Centrale Physique 2 PC 2004

Thème de l'épreuve Étude de différents écoulements dans un tube et applications
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, ondes sonores, interaction champ magnétique/milieu conducteur
Mots clefs écoulements, jouet acoustique, débitmetre, viscosimètre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


0n_ e....___... . :...305>1aëä...

ËQN ooe\mQ:m .. &OEÈoeü mËoËeü

I

L' epreuve est constituée de trois parties indépendantes. ayant en commun
l'écoulement d'un fluide en géométrie cylindrique. Dans la partie I, 
l'écoulement
d'air dans un tube cylindrique permet une mesure de la viscosité de l'air. Dans
la partie II, on étudie une mesure électromagnétique de la vitesse d'un liquide
conducteur dans un tuyau cylindrique isolant. La partie III s'intéresse à 
l'émis--
sion d'ondes acoustiques par un tuyau cylindrique crénelé.

Partie I - Mesure dela viscosité de l'air

Le montageexpérimental est représenté z
sur la figure 1. Un récipient de volume V
communique avec l'atmosphère (pres--
sion Pa : 1,'016- 105 pascals et tempéra-
ture Ta' : 288 K ) par un tube cylindrique
vertical (C) de rayon et et de longueur 1
muni d'un robinet (R) . Un tube en << U »
contenant du mercure permet de suivre
l'évolution de la pression dans le
récipient par lecture de deux hauteurs
h_' et h" . On note P (majuscule) la pres- 2 :
sion dans le récipient et p (minuscule) la
pression dans le tube (C).

Figurel
z=l P

tube
manométnque

Le robinet (R) étant fermé, on remplit
avec une pompe (non représentée sur la
figure) le récipient jusqu'à ce que la pres-
sion y atteigne la valeur P1 avec
1,1 Pa », K puis 1] .

I.C.3) On se propose de se faire une idée du nombre de chiffres significatifs
qui peuvent être retenus dans la mesure de n compte tenu des incertitudes sur
les différentes mesures (h', h",a...) en limitant l'étude à l'influence du seul
paramètre h". Reprendre le calcul de n avec la valeur h"2 : 19,96 Cm , les

autres valeurs étant inchangées. En déduire un affichage cohérent de la mesure
de n .

Partie II - Mesure de la vitesse d'un liquide conducteur

On considère l'écoulement d'un liquide légère-
ment conducteur (par exemple du sang) dans
un tuyau cylindrique isolant de rayon a (cf.
figure 3). On impose un champ magnétique
uniforme B: B0ex .On se place en régime sta-
tionnaire. Dans un premier temps on se place
en coordonnées cartésiennes et on suppose que
le champ des vitesses de l'écoulement réel est
donné par: D : k(a 22--x2---y )ez où k est une

constante donnée.

tuyau
' isolant

II.A - Expression de ;

II.A.1) On définit la vitesse moyenne "m du
liquide comme la vitesse d'un écoulement uni-
forme fictif qui donnerait le même débit volumique à travers une section du tube
que l'écoulement réel. Exprimer um en fonction de k et a.

Figure 3

II. A. 2) On rappelle la loi d'Ohm locale donnant le vecteur densité de courant
j en fonction du potentiel électrique V, de la conductivite_y_du liquide, de la
vitessev du liquide et du champ magnétique B: j = y(-- gradV + U A B). Quel
phénomène physique déc_)rit le terme U A B ?

II.A.3) Montrer que . rot ] : --2yBokxez .

II. A. 4) Rappeler sans démonstration l'équation locale de conservation de la
charg_}. En déduire qu' on peut chercher la densité de courants sous la forme

j.. : rot$.
II. A. 5) On rappelle que rÏË_ÇrÎË a)= grad(div a)-- Z a. Dans la suite on 
cher--

che $ de la forme $: $(M)ez où $(M ) ne dépend pas de la cote z du point M.
En déduire que: -

Amp : 2yBO kx. (1)

II. A. 6) Dans toute la suite, on se place en coordonnées cylindriques (r, 6, z)

d'aXe Oz on en utilise le trièdre local (e_> , eÎ,, : ) associé. On admet que 
la solution

de l'équation (l) est de la forme:

yBokr3
4

Z

_ q,:(Cr+ )cos6

----> -------> --> _
où C est une constante. On rappelle que rot(mpez ) : grad1p A ez .Expnmer les

composantes jr et j9 de j en fonction de C, BO, k, r et B.

II.A.7 ) _ Quelle est la condition aux limites sur j à la surface du tuyau 
isolant ?
En déduire la valeur de la constante C en fonction de k , y , Bo et a puis les
expressions de j,. et j6 en fonction de B0 , k , r , a et 6.

II.A.8) En utilisant les expressions de j, et j6 , déterminer l'équation 
différen--
tielle des lignes de courants. Vérifier que ce sont des courbes $(r, G) : 
constante.
Tracer l'allure de quelques lignes de courants.

ILB -- Expression du potentiel
II.B.1) Montrer que

gradV : --4--0(3(a2 --r 2)sin9 e +(3a2 --r 2)cos9 ee).

II.B.2) On place un voltmètre entre les points A(x = 0, y = --a) et
B(x : 0, y = a) . Exprimer VA-- VB en fonction de k , BO et a.

II.B.3) En déduire l'expression de' V A--VB en fonction de B0, a et de "m
définie en II.A.1. Calculer "m pour a = 5 mm et Bo : 0,95 T sachant que
VA--VB=_--2,OmV.

II.B.4) Citer (sans aucun détail) une autre méthode de mesure de la vitesse
d'un fluide.

II. C- Chanip magnétique induit

Dans ce qui précède on a supposé que_> le champ magnétique B effectivement
perçu au sein du fluide est le champ B0ex créé par les sources extérieures de 
Cou-
rant, supposées constantes, ce qui n 'est qu 'une approximation car les courants

j induits calculés dans la partie II. A créent un champ qu 'on notera B".
II. C. 1) Le tube étant supposé 1nfi _;ment long selon eî , justifier que le 
champ

magnétique induit est de la forme B* : B* (r, G)ez avec B* (r, 6) indépendant de
Z.

II. C. 2) Que_les sont les deux équations locales dont est solution le champ B* 
?
Vérifier que B* : uowez est solution de ces équations pour r s a. On admettra
qu 'il s a'git bien de la solution.

II.C.3) En exploitant l'expression de k en fonction de a et "m établie en
II. A. 1, en déduire un critère pour que B* « BO .Vérifier l'homogénéité de ce 
cri--
tère (on pourra par exemple faire référence à l'expression de l'épaisseur de
peau). Dans le cas du sang (y-- _ 10 Q - m ) ce critère est-il vérifié pour les
valeurs numériques de la question II. B. 3 ?

Partie III - Ondes acoustiques dans un tuyau crénelé

On considère le tuyau crénelé souple représenté en coupe sur la figure 4 et
caractérisé par la période des créneaux d et les sections S1 et 82. Lorsqu'on
place le tuyau crénelé face à un écoulement d'air de vitesse v0 il « chante » : 
on
entend un son sinusoïdal dont la fréquence dépend de DD et de d .

y + d / 4 Tube crénelé

(N--l)d .Nd
." """" A".£.' __
|. 8 : ----- *'""'â*"2
--ÿ--.°-- ---------------- e e ---------- -----.:.g a
u v °

...3OEÏZÏII$f$ """"

(il y a symétrie de révolution autour de Ox)

"Cl/4 Figure 4

III.A - Un autre moyen d'engendrer l'écoulement d'air

, ;
Pour engendrer lecoulement À 55 tube « crénelé » r présenté lisse ici

_dans le tuyau crénelé, la
notice d'un jouet fonctionnant
sur ce principe incite non pas
à souffler dans le tube mais à
le faire tournoyer autour de sa _
tête. On modélise ceci en sup- '

posant le tube coudé et mis en ' _ air/{ÎË L .

rotation à vitesse angulaire w 44 ( ) hgne de courant
constante autour d'un axe fixe

Oz dans une configuration telle que celle représentée sur la figure 5. La partie
verticale du tuyau est caractérisée par une hauteur h négligeable devant la 
lon--
gueur l de la partie horizontale. On se propose d'interpréter cette observation.

Figure 5

On étudie l'écoulement dans le référentiel tournant (R) : (Oxyz) dont Ox est
l'axe horizontal du tuyau et dont Oz est la verticale ascendante et la direction
du vecteur-rotation. (R0) : (Ox0yoz) est le référentiel galiléen du laboratoire.
L'écoulement est supposé stationnaire dans (R) , incompressible et homogène de
masse volumique p0 . On note v0(_M ) le module du champ des vitesses dans (R)
et p(M ) la pression en M dans le tuyau. On néglige l'influence de la pesanteur
et on suppose pour simplifier le tuyau lisse, de section S constante.

III.A.1) Expliciter les forces d'inertie volumiques subies par une particule de
fluide située à la distance x de l'axe, en fonction de po , oe , v0(x) et x .

III.A.2) On néglige les forces volumiques de viscosité et de pesanteur.
Montrer que :

' 1 2 1 2 2
P(M) + îpovo(M) -- êPO'" x
est une constante sur la ligne de courant dont on suppose l'existence, notée (L)

sur la figure, et confondue avec l'axe du tuyau dans sa partie horizontale ou 
ver--
ticale.

III.A.3) Soit A un'point sur la ligne de courant (L) situé sur l'axe Oz à 
l'exté-
rieur du tuyau, tel que p(A) : po et vo(A) .. 0 . Soit B le point situé à 
l'extrémité
x = l du tuyau. On admet que p(B) : po et on note v0(x =l) : vo(B) : vo-
Exprimer la vitesse "0 en fonction de w et l .

III.A.4) Déterminer v0(x) et p(x) en un point quelconque de la partie horizon-
tale du tuyau en fonction de po , oe , x et l . Tracer l'allure du graphe de 
p(x) .

Dans toute la suite, on suppose pour simplifier que le tuyau est rectiligne et
fixe dans le référentiel galile'en (R)-- _ (Oxyz) dont Ox est l'axe du tuyau, le
courant d' air de vitesse v0ex étant imposé en soufflant dans le tuyau (et non
plus en le coudant et en le faisant tourner).

III.B - Approche qualitative de l'émission d'un son par le tuyau crénelé

III.B.1) On admet que la surpression s'annule aux extrémités x = 0 et x = l
du tuyau. Donner les expressions des fréquences propres f n d'un tuyau lisse en
fonction de l , de la célérité du son c et d'un entier n . Sans chercher à 
expliciter
la surpression, rappeler l'allure de son graphe en fonction de x pour les deux
premiers modes propres n = 1 et n = 2 . Dans la suite de la partie III.B, on 
sup-
pose que les fréquences émises par un tuyau crénelé sont les mêmes que celles
d'un tuyau lisse. Cette approximation sera confrontée à l'expérience dans la
question III.B.4 et on s'en affranchira dans la partie III.C.

III.B.2) Pour un tuyau crénelé donné, plus la vitesse moyenne v0 de l'air est
élevée, plus le son entendu est de fréquence élevée. Pour interpréter ce fait, 
on
suppose qu'une harmonique de fréquence f se fait entendre si la fréquence avec
laquelle une particule d'air en mouvement dans le tuyau crénelé rencontre les
créneaux correspond à f . En déduire une relation entre f , d et "0 .

III.B.3) Cependant, on observe que certaines fréquences basses ne se font pas
entendre. Pour interpréter ce fait on suppose qu'une condition nécessaire
d'émission du son est que l'écoulement soit turbulent.

a) Interpréter sommairement cette hypothèse en indiquant comment se mani-

feste concrètement le caractère turbulent de l'écoulement.

b) On note \! = 1, 5 - 10"5 m2 s"' la viscosité cinématique de l'air. Exprimer 
en

fonction de f , v et d le nombre de Reynolds Re de l'écoulement et justifier 
l'exis-
tence d'une fréquence minimale f m

III.B.4) La fréquence minimale émise par un tuyau tel que d = 7 mm et
l=1,82m vaut fm : 270Hz.

a) Calculer Re et conclure.

b) Quel est l'Ordre de grandeur de la célérité du son dans l'air à température
ambiante ? En déduire le numéro probable n de l'harmonique du tuyau corres-
pondant à f m

c) Justifier l'approximation « forces de viscosité négligeables » de la question
III.A.2 en évaluant en ordre de grandeur le rapport du terme négligé sur le
terme associé à l'accélération dans l'équation du mouvement. Ces forces de vis-
cosité continueront à être négligées dans la suite.

III.C - Approche quantitative de l'émission d'un son par le tuyau
crénelé

Le tuyau crénelé est désormais modélisé comme une mise en série de N cellules

identiques représentées par la figure 4. Le tuyau est compris entre x = --d et
x : Nd et la dernière cellule est centrée en x = (N -- 1)d .

III.C.1) On décrit dans cette question la propagation de l'onde acoustique dans
une partie du tuyau de section S constante par le champ des vitesses
3(x,t) : (v0+vl(x,t))ëx, par le champ de pression p(x,t) : p0+pl(x, t), par le
champ de masse volumique p(x, t) : p0+ pl(x, t) et par le débit volumique
Q(x, t) : QO + Q1(x» t) ; 00 est la vitesse du courant d'air imposé et QG le 
débit
volumique associé On limite les calculs à l'ordre un pour les termes portant
l'indice 1 .

a) Écrire l'équation d'Euler en projection selon Èx . À quelle condition sur "0 
et

c (célérité du son) peut--on négliger le terme d'accélération convective devant 
le
terme d'accélération loCale, ce qu'on fait dans la suite ?

b) Dans la Suite on étudie un régime sinusoïdal et on pose en notation
complexe:

Ql(x,t) : Ql(x)exp(--ioet) ;gl(x,t) : QI(x)exp(--ioet) et Ql(x,t) : 
Ql(x)exp(--ioet).

Exprimer Q1(x) en fonction de la section S du tuyau, de po , w et de d 1_)_ 
1/dx.

III.C.2) On étudie la cellule numéro [0] : pour lxl < d/ 4 le tuyau a pour 
section
S2 et pour x > d/4 ou x < -d/_4 la section est Sl avec

Sl/S2 : o<1 ;on pose 8* =%(oiâ>.

Un onde incidente plane progressive monochromatîque arrive de x < -d/4. On
cherche alors les surpressions dans la cellule [0] sous la forme suivante : (A_ 
, 5 ,
Q, 1_), E , E complexes)

x<--d/4 QI(x,t) : Aexp(ikx--ioet)+Bexp(--ikx--ioet),
--d/(4 d/4 p_3(x,t) : Eexp(ikx--ioet)+Eexp(-- ikx--iwt) où k : oe/c.

a) Justifier rapidement la légitimité du choix de ces expressions et exprimer
Q1(x) dans les trois domaines en fonction de S1 , 82 , p0 , A_, B , Q , I_2 , E 
, E, k ,
w et x. '

b) On admet la continuité du débit volumique et de la pression en x = --d/ 4 et
'x : d/4. En déduire quatre équations reliant A, B , Q , Q , E , E, k , d , S1 
et

S 2 . Une élimination non demandée entre ces quatre équations conduit aux deux
relations suivantes où ( )* désigne le conjugué de ( ) :

A.=rE+SE B=S*E+I'*E
avec r : (cos(kd/2)--ie+sin(kd/2))exp(ikd/2) et s : ie_ sin(kd/2) .
III.C.3) On étudie désormais l'association des N blocs. On note la surpression
avant le n'°""°" motif: En(x) = Anexp(ikx--inkd) +l_3nexp(--ikx + inkd).
a) Montrer que :

A

----n

B

""'n

re se

S*e--zkd r*ezkd

----n+ I'

B

--n+l

--n+l

B

--n+l

=(M)

[ --ikd ikd

ième

On peut donc relier les coefficients A_ N, l_3 N après le (N -- 1) (et dernier) 
motif

et les coefficients (40, 130) caractérisant la surpression avant le premier 
motif :

N
A...

50

AN
BN

AN
.1_3N

re se

s*e--ikd r*ezkd

= = (M)N (2)

( --ikd ikd

b) Pour calculer (M )N , on peut utiliser la relation (M )2 -- 2ë(M ) + (I ) = 
(O) issue
du théorème de Cayley-Hamilton ; 2ë représente la trace de la matrice (M) et
(I) la matrice identité. On en déduit aisément (non demandé) la relation :

(M)" = UN_1(E)(M)-- UN_2(--ë>(n (3)

où les U m(E) sont'les polynômes de Chebychefl' de seconde espèce définis par la
relation de récurrence :

Um(ë)--2&Um_l(ë)+ Um_2(&) : 0 avec U0(g) = 1 et U1(g) = zg.

Dans le langage de programmation de votre choix (que vous indiquerez) écrire
un programme permettant de calculer les polynômes U m(E) pour 2 s m s 260.

Citer sans aucun détail une autre méthode de calcul de la puissance N 'eme d'une
matrice.

III.C.4) La surpression doit s'annuler en x = --d et en x : Nd. En déduire
deux relations linéaires (4) entre 40 et 50 , et (5) entre A_ N et B N . Les 
relations
(2) et (3) imposent deux autres relations linéaires (6) et (7) entre 4--0 , 130 
, A N et
B N mettant en jeu les polynômes U m(E) qu'on ne demande pas d'écrire.
La condition de compatibilité des relations (4), (5), (6) et (7) fait alors 
apparaître
deux familles de solutions pour k (calculs non demandés).

III.C.5) Une première famille de solutions correspond à' la condition .
sin(kd/2) : 0. Où se trouvent pour ces solutions les noeuds de surpression ?
Pour d = 7 mm calculer les fréquences correspondantes. Sont elles audibles ?

III.C.6) La deuxième famille de solutions est telle que :
200s(kd/2)UNOE) : ((1-- a+) - cos(kd/2) --- 8_ )UN_ l(EUR) , avec

a : 1--(1 + s +)sin2(kd/2)

Pour le tuyau crénelé correspondant au « jouet musical » avec d = 7 mm ,
l : 1,82m, N = 259, 81/36 : 1,69-10""m2 et 82/35 = 2, 89- 10"4 m2,les premières
valeurs de k , mesurées en m--1 sont :

k1 = 1,66 ;k2 : 3,33 ;k3 : 4,99 ;k4 : 6,65 ;k5 : 8,32 ;k6 = 9,98.

Commenter en liaison avec III.B.4.

III.C.7) Les calculs précédents permettent aussi d'obtenir une expression du
rapport 1: de la puissance acoustique transmise à la sortie x : Nd d'un tuyau
crénelé sur la puissance acoustique incidente à son entrée x = --d . En 
considé--
rant dans cette question d = 10 cm , 81 associée à un rayon de 4 cm , 82 
associée-
à un rayon de 5 cm et différentes valeurs du nombre N de créneaux, on obtient
les courbes donnant 11 en fonction de la fréquence f représentées sur les 
figures
6a (N=1), 6b (N=10) et 60 (N=14). Commenter et proposer une application de ce
dispositif.

0
0 500 1000 15f00 2000 2500 3000 50° 1°°° 15f°° 2°°° 25°° 3°°°

Figure 63 (N=1) Figure 6b (N=10)

0 500 1000 15f00 2000 2500 3000

Figure 6c (N=14)

Figure 7. Sur cette image, on fait tournoyer un tube crénelé dont

on voit une portion en vignette ainsi qu'un bout de gaine électrique

que l'on peut faire « chanter » de la même manière.

ooo FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Luc Robert (ESPCI) ; il a été relu par Vincent
Langlois (ENS Lyon) et par Vincent Fourmond (ENS Ulm).

Cette épreuve se compose de trois parties entièrement indépendantes qui 
s'articulent autour du thème des écoulements :
· La première partie porte sur le fonctionnement d'un viscosimètre utilisé pour
mesurer la viscosité de l'air. Quelques questions semi-qualitatives commencent
cette étude ; des calculs de force de pression et de champ de vitesse en 
écoulement de Poiseuille la complètent.
· Dans la deuxième partie, on étudie le principe de fonctionnement d'un 
débitmètre électromagnétique. Ce sont essentiellement des notions 
d'électromagnétisme et d'induction qui sont utilisées. Un tel dispositif, qui 
repose sur la
conductivité (même faible) de l'écoulement, est très utile en pratique car il 
est
non intrusif, c'est-à-dire qu'aucune sonde ou objet parasite ne doit être 
introduit.
· Dans la dernière partie, on s'intéresse à des ondes acoustiques dans un tuyau
crénelé. Placé dans un écoulement d'air, un tel tuyau peut « chanter » en 
émettant un son. Une façon de créer l'écoulement est le prétexte d'un calcul en
référentiel non galiléen. Cette épreuve se termine par une analyse qualitative
et quantitative de l'émission sonore par le tuyau crénelé.
Ce sujet est extrêmement long, ce qui est assez courant au concours 
CentraleSupélec. Il est important de bien maîtriser le cours si l'on veut 
pouvoir en traiter
une large part dans le temps imparti. Même si l'étude d'écoulements est au 
coeur de
cette épreuve, de nombreuses parties du programme de la filière PC sont 
abordées,
dans un cadre parfois original, ce qui en fait un bon problème de révision.

Indications
I.

Mesure de la viscosité de l'air

I.A.1.a Utiliser une équation faisant intervenir  pour trouver sa dimension.
I.A.1.b Pour un gaz parfait, chaque degré de liberté est associé à une énergie 
égale
à 1/2 k B T.
I.A.2 La résultante des forces de pression s'exerçant sur la paroi arrondie du
cylindre est nulle.
I.A.6 Penser à une loi de conservation.
I.B.2 Trouver une équation différentielle satisfaite par p2 (z) et l'intégrer 
pour
dp
obtenir l'expression de
(z = ).
dz
II.

Mesure de la vitesse d'un liquide conducteur

II.A.1 Se servir du résultat de la question I.A.4.
II.A.4 On pourra faire l'analogie avec le potentiel vecteur dont dérive le champ
magnétique.

-
II.A.5 Montrer que div  est nul.
II.A.8 Utiliser la symétrie du vecteur densité de courant pour simplifier le 
problème puis faire une étude rapide de son orientation.
II.B.1 Partir de la relation de la question II.A.2.
r

2
, où  est une pul µ0 
sation (en rad s-1 ), pour trouver la dimension de µ0 si on ne la connaît pas.

II.C.3 Utiliser l'expression de l'épaisseur de peau  =

III.

Ondes acoustiques dans un tuyau crénelé

III.A.1 Écrire l'accélération d'un volume d de fluide en référentiel non 
galiléen.
--  -- 2
- 

III.A.2 Écrire (-
v0 · grad )-
v0 = grad v0 /2 + (rot -
v0 )  -
v0 et projeter l'équation de

-
la dynamique sur v .
0

III.A.4 La conservation du débit donne une relation entre les paramètres.
III.B.3.a Pour qu'une onde sonore existe, les champs de pression et de vitesse 
doivent
fluctuer.
III.B.3.b La turbulence apparaît lorsque Re dépasse une valeur critique.
III.C.1.a Évaluer les dérivées spatiale et temporelle en fonction d'une 
distance et
d'un temps caractéristique de l'onde.
III.C.3.a On pourra effectuer le changement de variable X = x - n d pour 
utiliser le
résultat de la question III.C.2.b.
III.C.5 On cherche des solutions sous forme d'ondes stationnaires. Quelle en 
est la
période spatiale ?

I.

Mesure de la viscosité de l'air

I.A.1.a Écrivons l'équation de Navier-Stokes pour une vitesse unidimensionnelle

de direction -
ex :
Dv
1 p
=  v -
Dt
 x
Le terme résultant de la viscosité est  v et il a la dimension d'une 
accélération
d'après l'égalité précédente :
L
[ v] = 2
T
[v]
1
Or,
[v] = 2 =
L
LT
car un laplacien est une dérivée seconde spatiale et est donc homogène à 
l'inverse
d'une distance au carré. On déduit de ces 2 égalités la dimension de ,
L2
[] =
= L [v]
T
On en déduit que la viscosité peut s'écrire comme le produit d'une longueur par 
une
vitesse. En prenant 1/3 pour facteur multiplicatif, on peut écrire :
=

1  
 v
3

 a la dimension d'un coefficient de diffusion. En effet, si le gradient de
pression ainsi que le terme d'accélération convective sont nuls, l'équation de
Navier-Stokes se réduit à une équation de diffusion de la vitesse. On distingue
en général deux modes de transport de la vitesse : le mode diffusif résultant
de la viscosité et régi par , et le mode convectif résultant de l'accélération
convective.
I.A.1.b Les coefficients de viscosité dynamique et cinématique sont reliés par
 = 

Il faut donc exprimer  et v en fonction des paramètres demandés. Pour un gaz 
parfait, l'énergie moyenne pour une molécule est 1/2 k B T par degré de 
liberté. L'énergie
cinétique étant liée uniquement au mouvement du barycentre, elle est associée à 
trois
degrés de liberté. L'énergie cinétique moyenne est donc
3
hec i = k B Ta
avec
k B = R/NA
2
De plus, on peut relier cette énergie à la vitesse quadratique moyenne :
1
hec i = mmoléculaire v  2
avec
mmoléculaire = M/NA
2
r
3 R Ta
d'où
v =
M
On peut aussi exprimer  en fonction de la densité moléculaire n . En notant C la
densité (ou concentration) molaire, on a
M n
 = MC =
NA
La densité moléculaire est le nombre de molécules par unité de volume.

En utilisant le résultat de la question I.A.1.a, on trouve
1
 =   =   v 
3
On conclut, en remplaçant  et v  par leurs expressions,
r
M R Ta
 
=n 
3 NA 2
I.A.1.c Dans le modèle des sphères dures, la viscosité dynamique devient
r
1
M R Ta
=
= 3.10-5 Pa.s
 d2
3 NA 2
Étant donné que NA est donné avec un seul chiffre significatif, on ne peut en 
donner
qu'un seul pour .
 s'exprime en Pa.s ou en poiseuilles (Pl) : 1 Pl = 1 Pa.s. On trouve
parfois aussi le poise (1 Po = 0, 1 Pl) mais ce n'est pas une unité du système
international (SI) et elle ne devrait donc pas être utilisée dans une copie.
L'énoncé n'est pas très cohérent au niveau des chiffres significatifs :
il en donne quatre pour R mais NA n'en a droit qu'à un seul... La précision sur 
la valeur de la viscosité s'en resssent donc. Cela dit, l'énoncé ne
demande qu'une estimation, et sachant que la viscosité de l'air est plutôt de
l'ordre de 2.10-5 Pa.s, un chiffre suffit.
I.A.2 La vitesse du fluide est nulle au niveau des parois, c'est-à-dire en r = a
(condition limite pour un fluide visqueux). Supposons que l'écoulement 
s'effectue
dans le sens des z croissants ; alors la vitesse au centre est positive. La 
vitesse décroît
donc lorsque r augmente, soit
v
<0
r
Par ailleurs, l'action des forces visqueuses tend à réduire la différence de 
vitesse entre
le fluide contenu dans le système et le fluide à l'extérieur du système, qui se 
déplace
plus lentement, soit
dFv < 0
ce qui impose de choisir

 = +1

Exprimons maintenant la résultante des forces de pression.
ZZ
-

-
dFp =
p dS
On décompose l'intégrale en trois parties : on intègre sur chacune des deux 
faces
verticales du cylindre et sur le côté. p étant indépendant de r et , 
l'intégrale sur la
. On a alors
face de cote z se réduit à  r2 p(z) -
u
z
Z 2
-

 -  r2 p(z + dz) -
+

dFp =  r2 p(z) -
u
u
p(z) r-
ur d dz
z
z
0
Z 2
 + p(z) dz r

-
=  r2 [p(z) - p(z + dz)] -
u
ur d
z
0