé à ses extrémités et oscillant 
à la manière
d'une corde vibrante. Ensuite nous analyserons dans la partie II.D le cas d'un 
tube en U
rigide. Cette dernière partie est indépendante des parties précédentes.

Description du dispositif étudié dans les sections II.A, II.B et II.C
Le repère cartésien ( O, u x, u y, u z ) du
z
Figure 2
référentiel galiléen ( R ) du laboratoire est
défini de sorte que ( O, u z ) soit vertical
dl B
ux
ascendant. Un tube OD de section inté- u z
C
A
rieure s que nous assimilerons à un fil de
longueur L , de masse linéique µ , de raiy
dy
O uy
D
deur négligeable (tube de caoutchouc par
exemple) est maintenu fixe à ses deux extrémités O et D . Le déplacement 
vertical d'un
point M du tube, d'ordonnée y , est noté z ( y, t ) . Un dispositif excitateur 
(non décrit)
impose au point milieu B de ce tube un déplacement transversal vertical
z B = Z 0 cos ( 2ft ) de faible amplitude Z 0 . Des capteurs de vitesse, dont 
l'étude fera
l'objet de la partie III permettent d'enregistrer les vitesses des points A et 
C d'ordonnées respectives y = L / 4 et y = 3L / 4 . Les hypothèses du modèle 
développé sont les
suivantes :
· H ­ II ­ 1 : au repos le tube est confondu avec l'axe horizontal Oy et sa 
tension est
T0 .
· H ­ II ­ 2 : les déplacements des différents points du tube sont transversaux 
et très
faibles devant sa longueur. Ils se font dans le plan vertical ( O, u y, u z ) .

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PHYSIQUE II

Filière PC

H ­ II ­ 3 : l'angle  ( y, t ) entre la tangente au tube au point M et l'axe Oy 
est faible.
Ces hypothèses valent pour l'intégralité de cette partie II. Pour tous les 
calculs nous nous
limiterons à l'ordre 1 . Dans la partie II.A le tube ne contient pas de fluide. 
Dans les parties II.B et II.C il est le siège d'un écoulement parfait et 
incompressible de débit massique
D m d'un fluide de masse volumique  . Dans les applications numériques ce 
fluide sera
de l'eau liquide. Pour les applications numériques nous prendrons : L = 20 cm ,
2
­3
­1
3
­3
s = 1, 1 cm , µ = 80  10 kg  m ,  = 1, 0  10 kg  m , Z 0 = 1, 0 mm , f = 80 Hz .
·

II.A - Étude générale des vibrations du tube en absence de fluide
On considère le tronçon de tube infinitésimal compris entre les ordonnées y et 
y + dy .
On note dl sa longueur à une date quelconque ; T ( y, t ) et T ( y + d y, t ) 
les modules des
tensions T g et T d exercées dessus par les parties du tube respectivement 
situées à sa
gauche et à sa droite.
II.A.1)
Montrer que l'hypothèse H ­ II ­ 1 conduit à négliger les forces de pesanteur.
II.A.2)
Établir deux équations différentielles liant au premier ordre z ( y, t ) ,  ( 
y, t ) et
T ( y, t ) . On indiquera explicitement la prise en compte des hypothèses du 
modèle.
II.A.3)
En déduire une équation différentielle du deuxième ordre aux dérivées 
partielles de la fonction z ( y, t ) . Nous noterons ( E1 ) cette équation.
II.A.4)
Quel nom porte cette équation ? Expliquer en quelques mots en quoi elle 
constitue une équation de propagation des ébranlements transversaux le long du 
tube. Donner l'expression de la célérité c des ondes le long du tube.
II.A.5)
On s'intéresse aux solutions de ( E1 ) de la forme
(1)
z ( y, t ) = f ( y ) g ( t ) .
a) Quelle est la signification physique de ces solutions ?
b) Montrer que f ( y ) et g ( t ) sont des fonctions sinusoïdales dont on 
notera respectivement k et  les pulsations spatiale et temporelle.
c) Montrer que k et  appartiennent à deux suites de valeurs que l'on 
déterminera.
On rappelle que dans la suite le tube en vibration est le siège d'un écoulement 
parfait et
incompressible de débit massique D m d'un fluide de masse volumique  .
II.B - Interaction entre le fluide en écoulement et le tube vibrant
On considère l'élément infinitésimal de tube
Figure 3
z
compris entre les ordonnées y et y + dy . On
définit la particule fluide limitée par la surface
de ce tronçon et ses sections droites (figure 3). On
uZ
note :
M
· ( R ) le référentiel non galiléen de ce tronçon,
uY
· u Y le vecteur unitaire de l'axe de ce tronçon
uz
au niveau du point M ,
u
x

u Z le vecteur qui se déduit de u Y par rotay
O uy
tion de  / 2 dans le plan ( O, x, z ) ,
· dF T  F la force exercée par le tube sur la particule fluide.
·

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Y
 ( y, t )
g
y

y + dy

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PHYSIQUE II

Filière PC

L' écoulement est supposé stationnaire dans ( R ) . On y note D m son débit 
massique,
v ( M ) = v ( M )u Y sa vitesse en M et P ( Y ) la pression au niveau de la 
section d'ordonnée
Y.
II.B.1)
Justifier que v ( M ) peut-être considéré uniforme.
II.B.2)
Que peut-on dire de la direction de dF T  F dans le cadre de l'hypothèse de
l'écoulement parfait ?
II.B.3)
Faire un bilan complet des forces s'exerçant dans ( R ) sur la particule fluide
considérée.
On peut établir que les accélérations d'entraînement et de Coriolis en M dans 
le changement de référentiel qui permet de passer du référentiel ( R ) au 
référentiel ( R ) valent
respectivement :
2

2

 z
 z ( y, t )
a e = --------u
et a c = 2 R / R  v R = 2 ----------------------u x  v R
2 z
ty
t
où v R est la vitesse du point dont on étudie le mouvement dans ( R ) . Dans la 
suite on
utilisera ces expressions sans chercher à les établir.
II.B.4)
Exprimer les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis, respectivement
notées dF ie et dF ic , subies dans ( R ) par la particule fluide.
II.B.5)
On note d p la quantité de mouvement dans ( R ) du système ouvert constitué
du fluide intérieur à la portion de tube considérée et d p * celle du système 
fermé coïncidant à la date t avec le système ouvert précédent. Déduire d'un 
bilan de quantité de mouvement la variation temporelle de d p * dans ( R ) , 
entre t et t + dt , et montrer qu'elle
conduit au premier ordre en  à l'expression :
2
 z
d ( d p )
------------------- = D m v ---------- dyu Z .
2
dt
y
II.B.6)
Établir l'expression de la force exercée par la particule fluide sur le tube. 
Montrer qu'elle peut se mettre, au premier ordre en  , sous la forme :
2
2
 
 2 z
 z 
 z
dF F  T = ­  s  g + -------- + D m  2 ------------ + v --------2-  dyu Z
2
 
 ty
 y 
t 

(2)

II.B.7)
Analyse physique du résultat (aucun calcul, aucune formule ne sont ici 
demandés).
a) Préciser l'origine des différents termes de dF F  T .
date t
b) Pour comprendre l'origine du troisième terme on peut
considérer un élément du tube à la date t . Cet élément
Y
pivote dans le référentiel ( R ) entre les dates t et t + dt
Y
(figure 4).
En analysant physiquement le comportement dans ( R ) des date t + dt
 R / R
molécules du fluide, entre ces deux dates, justifier l'existence dans (2) du 
troisième terme de dF F  T .
Figure 4

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PHYSIQUE II

Filière PC

II.C - Étude des vibrations du tube en présence d'un écoulement
On reprend dans cette partie l'étude des vibrations du tube sans raideur faite 
en II.A en
considérant maintenant qu'il est le siège de l'écoulement envisagé en II.B. 
L'hypothèse
H ­ II ­ 1 est notamment étendue au tube au repos parcouru par l'écoulement du 
fluide.
II.C.1)
Montrer que ce dernier point concernant l'hypothèse H ­ II ­ 1 permet de
négliger un des termes de l'expression de dF F  T .
II.C.2)
Reprendre la question II.A.2 en appliquant le théorème de la résultante 
cinétique à l'élément de tube compris au repos entre les ordonnées y et y + dy 
, à l'exclusion
de la particule fluide qu'il contient et dont l'étude a fait l'objet du II.B. 
En déduire, qu'au
premier ordre, z ( y, t ) obéit à une équation différentielle de la forme :
2

2

2

 z
 z
 z
--------2- ­ K 1 --------2 ­ 2K 2 D m ------------ = 0
ty
t
y

(3)

Où K 1 et K 2 sont des coefficients positifs. On exprimera K 1 en fonction de µ 
, T 0 ,  ,
s , v , D m et K 2 en fonction de T 0 , v et D m .
II.C.3)
Le tube étant maintenu en vibration tel qu'indiqué dans la description du 
dispositif, on étudie le régime forcé. À cette fin on utilise la notation 
complexe et, en posant
 = 2f , on s'intéresse aux solutions de la forme z ( y, t ) = G ( y ) exp ( jt 
) où G ( y ) est
une fonction de y à valeurs complexes.
a) Établir l'équation différentielle, que l'on notera (4), satisfaite par G ( y 
) .
On montre que la résolution de l'équation (4) dans le corps des complexes 
conduit à une
solution générale de la forme :

2 2
2 2
G ( y ) = exp ( jK 2 D m y )  A exp ( j K 1 + K 2 D m y ) + B exp ( ­ j K 1 + K 
2 D m y ) 

où A et B sont des constantes d'intégration appartenant à C
I . On ne demande pas d'établir cette expression.
b) Établir les expressions  n des pulsations propres en fonction de K 1 , K 2 , 
L et D m
et montrer que les solutions physiquement acceptables de (4) sont de la forme :

G ( y ) = 2 jA sin  n ---- y exp ( jK 2 D m  n y ) .
 L 
II.C.4)
Analyse physique de la situation Dm = 0 .
La situation envisagée dans cette question est la suivante : le fluide est 
présent dans le
tube mais ne s'y écoule pas ; la tension T 0 du tube est choisie de façon à 
observer le premier mode propre à la fréquence f du vibreur qui impose au point 
milieu B du tube son
déplacement z B = Z 0 cos ( 2ft ) .
a) Montrer, en commentant la forme que prend l'équation (3) dans ce cas, que 
l'expression de K 1 peut directement se déduire à l'étude faite en II.A.
b) Calculer la valeur numérique à donner à T 0 pour observer le premier mode 
propre à
la fréquence f = 80 Hz .
c) Établir l'expression de la cote z ( y, t ) d'un point quelconque du tube. 
Puis représenter
dans un même système d'axes l'allure de ce tube à différentes dates, en 
indiquant claire-

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PHYSIQUE II

Filière PC

ment la courbe correspondant à chaque cas envisagé. On prendra : t = 0 , t  
]0,T / 4[ ,
t = T / 4 , t  ]T / 4, T / 2 [ , t = T / 2 , t  ]T / 2, 3T / 4 [ , T = 3T / 4 , 
t  ]3T / 4, T[ .
d) Quelle remarque peut-on faire concernant les mouvements de deux points 
symétriques par rapport au point B ?
On reprend l'étude générale pour laquelle D m est non nul. La tension T 0 du 
tube est alors
automatiquement adaptée par un dispositif d'asservissement non décrit, de sorte 
que l'on
observe toujours le premier mode propre à la fréquence f du vibreur.
II.C.5)
Montrer que dans ces conditions la fonction z ( y, t ) qui traduit l'état 
vibratoire
du tube est de la forme :
y
L
z ( y, t ) = Z 0 sin   ---- cos  2ft + K  y ­ ----  .

 2
 L
On établira l'expression du coefficient K en fonction de f , K 2 et D m .
II.C.6)
Analyse physique de la situation D m non nul.
a) Que peut-on remarquer concernant les mouvements des points du tube situés 
entre
O et B d'une part, entre B et D d'autre part, lorsqu'on compare la situation D 
m  0 à
la situation D m = 0 ?
b) Faire deux figures superposant chacune les allures du tube pour D m = 0 
(représentée en pointillés) et pour D m  0 (représentée en trait plein), l'une 
pour une date comprise entre 0 et T / 4 , l'autre pour une date comprise entre 
3T / 4 et T . On tiendra
compte du fait que le terme K ( y ­ L / 2 ) dans l'expression de z ( y, t ) 
reste faible pour les
débits envisagés.
c) Sur les deux figures précédentes, représenter, sans faire de calcul, pour 
chaque demipartie du tube, la force qui est à l'origine des déformations par 
rapport au cas D m = 0 ,
en justifiant qualitativement sa direction et son sens à l'aide de la question 
II.B.4. Représenter également le vecteur vitesse de rotation.
II.C.7)
On s'intéresse aux points A et C du tube, d'ordonnées respectives y = L / 4
et y = 3L / 4 .
a) Calculer numériquement l'amplitude Z 1 de leurs mouvements.
b) Exprimer le déphasage  =  C ­  A du mouvement de C sur celui de A en fonction
de f , L , K 2 et D m .
­1
Si D m reste inférieur à 0, 45 kg.s , on peut considérer K 2 comme indépendant 
du débit,
à 1% près. On peut alors adopter l'expression approchée correspondante :
1
K 2 = --------------------------------------- .
2 2
4 f L ( µ + s )
On ne demande pas d'établir cette relation.
c) Montrer que dans ces conditions  peut-être considéré proportionnel à D m et 
calculer numériquement le coefficient de proportionnalité.

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PHYSIQUE II

Filière PC

II.D - Autre géométrie de débitmètre à effet Coriolis : le tube en U
Cette partie fait exclusivement appel aux capacités d'analyse et de 
compréhension du candidat, aucune mise en équation ne lui est demandée. 
Celui-ci devra argumenter ses réponses de façon synthétique, en quelques 
lignes, en s'aidant de schémas clairs et en exploitant
qualitativement l'étude du phénomène faite en II.B et II.C.
Un autre type de débitmètre à effet Coriolis est représenté sur la figure 5. Il 
est constitué
d'un tube métallique en U solidaire d'un bâti fixe AF et parcouru par 
l'écoulement dont
on veut mesurer le débit massique. Le fluide y entre en A et en sort en F . Un 
vibreur
placé au point I , milieu de la branche CD impose à ce tube un mouvement de « 
rotation »
sinusoïdal autour de l'axe vertical ascendant zz , de fréquence f = 80 Hz et de 
faible
amplitude (l'amplitude du point I est de l'ordre de 1 mm ). Oxy est un plan 
horizontal.
OX est un axe lié au tube et parallèle à ses branches AC et FD . Au repos les 
axes OX
et Ox sont confondus. L'angle  ( t ) que fait OX avec l'axe Ox dans le plan 
horizontal
Oxy est de la forme :  ( t ) =  0 cos ( 2ft ) . Deux capteurs de vitesse placés 
en B et E
permettent d'enregistrer les vitesses de ces points.
II.D.1)
Que peut-on dire des mouvements
Figure 5
des points B et E en absence d'écoulement ?
z
II.D.2)
Quels sont la direction et le sens des
Dm
forces exercées par le fluide sur les branches
A
AC et FD du tube et ayant pour origine la
force de Coriolis ? (On examinera deux cas, l'un
correspondant à un sens de rotation positif,
Dm
l'autre à un sens de rotation négatif).
O
B
F
II.D.3)
Décrire en quelques lignes l'idée que
y
vous vous faites du mouvement de la branche
C
CD du tube lorsque celui-ci est parcouru par
un écoulement.
I
z'

II.D.4)
Que peut-on raisonnablement penser
E
des mouvements des points B et E dans ces x
D
X
conditions ?
II.D.5)
Les capteurs de vitesse utilisés sont
Dm 2
Figure 6
composés de deux pièces en mouvement l'une par rapDm 2
port à l'autre et élaborent une tension électrique proportionnelle à la vitesse 
relative de ces deux pièces.
Dm 2
Dans le modèle précédent, pour chaque capteur, une
Dm 2
des pièces est fixe, l'autre est liée au tube, respectivement en B et E .
Pour améliorer les performances du débitmètre en U
le constructeur propose un autre modèle composé de
deux tubes parallèles parcourus dans le même sens par
l'écoulement et dans lesquels celui-ci se répartit par
moitié (figure 6). En ce qui concerne chaque capteur de
vitesse, une pièce est fixée à chacun des tubes.

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Filière PC

Comment, selon vous, doit-on faire vibrer les tubes pour que ce modèle présente 
un avantage par rapport au précédent ? Justifier votre réponse en faisant un 
schéma sur lequel
vous indiquerez la direction et le sens des forces exercées par le fluide sur 
les différentes
branches du dispositif et ayant pour origine la force de Coriolis.

Partie III - Étude d'un capteur de vitesse
Les capteurs de vitesse
uz
utilisés sont constitués
tube du débitmètre
de deux pièces. La preen vibration
P
mière est une bobine de
N spires, solidaire du
P i = 0
bobine
Traitement électronique du signal
tube et connectée à un
u PQ
(module d'impédance d'entrée infinie)
module
électronique aimant fixe
Q
d'impédance d'entrée
infinie qui sera étudié
dans la partie IV. La seconde est un petit aimant droit cylindrique. Dans le 
cas du débitmètre étudié dans la partie II cet aimant est fixe.
Les axes de l'aimant et du solénoïde sont confondus. Lorsque le tube vibre la 
bobine est
animée d'un mouvement de translation parallèle à son axe. L'objet de cette 
partie est la
compréhension et la modélisation d'un tel capteur. Aucune connaissance sur les 
aimants
permanents n'est nécessaire.
III.A - Principe de fonctionnement du capteur
La bobine est modélisée comme une bobine plate constituée
d'un ensemble de N spires circulaires occupant la même position de l'espace, de 
rayon R à peine supérieur au rayon R de
l'aimant. Dans les applications numériques on prendra
bobine
N = 100 et R = R = 2, 0 mm . La position de la bobine est O
mobile
repérée par la cote z ( t ) de son centre O comptée à partir du
centre O de l'aimant (figure 7). Lorsque le tube du débitmètre
vibre, z ( t ) est de la forme : z ( t ) = d + z 0 cos ( 2ft +  ) .
aimant
III.A.1) La figure 7 représente l'allure des lignes du champ O
fixe
magnétique de l'aimant au voisinage de la bobine. Les spires
de celle-ci sont orientées de sorte que leur normale soit dans
Figure 7
le sens de l'axe Oz . On note  le flux au travers de la bobine,
supposée électriquement refermée sur elle-même, du champ
magnétique créé par l'aimant. En utilisant une propriété fondamentale du champ
magnétique, montrer que ce flux est fonction de z .
III.A.2) Lorsque le tube du débitmètre vibre on observe une tension u PQ = V P 
­ V Q
aux bornes de la bobine. Justifier physiquement l'apparition de cette tension.

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Filière PC

III.A.3) Un tronçon filiforme de conducteur ohmique,
i
B
de conductivité  , de résistance R , est plongé dans un
champ magnétique non stationnaire. On note u la tenu Figure 8
sion à ses bornes et i l'intensité du courant qui y circule A
(figure 8).
a) Définir l'approximation des régimes quasi-stationnaires et préciser, en 
régime harmonique, son domaine de validité.
b) Établir la relation entre u et i dans le cadre de l'approximation des 
régimes quasistationnaires en introduisant la notion de force électromotrice 
induite.
III.A.4) Montrer, en utilisant une loi physique dont on citera le nom, que la 
tension aux
bornes de la bobine peut s'exprimer, en première approximation, à l'aide de  . 
On précisera la nature de l'approximation faite.
III.A.5) Établir la relation entre cette tension observée aux bornes de la 
bobine et la
vitesse de O .
III.B - Étude du champ magnétique de l'aimant en un point de son axe
L'aimant a la forme d'un cylindre de longueur
M
1
R
l = 1, 0 cm et de rayon R = 2, 0 mm . Son champ
2
z
O I
magnétique présente une structure analogue à celui
d'un solénoïde à spires jointives de mêmes dimenl
Figure 9
sions comportant n spires par unité de longueur,
parcourues par un courant d'intensité I . On rappelle l'expression du champ 
magnétique
créé par un solénoïde à spires jointives en un point M de son axe :
µ 0 nI
­7
­1
B ( M ) = ------------- ( cos  1 ­ cos  2 )u z avec µ 0 = 410 H  m .
2
Dans le cas d'un aimant cylindrique on peut reconduire cette expression en 
remplaçant
le produit nI par un coefficient M caractéristique de l'aimantation du matériau 
le cons­1
tituant. On prendra pour l'aimant utilisé M = 5, 4  10 5 A  m .
III.B.1) Calculer numériquement la valeur du champ magnétique créé par l'aimant 
au
niveau de son extrémité de cote l / 2 . En évoquant des ordres de grandeur, 
montrer l'intérêt qu'il y a à utiliser un aimant permanent plutôt qu'une bobine 
parcourue par un courant.
III.B.2) On note z la cote d'un point M de l'axe Oz de l'aimant, comptée à 
partir de
son centre O et B ( M ) = B ( z )u z le champ magnétique créé par l'aimant en 
ce point.
Établir l'expression de la fonction B ( z ) .

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PHYSIQUE II

Filière PC

III.B.3) La figure 10 fournit la
courbe représentative sur l'intervalle
[ 0 mm ; 10 mm ] , de la fonction :
z ­5
z+5
f ( z ) = --------------------------------- ­ --------------------------------2
2
( z ­ 5) + 4
( z + 5) + 4

f ( z)

Figure 10

0,98

En vous aidant de cette courbe et en
justifiant votre réponse préciser la
valeur du paramètre d , défini en
III.A, qui correspond à une réponse
0
10
5
maximale du capteur lorsque le tube
z (mm)
du débitmètre vibre.
Champ magnétique de l'aimant au voisinage de son axe
On repère un point M de l'espace par ses coordonnées ( r, , z ) dans la base 
cylindrique
( u r, u , u z ) . On admet que le champ magnétique créé par l'aimant en ce 
point est de la
forme :
B ( M ) = B r ( r, z )u r + B z ( r, z )u z .
On admet qu'au deuxième ordre en r , au voisinage de l'axe Oz , B z ( r, z ) 
peut s'écrire :
2 2

r d B( z)
B z ( r, z )  B ( z ) ­ ----- ------------------.
4 dz 2
III.C - Étude de la tension aux bornes de la bobine
On rappelle que la bobine du capteur est modélisée comme un ensemble de N = 100 
spires circulaires de rayon R occupant la même position de l'espace ; cette 
position est repérée par la cote z du centre O des spires comptée à partir du 
centre O de l'aimant.
La figure 11 fournit, sur l'intervalle [ 0 mm ; 10 mm ] , la courbe 
représentant la fonction :
1
g ( z ) = f ( z ) ­ --- f ( z )
2
où f ( z ) est la fonction définie en III.B.3 et f ( z ) sa dérivée seconde.
III.C.1) Établir une expression littérale approchée du flux magnétique  au 
travers de
la bobine en fonction de B ( z ) et de sa dérivée seconde.
III.C.2) L'amplitude des mouvements de la bobine lorsque le débitmètre est en 
fonction
étant de l'ordre de 0, 7 mm , montrer, en utilisant la courbe de la figure 11, 
que le flux du
champ magnétique de l'aimant au travers de la bobine peut-être considéré comme 
fonction affine de z dont on calculera numériquement la pente.
On peut remarquer ici que le fait de légèrement sortir du domaine linéaire 
aurait pour
conséquence de déformer le signal élaboré par le capteur sans en modifier la 
période.

Concours Centrale-Supélec 2008

10/16

PHYSIQUE II

Filière PC

III.C.3) En
g ( z)
Figure 11
déduire que la ten2,
00
sion aux bornes de
la bobine est pro- 1, 75
portionnelle à la 1,50
vitesse v ( y, t ) du
point du tube du 1, 25
débitmètre auquel 1, 00
la bobine du cap- 0, 75
teur est fixée. Cal0,50
culer
numériquement ce 0, 25
coefficient de pro- 0,00
portionnalité.
7
10 z (mm)
0 0 1
3
4
5
6
8
9
2
III.C.4) Calculer
numériquement l'amplitude U 0 des tensions fournies par les capteurs fixés aux 
points
A et C du débitmètre étudié dans la deuxième partie.
III.C.5) Analyse critique.
En fait la valeur du coefficient de proportionnalité calculé en III.C.3 n'est 
qu'approchée.
a) Pouvez-vous en donner les deux raisons principales ? En exposant brièvement 
vos
arguments préciser si selon vous le coefficient calculé est sous-évalué ou au 
contraire surévalué ?
b) Est-il par ailleurs nécessaire, pour l'utilisation que l'on fait des 
capteurs de vitesse
dans le débitmètre à effet Coriolis de connaître ce coefficient de 
proportionnalité avec
exactitude ?
Malgré son caractère approché l'étude précédente a le mérite de permettre la 
compréhension du fonctionnement du capteur et de permettre son dimensionnement 
(ordre de grandeur de ses différentes caractéristiques géométriques et 
magnétiques).

Partie IV - Filtrage du signal et mesure du déphasage
La partie IV.A correspond à l'étude du filtrage des signaux provenant des 
capteurs étudiés dans la partie III et placés aux points A et C (partie II). 
Deux méthodes de mesure
du déphasage entre les deux signaux sont ensuite successivement étudiées dans 
les parties IV.B et IV.C. Ces diverses parties sont largement indépendantes. On 
se place en
régime sinusoïdal forcé pour les parties IV.A et IV.B. Tous les amplificateurs 
opérationnels utilisés sont idéaux et de gain infini.
IV.A - Filtrage
On rappelle que les signaux issus des deux capteurs de vitesse étudiés dans la 
partie III
sont théoriquement des sinusoïdes déphasées d'un angle  proportionnel au débit 
massique que l'on cherche à mesurer. On constate en fait expérimentalement que 
le signal
est brouillé par des signaux de fréquences différentes.

Concours Centrale-Supélec 2008

11/16

PHYSIQUE II

Filière PC

IV.A.1)
Donner une origine possible pour des signaux de fréquence inférieure à f et
une autre pour des signaux de fréquence supérieure à f ( f = 80 Hz ) .
IV.A.2)
Quel type de filtrage peut-on
envisager pour réduire l'amplitude de ces
(1)
ie ( t ) ( 2 ) P ( 3 )
signaux parasites ?
+

On s'intéresse à un filtre de Sallen Key

ue ( t )

(figure 12) composé de 4 dipôles ( 1 ) , ( 2 ) ,

(4)

( 3 ) et ( 4 ) d'admittances complexes respec-

us ( t )
r

( k ­ 1 )r

tives Y 1 , Y 2 , Y 3 et Y 4 et de deux résistors
de résistances r et ( k ­ 1 )r où k est un réel

Figure 12

positif tel que 1 < k < 5 . L'amplificateur opérationnel est en fonctionnement 
linéaire.
La fonction de transfert s'écrit alors sous la forme (calcul non demandé) :
k(Y 2Y 3)
H ( j ) = 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- .
Y 4 ( Y 1 + Y 2 + Y 3 ) + Y 3 ( Y 2 + ( 1 ­ k )Y 1 )
Pour toute la suite, les composants ( 1 ) et ( 2 ) sont des résistors 
identiques de résistance
R , ( 3 ) est un condensateur de capacité C et ( 4 ) est constitué d'un 
résistor de résistance
R en parallèle avec un condensateur de capacité C .
IV.A.3)
Déterminer la nature du filtre en prévoyant, sans calculs, les comportements
asymptotiques à haute fréquence et à basse fréquence.
IV.A.4)
La fonction de transfert peut se mettre sous la forme :
G0
.
H ( j ) = ----------------------------------------- 
1 + jQ  ------ ­ -----0-
 0  
Établir les expressions de  0 , G 0 et Q en fonction de k , R et C . À quelles 
caractéristiques du filtre correspondent ces grandeurs ?
IV.A.5)
Déduire de l'expression de H ( j ) l'équation différentielle qui relie u e ( t 
) à
u s ( t ) . À quelle condition sur k ce filtre est-il stable ?
IV.A.6)
La figure 13 ci-après (page suivante) correspond au diagramme de Bode pour
une valeur de Q donnée. En exploitant graphiquement ce diagramme, donner 
l'expression du signal de sortie pour chacun des trois signaux suivants : u e1 
( t ) = E cos ( 100t ) ,
u e2 ( t ) = E cos ( 160t ) et u e3 ( t ) = E cos ( 200t ) .

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12/16

PHYSIQUE II

Filière PC

Commenter les résultats obtenus.
Figure 13
G (dB)
 (rad)

log (/0)

log (/0)

IV.A.7)
On remarque que l'intensité i e ( t ) (voir figure 12) est non nulle. Est-ce en
accord avec la description faite au début de la partie III du module de 
traitement électronique du signal ? Si non, comment peut-on très simplement 
modifier l'entrée du filtre
étudié ici pour y remédier ?
Dans la suite on s'intéresse successivement à deux méthodes de mesure du 
déphasage
entre les signaux sinusoïdaux u ( t ) = U cos ( 2ft ) et u ( t ) = U cos ( 2ft 
+  ) avec
f = 80 Hz .
IV.B - Mesure du déphasage à l'oscilloscope
On utilise un oscilloscope pour visualiser les signaux u ( t ) et u ( t ) .
IV.B.1)
Quel couplage d'entrée ( AC ou DC ) de l'oscilloscope doit-on choisir ?
Pourquoi ?
IV.B.2)
On obtient l'oscillogramme ci-après
Figure 14
(figure 14). On suppose que les déclenchements
des deux signaux sont synchrones. Déduire de
l'oscillogramme le déphasage  entre les deux
u '(t )
signaux. Lequel des deux signaux est en avance
de phase sur l'autre ?
u (t )
IV.B.3)
Préciser, en justifiant la réponse comment choisir les sensibilités verticales 
pour
améliorer la précision de la mesure du
déphasage entre les deux courbes ?

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13/16

PHYSIQUE II

Filière PC

IV.C - Phasemètre à bascule
Pour de nombreux débitmètres conçus dans les années 1980 le déphasage est en 
fait
mesuré selon le principe développé dans cette partie.
Figure 15

>
>

+

R1

C1

>

EE1

uB (t )
bloc B

bloc C

uC (t )

-

-

u (t )

+

u A (t )
bloc A

D

>
>

+

R1

C1
-

-

u '(t )

>

R2

EE
1

bloc C

u 'C (t )

uD (t )

+

u ' A (t )
bloc A

bloc D

R2

u 'B (t )
bloc B

Le montage étudié, représenté figure 15, est décomposé en blocs notés « A », « 
B », « C »
et « D ». Les blocs de type « C » font intervenir une diode Zener « idéale » à 
propos de
laquelle aucune connaissance préalable n'est nécessaire. On considère que le 
régime permanent est atteint. Les amplificateurs opérationnels des blocs « A » 
fonctionnent en
régime saturé et ceux des blocs « B » en régime linéaire.
Les signaux sinusoïdaux u ( t ) et u ( t ) de période T sont transformés en 
signaux u B ( t )
et u B ( t ) composés d'impulsions déphasées. Les blocs « C » et « D » 
permettent de construire à partir de ces impulsions un signal dont on peut 
tirer le déphasage entre u ( t ) et
u ( t ) . Les impédances d'entrée des entrées E et E du bloc « D » sont 
considérées infinies.
Les « impulsions » seront considérées ici comme des signaux rectangulaires de 
largeur
temporelle t très faible devant T et de hauteur algébrique V (voir figure 16).
Toutes les impulsions intervenant dans ce problème sont telles que V  5 V .

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14/16

PHYSIQUE II

Filière PC

IV.C.1)
Étude des blocs « A »
a) Représenter la caractéristique de transfert statique
Figure 16
uC ( t )
u s (  ) d'un amplificateur opérationnel idéal de gain infini
T
(cf. figure 17).
b) Justifier que le montage de la figure 18 s'appelle V
« comparateur à zéro ». On supposera pour la suite du problème que les 
résultats obtenus dans cette question en
régime statique restent valables pour un signal sinusoïdal.
c) On considère le bloc « A » en entrée duquel on injecte le
signal sinusoïdal u = U cos ( 2ft ) .
t
t
On note t la durée du basculement de la sortie de l'amplificateur opérationnel 
d'un état de saturation à l'autre. Tracer sur
+

deux périodes la courbe représentative du signal u A ( t ) . On indi- 
us
quera soigneusement sur l'axe des temps les dates t 1 , t 2 , ... t 8
Figure 17
entre lesquelles la sortie de l'amplificateur opérationnel se trouve
dans un état de saturation haut ou bas. On fera également figurer
sur ce graphe la période T et la durée t .
IV.C.2)
Étude des blocs « B ». On supposera que les
+

valeurs des composants sont choisies de telle sorte que les
amplificateurs opérationnels de ces blocs soient toujours en u e ( t )
us ( t )
régime linéaire.
Figure 18
a) Établir l'équation différentielle qui relie u B ( t ) à u A ( t ) .
b) Tracer sur deux périodes la courbe représentative du
signal u B ( t ) . On reportera soigneusement sur l'axe des temps les dates t 1 
, t 2 , ... t 8 définies en IV.C.1-c) et on fera figurer la période T et la 
durée t .
IV.C.3)
Étude des blocs « C »
Figure 19
Figure 20
La figure 19 représente la structure
R2
iC
d'un bloc « C » et la figure 20 la caraciC
téristique
d'une
diode
Zener
« idéale ».
uB
5 V uC
uC
a) Établir, en tenant compte des
impédances d'entrée infinies du bloc
« D », la relation entre u B , u C et i C .
b) Par un raisonnement graphique utilisant la caractéristique de la diode Zener 
montrer
qu'un bloc « C » permet de transformer les impulsions positives d'amplitude 
supérieure
à 5 V en impulsions d'amplitude 5 V et de ramener à la valeur nulle une 
impulsion
d'amplitude négative.
c) Tracer sur deux périodes la courbe représentative du signal u C ( t ) . On 
reportera soigneusement sur l'axe des temps parmi les dates t 1 , t 2 , ... t 8 
indiquées sur le graphe du
IV.C.1-c) celles qui sont pertinentes pour ce graphe.
IV.C.4)
Étude du bloc « D » (bascule)

Concours Centrale-Supélec 2008

15/16

PHYSIQUE II

Filière PC

Les tensions appliquées en E et E sont nulles (état « 0 ») sauf lors de brèves 
impulsions
où elles valent + 5 V (état « 1 »). La tension u D ( t ) au niveau de la sortie 
D vaut : soit
0 V (état « 0 ») soit + 5 V (état « 1 »). Le fonctionnement de ce bloc « D », 
dépend de la
valeur de la sortie D tel qu'indiqué ci-dessous :
· si la sortie D est dans l'état « 1 », alors le passage de E de « 0 » à « 1 » 
fait passer
D à « 0 » mais aucun changement d'état de E ne peut modifier D .
· si la sortie D est dans l'état « 0 », alors le passage de E de « 0 » à 1 » 
fait passer
D à « 1 » mais aucun changement d'état de E ne peut modifier D .
a) La figure 21 représente les signaux u ( t ) et u ( t ) sur deux périodes. 
Ils sont décalés
de l'intervalle de temps  .
Exprimer  en fonction de
u(t)
u ( t )
Figure 21
f et  .
b) Reporter sur votre
copie la figure 21. Sur ce
même graphe tracer les
courbes
représentatives
des signaux u C ( t ) et
u C ( t ) . On supposera
t <  < T et on fera apparaître ces trois intervalles de temps sur l'axe des 
temps.
c) On considérera qu'à l'instant t = 0 , la sortie D
Figure 22
est dans l'état « 0 ». En dessous du graphe précédent,
en respectant la même échelle des temps, reporter à
nouveau u C ( t ) et u C ( t ) et tracer la courbe représenR00
tative de u D ( t ) . On fera apparaître les trois intervalles de temps t ,  et 
T sur l'axe des temps.
uD (t )
IV.C.5)
On place à la sortie D le montage de la
figure 22. L'amplificateur opérationnel fonctionne en
régime linéaire. Montrer qu'en choisissant judicieusement le produit r 0 C 0 on 
peut obtenir pour u s ( t ) un signal
déphasage  .

t

r0
C0
-

+

+
s(t
us (t )

proportionnel au

··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2008

16/16

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Éric Buchlin (Chercheur au CNRS) ; il a été relu par
Vincent Langlois (Enseignant-chercheur à l'université) et Stéphane Ravier 
(Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur l'étude d'un débitmètre (appareil servant à mesurer le débit
d'un fluide) dont le fonctionnement repose sur l'effet de la force de Coriolis 
subie par
le fluide lors de vibrations imposées au tube dans lequel il se déplace.
· La première partie est un très court préliminaire qui permet de « se mettre
dans le bain » en introduisant les forces d'inertie et leur réaction.
· La deuxième partie concerne les principes mécaniques de la mesure effectuée
par le débitmètre. Ce dernier est constitué d'un tube en vibration dans lequel
circule le fluide dont on veut mesurer le débit.
· Dans la troisième partie, on voit comment les vibrations du tube, affectées 
par
le mouvement du fluide, sont transformées en un signal électrique.
· Enfin, la quatrième partie concerne le filtrage de ce signal et sa 
transformation,
la dernière, en une tension proportionnelle au débit à mesurer.
Ce long problème, d'une difficulté raisonnable, couvre un large éventail de 
domaines de la mécanique, de l'électromagnétisme et de l'électronique. 
Signalons notamment une partie d'électrocinétique assez importante (rare dans 
les problèmes des
années précédentes) mais peu calculatoire, qui demande l'analyse et la 
compréhension
de dispositifs simples.

Indications
Partie II
II.A.2 Une relation provient de la géométrie du tube, et l'autre du bilan des 
forces.
II.A.5.b Substituer dans (E1) la forme de la solution donnée dans l'énoncé, et 
diviser
ensuite par f g.
II.B.1 Utiliser la conservation de la masse.
II.B.3 La pression au niveau des sections d'ordonnée Y et Y + dY disparaît dans
les équations projetées, mais il ne faut pas l'oublier ici.
II.B.5 Faire un dessin pour comprendre l'origine cinématique (effet de la 
courbure

du tube sur le vecteur vitesse du fluide) de la variation de d-
p .
II.B.6 Utiliser le principe fondamental de la dynamique pour le système fermé
constitué de l'élément fluide défini à la question précédente.
II.C.3.b Le tube est fixe à ses deux extrémités.
II.C.4.c T est la période correspondant à la fréquence f .
II.C.6.a Étudier la phase des mouvements z(y, t) des points du tube.

Partie III
III.A.5 Penser à la dérivée d'une fonction composée.
III.B.3 Faire l'hypothèse que le champ magnétique est uniforme sur la surface de
la bobine.
III.C.2 Reconnaître f et f  dans l'expression de , puis g. Attention aux unités 
de
longueur.

Partie IV
IV.A.6 Supposer que les admittances du filtre ont été choisies telles que 0 = 
2f .
IV.C.3.b Étudier différents cas pour la valeur de uB selon le signe de iC , et 
raisonner
par l'absurde pour éliminer certains de ces cas.
IV.C.3.c Ne pas oublier que toutes les impulsions sont telles que |V| > 5 V.

I. Étude préliminaire

-
I.A Dans le référentiel (R ) en rotation, de vecteur rotation constant  par 
rapport
au référentiel galiléen (R) du laboratoire :
· Comme l'origine O du référentiel (R ) est fixe dans (R), l'accélération 
d'entraînement pour le point M s'écrit

-
 --
-
-

ae =   (   OM) = -2 X -
u
X

-
· L'accélération de Coriolis pour le point M de vitesse 
v dans (R ) est

-
-

ac = 2   -
v = 2 v  -
u
Y
I.B.1 Dans le référentiel non galiléen (R ), les forces qui s'appliquent sur le 
point
matériel M sont :

-
· la force R TM exercée par le tube sur la bille. En l'absence de frottement
(hypothèse de l'énoncé), cette force est orthogonale à -
u
X;

-

· le poids de la bille : P = m-
g = -m g -
u
Z;

-

· la force qui maintient -
v constante : F = F(t) -
u
X;
-

· la force inertielle d'entraînement (« centrifuge ») : Fie = -m-
a e = m 2 X -
u
X;
-

· la force inertielle de Coriolis : Fic = -m-
ac = -2m  v  -
u
Y.
Le principe fondamental de la dynamique pour M s'écrit, dans le référentiel non
galiléen (R ) :

 -
-
 -

-
 -

m-
a = P + F + R TM + Fie + Fic

-
-

où 
a est l'accélération de M dans (R ), qui vaut 0 car -
v est maintenue constante

-
-

par F . En projetant sur -
u
Y et uZ , on obtient respectivement :
(

-

0 = R TM · -
u
Y + 0 + 0 + 0 - 2m  v

-
0 = R TM · -
u
Z - mg + 0 + 0 + 0

-
Ainsi, comme la force R TM est orthogonale à -
u
X , il vient
-

-

R TM = 2m  v  -
u
Y + m g uZ
I.B.2 D'après la troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques,
-

-
-

R MT = - R TM = -2m v  -
u
Y - m g uZ

II. Principe du débitmètre à effet Coriolis
II.A

Étude générale des vibrations du tube en absence de fluide

II.A.1 Dans la position de repos, dans le référentiel galiléen (R) du 
laboratoire,
les forces qui s'appliquent à un tronçon de tube de longueur d sont :

-
;
· le poids d P = -µ d g -
u
z
-

· les forces de tension à gauche et à droite, qui sont respectivement Tg = -T0 -
u
y
-

-

et T = T u d'après l'hypothèse H - II - 1.
d

0

y

La résultante de ces forces est
 -
-
 -

-

d P + Tg + Td = d P = µ d g -
u
z
D'autre part, cette résultante est nulle puisque le tube est au repos. Ainsi,
L'hypothèse H - II - 1 conduit à négliger µ d g, c'est-à-dire
les forces de pesanteur.
II.A.2  est l'angle de la tangente au tube en M,
et, avec l'hypothèse H - II - 3, on a   1 et ainsi
tan  =  au premier ordre en . On obtient alors
=

z
y

z

-

Td

M d
-

Tg
y y + dy

y

Faisons le bilan des forces sur le tronçon de tube de longueur d en M. Il subit 
:
· la force de tension appliquée par la partie du tube à gauche du tronçon
-

 + sin (y, t) -
]
Tg = -T(y, t)[cos (y, t) -
u
u
y
z
-

-

= -T(y, t)[u + (y, t) u ]
au premier ordre en  ;
y

z

· la force de tension appliquée par la partie du tube à droite du tronçon :
-

 + sin (y + dy, t) -
]
Td = T(y + dy, t)[cos (y + dy, t) -
u
u
y
z
 + (y + dy, t) -
]
= T(y + dy, t)[-
u
u
au premier ordre en  ;
y
z
· le poids du tronçon, qui d'après la question précédente doit être négligé.
D'après l'hypothèse H - II - 2, l'accélération horizontale (dans la direction 
y) du
tronçon de tube est nulle. En projetant le principe fondamental de la dynamique
 dans le référentiel (R) et en développant T(y + dy, t) au premier ordre en dy,
sur -
u
y
on obtient alors :
T
=0
y
Autrement dit, T est uniforme. Par ailleurs, T est aussi constante car la 
longueur du
tube reste très proche de sa longueur au repos (hypothèses H - II - 2 et H - II 
- 3), et
car la raideur du tube est négligeable (d'après le descriptif au début de la 
partie II).
On note T0 sa valeur.