Centrale Physique 2 PC 2001

Thme de l'preuve Propagation d'ondes lectromagntiques dans un plasma. mission et rception de ces ondes par des antennes.
Principaux outils utiliss ondes lectromagntiques, rayonnement du diple oscillant, optique gomtrique, diffraction

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Physique 2 PC 2001 -- Corrig
Ce corrig est propos par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a t relu par Arnaud
Spinelli-Audouin (ESPCI), Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Stphane Ravier (ENS
Lyon).

Le sujet porte sur les tlcommunications par les ondes hertziennes : la 
propagation de ces ondes dans l'ionosphre, leur mission et leur rception.
On tudie dans la premire partie du problme la propagation de ces ondes dans
l'ionosphre et, notamment, dans quelles conditions elles sont rflchies ou 
transmises
par celle-ci. On tudie ensuite l'mission d'un diple simple et on combine 
plusieurs
diples entre eux pour former une antenne, puis on associe ces antennes pour 
former
des dispositifs plus directifs. Enfin, dans la dernire partie, on tudie les 
antennes
paraboliques, ainsi que l'mission de rayonnement depuis un satellite.
Ce problme constitue une excellente vue d'ensemble de l'optique  que ce soient
les quations de Maxwell, la diffraction, le diple rayonnant. . . Il constitue 
par ailleurs
un bon exercice d'intgration sur des surfaces.

Indications

Premire partie
I.A.1 Estimer de combien varie la distance interatomique quand on passe du
mtal au plasma. Utiliser les valeurs numriques donnes en annexe.
I.A.2 Utiliser la question I.A.1 et les rsultats de la question d.

.
I.B.1 Chercher -
v sous la forme -
v (x, t) = f (x, t) -
u
y

I.B.3 Revenir aux notations relles pour le calcul de la puissance.
- .
I.C.1 Ne pas oublier 

-
I.C.2.b Utiliser le prambule pour calculer B .
I.C.3 Il y a une erreur dans l'nonc. Traiter le cas  > p .
I.C.3.e Diffrentier la relation de dispersion.
I.D Faire le bilan de la partie I.C.
Deuxime partie
 -

 -- -
-

II.A.3 Utiliser div a A = a div A + grad a . A .

II.A.5 Ne pas oublier sin  dans l'lment
de surface en sphrique. Remarquer

que sin3  = sin  1 - cos2  .
II.B.1 Que devient le courant aux bords de l'antenne ?

II.B.2 Montrer que le morceau d'antenne est quivalent  un petit diple, puis
se servir des questions II.A.
II.C.1 et 2 crire le champ total comme une somme de champs issus de chaque 
antenne et dvelopper le terme de phase dans les exponentielles, en ngligeant 
la variation d'amplitude.
Troisime partie
III.A.2 Se servir des dimensions donnes  la question III.A.3.
III.A.3.g Quel est le faisceau le plus directif possible ?
III.C.1 Considrer dans le triangle {Centre de la Terre  Satellite  France} la
-

-
 -
distance kSFk = k SC + CFk.
III.C.2 Remarquer que la France est situe  l'infini, et utiliser la figure 3.
III.C.4 Considrer, puisque L est grand devant les autres dimensions et que 
l'ouverture angulaire de la tache principale de diffraction est petite, que le
morceau de sphre correspondant  cette tache est assimilable  un plan,
et intgrer en coordonnes polaires.

Prambule
a Les quations de Maxwell dans le vide sont

-
div E = 0

-
div B = 0

(1)
(2)

-

-
B
- 
rot E = -
t

(3)

-
-
E
- 
rot B = 0 0
t

(4)

-

-
Pour obtenir les quations de propagation pour E (resp. B ), on prend le 
rotationnel
de (3) (resp. (4))

-

- - -
-  B
rot rot E = - rot
t

et

-

- - -
-  E
rot rot B = 0 0 rot
t

Puis on utilise la formule donne dans le formulaire
 --
-

-
- - -
rot rot A = grad div A -  A
--
en remarquant que d'aprs (1) et (2), les termes en grad div sont nuls.
Ceci donne

-
 -  B
-
 E = rot
t

-
-

-  E
et  B = -0 0 rot
t

Enfin, d'aprs le thorme de Schwarz (commutation des drives partielles), on 
a

-

-
- -
 rot B
2 E
-  B
rot
=
= 0  0 2
t
t
t

-

-
- -
2
 rot E
 B
-  E
rot
=
=- 2
t
t
t

Ceci donne finalement

d'aprs (4)
d'aprs (3)

-

-
2 E
 E = 0  0
t2

-

-
2 B
 B = 0  0
t2

-

-
b Il s'agit d'une onde plane (car E ne dpend que de x et de t : E est constant 

un instant donn dans tous les plans perpendiculaires  l'axe Ox), progressive 
(car

-

-
E = f (x - vt)) et monochromatique  ou harmonique (de pulsation bien dfinie ).
.
Sa polarisation est rectiligne de direction -
u
y

-
c En introduisant l'expression de E dans l'quation de propagation de la 
question
a, on obtient la relation de dispersion
  2
k

= c2

def 
Le vide n'est pas un milieu dispersif car la vitesse de phase v =
est indpendante
k
de . La vitesse de phase est la vitesse  laquelle se dplacent des points de 
phase
 
-
constante. On la calcule en disant que k . -
r - t est une constante dans le temps.

d L'quation (3) donne

-
-

-
k
B =
 E

-

k

B = E0 ej(t-kx) -
u
z

Donc

(5)

-
Cette relation est valable que k soit rel ou complexe, ce qui nous servira
par la suite.
e L'onde plane possde une nergie par unit de volume :
2
-
2
-
0 E
B
E=
+
2
20
0 E 0 2
>0
2
On rappelle que la moyenne temporelle est dfinie comme suit :
Z T
1
hf i = lim
f (t) dt
T 2T -T
En moyenne

hEi =

Cette nergie moyenne est indpendante du point o on la calcule et non nulle, 
donc,
en l'intgrant sur tout l'espace pour avoir l'nergie totale de l'onde, on 
trouve qu'elle
est infinie, ce qui n'est physiquement pas acceptable. Une onde plane ne peut 
donc
pas exister.
On l'utilise tout de mme pour deux raisons :
 avec la transforme de Fourier, si le systme est linaire, ce qui est
gnralement le cas en lectromagntisme, on peut se ramener  une
superposition d'ondes planes progressives monochromatiques ;
 gnralement, les ondes lectromagntiques ont une structure locale
d'ondes planes (quand on peut ngliger la variation spatiale de l'amplitude du 
champ)  voir question III.A.3.b.