Centrale Physique 2 PC 2004

0n_ e....___... . :...305>1aëä...

ËQN ooe\mQ:m .. &OEÈoeü mËoËeü

I

L' epreuve est constituée de trois parties indépendantes. ayant en commun
l'écoulement d'un fluide en géométrie cylindrique. Dans la partie I, 
l'écoulement
d'air dans un tube cylindrique permet une mesure de la viscosité de l'air. Dans
la partie II, on étudie une mesure électromagnétique de la vitesse d'un liquide
conducteur dans un tuyau cylindrique isolant. La partie III s'intéresse à 
l'émis--
sion d'ondes acoustiques par un tuyau cylindrique crénelé.

Partie I - Mesure dela viscosité de l'air

Le montageexpérimental est représenté z
sur la figure 1. Un récipient de volume V
communique avec l'atmosphère (pres--
sion Pa : 1,'016- 105 pascals et tempéra-
ture Ta' : 288 K ) par un tube cylindrique
vertical (C) de rayon et et de longueur 1
muni d'un robinet (R) . Un tube en << U » contenant du mercure permet de suivre l'évolution de la pression dans le récipient par lecture de deux hauteurs h_' et h" . On note P (majuscule) la pres- 2 : sion dans le récipient et p (minuscule) la pression dans le tube (C). Figurel z=l P tube manométnque Le robinet (R) étant fermé, on remplit avec une pompe (non représentée sur la figure) le récipient jusqu'à ce que la pres- sion y atteigne la valeur P1 avec 1,1 Pa », K puis 1] .

I.C.3) On se propose de se faire une idée du nombre de chiffres significatifs
qui peuvent être retenus dans la mesure de n compte tenu des incertitudes sur
les différentes mesures (h', h",a...) en limitant l'étude à l'influence du seul
paramètre h". Reprendre le calcul de n avec la valeur h"2 : 19,96 Cm , les

autres valeurs étant inchangées. En déduire un affichage cohérent de la mesure
de n .

Partie II - Mesure de la vitesse d'un liquide conducteur

On considère l'écoulement d'un liquide légère-
ment conducteur (par exemple du sang) dans
un tuyau cylindrique isolant de rayon a (cf.
figure 3). On impose un champ magnétique
uniforme B: B0ex .On se place en régime sta-
tionnaire. Dans un premier temps on se place
en coordonnées cartésiennes et on suppose que
le champ des vitesses de l'écoulement réel est
donné par: D : k(a 22--x2---y )ez où k est une

constante donnée.

tuyau
' isolant

II.A - Expression de ;

II.A.1) On définit la vitesse moyenne "m du
liquide comme la vitesse d'un écoulement uni-
forme fictif qui donnerait le même débit volumique à travers une section du tube
que l'écoulement réel. Exprimer um en fonction de k et a.

Figure 3

II. A. 2) On rappelle la loi d'Ohm locale donnant le vecteur densité de courant
j en fonction du potentiel électrique V, de la conductivite_y_du liquide, de la
vitessev du liquide et du champ magnétique B: j = y(-- gradV + U A B). Quel
phénomène physique déc_)rit le terme U A B ?

II.A.3) Montrer que . rot ] : --2yBokxez .

II. A. 4) Rappeler sans démonstration l'équation locale de conservation de la
charg_}. En déduire qu' on peut chercher la densité de courants sous la forme

j.. : rot$.
II. A. 5) On rappelle que rÏË_ÇrÎË a)= grad(div a)-- Z a. Dans la suite on 
cher--

che $ de la forme $: $(M)ez où $(M ) ne dépend pas de la cote z du point M.
En déduire que: -

Amp : 2yBO kx. (1)

II. A. 6) Dans toute la suite, on se place en coordonnées cylindriques (r, 6, z)

d'aXe Oz on en utilise le trièdre local (e_> , eÎ,, : ) associé. On admet que 
la solution

de l'équation (l) est de la forme:

yBokr3
4

Z

_ q,:(Cr+ )cos6

----> -------> --> _
où C est une constante. On rappelle que rot(mpez ) : grad1p A ez .Expnmer les

composantes jr et j9 de j en fonction de C, BO, k, r et B.

II.A.7 ) _ Quelle est la condition aux limites sur j à la surface du tuyau 
isolant ?
En déduire la valeur de la constante C en fonction de k , y , Bo et a puis les
expressions de j,. et j6 en fonction de B0 , k , r , a et 6.

II.A.8) En utilisant les expressions de j, et j6 , déterminer l'équation 
différen--
tielle des lignes de courants. Vérifier que ce sont des courbes $(r, G) : 
constante.
Tracer l'allure de quelques lignes de courants.

ILB -- Expression du potentiel
II.B.1) Montrer que

gradV : --4--0(3(a2 --r 2)sin9 e +(3a2 --r 2)cos9 ee).

II.B.2) On place un voltmètre entre les points A(x = 0, y = --a) et
B(x : 0, y = a) . Exprimer VA-- VB en fonction de k , BO et a.

II.B.3) En déduire l'expression de' V A--VB en fonction de B0, a et de "m
définie en II.A.1. Calculer "m pour a = 5 mm et Bo : 0,95 T sachant que
VA--VB=_--2,OmV.

II.B.4) Citer (sans aucun détail) une autre méthode de mesure de la vitesse
d'un fluide.

II. C- Chanip magnétique induit

Dans ce qui précède on a supposé que_> le champ magnétique B effectivement
perçu au sein du fluide est le champ B0ex créé par les sources extérieures de 
Cou-
rant, supposées constantes, ce qui n 'est qu 'une approximation car les courants

j induits calculés dans la partie II. A créent un champ qu 'on notera B".
II. C. 1) Le tube étant supposé 1nfi _;ment long selon eî , justifier que le 
champ

magnétique induit est de la forme B* : B* (r, G)ez avec B* (r, 6) indépendant de
Z.

II. C. 2) Que_les sont les deux équations locales dont est solution le champ B* 
?
Vérifier que B* : uowez est solution de ces équations pour r s a. On admettra
qu 'il s a'git bien de la solution.

II.C.3) En exploitant l'expression de k en fonction de a et "m établie en
II. A. 1, en déduire un critère pour que B* « BO .Vérifier l'homogénéité de ce 
cri--
tère (on pourra par exemple faire référence à l'expression de l'épaisseur de
peau). Dans le cas du sang (y-- _ 10 Q - m ) ce critère est-il vérifié pour les
valeurs numériques de la question II. B. 3 ?

Partie III - Ondes acoustiques dans un tuyau crénelé

On considère le tuyau crénelé souple représenté en coupe sur la figure 4 et
caractérisé par la période des créneaux d et les sections S1 et 82. Lorsqu'on
place le tuyau crénelé face à un écoulement d'air de vitesse v0 il « chante » : 
on
entend un son sinusoïdal dont la fréquence dépend de DD et de d .

y + d / 4 Tube crénelé

(N--l)d .Nd
." """" A".£.' __
|. 8 : ----- *'""'â*"2
--ÿ--.°-- ---------------- e e ---------- -----.:.g a
u v °

...3OEÏZÏII$f$ """"

(il y a symétrie de révolution autour de Ox)

"Cl/4 Figure 4

III.A - Un autre moyen d'engendrer l'écoulement d'air

, ;
Pour engendrer lecoulement À 55 tube « crénelé » r présenté lisse ici

_dans le tuyau crénelé, la
notice d'un jouet fonctionnant
sur ce principe incite non pas
à souffler dans le tube mais à
le faire tournoyer autour de sa _
tête. On modélise ceci en sup- '

posant le tube coudé et mis en ' _ air/{ÎË L .

rotation à vitesse angulaire w 44 ( ) hgne de courant
constante autour d'un axe fixe

Oz dans une configuration telle que celle représentée sur la figure 5. La partie
verticale du tuyau est caractérisée par une hauteur h négligeable devant la 
lon--
gueur l de la partie horizontale. On se propose d'interpréter cette observation.

Figure 5

On étudie l'écoulement dans le référentiel tournant (R) : (Oxyz) dont Ox est
l'axe horizontal du tuyau et dont Oz est la verticale ascendante et la direction
du vecteur-rotation. (R0) : (Ox0yoz) est le référentiel galiléen du laboratoire.
L'écoulement est supposé stationnaire dans (R) , incompressible et homogène de
masse volumique p0 . On note v0(_M ) le module du champ des vitesses dans (R)
et p(M ) la pression en M dans le tuyau. On néglige l'influence de la pesanteur
et on suppose pour simplifier le tuyau lisse, de section S constante.

III.A.1) Expliciter les forces d'inertie volumiques subies par une particule de
fluide située à la distance x de l'axe, en fonction de po , oe , v0(x) et x .

III.A.2) On néglige les forces volumiques de viscosité et de pesanteur.
Montrer que :

' 1 2 1 2 2
P(M) + îpovo(M) -- êPO'" x
est une constante sur la ligne de courant dont on suppose l'existence, notée (L)

sur la figure, et confondue avec l'axe du tuyau dans sa partie horizontale ou 
ver--
ticale.

III.A.3) Soit A un'point sur la ligne de courant (L) situé sur l'axe Oz à 
l'exté-
rieur du tuyau, tel que p(A) : po et vo(A) .. 0 . Soit B le point situé à 
l'extrémité
x = l du tuyau. On admet que p(B) : po et on note v0(x =l) : vo(B) : vo-
Exprimer la vitesse "0 en fonction de w et l .

III.A.4) Déterminer v0(x) et p(x) en un point quelconque de la partie horizon-
tale du tuyau en fonction de po , oe , x et l . Tracer l'allure du graphe de 
p(x) .

Dans toute la suite, on suppose pour simplifier que le tuyau est rectiligne et
fixe dans le référentiel galile'en (R)-- _ (Oxyz) dont Ox est l'axe du tuyau, le
courant d' air de vitesse v0ex étant imposé en soufflant dans le tuyau (et non
plus en le coudant et en le faisant tourner).

III.B - Approche qualitative de l'émission d'un son par le tuyau crénelé

III.B.1) On admet que la surpression s'annule aux extrémités x = 0 et x = l
du tuyau. Donner les expressions des fréquences propres f n d'un tuyau lisse en
fonction de l , de la célérité du son c et d'un entier n . Sans chercher à 
expliciter
la surpression, rappeler l'allure de son graphe en fonction de x pour les deux
premiers modes propres n = 1 et n = 2 . Dans la suite de la partie III.B, on 
sup-
pose que les fréquences émises par un tuyau crénelé sont les mêmes que celles
d'un tuyau lisse. Cette approximation sera confrontée à l'expérience dans la
question III.B.4 et on s'en affranchira dans la partie III.C.

III.B.2) Pour un tuyau crénelé donné, plus la vitesse moyenne v0 de l'air est
élevée, plus le son entendu est de fréquence élevée. Pour interpréter ce fait, 
on
suppose qu'une harmonique de fréquence f se fait entendre si la fréquence avec
laquelle une particule d'air en mouvement dans le tuyau crénelé rencontre les
créneaux correspond à f . En déduire une relation entre f , d et "0 .

III.B.3) Cependant, on observe que certaines fréquences basses ne se font pas
entendre. Pour interpréter ce fait on suppose qu'une condition nécessaire
d'émission du son est que l'écoulement soit turbulent.

a) Interpréter sommairement cette hypothèse en indiquant comment se mani-

feste concrètement le caractère turbulent de l'écoulement.

b) On note \! = 1, 5 - 10"5 m2 s"' la viscosité cinématique de l'air. Exprimer 
en

fonction de f , v et d le nombre de Reynolds Re de l'écoulement et justifier 
l'exis-
tence d'une fréquence minimale f m

III.B.4) La fréquence minimale émise par un tuyau tel que d = 7 mm et
l=1,82m vaut fm : 270Hz.

a) Calculer Re et conclure.

b) Quel est l'Ordre de grandeur de la célérité du son dans l'air à température
ambiante ? En déduire le numéro probable n de l'harmonique du tuyau corres-
pondant à f m

c) Justifier l'approximation « forces de viscosité négligeables » de la question
III.A.2 en évaluant en ordre de grandeur le rapport du terme négligé sur le
terme associé à l'accélération dans l'équation du mouvement. Ces forces de vis-
cosité continueront à être négligées dans la suite.

III.C - Approche quantitative de l'émission d'un son par le tuyau
crénelé

Le tuyau crénelé est désormais modélisé comme une mise en série de N cellules

identiques représentées par la figure 4. Le tuyau est compris entre x = --d et
x : Nd et la dernière cellule est centrée en x = (N -- 1)d .

III.C.1) On décrit dans cette question la propagation de l'onde acoustique dans
une partie du tuyau de section S constante par le champ des vitesses
3(x,t) : (v0+vl(x,t))ëx, par le champ de pression p(x,t) : p0+pl(x, t), par le
champ de masse volumique p(x, t) : p0+ pl(x, t) et par le débit volumique
Q(x, t) : QO + Q1(x» t) ; 00 est la vitesse du courant d'air imposé et QG le 
débit
volumique associé On limite les calculs à l'ordre un pour les termes portant
l'indice 1 .

a) Écrire l'équation d'Euler en projection selon Èx . À quelle condition sur "0 
et

c (célérité du son) peut--on négliger le terme d'accélération convective devant 
le
terme d'accélération loCale, ce qu'on fait dans la suite ?

b) Dans la Suite on étudie un régime sinusoïdal et on pose en notation
complexe:

Ql(x,t) : Ql(x)exp(--ioet) ;gl(x,t) : QI(x)exp(--ioet) et Ql(x,t) : 
Ql(x)exp(--ioet).

Exprimer Q1(x) en fonction de la section S du tuyau, de po , w et de d 1_)_ 
1/dx.

III.C.2) On étudie la cellule numéro [0] : pour lxl < d/ 4 le tuyau a pour section S2 et pour x > d/4 ou x < -d/_4 la section est Sl avec Sl/S2 : o<1 ;on pose 8* =%(oiâ>.

Un onde incidente plane progressive monochromatîque arrive de x < -d/4. On cherche alors les surpressions dans la cellule [0] sous la forme suivante : (A_ , 5 , Q, 1_), E , E complexes) x<--d/4 QI(x,t) : Aexp(ikx--ioet)+Bexp(--ikx--ioet), --d/(4 d/4 p_3(x,t) : Eexp(ikx--ioet)+Eexp(-- ikx--iwt) où k : oe/c.

a) Justifier rapidement la légitimité du choix de ces expressions et exprimer
Q1(x) dans les trois domaines en fonction de S1 , 82 , p0 , A_, B , Q , I_2 , E 
, E, k ,
w et x. '

b) On admet la continuité du débit volumique et de la pression en x = --d/ 4 et
'x : d/4. En déduire quatre équations reliant A, B , Q , Q , E , E, k , d , S1 
et

S 2 . Une élimination non demandée entre ces quatre équations conduit aux deux
relations suivantes où ( )* désigne le conjugué de ( ) :

A.=rE+SE B=S*E+I'*E
avec r : (cos(kd/2)--ie+sin(kd/2))exp(ikd/2) et s : ie_ sin(kd/2) .
III.C.3) On étudie désormais l'association des N blocs. On note la surpression
avant le n'°""°" motif: En(x) = Anexp(ikx--inkd) +l_3nexp(--ikx + inkd).
a) Montrer que :

A

----n

B

""'n

re se

S*e--zkd r*ezkd

----n+ I'

B

--n+l

--n+l

B

--n+l

=(M)

[ --ikd ikd

ième

On peut donc relier les coefficients A_ N, l_3 N après le (N -- 1) (et dernier) 
motif

et les coefficients (40, 130) caractérisant la surpression avant le premier 
motif :

N
A...

50

AN
BN

AN
.1_3N

re se

s*e--ikd r*ezkd

= = (M)N (2)

( --ikd ikd

b) Pour calculer (M )N , on peut utiliser la relation (M )2 -- 2ë(M ) + (I ) = 
(O) issue
du théorème de Cayley-Hamilton ; 2ë représente la trace de la matrice (M) et
(I) la matrice identité. On en déduit aisément (non demandé) la relation :

(M)" = UN_1(E)(M)-- UN_2(--ë>(n (3)

où les U m(E) sont'les polynômes de Chebychefl' de seconde espèce définis par la
relation de récurrence :

Um(ë)--2&Um_l(ë)+ Um_2(&) : 0 avec U0(g) = 1 et U1(g) = zg.

Dans le langage de programmation de votre choix (que vous indiquerez) écrire
un programme permettant de calculer les polynômes U m(E) pour 2 s m s 260.

Citer sans aucun détail une autre méthode de calcul de la puissance N 'eme d'une
matrice.

III.C.4) La surpression doit s'annuler en x = --d et en x : Nd. En déduire
deux relations linéaires (4) entre 40 et 50 , et (5) entre A_ N et B N . Les 
relations
(2) et (3) imposent deux autres relations linéaires (6) et (7) entre 4--0 , 130 
, A N et
B N mettant en jeu les polynômes U m(E) qu'on ne demande pas d'écrire.
La condition de compatibilité des relations (4), (5), (6) et (7) fait alors 
apparaître
deux familles de solutions pour k (calculs non demandés).

III.C.5) Une première famille de solutions correspond à' la condition .
sin(kd/2) : 0. Où se trouvent pour ces solutions les noeuds de surpression ?
Pour d = 7 mm calculer les fréquences correspondantes. Sont elles audibles ?

III.C.6) La deuxième famille de solutions est telle que :
200s(kd/2)UNOE) : ((1-- a+) - cos(kd/2) --- 8_ )UN_ l(EUR) , avec

a : 1--(1 + s +)sin2(kd/2)

Pour le tuyau crénelé correspondant au « jouet musical » avec d = 7 mm ,
l : 1,82m, N = 259, 81/36 : 1,69-10""m2 et 82/35 = 2, 89- 10"4 m2,les premières
valeurs de k , mesurées en m--1 sont :

k1 = 1,66 ;k2 : 3,33 ;k3 : 4,99 ;k4 : 6,65 ;k5 : 8,32 ;k6 = 9,98.

Commenter en liaison avec III.B.4.

III.C.7) Les calculs précédents permettent aussi d'obtenir une expression du
rapport 1: de la puissance acoustique transmise à la sortie x : Nd d'un tuyau
crénelé sur la puissance acoustique incidente à son entrée x = --d . En 
considé--
rant dans cette question d = 10 cm , 81 associée à un rayon de 4 cm , 82 
associée-
à un rayon de 5 cm et différentes valeurs du nombre N de créneaux, on obtient
les courbes donnant 11 en fonction de la fréquence f représentées sur les 
figures
6a (N=1), 6b (N=10) et 60 (N=14). Commenter et proposer une application de ce
dispositif.

0
0 500 1000 15f00 2000 2500 3000 50° 1°°° 15f°° 2°°° 25°° 3°°°

Figure 63 (N=1) Figure 6b (N=10)

0 500 1000 15f00 2000 2500 3000

Figure 6c (N=14)

Figure 7. Sur cette image, on fait tournoyer un tube crénelé dont

on voit une portion en vignette ainsi qu'un bout de gaine électrique

que l'on peut faire « chanter » de la même manière.

ooo FIN ooo