Centrale Physique 2 PC 2002

Thme de l'preuve tude d'une interface eau/air
Principaux outils utiliss mcanique des fluides, physique des ondes
Mots clefs bilan lagrangien, bilan eulrien, diffusion, instabilit, quation d'onde, mare, rsonance

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Physique 2 PC 2002 -- Corrig
Ce corrig est propos par Marc Legendre (ESPCI) ; il a t relu par Christophe
Lepage (doctorant en mcanique des fluides) et Nathanal Schaeffer (ENS Lyon).

Le sujet porte principalement sur l'tude de quelques problmes de mcanique
des fluides. D'autres domaines de la physique sont abords : physique 
ondulatoire,
optique, mcanique du point et lectrocintique. Une bonne connaissance du 
programme dans son ensemble est donc ncessaire pour traiter compltement le 
sujet.
Ce problme est cependant peu difficile et, en outre, trs intressant.
 La premire partie traite du modle assez peu connu de Saint-Venant.
Elle suppose une bonne matrise des diffrents types de bilans que l'on est
amen  faire en mcanique des fluides, notamment les bilans lagrangien et
eulrien. C'est la partie la plus calculatoire du problme.
 La partie II traite de la crue d'une rivire et ne prsente qu'une seule 
question
dlicate (la question II.A.2).
 La partie III tudie une instabilit d'interface de manire thorique puis 
exprimentale. Certaines questions permettent d'exercer son sens physique.
 La dernire partie est consacre  l'tude du phnomne des mares dans un
canal. C'est la partie la plus facile  traiter, preuve qu'il est toujours 
utile de
lire le sujet jusqu'au bout avant de le traiter.

Indications
Partie I
I.A.1 Ne pas considrer les variations spatiales de v et h entre x et x + dx 
(se demander pourquoi. . .).
I.A.4 Utiliser les trois questions prcdentes.
I.B.2 Driver la pression obtenue  la question prcdente par rapport  x.
I.D.2 Quelle est la dimension de la viscosit cinmatique ?
Partie II
II.A.1 Driver l'quation (4) par rapport  x.
II.A.2 Dterminer la drive particulaire de  dans un coulement de vitesse v0 .
II.B.1 Remplacer les variables de temps et d'espace par des chelles 
caractristiques dans l'quation (6).
Partie III
III.B.3 Regarder la dviation d'un rayon lumineux selon la concavit de la 
courbe
dfinie par l'interface huile/air.
Partie IV
IV.B.1.b Regarder le dnominateur de M .
IV.B.1.d Dans cette exprience, une extrmit de la corde vibrante est fix, 
l'autre
est soumis  des oscillations verticales.
IV.B.2.b Justifier que l'on peut ngliger la composante transitoire de U.

I. Modle de Saint-Venant
I.A.1 L'eau de masse  2 mx qui entre algbriquement dans (S) entre les instants 
t
et t + dt par le plan d'abscisse x est situe entre les plans d'abscisse x et x 
- v dt.
On a donc
 2 mx =  L h(x, t) v(x, t) dt
z

(S)

v dt

x

x+

dx

On ne considre pas les variations spatiales de v et h entre x et x + dx parce
que l'on multiplie ces grandeurs par des termes infiniment petits et que l'on
se limite  l'ordre 1 en dx.
I.A.2 Cette fois, le sens de l'coulement implique que de l'eau sort de (S)  
l'abscisse
x + dx (d'o un signe ngatif dans l'expression algbrique de la masse 
entrante).
L'eau sortant de (S) entre t et t + dt est situe entre les plans x + dx et x + 
dx - v dt.
On a alors
 2 mx+dx = - L h(x + dx, t) v(x + dx, t) dt
z

(S)
v dt

x

x+

dx

I.A.3 La masse  2 m entrant algbriquement dans (S) entre t et t + dt est donc
 2 m =  2 mx +  2 mx+dx
=  L (h(x, t) v(x, t) - h(x + dx, t) v(x + dx, t)) dt
Finalement

 2 m = - L

(h v)
dx dt
x

I.A.4 Calculons la variation de la masse d'eau entre t et t + dt dans le 
systme (S)
d2 m =  L dx h(x, t + dt) -  L dx h(x, t)
h
= L
dx dt
t
Ce renouvellement temporel d'eau est d, en l'absence de puits et de source 
dans (S)
 l'apport d'eau venant de la non uniformit de l'coulement. On a donc
 2 m = d2 m
h (h v)
+
=0
t
x

soit, en simplifiant,

(1)

I.B.1 L'quation d'Euler s'crit
!

-- -
--
-
v

-


+ ( v  grad ) v = - grad p + -
g
t
En projetant sur la coordonne z, les termes du membre de gauche sont annuls 
car

-
v = v(x, t) -
u
x et il vient
p
= - g
z
En intgrant cette quation entre h(x, t) et z, on obtient
p(z, x, t) = p0 +  g (h(x, t) - z)
I.B.2 La force volumique de pression et de gravit projete selon x est, en 
tenant
compte de sin  = ,
p
fx = -
+  g
x
En drivant l'quation obtenue  la question I.B.1, il vient
p
h
= g
x
x

h
On a alors
fx =  g  -
x
La force dFx s'appliquant au systme (S) de volume infinitsimal dV est donc
dFx = fx dV
On obtient finalement

h
dFx =  g  -
h(x, t) L dx
x

I.C.1 Le systme (S ) peut se dcomposer en deux sous-systmes : le systme (S)
de masse m(t) et celui constitu par la masse  2 mx qui entre dans (S) entre t 
et
t + dt. Rappelons que la quantit de mouvement est une grandeur extensive d'o
P (t) = m(t) v(x, t) +  2 mx v(x, t)
En utilisant la question I.A.1, on trouve
 2 mx =  L h(x, t) v(x, t) dt
Il vient

P (t) =  L h(x, t) v(x, t) (dx + v(x, t) dt)