Centrale Physique 2 PC 2005

Thème de l'épreuve La vie des bulles de champagne
Principaux outils utilisés thermodynamique, diffusion, mécanique des fluides, électrostatique, interférences, analyse dimensionnelle

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


on. e......___... _ + __ ...:Qoe>=a aä.......

m8m omäQ:® .. oeËÈoeU mËoocoU

Les bulles du champagne sont constituées de dioxyde de carbone. Elles naissent 
à la sur--
face du verre (partie I ). Après une phase de croissance sur place, elles se 
détachent et mon-
tent dans le verre en poursuivant leur croissance (parties II et III). Arrivées 
à la surface,
elles explosent en laissant derrière elles un cratère et en provoquant 
l'émission d'un jet ver--
tical (partie IV). Ce jet se brise finalement en fines gouttelettes (partie V). 
Les cinq parties
du problème sont largement indépendantes. Dans tout le problème, le champ de 
pesanteur

ê= --guz est uniforme avec g= 9, 8 m 5--2. Pour une fonction y(t) ne dépendant 
que

du temps, on note y sa dérivée d y/ dt

Partie I - Formation des bulles

Dans cette partie, on considère le système fermé,

de volume V, constitué de deux sous-systèmes (cf. gaz
figure 1) : (Pg, Vg» ng)
' Une unique bulle de dioxyde de carbone, suppo--
sée sphérique de rayon a et de volume V g , for--
mée de n g moles de dioxyde de carbone assimilé
à un gaz parfait; _
F1gure 1

° Le liquide, de volume Vl= V--Vg, assimilé à
une solution aqueuse diluée de dioxyde de carbone, contenant n [ moles de
dioxyde de carbone dissous ; on note C le nombre de molécules de dioxyde de

carbone dissoutes par unité de volume dans cette solution et on suppose,
dans cette partie, C uniforme.

Le liquide est au contact d'une atmosphère imposant une pression extérieure pe
constante. On ne tient pas compte, dans cette partie, de la pesanteur. On note
p Z la pression dans la phase liquide et p 8, la pression dans la phase gazeuse 
;
ces pressions sont supposées uniformes, a priori différentes entre elles et 
diffé--
rentes de pe . La température du système est maintenue uniforme, via un con-
tact avec un thermostat de température T constante. Le nombre total de moles
de dioxyde de carbone n n EUR + n 1 dans le système est supposé constant.

I.A - Soit U l'énergie interne du système et S son entropie. Démontrer que la
fonction G* = U + Pe_V -- TS est un potentiel thermodynamique.

LB - On choisit comme variables indépendantes, le rayon a de la bulle, le
volume VZ de la phase liquide et le nombre de moles n g dans la bulle. Compte

tenu du phénomène de tension superficielle, la différentielle de la fonction G*
s'écrit alors :

dG' : ugdng + ...an + (pe --pl)dVl + (pe --pg)dVg+ Ad2

° où 2 est la surface de la bulle de gaz de rayon a et A une constante positive
appelée coefficient de tension superficielle;

° Où ug-- -- ug+RTln(pg/p0 ) et "l : ul 00+RTln(C/C ) ,
p0 est une pression de référence;

C8 est un nombre volumique de référence;
ug et W ne dépendent que de T, donc sont constantes.

I.B.1) On envisage une variation dVl de V1 , à n
l'équilibre on a p l : pe et interpréter concrètement.

g et a fixés. Montrer qu'à

I.B.2) On envisage une variation da de a , à n
l'équilibre on a p g -- --pe + 2A/a.

g et V1 fixés. Montrer qu'à

I...B 3) On envisage une variation dng de n
l'équilibre on a Mg _ '-W

g, à a et Vl fixés. Montrer qu'à
I.B.4) Déduire des questions précédentes l'équation (E) donnant implicite--

ment le rayon d'équilibre ae eq en fonction de la pression pe , du nombre 
volumi--
que C et des constantes 112,0... , R, T, A ,p0 ,pe et C.

I.B.5) Soit poe la valeur de la pression extérieure
pe telle qu'une bulle de rayon a infini soit en équili-
bre avec la phase liquide pour le même nombre volu--
mique C.

*

G Figure 2

Montrer que la condition d'équilibre (E) s'écrit aussi
bien aeq : 2A/(poe--pe) .

I.C - On suppose dans cette question que le nombre
volumique C en dioxyde de carbone dissous est fixé eq

et que la relation pg : pe+2A/a est vérifiée; en

revanche, l'égalité des potentiels chimiques n'est pas forcément réalisée. Dans
ces conditions, la fonction C'!' n 'est plus fonction que de a. La figure 2 
fournit
l'allure du graphe de G* (a) pour 0 _s a s 2aeq , qu' on ne demande pas de 
justifier.

I.C.1) Ce graphe est-il compatible avec l'étude précédente ? Quel renseigne-

ment supplémentaire en tire-t-on sur l'état d'équilibre a : a,,q ?

I.C.2) Justifier que seules les bulles de champagne ayant un rayon initial
supérieur à une valeur critique ac , à préciser, peuvent croître spontanément.

I.C.3) On donne A = 7- 10--2N-m"1 , p°° : 3 bars et pe : 1bar. Calculer ac.
Comment expliquer la présence initiale de bulles de rayon supérieur à ac à la
surface du verre ?

Partie II - Croissance et ascension des bulles

II.A - Croissance initiale des bulles

On envisage une bulle de champagne unique, sphérique de centre B fixe et de
rayon variable a(t) contenant N (t) molécules de dioxyde de carbone assimilé
à un gaz parfait; on note C g(t) lge nombre, supposé uniforme, de molécules de
dioxyde de carbone par unité de volume dans cette bulle. On repère un point M '
par ses coordonnées sphériques (r, @, cp) de centre B. Le champagne liquide
occupe le reste de l'espace et on y note C(r, t) le nombre volumique de 
molécules
de dioxyde de carbone, supposé indépendant de 6 et cp. Dans cette partie, on
néglige les phénomènes de tension superficielle et la pesanteur, de telle sorte
que la pression p est uniforme dans tout le système, avec la même valeur dans
la phase gazeuse et dans la phase liquide. L'équilibre chimique entre une bulle
de champagne et la solution aqueuse qui l'entoure dans une bouteille fermée où
la pression initiale vaut p = p,-- , impose la relation C = X pi/ k BT entre le 
nom-
bre volumique de molécules C dans la phase liquide et la pression p,-- dans la
phase gazeuse ; x ne dépend que de la température (c'est donc une constante) ;
k B est la constante de Boltzmann. Lorsqu'on ouvre la bouteille de champagne,
la pression chute brutalement jusqu'à la pression atmosphérique p : pe avec
pe < p,. La condition d'équilibre chimique n'est plus assurée qu'à l'interface
entre la bulle et la solution, elle s'écrit C(r-- -- a, t) = x p/ k BT Loin de 
la bulle,

on suppose qu' on a toujours C(r-- -- 00 ,t) : xp,/kBT. Ainsi C(r, t) n 'est 
plus uni-
forme et le dioxyde de carbone diffuse dans la solution: on note j : j(r, 
t)u,... le

vecteur--densité de flux de particules, il satisfait a la loi de Fick avec un 
coeffi-
cient de diffusion D.

II. A. 1) Soit une couronne de champagne liquide, comprise entre les rayons r
et r + dr. Exprimer le nombre 6 2,,N de molécules de dioxyde de carbone qui
entrent dans cette couronne entre les instants t et t + dt en fonction de
ô(r 2j)/ôr, dr et dt.

II.A.2) On se place en régime stationnaire. En déduire que C(r) est de la
forme C(r) : a + B/r où a et B sont deux constantes.

II.A.3) Bien que le régime réel ne soit pas stationnaire puisque le rayon a
dépend du temps, on utilise la forme de C(r) ci--dessus avec a(t) . Exprimer a 
et
B en fonction de a(t), x, p,, pe kB et T.

II. A. 4) En déduire le taux de variation ng / dt du nombre Ng de molécules

de dioxyde de carbone dans la bulle de gaz en gfonction de D, a , xg, p,-- , pe 
k 3 et
T.

II.A.5) Montrer que a(t) est solution d'une équation différentielle de la
forme: *

a(t) d(t) : K ' (1)

où K est une constante qu'on exprimera en fonction de pe , p, , X et D . 
Vérifier
l'homogénéité de l'équation (1).

II. A. 6) En déduire l'expression de a(t). Lors de la croissance de la bulle à 
la
surface du verre sur son s6ite de naissance posur p 8 =1 bar et pi : 3 bars ,le 
rayon
des bulles croît de "(> = 106 m jusqu'à al = 105 m. Vérifier que dans ces 
conditions
on a K z4 10"9 m2 s*1 sachant que Des 3 10"9 m2 S"1 et xæO, 7. Évaluer la
durée 11 de cette phase.

II.B - Croissance et ascension des bulles

H. B. 1) On suppose tout d'abord que a(t) est une constante au cours de l'ascen-
sion. On modélise les actions du champagne liquide assimilé' a de l'eau de masse
volumique M = 1 0 103 kg m 3 , par la poussée d'Archimède et une force de traî-

née de Stokes F-- : --6nanv où 71 = 1,0 10 3P1 est la viscosité dynamique du
champagne.

a) Justifier que le poids de la bulle est négligeable devant la poussée d'Archi-
mède.

b) On néglige par ailleurs la variation de quantité de mouvement de la bulle.
En déduire l'expression, numérotée (2), de sa vitesse d'ascension U en fonction
de 71 , M , g et a .

0) Calculer numériquement cette vitesse pour a = O, 1 mm . Justifier le choix de
l'expression ci-dessus de la traînée en évaluant un nombre sans dimension.

II.B.2) On admet en outre que l'expression de a(t) établie en II.A.6 reste 
vala--
ble en dépit du mouvement de la bulle. En déduire le mouvement de la bulle et
évaluer numériquement la durée 12 de son ascension dans une flûte de hauteur
H = 8 cm. On adoptera les données numériques de la question II.A.6.

Partie III . Effet de masse ajoutée

Le modèle de la partie Il (poussée d'Archimède et traînée de Stokes) ne tient 
pas
bien compte de la dépendance temporelle du rayon a et de la vitesse U . On se
propose ici de préciser l'effet de ces variations sur la force subie par la 
bulle de
champagne. Le référentiel (Ro) : (Oxyz) du verre dans lequel la vitesse de la
bulle est U(t)uz est galiléen. On étudie le mouvement du champagne liquide

autour de la bulle dans le référentiel (R B) : (Bxyz) dont l'origine est placée 
au
centre de la bulle.

_)
On note v(M, t) le champ des vitesses dans 2
le référentiel R B où M est repéré par ses
coordonnées sphériques (r, 6, cp) de centre B
(cf. figure 3). On adopte dans toute cette par--
tie le modèle suivant :

° l'écoulement du champagne autour de la
bulle est supposé parfait et on néglige la
pesanteur (on espère que l'effet dominant
des variations temporelles de a et U
n'est pas de modifier la poussée d'Archi-
mède et la traînée de Stokes, mais d'ajou--
ter de nouveaux termes dépendant de d
et U ) ;

. l'écoulement du champagne autour de la bulle est incompressible ;

. . . . --> -->
0 Il ex1ste un potent1el des v1tesses <|>(M, t) tel que v : grad par analogie avec des problèmes d'électros-
tatique dans le domaine r 2 a situé à l'extérieur de la bulle.

a) Rappeler les équations de Maxwell de l'électrostatique. En déduire l'équation
aux dérivées partielles dont est solution le potentiel V créé par une 
distribution
de charges p connue. Vérifier qu'on obtient l'équation (3) établie en III.A.1 
dans
le domaine r > a si les sources sont entièrement contenues dans la boule de
rayon a.

b) Rappeler sans démonstration l'expression du potentiel électrique V1 créé
par une charge ponctuelle q placée à l'origine B en fonction de q , 80 et de la
distance r . En déduire que la fonction q>1 : a/ r est solution de (3).

c) Opérer de manière analogue en exhibant une distribution classique de char--
ges pour justifier que % : [5cos9/r2 est solution de l'équation (3).

(1) Chercher par ailleurs une solution q>3(z) de l'équation (3) ne dépendant que
de z en coordonnées cartésiennes.

e) Justifier que la fonction

s6 + yrcos6 + 6

vérifie l'équation (3). On adopte cette expression avec 6 = 0 dans la suite.

III. A. 3) Exprimer les composantes v,. , v9 et "

n2 _n1+n2° On éclaire sous incidence normale par une onde air air Figure 5 On prendra na : 1 pour l'air et nc : 1, 33 pour le champagne liquide du film. On considère que les coefficients de transmission sont approximative-- ment égaux à 1. IV.A.1) En invoquant un phénomène d'interfé- rences à deux ondes qu'on précisera, établir l'expression de l'éclairement % (t) en fonction de k , e(t) , na , nc et de l'éclaire- Figure 6 ment go du laser. Déduire du graphe de % (t) l'évolution qualitative de la vitesse de variation é de l'épaisseur du film. IV.A.2) Interpréter le fait que l'éclairement est nul juste avant que le film n'éclate. IV.A.3) Lorsqu'on observe le film en lumière blanche, on observe des franges colorées. Par analogie avec les observations sur un interféromètre de Michelson, donner une borne supérieure pour l'épaisseur initiale e() du film. IV.B - Disparition du film La pesanteur a pour effet de fragiliser le film au sommet S de la bulle, de telle sorte qu'il finit par se percer en ce point à un ins- tant qu'on prend dans cette partie comme M' x origine des temps. Pour étudier la phase """" ' ' ' ' """" ' suivante correspondant à la croissance du trou, on adopte le modèle de Culik (of. Figure 7 _ÏÎÜ) figure 7) : 'bourrelets AZ film d'épaisseur e ° le film liquide' est compris entre les plans de cotes z = = e/ 2 et son épaisseur e est indépendante du temps ; ° le problème est symétrique par rapport au plan x = 0 et invariant par trans- lation selon îîy ; on note b la largeur du film dans cette direction ; 0 à l'instant t> 0 , le film a disparu entre les abscisses : X (t) et il s'est formé des bourrelets centrés en M ' et M" ; le bourrelet centré en M' (respective- ment M" ) contient tout le liquide qui était contenu à t = 0 dans la partie du _ film initialement comprise entre les abscisses 0 et X (t) (resp.(--X)(t) et O) ; 0 à l'instant t, le liquide est au repos dans les domaines |xl > X (t) et possède une vitesse 3== X (t)îîx dans le bourrelet centré en M' ; ° on ne prend en compte parmi les forces appliquées au 1--3, : A b {? bourrelet centré en M ' que les deux forces de tension '" superficielle appliquées sur chacune des coupures liant (>; le bourrelet aux faces planes du film ,chacune de ces for-- F : Abû--ï ces vaut F= Abux (cf. figure 8). Figure 8 IV.B.1) Considérons le système fermé constitué de la masse m(t) de liquide contenue à l'instant t dans le bourrelet et de la masse ôm contenue à l'instant t dans la partie plane du film et qui va entrer dans le bour-- relet entre les instants t et t + dt. Exprimer la variation de quantité de mouve- ment par unité de temps dP/ dt de ce système en fonction de e, X à b, X, p. et X. Dans la suite on néglige le terme en XX devant le terme en X dans cette expression. IV.B.2) En déduire l'expression de X en fonction de e , A et u . IV.B.3) En déduire un ordre de grandeur littéral de la durée 13 nécessaire pour faire disparaître le film. IV.B.4) Calculer X et 1:3 sachant que a = O, 1 mm, e = 2- 10"7 m, u = 1,0--103kg -m'3 etA = 7=10"2N-m"1. Partie V - Rupture du jet ascendant Une fois que le film liquide a disparu, il laisse derrière lui un cratère hémisphé-- rique hors d'équilibre, qui provoque l'émission d'un fin jet de champagne liquide vertical. On constate que le jet est cylindrique, ce qui conduit à négliger la pesanteur dans toute cette partie. La pression atmosphérique pe est uniforme autour du jet. Ce jet se brise en fines gouttelettes, ce que l'on se propose d'inter-- préter par deux modèles concurrents. V.A - Premier modèle Az On envisage un jet de liquide initialement cylindrique d'axe Oz et de rayon a. On adopte dans cette partie un système de coor-- données cylindriques (r, 6, z) d'axe Oz et le trièdre local associé. _ .C-- Pour discuter la stabilité du jet, on imagine qu'on lui impose à I t = 0 une perturbation telle que sa surface libre ait pour équa-- - ' ' ' .B ' ' tion r = a + bcos(2nz/k) avec b << a et on se demande si la pertur-- bation se résorbe ou s'amplifie. _ On considère les points B et C sur la figure 9 de cotes respectives )» et 3)»/ 2. On admet que la pression en ces points vaut : A d2 % d2 pB=pe+----A(--ÎZ') etpc=pe+----A(----z) ' B C où A est le coefficient de tension superficielle, constant et positif introduit dans la partie I ; les dérivées secondes sont évaluées respectivement aux points B et C V.A.1) Exprimer pc --- p B en fonction deA , a , b et >» en limitant les calculs à l'ordre-un en b/a . V.A.2) En déduire que le jet est instable si )» est supérieur à une valeur criti- que l.c qu'on exprimera en fonction de a . Quelle est alors l'ordre de grandeur de la longueur minimale Lc de jet nécessaire pour que l'instabilité se développe ? V.B - Deuxième modèle On se propose de retrouver le résultat précédent sachant que Ray]eigh a obtenu des solutions analytiques de la forme : 2 2 2 2 "(z, t) : a+æe(bexp(joet_jkz)) avec ...2 = k a (k a3-- 1)A 2ua Où ?)'îe désigne l'opérateur partie réelle ; k est un nombre réel et m est un nom- bre a priori complexe noté (» = m' + joe" . V.B.1) Explioiter r(z, t). À quelle condition sur ou" le jet cylindrique est-il instable ? Pour quel domaine de valeurs de k cette situation se produit-elle ?- V.B.2) Tracer le graphe de (02 en fonction de la variable u : k2a2 pour 0 < u < oo . Pour un rayon a donné, quelle est la valeur particulière k M de k don- nant lieu à l'explosion la plus rapide ? Comparer au résultat de V.A.2. V.C - Validité du modèle du jet cylindrique On se propose de tester la validité de l'approximation « pesanteur négligeable » utilisée dans la partie V, pour un jet de rayon typique a = O, 1 mm et de vitesse typique v : 1m-s"'. V.C.l) Former un nombre sans dimension à cet effet, l'évaluer et conclure. V.C.2) Indiquer sans calcul pourquoi lorsqu'on prend en compte la pesanteur le rayon a du jet varie avec l'altitude z . Préciser si a croît ou décroît lorsque 2 croît. ooo FIN 000 Ce sujet est inspiré d'un article de Gérard Ligier--Eclair paru dans le Bulletin de la Société Fran- çaise de Physique (décembre 2000) rendant compte de recherches actuelles dans ce domaine. Ces recher- ches sont notamment motivées par l'importance du rôle joué par les bulles du champagne dans sa dégustation : lors de leur éclatement, elles libèrent, outre du dioxyde de carbone, des composés aromati- ques.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Marc Jungers (Chercheur au CNRS) ; il a été relu par
Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur l'étude des bulles de dioxyde de carbone dans un verre de
champagne. Les différentes phases de la vie d'une bulle y sont étudiées.
· La première partie porte sur la formation des bulles. Une étude 
thermodynamique permet de déterminer le rayon critique d'une bulle pour qu'elle 
puisse
croître spontanément.
· La deuxième partie s'intéresse d'abord à la croissance des bulles en 
utilisant un
modèle de diffusion des molécules de dioxyde de carbone, puis à l'ascension des
bulles dans le verre grâce à la poussée d'Archimède.
· La troisième partie est consacrée tout particulièrement à l'étude de 
l'écoulement
de liquide autour de la bulle et à la détermination plus précise de la 
résultante
des forces de pression du liquide sur la bulle.
· La quatrième partie s'attache à l'explosion de la bulle à la surface du 
liquide.
Les premières questions portent sur l'étude expérimentale, par une méthode
d'interférométrie optique, de l'épaisseur du film liquide. Les questions 
suivantes
proposent l'étude de la dynamique de la rupture du film de la bulle.
· La cinquième et dernière partie traite des conditions de rupture du jet 
ascendant
créé par l'explosion de la bulle à la surface de liquide via la détermination de
la pression dans la colonne de liquide.
Ce problème aborde de nombreuses notions différentes. Même si les parties IV
et V sont plus délicates, l'ensemble est de difficulté raisonnable et demande 
une
bonne capacité d'interprétation physique plus qu'une virtuosité dans les 
calculs.

Indications
Première partie
I.A Donner la définition d'un potentiel thermodynamique et calculer la 
différentielle dG en appliquant au système fermé (liquide et gaz) les premier
et deuxième principes de la thermodynamique.
I.B Exprimer dn , dVg et d en fonction de dng et da et utiliser le fait que
G est un potentiel thermodynamique.
I.C.2 Sur la figure regarder l'évolution spontanée possible du rayon a sachant 
que
G est un potentiel thermodynamique.
Deuxième partie
II.A.1 Faire un bilan de quantité de molécules de dioxyde de carbone sur la 
couronne de champagne liquide.
II.A.2 Utiliser la loi de Fick et la relation obtenue à la question précédente.
II.A.4 Injecter la valeur C(r) trouvée à la question II.A.3 dans la loi de Fick
appliquée en r = a et faire un bilan de quantité de particules.
II.A.5 Le dioxyde de carbone est présent sous forme gazeuse et considéré comme
un gaz parfait.
II.B.1.c Calculer le nombre de Reynolds et vérifier qu'il correspond à une zone 
de
régime linéaire permanent.
II.B.2 Déterminer la vitesse U(t) en utilisant l'expression de a(t).
Troisième partie

III.A.1 L'écoulement est incompressible. Donner la divergence du vecteur -
v.
III.A.2.c Penser à un dipôle électrostatique.
III.B.2 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un élément de volume
liquide dans le référentiel non galiléen lié à la bulle.
III.B.3.a Étudier les forces de pression élémentaire pour  et  + .
III.B.3.b Étudier les forces de pression élémentaire pour  et -.
III.B.3.e Reprendre le résultat de la question II.B.1.b et l'équation (1).
Quatrième partie
IV.A.1 Remarquer que les coefficients de réflexion sont faibles.
IV.A.3 Évaluer la longueur de cohérence.
IV.B.1 Faire un bilan de quantité de mouvement. Exprimer en fonction de µ, X(t),
e et b la masse m(t).
Cinquième partie
V.A.2 Utiliser le calcul obtenu à la question V.A.1. Étudier l'effet des 
résultantes
des forces de pression sur une couche horizontale de liquide entre les points
B et C.
V.C.1 S'inspirer de la définition du nombre de Reynolds.
V.C.2 Étudier la relation de Bernoulli.

I. Formation des bulles
I.A Un potentiel thermodynamique est une fonction permettant de déterminer
l'évolution d'un système libéré de ses contraintes extérieures et qui vérifie 
les propriétés suivantes :
· elle décroît lors de l'évolution spontanée du système ;
· lorsque le système est à l'équilibre thermodynamique, elle est minimale.
Calculons la différentielle dG :
dG = dU + pe dV - TdS
car pe et T sont constantes. D'après le premier principe appliqué au système 
fermé
{liquide + bulle} :
dU = Q + W = Q - pe dV
avec Q le transfert thermique reçu de l'extérieur du système {liquide + bulle}, 
et
W le travail des forces de pression sur le système (seules forces qui 
travaillent ici car
on néglige la pesanteur). En appliquant le second principe de la 
thermodynamique à
ce système fermé, on obtient :

Q
 S
échange =
T
dS = Séchange + Scréation
avec

Scréation > 0

D'où

dG = -TScréation 6 0

Comme, à l'équilibre Scréation = 0, la fonction G est un potentiel 
thermodynamique.
La fonction G n'est pas l'enthalpie libre G puisque la pression extérieure pe
est différente de la pression p dans le système. Une autre différence importante
entre G et G est que G n'est pas un potentiel thermodynamique.
I.B.1 Exprimons les différentes grandeurs en fonction des variables 
indépendantes a,
V et ng :

n + ng = n
dn = -dng

4
d'où
dVg = 4a2 da
Vg = a3

3

 d = 8ada
 = 4a2
L'expression de la différentielle dG devient alors :

2A
dG = (µg - µ ) dng + (pe - p ) dV + 4a2 pe - pg +
da
a
Pour une variation dV de V à ng et a fixés (soit dng = 0 et da = 0), à 
l'équilibre :
dG = 0 = (pe - p ) dV
D'où

pe = p

Cette relation peut s'interpréter physiquement. À ng et a fixés (donc Vg 
aussi), une
variation de volume dV de V n'entraîne pas de travail des forces de pression à
l'équilibre si les pressions p et pe sont identiques.

I.B.2 À ng et V fixés, une variation da de a à l'équilibre entraîne

2A
dG = 0 = 4a2 pe - pg +
da
a
soit

pg = pe +

2A
a

La pression dans la bulle pg est toujours plus importante à l'équilibre que la
pression extérieure pe .
I.B.3 Pour a et V fixés une variation dng de ng entraîne à l'équilibre :
dG = 0 = (µg - µ ) dng
soit

µg = µ

I.B.4 À l'équilibre les relations obtenues dans les questions précédentes sont 
simultanément valables. Donc

C
pg
0
µg = µ = µ0g + RT ln
=
µ
+
RT
ln

p0
C0

µ0g - µ0
C p0
soit
= ln
RT
C0 p g
!
µ0g - µ0
2A
0 C
pg = p 0 exp -
= pe +
(E)
En conclusion
C
RT
aeq
I.B.5 Par définition, p est la pression extérieure pe telle qu'une bulle de 
rayon
a infini soit en équilibre avec la phase liquide pour le même nombre volumique 
C.
On a alors, en faisant apparaître cette définition dans l'équation (E) :
!
µ0g - µ0
0 C
p = p 0 exp -
C
RT
L'équation (E) se réécrit alors sous la forme :
p = pe +
soit

aeq =

2A
aeq

2A
p - pe

I.C.1 Pour a = aeq , la fonction G est bien extrémale. Ceci est bien compatible
avec l'étude précédente. Cependant cet équilibre est instable puisque G est 
maximale
en a = aeq et non minimale. Une bulle ne peut pas conserver un rayon a égal à 
aeq .
I.C.2 L'évolution spontanée du système se faisant toujours dans le sens d'une 
diminution de G , on considère deux cas pour l'évolution de a : soit 0 < a < 
aeq soit
aeq < a.
· Cas 0 < a < aeq : le rayon a diminue jusqu'à atteindre a = 0 (minimum de G ).
La bulle diminue de taille jusqu'à disparaître.
· Cas aeq < a : le rayon a ne peut qu'augmenter.