Centrale Physique 2 PC 2003

Thème de l'épreuve Différents aspects de la polarisation de la lumière
Principaux outils utilisés structure d'une onde lumineuse, polarisation, rayonnement dipolaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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o...... ..._@___... __ ...SGOE>Ë ëä.........

«dem ooe>oeQ:OE - OEOEË...Ü &:8ËQ

Le problème s'intéresse à différents aspects de la polarisation de la lumière.

Les applications de ces phénomènes sont multiples et les dispositifs associés 
sont
des composants de base dans les domaines de traitement et transmission de
l'information par voie optique, comme par exemple l'affichage à cristaux 
liquides
des calculatrices ou certains procédés de cinéma en relief '

Le problème comporte de nombreuses questions qualitatives pour lesquelles le
candidat s'efforcera de répondre avec concision et précision.

Les parties II et III sont indépendantes.

A toute grandeur A variant sinusoïdalement au cours du temps sous la forme
A = A0cos(oet -- (p) , on associera la grandeur complexe

A : A0exp(--i(oet -- (p)) .

Les grandeurs soulignées sont complexes. Les vecteurs sont représentés en
caractères gras. On rappelle la formule du double produit vectoriel :

aA(bAc) : (a-c)b--(a-b)c .
Dans tout le problème, (0, x, y, 2) représente un repère orthonormé, ex, ey, ez
sont les vecteurs unitaires associés aux axes Ox, Oy et 02. On notera 80 la

permittivité électrique du vide, Ho la perméabilité magnétique du vide et c la
célérité des ondes électromagnétiques dans le vide.

Partie I - Phénomène de polarisation de la lumière

I.A - Onde électromagnétique plane progressive

Une onde électromagnétique plane, progressive, harmonique, se propage dans
la direction définie par le vecteur unitaire u dans un milieu où la densité 
volu--
mique de charges et le vecteur densité de courant sont nuls en tout point à tout
instant. On écrit le champ électrique de cette onde, en notations complexes, 
sous
la forme :

E(M,t) = E0exp(--i< 2 qui sera 
étudiée

plus précisément àla question II.C.3.

Partie II - Instruments et composants utilisés en optique
anisotrope

II.A - Polariseur dichroïque et loi de Malus

HA. 1) Décrire une expérience permettant d'obtenir une onde lumineuse pola-
risée rectilignement et de l'analyser.

II.A.2) Le polariseur rectiligne utilisé dans cette question n'est pas idéal 
(par
exemple le Polaroïd utilisé en travaux pratiques). T1 désigne le coefficient de
transmission en énergie, selon la direction de transmission privilégiée du pola-
riseur et T2 le coefficient de transmission analogue, selon la direction 
perpendi--
culaire. On supposera T2 < T1 . Une onde électromagnétique plane, polarisée
rectilignement, arrive normalement sur la face d'entrée d'un Polaroid selon
l'axe Oz ; le vecteur champ électrique de l'onde fait un angle 6 avec la 
direction
de transmission privilégiée du Polaroïd, supposée parallèle à l'axe Ox.

Calculer le coefficient de transmission T en énergie de l'onde à travers ce 
Pola-
roïd en fonction de T1 , T2 et de 9 . Commenter en envisageant le cas 
particulier
du polariseur idéal.

II.A.8) Une onde de lumière naturelle arrive normalement, selon l'axe Oz , sur
un ensemble constitué de deux Polaroïds identiques, disposés en série, perpen-
diculairement à l'axe 02. Les directions de transmission privilégiée des deux
polariseurs font un angle oc . Les polariseurs ne sont pas idéaux ; ils sont 
carac-
térisés par les coefficients T1 et T2 définis précédemment.

a) On admet qu'on peut écrire le champ électrique complexe associé à la lumière
naturelle sous la forme simplifiée

E(M, t) : EO exp(--i(oet --- kz -- (px(t)))ex + EO exp(--i(oet -- kz -- 
(py(t)))ey

où les phases (px(t) et (py(t) varient très rapidement et de manière aléatoire 
au
cours du temps.

Exprimer, pour un angle quelconque oc , le coefficient de transmission en 
énergie
Ta de l'ensemble des deux polariseurs en fonction de T1 , T2 et oc.

On rappelle que les détecteurs optiques classiques ont un temps de réponse très
grand devant la durée des trains d'onde de la lumière, et leur réponse est donc
proportionnelle à la moyenne temporelle de l'intensité lumineuse captée.

b) En déduire, en fonction de T1 et T2, le coefficient de transmission TO de
l'ensemble des deux polariseurs quand oc : 0 . En déduire de même, le 
coefficient
de transmission T90 de l'ensemble des deux polariseurs quand oc : 900 . Montrer
que ces deux résultats étaient prévisibles sans calcul.

0) Montrer que, dans l'approximation T2 « T1 , on retrouve la loi de Malus. Com-
ment vérifier expérimentalement cette loi ?

II.A.4) Les constructeurs de tels polariseurs rectilignes donnent aussi comme
caractéristique principale « la réponse spectrale »; préciser cette notion en 
don-
nant la grandeur physique intervenant essentiellement dans ce critère.

II.B - Polariseurs à réflexion et transmission vitreuse

Une onde électromagnétique plane progressive harmonique de pulsation oe,
polarisée dans le plan d'incidence arrive sous un angle d'incidence i1 sur un
dioptre plan d'équation z = 0.

Ce dioptre sépare deux milieux
diélectriques linéaires, homogè--
nes, isotropes et transparents
d'indices respectifs n1 et n2 et
donne naissance à une onde
réfléchie et une onde réfractée
(voir la figure ci-contre). Les
angles i1> i2 et r ne sont pas

orientés et sont compris entre 0
et TC/ 2 .

II.B.1) On adopte le modèle
microscopique d'optique molé-
culaire suivant : l'onde inci-
dente pénètre dans le milieu (2)
en se réfractant ; elle y excite
des dipôles oscillants àla surface du milieu 2, dipôles dont le rayonnement crée

l'onde réfléchie. On rappelle qu'un dipôle ne rayonne pas dans sa propre direc-
tion.

On suppose les lois de Descartes valables.

a) Prévoir, sans calcul, qu'il existe un angle particulier d'incidence, iB , 
tel que
l'onde réfléchie n'existe pas.

Cet angle est appelé « angle de Brewster » (Sir David Brewster, 17 81-1868).

b) Donner l'expression de 153 en fonctions des indices 77.1 et n2.

c) Expliquer pourquoi il n'existe pas si l'onde est polarisée 
perpendiculairement
au plan d'incidence.

II.B.2) Donner la valeur de l'angle iB dans le cas de la transmission air--eau.
Prendre des valeurs numériques raisonnables pour les différents indices de
réfraction.

II.B.3) Sachant que pour i1 : iB le coefficient de réflexion d'une onde polari-
sée perpendiculairement au plan d'incidence n'est pas nul, quel est l'état de
polarisation de la lumière réfléchie, dans le cas d'une onde incidente 
constituée
par de la lumière naturelle et arrivant sous l'incidence iB '?

II.B.4) Justifier que cette propriété du phénomène de réflexion vitreuse cons-
titue une méthode rapide de contrôle grossier, au laboratoire, de la direction 
de
transmission privilégiée d'un Polaroid.

II.B.5) On appelle R,, le coefficient de réflexion en énergie pour les ondes de
polarisation parallèle au plan d'incidence et R , le coefficient analogue pour 
des
ondes de polarisation perpendiculaire au plan d'incidence. On donne l'expres-
sion théorique de ces coefficients issue des conditions de passage pour le champ
électromagnétique au niveau de l'interface entre les deux milieux
diélectriques :

R,, : tan2(i1 --i2) et RL : sin2(i1 --i2)

2. . .2. . '
tan (L,+L2) sm (Ll+L2)

a) Retrouver la valeur de iB d'incidence brewstérienne. _

b) Les coefficients de transmission en énergie T,, et T , sont reliés par :

Comment interpréter ces deux relations ? Pour la suite, on note iB l'angle de
Brewster correspondant à l'interface air--verre. On considère une lame de verre
à faces parallèles d'indice n = 1,5 , non absorbante, placée dans l'air avec la
lumière arrivant sur la face d'entrée sous incidence i B . Déterminer les 
valeurs
numériques des coefficients T,, et T , correspondant au premier faisceau trans-
mis et au premier faisceau réfléchi (on demande donc quatre coefficients ; on
suppose que l'on peut séparer le premier faisceau transmis et le premier fais-
ceau réfléchi des autres).

Attention, il y a deux interfaces : l'interface air-verre puis l'interface 
verre--air.
Pour une lumière naturelle, en déduire la fraction T de l'énergie incidente
transmise par la lame.

Commenter l'intérêt pratique d'un polariseur à incidence de Brewster dans les
cavités laser. On donne le schéma simplifié d'un tube laser :

faisceau
lum1neu «

miroirs

L'onde lumineuse, qui est non polarisée à l'émission dans la cavité, effectue un
grand nombre d'allers et retours entre les deux miroirs avant de quitter cette
cavité.

II.C - Dispositifs déphasants à lames cristallines

II.C.1) Une lame à retard est une lame mince

à faces parallèles taillée dans un cristal uniaxe

ayant des propriétés optiques anisotropes et

agit donc sur la polarisation d'une onde électro-

magnétique monochromatique sous incidence EUR _
normale. La lame est caractérisée par deux indi- 2

ces, n,C selon Ox et ny selon Oy.

a) Si nx < n y , préciser l'axe rapide et l'axe lent. Justifier la réponse.

b) On étudie la propagation d'une onde électromagnétique plane progressive
harmonique sous incidence normale :

on cos (cat -- 2--Ëz)

V2 < 0, E :
Eoycos(oet -- %z -- (l))

0

Hors de la lame (2 < 0 et 2 > e ) le milieu est assimilé au vide. Préciser 
l'expres-
sion du champ électrique dans la lame, puis hors de la lame. Montrer que la 
com--
posante du champ électrique selon l'axe lent a un retard de phase
supplémentaire w fonction de e , %, nx et n y par rapport à la composante selon
l'axe rapide. Définir les lignes neutres de la lame et décrire une expérience 
per--
mettant de les déterminer.

II.C.2) Donner la définition d'une lame demi-onde et d'une lame quart d'onde
notées respectivement D et Q . Calculer l'épaisseur minimale d'une lame de cal-
cite D pour une longueur d'onde ?» = 600 nm sachant que les indices de

réfraction sont ny : 1,658 et nx : 1,486. Même question pour une lame de
quartz D, avec, pour cette longueur d'onde les indices de réfraction n = 1, 544

y
et "x = 1, 553 . Comparer les résultats et conclure.

II.C.3) Si on décrit l'état de polarisation de l'onde par son vecteur de Jones
(voir LC), on représente les dispositifs agissant sur cet état de polarisation 
par
une matrice 2 >< 2 à coefficients complexes, appelée « matrice de Jones ». 
Ainsi,
si l'état de polarisation de l'onde à l'entrée du dispositif est repréSenté par 
un
vecteur de Jones JE et si le dispositif correspond à une matrice de Jones [P] ,
l'état de polarisation de l'onde àla sortie sera représenté par le vecteur de 
Jones
J s : [P]JE. On notera que la matrice de Jones associée à un dispositif n'est
pas définie de manière unique.

a) Donner une matrice de Jones Px possible pour représenter un polariseur rec-
tiligne idéal dont la direction de transmission privilégiée est parallèle à 
l'axe
Ox. Même question dans le cas où la direction de transmission privilégiée du
polariseur rectiligne idéal fait l'angle oc avec l'axe Ox (matrice notée Pa ).

b) Identifier les dispositifs associés aux matrices suivantes :

--i(p/2
M1=10,M2=10_,M3=e .O-
o-- o-- 0 ez

0. Z On note po : ea0 (qu : 6). On étudie le champ électromagnétique rayonné par ce dipôle en un point M défini par ses coordonnées sphériques (r, 9, (p) . On suppose que ao est très petit devant la longueur d'onde (hypothèse 1) et devant la (p distance r (hypothèse 2). . MI III.A.1) Quelles sont les significations des hypothèses (l) et (2) ? Montrer, en particulier, que l'hypothèse (1) impose une condition àla vitesse de déplacement de la charge mobile. Quel est le moment dipolaire p(t) du dipôle oscillant ? III.A.2) Montrer, par de simples considérations de symétrie, que le champ élec- trique au point M n'a pas de composantes selon u et que le champ magnétique est porté par u (p @. III.A.8) On se place en un point M de la zone de rayonnement du dipôle oscillant. Dans ces conditions, le champ électromagnétique en M se met sous la forme (avec k : oe/c): 2 ] 0) Po . E(M,t) : -- ---- s1n9 cos(oet--kr)u9 47tEUR0 7,02 M 00219 _ ___o 0 . _ B(M,t) -- 4fi rc s1n900s(oet kr)u(p Préciser ce que veut dire « zone de rayonnement du dipôle oscillant ». Quelle est la structure locale de l'onde ? L'émission du dipôle est--elle isotrope '? III.A.4) En se plaçant toujours dans la zone de rayonnement, donner l'expres- sion du vecteur de Poynting R(M, t). Déterminer l'expression de la puissance électromagnétique moyenne traversant à grande distance une sphère de centre O et de rayon r. Cette puissance dépend-elle de r ? Comment peut-on interpréter cette propriété ? III.B - Polarisation de la lumière diffusée III.B.1) Une onde électromagnétique, plane progressive, polarisée rectilignement dans la Z onde excitatrice direction de l'axe Oz se propage dans le sens des x croissants (on l'appellera dans la suite « onde excitatrice >>). Elle induit, sur une molécule située au point O, un dipôle oscillant qui rayonne à son tour. Un observa- teur, muni d'un Polaroïd (c'est-à-dire d'un polariseur rectiligne), se trouve en un point M du plan (xOy). Il s'oriente pour ne rece-- voir que la lumière se propageant dans la direction OM . E L'observateur fait tourner le Polaroïd dans le plan perpendiculaire à la ligne de visée OM , repérée par l'angle oc. Que voit-il : a) lorsque oc : rc/2 ? ' b) lorsque oc est quelconque mais non nul ? c) lorsque oc : 0 ? III.B.2) L'onde excitatrice se propage toujours dans le sens croissant de l'axe (Ox ) mais elle est maintenant non polarisée. L'observateur fait tourner le Pola- roïd dans le plan perpendiculaire à la ligne de visée OM , repérée par l'angle oc . Décrire qualitativement ce qu'il voit quand oc : 0 et quand ou : rc/ 2. III.B.3) a) On observe, de jour, le ciel, à travers un Polaroïd placé perpendiculairement à la direction de visée du soleil. Que voit--on quand on fait tourner le Polaroid '? b) On effectue la même observation dans le cas d'une direction de visée proche de celle du soleil. Que voit-on '? c) On regarde la lune, à travers un Polaroïd, par une nuit de pleine lune. Que voit-on quand on fait tourner le Polaroid ? III.B.4) , a) Que se passe-t-il si la lumière diffusée par une molécule excitée par la lumière du soleil rencontre d'autres molécules dans l'atmosphère ? Expliquer pourquoi on parle alors de << dépolarisation par diffusion multiple » b) Dans les nuages, les gouttelettes d'eau ont un rayon moyen de l'ordre de 5 um. De même, dans l'atmosphère, il existe des poussières et des polluants. Pourquoi ne peut-on plus appliquer les résultats précédents ? Quel nouveau phénomène intervient '? III.B.5) a) Expliquer pourquoi les phénomènes décrits en III.B.3-a et III.B.3-b sont plus facilement observables en haute montagne qu'en ville. b) En photographie, pour augmenter le contraste entre le ciel bleu et les nuages, on ajoute un polariseur à l'objectif. Expliquer son rôle. c) Les légendes scandinaves prétendent que les navigateurs Vikings pouvaient toujours localiser le soleil, même par temps nuageux, au moyen de « pierres solaires magiques ». Qu'en pensez--vous '? Justifier votre réponse. ooo FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Michaël Berhanu (ENS Lyon) ; il a été relu par
Vincent Fourmond (ENS Ulm) et David Chapot (ENS Lyon).

Ce sujet traite des différents aspects de la polarisation de la lumière. Il 
nécessite
de bien connaître le TP-cours correspondant, mais aussi de maîtriser certains 
aspects
expérimentaux. À travers ce sujet, la plupart des questions classiques faisant 
intervenir la polarisation des ondes lumineuses sont abordées. En outre, deux 
processus de
création des ondes polarisées sont étudiées de manière exhaustive : la 
réflexion en incidence de Brewster et la polarisation par diffusion de la 
lumière. Ces deux phénomènes
sont souvent cités en exemple en cours, mais ne font que rarement l'objet d'un 
développement. La construction du sujet impose de commencer par la première 
partie.
On rencontre quelques questions difficiles dans le problème, mais leurs 
résultats ne
sont pas nécessaires pour poursuivre l'épreuve. Les nombreuses questions 
qualitatives
demandent une certaine expérience expérimentale, ainsi qu'un peu d'imagination.
La première partie sert de préliminaires pour le reste du problème. Dans un 
premier temps, les outils généraux d'étude des ondes lumineuses doivent être 
retrouvés
à travers les premières questions. Puis on définit de manière générale le 
phénomène
de polarisation. Enfin, on introduit les vecteurs de Jones qui permettront de 
traiter
les phénomènes de polarisation dans un formalisme matriciel.
La seconde partie est de loin la plus longue. On calcule tout d'abord les 
facteurs de
transmission en énergie à la traversée de polariseurs, avant d'étudier la 
polarisation
par réflexion en incidence de Brewster. Ensuite, la biréfringence et son 
utilisation
pour construire des lames demi-onde et quart d'onde sont abordées. Enfin, 
l'exemple
du filtre de Lyot utilise les résultats précédents pour former un 
monochromateur.
La troisième partie, courte et très qualitative, rappelle d'abord quelques 
résultats
utiles sur le dipôle oscillant puis aborde, sans calcul, l'influence de la 
diffusion sur la
polarisation d'une onde lumineuse.

Indications
I.A.3.b On calcule l'intensité moyenne en notation complexe grâce à la relation
w
 w
-
 -
w
EB w
w
w
I = w Re
w
2 µ0

I.B.2.b Pour déterminer l'orientation d'une polarisation elliptique ou 
circulaire,
on peut choisir un couple de valeurs pour t et z (comme t = 0 et z = 0),
de telle sorte que la composante Ex du champ électrique soit maximale.
Ey
Déterminer alors le signe de
et en déduire le sens de parcours.
t
I.C.1 La notation du produit scalaire proposée par l'énoncé est inhabituelle en 
optique et peut être une source d'erreur. Dans la suite du problème, on calcule

-
 -
-

les normes de vecteurs complexe par A2 = k A k2 = A · A .
I.C.4 Pour décomposer une onde quelconque en deux ondes circulaires, passer
d'abord par la décomposition en deux ondes rectilignes.
II.A.3.b Cette question est délicate. Une méthode est de projeter le champ 
électrique
après le premier polariseur selon les axes du second, puis de calculer son
intensité après celui-ci, sans oublier de faire la moyenne temporelle.
II.B.5.a Considérer aussi le dénominateur.
II.B.5.b Prendre le cas simple où le premier rayon réfléchi part de l'interface 
air/verre
et peut être d'intensité nulle, puis calculer les coefficients de réflexion et 
de
transmission en énergie correspondants.
II.C.1 Se souvenir que v = c/n.
II.D.2 Utiliser les matrices de Jones. Prendre garde à l'ordre des matrices. On 
peut
au choix calculer l'intensité pour N = 4 mais le calcul est assez long, ou bien
la calculer pour N quelconque, ce qui est plus difficile mais plus instructif.
Dans ce dernier cas, calculer d'abord les produits matriciels de la droite vers
N

la gauche, en mettant le produit  1 + exp(i 2k 1 ) en facteur. Ensuite,
k=0

montrer par récurrence que ce produit s'écrit aussi

2N+1
P-1

exp(i m1 ). Enfin,

m=0

écrire la somme des termes d'une suite géométrique.

-
--
-

A
III.A.2 Attention, le régime n'est pas statique et E = - grad V +
.
t
III.B.2 Traiter les cas d'une polarisation selon (Oz) et selon (Oy).

I.

Phénomène de polarisation de la lumière
A.

Onde électromagnétique plane progressive

-
I.A.1 Le vecteur d'onde k s'écrit en fonction de la longueur d'onde  dans le
milieu :
-

2 -

u
k =

I.A.2 Pour une onde plane progressive et harmonique, l'équation de Maxwell

-
-
B
- 
rot E = -
t
se développe en notation complexe :
 -
-
-

i k  E0 = i B0
En remarquant que c = /k, le champ magnétique devient :
-

-
-
 
u  E0
B0 =
c
L'équation de Maxwell

-
div E = 0

 -
-

se réécrit en formalisme complexe : i k · E0 = 0
-

Cette équation et l'expression de B0 impliquent que l'onde électromagnétique est
-
-

transverse et que (-
u , E , B ) est un trièdre orthonormé direct.
Cette question montre que pour une onde plane progressive harmonique dans
un milieu assimilable au vide, il n'est pas nécessaire de chercher à déterminer
le champ magnétique ; la connaissance du champ électrique suffit.
I.A.3.a Le vecteur de Poynting instantané s'écrit :

-

-
-

E (M, t)  B (M, t)
R (M, t) =
µ0
Il représente le flux d'énergie d'une onde électromagnétique par unité de 
surface,
c'est-à-dire la puissance par unité de surface que transporte l'onde. Sa 
direction est,

pour ce type d'onde, la direction de propagation donnée par -
u (ceci n'est plus vrai
en valeur instantanée pour une onde évanescente).
Attention : l'expression précédente n'est valable que pour des champs réels.

En notation complexe, on utilise l'expression suivante :

-
 -

-

-
E  B
R = R = Re
2 µ0
donnant le flux d'énergie par unité de surface moyenné sur une période de l'onde
-

(ce qui explique le facteur 1/2). B est le vecteur complexe conjugué du champ
magnétique.
Ce vecteur est souvent nommé « vecteur de Poynting complexe ».
I.A.3.b L'intensité de l'onde au point M a pour expression :

-

I = R (M, t) · -
n

où -
n représente le vecteur unitaire normal à la surface à travers laquelle on 
calcule
l'intensité. Sous incidence normale,

-
I=kh R (M, t)ik
En utilisant l'expression du vecteur de Poynting en formalisme complexe, on a :
 w
w
-
 -
w
E  B w
w
w
I = w Re
w
2 µ0

-
En remplaçant E par son expression, l'intensité devient

  -
-
1
I=
u  E ))k
k Re ( E  (-
2 µ0 c
En développant avec la formule du double produit vectoriel, il vient
 -

 -
-
 -
 -
-
1 ( E · E ) u - ( E · u ) E
I=
2
µ0 c
Sachant que
-
 
· u = -
u pour une onde homogène (résultat faux pour une onde évanescente) ;
 -
-
· E ·
u = 0;
 
 -
-
2 -
· ( E · E ) -
u = |E0 | 
u,
2

on aboutit à I = |E0 | /2µ0 . Enfin, la relation 0 µ0 = 1/c2 permet de conclure 
:
I=

0 c |E0 |2
2

I.A.4 Les phénomènes faisant intervenir la nature vectorielle de la lumière, 
c'est-àdire ceux où la polarisation entre en compte, sont ceux mettant en jeu 
une anisotropie.
Par exemple, on peut citer la biréfringence ou la réflexion et la réfraction à 
l'interface
de deux milieux d'indices différents.
La polarisation de la lumière intervient dans le phénomène d'interférences car
en sommant les amplitudes, on additionne des vecteurs. En particulier, deux
ondes dont les polarisations rectilignes sont orthogonales n'interfèrent pas.
On dit que les deux ondes sont incohérentes par leur polarisation.