Centrale Physique 2 PC 2006

Thème de l'épreuve Réalisation d'un variomètre
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique des fluides, mécanique, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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9... e......___... __ ...:Qoe>ä ä.ä...

oeËN ooeOEQ:OE - OEOEËOEU mÈQËQQ

Ce problème étudie différentes manières de réaliser un variomètre, instrument
de mesure de la vitesse verticale d'un engin volant. Cet appareil est 
indispensa-
ble aux pilotes des aéronefs sans moteur (planeurs, deltaplanes et parapentes)
puisqu'il leur sert à'détecter les Courants d'air ascendants qui permettent à 
ces
aéronefs de se maintenir en l'air ou de gagner de l'altitude.

Dans tout le problème les écoulements seront supposés isothermes et les gaz
parfaits. Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes.

Formulaire

On pourra utiliser les formules suivantes, en coor--
données cylindriques :

U = U (r, 9, 2) étant un champ scalaire et

--> > a >
a : a,.(r, B, z)er + a9(r, @, z)e9 + az(r, B, z)eZ un

champ vectoriel, on a :

""'...dU-êïë +lïfg +OEg --
g "arrraoeazz'

_ 2 2
AU:lÈ
: ___--_ ___--_-- + ___---
roa (r 69 ôz)er <ôz r)eB (r âr r ôB>ez
2
_) --------> _) ôa,, ,--a9 âa,_ ôa, a9 ,
(a grad)a= ( "_â'Ï+ÎÊ+aZ--z_Î r+
ôa a ôa ôa aa ôa a ôa Ba
6 6 6 8 r 69 2 EUR) 2 2
--+----+ --+ + --+------+ --
<'"ôr r 86 azâz r )eG (rar r 66 Zôz)ez

On donne de plus l'identité :
""> %--> __"9 . + -->
rot(rota) =...grad(dzva)--Aa

et la décomposition en série de Fourier d'une fonction créneau f (t) impaire de 
_
période T et d'amplitude crête à crête 2E0

oesin 2k+lä
B > Tl

f(')=Tk20 (2k+1)

Partie I - Préliminaires

I.A - Étude de l'atmosphère

I. A. 1) L'aéronef évolue dans une atmosphère supposée isotherme de tempé--
rature TO-- _ 290 K. On considère l'axe vertical ascendant et on suppose le 
champ

de pesanteur uniforme de norme g, soit: ê= --gez.

Dans les conditions de l'équilibre isotherme de l'atmosphère terrestre, établir
l'expression de la pression Patm qui règne à l'altitude z en fonction de la 
pres-
sion Po qui règne au sol, de l'intensité g du champ de pesanteur terrestre, de 
la
masse molaire moyenne M de l'air et de la constante R des gaz parfaits. On sup-
pose le référentiel terrestre galiléen.

I.A.2) L'aéronef n'évolue en fait que dans une zone d'altitude restreinte au
voisinage de 20 : 800m. Linéariser l'expression précédente (en posant par

exemple 2 : zo(l + a) avec le] « 1 ), c'est-à-dire mettre Patm sous la forme
P

atm : PA--a(Z--ZO)'

Exprimer PA et on en fonction de M, g , R , TO , PO et 20.
Calculer numériquement P A et ou avec

PO : 1, 0x105Pa ,g = 9, 8m-s"2,R = 8 321--m01--1-K--1etM= 29g-mol°l.

Dans la suite du problème on utilisera les valeurs approchées: @ =10 Pa m
PA-- -- 90 X 103 Pa .

1et

LB - Étude de l'écoulement dans un capillaire

La plupart des variomètres utilisent un tube « capillaire » à l'intérieur duquel
s'écoule l'air atmosphérique (l'appellation « capillaire » tient aux dimensions 
du
tube, mais n'entraîne aucunement la prise en compte des effets de capillarité).
On va établir ici quelques résultats utiles dans toute la suite du problème. On

considère un tube cylindrique de rayon a , d'axe Oz et de longueur L à travers
lequel s'écoule un fluide de masse volumique p et de viscosité n . L'écoulement
est stationnaire et incompressible. On suppose que la pression Pe à l'entrée du
tube est supérieure à la pression Ps à la sortie du tube et on note AP la diffé-
rence Pe --Ps. On admet que la densité volumique de forces de viscosité s'écrit
nA3 et que les forces de pesanteur sont négligeables.

I.B.1) On suppose que l'écoulement est laminaire et à symétrie cylindrique
ce qui conduit à chercher le champ des vitesses en coordonnées cylindriques
sous la forme: 3 : vz(r,z)êz et le champ des pressions sous la forme P(r,z).
Montrer que 5 : vz(r, z)ÈZ ne dépend en fait que de la variable r.

I.B.2)

a) En appliquant l'équation d'Euler, établir les relations :
ôP

âP _ 1 6 du

b) Justifier que P varie linéairement avec 2 .

c) On suppose que la vitesse est définie en tout point du tube. Donner la condi-
tion aux limites en r = a . En déduire l'expression de cette vitesse en fonction
de r,a, 7], AP etL,avec AP : Pe--Ps.

I.B.3) Montrer que le débit volumique peut se mettre sous la forme
DV : BAP où {3 est une constante que" l'on exprimera en fonction de a , L et n .
Calculer numériquement [3 avec a = 0,5 mm , L = 5 cm et Tl : 1, 85 10_5 P1.
Dans toute la suite du problème on prendra [3 = 2, 7 x 10_8 rn4 - s - kg"1 .
I.B.4) À quelle condition l'écoulement est-il effectivement laminaire '? Expri-
mer cette condition en fonction de a , L , Tl , p et AP. Quelle est la valeur 
maxi--

male de AP qui respecte cette condition si p = 1, 3 kg - m_3 ?

Partie II - Variomètre à tube capillaire

Un tel variomètre est constitué principalement d'un récipient de volume inva--
riable % = 1,0 L mis en communication, par un tube capillaire identique à

celui du I.B, avec l'atmosphère extérieure où règne la pression P....m (cf. 
I.A.2).

La pression à l'intérieur du récipient est notée P (voir figure 1).

int

II.A - Principe de fonctionnement 2

II. A. 1) Que vaut la différence de pression
AP: Pint-- Patm quand l'aéronef qui porte le variomè-
tre évolue horizontalement à l'altitude zo ?

II.A.2) On suppose maintenant que l'aéronef possède

en permanence une vitesse verticale constante

V2 = U 0» non nulle. On admet que les écarts de pres-

sion et d'altitude restent suffisamment faibles pour que

la masse volumique de l'air dans le tube puisse s'écrire
P AM

p=RTO'

Figure 1

On appelle n..., le nombre de moles d'air contenues dans le récipient de volume

%. Trouver l'é equation différentielle reliant ninta DV , débit volumique sor--
tant du récipient. Sachant que la différence de pression AP: P Patm
indépendante du temps, déterminer son expression en fonction de % , U 0 , P A
et des constantes a et B définies dans le préliminaire. Ce variomètre permet- 
-il
effectivement la mesure de V2 ?

II.B - Variomètre mécanique

Afin de mesurer la
différence de pres-
sion précédente on
relie le récipient de
volume % à une
capsule manomètri-'
que modélisée par
un cylindre de très
faible volume %
(pour plus de clarté
cette condition n'est
pas respectée sur la figure 2). À l'intérieur du cylindre est placé un piston de
masse m , de section S , mobile en translation selon l'axe des x , rappelé vers 
sa
position d'équilibre (x = 0 , en l'absence de force de pression) par un ressort 
de
constante de raideur k . Le piston est soumis à une force de frottement de type
fluide --h(dx/dt)êx et est relié à une aiguille qui se déplace devant un cadran
gradué sur lequel on peut lire la vitesse verticale.

II.B.1) Donner l'équation différentielle reliant la pression P...,à al'altitude
z(t).

On admettra que les résultats du I. B restent valables même si le régime n 'est 
plus
stationnaire.

II.B.2) Dans le cas où l'aéronef, un planeur en vol horizontal à z = 20 pour
t < 0 , pénètre à l'instant t = 0 dans un courant ascendant qui lui communique
une vitesse verticale V2 = U 0 constante, montrer que la pression Pint est liée
à l'altitude z(t) par la relation :

dP... 1 1

Déterminer la constante de temps "E en fonction de % , P A et B. Exprimer
Pint(t) . Donner la valeur numérique de 1: et conclure.

II.B.3)

a) Écrire l'équation différentielle reliant le déplacement x(t) du piston à la 
dif--
férence de pression P P

b) Déterminer l'équation différentielle à laquelle obéit x(t) quand l'évolution 
du
planeur est celle décriteau II.B.2.

int--' atnz'

II.B.4) Une solution particulière de cette équation différentielle est :

m--ht+ktz(l--e )
(2kr--h)2 _ (h2 --4ink)

--t/t
xpart(t) : 4SaUO1:

a) En déduire l'expression de x(t) à deux constantes près quand l'évolution du

planeur est celle du II.B.2, si on suppose dans un premier temps que
h2--4mk  n (n entier à définir). Si on choisit
R2 = 10 kg , les valeurs disponibles dans les catalogues étant 4, 7 kg , 5, 6 
kg ,
10 kEUR! , quelle valeur doit-on prendre pour R1 ?

(1) Si l'on fait varier la valeur de R1 à l'aide d'un potentiomètre on constate 
que
le signal de sortie évolue entre une sinusoïdale légèrement écrêtée et un signal
carré. En déduire un encadrement de l'amplitude maximale du signal e'(t) en
ne gardant que le terme fondamental du développement en série de Fourier. On

justifiera cette approximation. Faire l'application numérique si la tension de
saturation de 1' A0 vaut 13 V.

III.B.4) Amélioration du montage. On
donne la caractéristique d'une diode
Zener idéale (voir figure 8 ci-contre).

Pour améliorer le comportement du U
montage, on remplace la résistance R2

par le dipôle AB suivant, qui comporte i
deux résistances R2 et R3 deux diodes

Zener tête bêche.

a) Tracer la caractéristique v(i) du dipôle AB , c'est-à-dire le graphe 
représen-
tant la tension v en ordonnée en fonction du courant i en abscisse. Préciser en
fonction de R2 , R3 , VD et VZ les différentes pentes et les coordonnées des
points particuliers de cette caractéristique.

b) En quoi l'introduction du dipôle AB améliore la qualité de l'oscillateur ?

III.C - Étude globale du capteur

Le capteur complet se compose du système de condensateurs C... et C1b , de
capacité C1 et du système de condensateurs CZa et CM de capacité 02 . Ces con-
densateurs sont utilisés dans deux oscillateurs sinusoïdaux à pont de Wien qui
oscillent respectivement aux pulsations oe1 : 1/RC1 et (02 : 1/RC2 . Soit
vl(t) : Acos(oelt) le signal issu du premier oscillateur et v2(t) : Acos(oe2t) 
le
signal issu du second oscillateur. Ces signaux sont traités par un montage élec-
tronique comportant un multiplieur qui fournit la tension vm(t) : kmvl(t)v2(t)
et une cellule de filtrage R'C' , avec km une constante multiplicative. La 
tension
UC' aux bornes du condensateur de la cellule R'C' est alors analysée par un 
fré--

quencemètre qui délivre une tension continue V S proportionnelle àla fréquence
f de "C' . On posera VS : yf.

Comment faut--il choisir le produit 1:' : R'C' pour obtenir une tension Vs pro-
portionnelle à x ?

Déterminer alors la relation entre Vs et la vitesse verticale de l'aéronef.

multiplieur Figure 10 fréquencemètre

00. FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Rémy Hervé (ENS Lyon) et Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon).

Ce problème étudie la réalisation d'un variomètre, instrument permettant la 
mesure de la vitesse verticale d'un aéronef. Il est composé de trois parties 
indépendantes,
lesquelles comportent de nombreuses questions qui le sont aussi :
· La première partie, assez facile, traite de statique et de dynamique des 
fluides
(atmosphère isotherme et écoulement visqueux dans un capillaire) ; elle est 
relativement classique.
· La deuxième partie est consacrée à la réalisation du variomètre ; elle est 
difficile, et comporte des questions délicates, notamment en terme 
d'interprétation
physique, et parfois calculatoires.
· La troisième partie étudie un variomètre électronique ; proche du cours 
d'électronique de la filière PSI, elle peut être relativement déconcertante 
pour un
étudiant de la filière PC, d'autant qu'elle fait intervenir des diodes Zener.
L'ensemble constitue un sujet intéressant avec des niveaux de difficulté variés.
Peu de résultats intermédiaires sont fournis, notamment dans les parties les 
plus
calculatoires, ce qui ne facilite pas la résolution du problème : pour répondre 
à certains
questions, on est amené à conduire des raisonnements ou des calculs comportant 
de
nombreuses étapes. Les parties du programme abordées sont diverses, ce qui en 
fait
un bon (mais difficile) problème de révision.

Indications
Partie I
I.B.1 Utiliser le fait que l'écoulement est incompressible.
I.B.2.a Attention à la confusion de notation dans l'énoncé : la même grandeur 
est
notée vz puis v. Par ailleurs, c'est l'équation de Navier-Stokes qu'il faut
utiliser, et non l'équation d'Euler.
I.B.2.b De quelles variables dépendent respectivement le membre de gauche et le
membre de droite de l'équation (2) ?
I.B.4 On peut formuler la condition demandée à l'aide du nombre de Reynolds.
Quelle est l'échelle de longueur à considérer ?
Partie II
II.A.1 Justifier que P = 0.
II.A.2 Pour établir l'expression de P, appliquer la loi des gaz parfaits au gaz
contenu dans l'enceinte, et faire apparaître Patm et P. Il faut prêter une
grande attention à l'orientation du débit dans l'utilisation du résultat de la
question I.B.3.
II.B.2 Pour résoudre l'équation différentielle, utiliser la relation z(t) = z0 
+ U0 t
puis chercher une solution particulière affine.
II.B.4.d Comparer le volume du réservoir à celui de la capsule manométrique.
II.B.6.b La fonction de transfert à considérer pour répondre à la question n'est
pas H(j ), mais x/v z .
Partie III
III.B.3.a Il peut exister dans le circuit un signal sans générateur basse 
fréquence s'il
existe  réel tel que F G(j ) = 1.
III.B.3.b Pour établir l'équation différentielle du filtre de Wien, on peut 
avantageusement passer par sa fonction de transfert. Montrer que l'équation 
différentielle recherchée s'écrit
(R C)2

d2 s
ds
+
R
C
(2
-
r)
+ s = 0
dt2
dt

Le produit gain-bande passante d'un montage amplificateur non inverseur
est celui de l'amplificateur opérationnel.
III.B.3.d Attention, l'énoncé comporte très vraisemblablement une erreur : il 
faut
chercher un encadrement de la valeur maximale de s (t).
III.B.4.a Traiter d'abord le cas où les deux diodes sont bloquées, puis celui 
où elles
sont passantes. Dans cette dernière situation, distinguer deux cas en fonction 
du sens du courant.
III.C Penser à linéariser le produit de cosinus dans l'expression de v m . Quel 
est
le rôle de la cellule R C ?

I. Préliminaires
I.A.1 Dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, la loi fondamentale de 
l'hydrostatique appliquée à l'air soumis aux forces de pression et à la 
pesanteur s'écrit
--

grad Patm =  -
g
où  est la masse volumique de l'air, donnée par la loi des gaz parfaits
M Patm
=
R T0
En projection sur l'axe (Oz) vertical ascendant, la loi fondamentale de la 
statique
des fluides s'écrit
dPatm
Mg
dPatm
= - g
soit
=-
dz
dz
Patm
R T0
Cette relation s'intègre, en tenant compte de la condition limite Patm (z = 0) 
= P0 :

Mgz
Patm = P0 exp -
R T0
I.A.2 Au voisinage de l'altitude z0 , on écrit z = z0 (1 + ) avec |  |  1, ce 
qui
permet de faire le développement limité suivant :
Patm (z) = Patm (z0 +  z0 )
= Patm (z0 ) + ( z0 )

dPatm
dz

Patm (z) = Patm (z0 ) - (z - z0 )

à l'ordre 1 en 
z=z0

Mg
M g z0
P0 exp -
R T0
R T0

Ceci s'écrit finalement Patm = PA -  (z - z0 ) avec

M g z0
Mg
M g z0
PA = P0 exp -
et
=
P0 exp -
R T0
R T0
R T0
PA = 9, 1.104 Pa

Application numérique :

 = 11 Pa.m-1
Ces valeurs sont en accord avec les valeurs approchées proposées par l'énoncé.
Par ailleurs, R T0 /(M g)  8, 5 km, ce qui justifie le développement limité.
I.B.1 L'écoulement est supposé incompressible, il vérifie donc

-

div -
v =0
avec
v = vz (r, z) -
ez
Compte tenu de l'expression de la divergence en coordonnées cylindriques 
(fournie
par l'énoncé), on obtient directement
vz
=0
z

soit

-

v = vz (r) -
ez

I.B.2.a Comme il faut tenir compte des effets visqueux, ce n'est pas l'équation
d'Euler qu'il faut utiliser, mais l'équation de Navier-Stokes. Pour le fluide 
soumis
aux forces de pression, à la pesanteur et aux forces de viscosité, dans le 
référentiel
d'étude supposé galiléen, elle s'écrit

h -
-- i
--
v

-

+ -
v · grad -
v = 
g - grad P +  -
v
t
L'écoulement est stationnaire donc
vz
=0
t
Par ailleurs, en utilisant les formules de l'énoncé, on a concernant le terme 
convectif
-- 

-
vz -

-

v · grad -
v = vz (r)
ez = 0
z
Enfin, d'après l'énoncé, l'effet de la pesanteur est négligeable. L'équation de 
NavierStokes se réduit donc à
--

-

- grad P +  -
v = 0

Calculons maintenant -
v . On a, puisque -
ez est un vecteur constant

-

-
 v =  vz ez

= (vz ) -
ez

1 d
dvz -

-

v =
r
ez
(d'après l'énoncé)
r dr
dr

On peut aussi déterminer l'expression de -
v en utilisant la relation d'analyse
vectorielle fournie par l'énoncé
- - 

-
v = - rot rot -
v
car div -
v =0
On a ensuite

dvz -
- 

e
rot -
v =-
dr
dont on déduit
1 d

-
v =
r dr

dvz -

r
ez
dr

Il ne reste plus qu'à projeter l'équation de Navier-Stokes sur les vecteurs -
er et -
ez
pour obtenir les équations demandées :
P
=0
r
et

P
1 d
=
z
r dr

dvz
r
dr

(1)

(2)

L'équation (2) de l'énoncé présente une légère incohérence : l'une des dérivées
par rapport à r est partielle, l'autre totale.