Centrale Physique 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Diffraction d'un laser par la surface d'un liquide et étude des ondes de surface de ce liquide
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, mécanique des fluides

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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PHYSIQUE II Filière PC

PHYSIQUE Il

Diffusion de la lumière par des ondes de surface

Le problème comporte des questions non calculatoires, pour lesquelles le candi-
dat s'efforcera de répondre avec concision : quelques mots suffisent en général.
Les parties I - , II - et III - sont largement indépendantes, mais il est recom-
mandé d'aborder la partie I - en premier.

On éclaire avec un faisceau laser élargi de détecteur
longueur d'onde 7'o = 0,638 um toute la sur--
face libre d'un liquide contenu dans un bac
horizontal sous incidence 9 < 0, avec
--90° 5 6 S 0 (cf. figure 1). Les propriétés de la
lumière récupérée loin de l'interface dans
une direction d'angle i>0, avec OSiS90°,
sont liées à la propagation d'ondes dans le
liquide, engendrées spontanément par l'agi-
tation thermique. Ces ondes mettent en jeu
des forces de tension superficielle qui font intervenir une constante A caracté-
ristique du liquide appelée coefficient de tension superficielle : aucune 
connais-
sance sur la tension superficielle n'est nécessaire pour traiter le problème. 
Sauf
en UE, on néglige la viscosité. Pour toutes les applications numériques sauf 
cel-
les de la question II.E.3, on supposera que le liquide est de l'eau de masse 
volu--
mique u = 103 kg - m_3 et de coefficient de tension superficielle A = 7 - 
10--2Pa - 111.
On donne en outre quelques constantes fondamentales : R = 8, 314 J - K_1 - 
mol--1 ;
Na : 6, 02- 1023mo1' ; kB : 1,38-10"23 J-IC1 ; cæ3-108 m-s"1. Le milieu
ambiant est de l'air, dont on prend l'indice optique égal à 1 .

Partie I - Préliminaires : quelques ordres de grandeurs

I.A - À un instant donné, du fait de fluctuations thermiques, la surface libre 
pos-
sède de petites « aspérités >> et on prend pour premier modèle une surface dont
la cote prise par rapport à une origine z = 0 vaut :

h(x) : hMcos(Kx) avec K : 2Î71: et Az4-10_5 111.

Concours Centrale-Supélec 2000 1/8

PHYSIQUE II Filière PC

Fil'ère PC

Expliquer qualitativement pourquoi on peut alors récupérer de la lumière dans
des directions ist--6 .

I.B - On suppose que l'essentiel du mouvement dans le liquide est localisé sur
une épaisseur de l'ordre de A au voisinage de l'interface (hypothèse (H)).
D'autre part, on admet que les forces de tension superficielle exercées sur une
interface d'aire S entre le fluide et l'air dérivent d'une énergie potentielle
E p : AS où la constante A est le coefficient de tension superficielle. En éva-
luant numériquement un rapport d'énergies, montrer que la pesanteur joue un

rôle négligeable devant la tension superficielle.
Dans toute la suite, on néglige donc la pesanteur.

I.C - En réalité l'interface est en mouvement. Si on néglige la viscosité, la 
sur-
face libre a pour cote :

h(x, t) : hMcos(Qt--Kx) avec K = %" et Az4-10"5 m.
La relation de dispersion de ces ondes s'écrit :
92 = A uBKY avecK : 2În_

Déterminer les constantes oc , B et y par analyse dimensionnelle. Calculer la
pulsation Q et la période T pour A z 4 -- 10'5 m.

I.D - La cuve est limitée au domaine 0 gx 5 L et 0 s y SL avec L = 1 cm par des
parois verticales rigides. Plutôt que l'onde proposée en I.C) on considère pour
toute la suite du problème une onde décrite par le profil
h(x, t) : thin(Qt)cos(Kx) associée à un potentiel des vitesses (MM, t) et un
champ des vitesses È(M , t) tels que :

9 --> hMQ
v(M, t) : grad$(x, z, t) avec d)(x, z, t) = K

où f (2) est une fonction de z , sans dimension, de l'ordre de 1 dans le domaine
--A < 2 < 0 et négligeable pour 2 < --A . On admet que la relation de 
dispersion est
inchangée.

f(z)cos(Qt)cos (Kx)

I.D.1) Quelles sont les conditions aux limites imposées par les bords du
récipient ? En déduire les valeurs convenables de K en fonction de L et d'un
entier m .

Concours Centrale-Supélec 2000 2/8

PHYSIQUE II Filière PC

I.D.2) Représenter sur une même figure l'allure de la surface libre aux ins--
tants t : T/4 et t : 3T/4 pour m = 1. Même question pour m = 2. Indiquer
une des propriétés qui distinguent ces ondes de celles de la question LC).

I.D.8) Exprimer l'ordre de grandeur littéral de l'énergie cinétique EC du
liquide en fonction de u , h M, L , A et Q . Des considérations de physique 
statis-
tique qui dépassent le cadre de ce problème montrent que E'C est de l'ordre de
l'énergie cinétique d'un atome de gaz parfait monoatomique en équilibre à la
température T. En déduire la valeur numérique de h M pour la température
ambiante.

I.D.4) Rappeler l'ordre de grandeur du libre parcours moyen / * dans un
liquide. La valeur très faible de h M/ / * pourrait susciter quelques 
inquiétudes
quant à la validité du modèle du fluide continu, mais l'expérience conforte ce
modèle, montrant ainsi que le rapport h M/ / * est hors--jeu. À quelle autre 
gran-
deur proposez-vous de comparer / * pour valider le modèle du fluide continu ?

Partie II - Étude expérimentale des ondes de surface

L'étude de la lumière diffusée par une interface liquide-air permet de mesurer
le coefficient de tension superficielle et la viscosité du liquide.

Pour rendre compte de la diffusion de la lumière par la surface libre du 
liquide,
on adopte le modèle suivant :

° La surface _e)st assimilée à un réseau par réfl_e}xion, dont les traits 
infiniment
fins selon ux et de longueur L = 1 cm selon u sont centrés sur les points An
de coordonnées :

nA_
xn=--2--,

y

yn = 0 ; zn(t) = (--1)nthin(Qt) avec n entier.

0 Les traits sont éclairés par une onde plane d'éclairement go, de longueur

d'onde À0 : O, 638 mn de pulsation oe0 , et de vecteur d'onde

--> _ --> _)
ko : --kosm6ux--kocoseuz .

0 On récupère la lumière diffractée à l'infini dans la direction d'angle i à 
l'aide
d'un photodétecteur.

° On fixe une phase de référence (po au niveau du détecteur pour l'onde de réfé-
rence qui serait diffractée par un trait fictif, confondu avec l'axe Oy .

° Le n-ième trait diffracte une onde dont l'amplitude complexe sur le détecteur
est de la forme : gn(t) : aÆexp(joeot--jch--jkôn) où ocæ O, 1 est un nombre

Concours Centrale-Supé/ec 2000 3/8

PHYSIQUE II Filière PC

sans dimension, k le nombre d'onde et ôn est la différence de marche entre
l'onde (n) et l'onde de référence définie plus haut.

II. A- Interpréter la position des traits en liaison avec la question 1. D. 2). 
Éva-
luer le nombre N de traits du réseau pour L-- _ 1 cm et A: 4- 105 m. Comparer

avec les réseaux usuels utilisés en travaux pratiques. On supposera N pair dans
la suite.

II.B - On suppose tout d'abord que 11 M = 0. Dans ces conditions la lumière dif-
fractée a même pulsation (110 que l'onde incidente et donc k : ko : 2n/ÀO.

II.B.1) Établir l'expression de 6 : ôn --ôn_ 1 en fonction de A, i et @.

II.B.2) Dans la suite, le détecteur est placé dans une direction d'observation
i* , choisie de telle sorte que :

À
0

sini*+ sin6-- - -- -- .
A

Combien vaudraient alors 6 et l'éclairement reçu par le détecteur si on avait
réellement h M = 0 ?

II.B.3) Déterminer l'écart angulaire ôi* : i* -- |e| : i* + 6 , supposé petit, 
entre
l'onde réfléchie dans la direction i = --9 et l'onde diffractée dans la 
direction i* ,
en fonction de B, "o et A. Le détecteur a une ouverture angulaire égale à 5°.
Comment faut-il choisir 6 pour ne récupérer que la lumière diffractée ?

II.C - On suppose désormais que hM$O et on admet qu'on peut prendre
k : k() : 2n/ÀO pour le vecteur d'onde de la lumière diffractée avec une très
bonne approximation.

Il. C. 1) Faire apparaître la différence de mar_)che 62 p(t) des traits 
d'indice pair
sur une figure. On _)pose k-- _ ko cosi* uz +k0 sini* ux Montrer que:

k062p(t) = (ko--k) - 0A2p.

Expliciter 62 p(t) en fonction de p, ÀO, @, h M , 52, t en tenant compte du 
fait que
cosi*z 0059 2et sini* + sin9- -- --ÀO /A En déduire l'amplitude complexe 
instanta-
née totale diffractée par les traits d'indices pairs, notée a t), en fonction
deL, A,êËO, oc, 6, hM, 9 ,ko, 000 , (po et t.

H. C. 2) Évaluer de même l'amplitude complexe instantanée totale diffractée
par les traits d'indices 1mpairs, notée a (i*, t) .

II.C.3) En déduire que l'amplitude complexe instantanée totale diffractée
dans la direction i* vaut :

2LocJä?o

c_t(i*, t) = ( A )sin(4kocosethin(£lt))exp(joeot--j(p0+jn/2)

--pair(i*'

--zmpair

où on rappelle que l'angle i* est déterminé par le choix de A (cf. II.B.2).

Concours Centrale-Supélec 2000 4/8

PHYSIQUE II Filière PC

II.C.4) Sachant que h M/ÀO : 10--6, donner l'expression de c_z(i*, t) à l'ordre 
un
en h M/ À0. Montrer que g(i*, t) est la somme de deux ondes sinusoïdales
et déterminer leurs pulsations en fonction de co et Q . Quelle erreur relative 
sur
k a-t--on commise en prenant k : ko : 271/À0 pour ces deux ondes '?

II.C.5) Comment évolue l'amplitude de l'onde diffractée lorsque le! augmente.
Montrer qu'il faut trouver un compromis sur la valeur de 6 du fait de la conclu-
sion de la question II.B.3).

II.D - Le photodétecteur utilisé délivre une tension V(t) : y < a2(i*, t) > 
propor-
tionnelle àla valeur moyenne du carré de l'amplitude réelle instantanée a(t) , 
la
moyenne étant calculée sur une durée de l'ordre de dix nanosecondes. D'autre
part, comme l'éclairement diffracté est trop faible pour être détecté 
directement,
on lui superpose une onde plane de référence se propageant dans la direction i* 
,
engendrée à partir du laser--source par un dispositif qui ne sera pas étudié et
d'amplitude complexe sur le détecteur :

@ref") : Algrefexp(joeot+jn/2_j(p0) h

II.D.1) Montrer que la tension obtenue est, au premier ordre en À_M' de la
forme : °

hM .
V(t) z a + b--- s1n(£2t)
7'0
où a et b sont deux constantes, dont on ne demande pas d'expliciter les expres-
sions.

II. D. 2) Proposer un circuit électrique passif simple permettant de récupérer à
partir de V(t) une tension u(t) proportionnelle à h Ms1n(Qt) en précisant la
valeur numérique des composants choisis pour sa ... 105 rad- s ' .

II.D.3) Indiquer brièvement pourquoi l'utilisation d'une onde de référence
rend détectable le signal qui ne l'était pas sans elle.

II.D.4) En réalité on atténue l'onde de référence ; interpréter sommairement.
Pour cela, on interpose un polariseur sur le trajet du faisceau de référence ; 
inte-
rpréter sommairement, sachant que le laser émet une onde polarisée rectiligne-
ment.

Concours CentraIe-Supélec 2000 5/8

PHYSIQUE II

ILE - En réalité tous les
modes possibles associés aux
valeurs de K (ou de A) possi-
bles coexistent: la surface du
liquide présente des
« aspérités » correspondant à
la superposition de tous ces
modes. L'expérience permet
d'accéder à la relation de dis-
persion Q(K) : pour cela un

. réseau de pas a o n _

+f\ (R)
|

Filière PC

----21

n :
. détecteur
.

\ / .îl-- ; mobile
\ /ôi* 12
n _

fréquencemètre mesure la fréquence F de u(t) ; par ailleurs il faut faire varier
K et le mesurer. Pour cela on envisage le montage de la figure 2 : on place un
réseau plan (R) , de pas a connu, orthogonalement àla direction i = --6 ;l'onde
de référence qui arrive sur ce réseau sous incidence normale donne naissance à
des taches de diffraction d'ordre n dans des directions in .

II.E.l) En utilisant sans démonstration la formule des réseaux plans par

transmission, exprimer l'angle ôin

den,À0 eta.

II.E.2) On place le détecteur
successivement dans les direc-
tions in . On admet que ce réseau
est sans effet sur la lumière dif-
fractée par la surface du liquide,
ce qui revient pour cette lumière
à supposer que le réseau travaille
dans l'ordre zéro. En exploitant
l'expression de ôi* établie en
II.B.3), montrer qu'on fait pren-
dre ainsi à A une séquence de
valeurs connues qu'on détermi-
nera en fonction de n , 6 et a .

II.E.3) Le graphe de la figure 8
donne logQ en fonction de logK
avec 9 en rad s_' et K en m_'

: in + 9 : in -- |e| , supposé faible, en fonction

pour une e3xpérience où le liquide est de l'éthanol de masse volumique
u-- _ 0,79 103 kg- m .Vérifier la compatibilité des résultats avec la relation 
de
dispersion établie en 1.0) et déterminer la valeur numérique de A .

Concours Centrale-Supélec 2000

6/8

PHYSIQUE ll Filière PC

II.F - La figure 4 où l'unité de
temps est la milliseconde donne
le graphe de u(t)/u(0) pour une
expérience où le liquide est de
l'eau. Qu'observe-t-on qui n'est
pas prévu par le modèle adopté
jusqu'ici ? Montrer qu'on peut
en rendre compte sommaire-
ment en évaluant une durée
caractéristique de la diffusion
de quantité de mouvement en
fonction de A et de la viscosité
cinématique v de l'eau. Déduire
du graphe un ordre de grandeur
de v.

9
a:

u(t)/u(0) en fonction de
t en millisecondes

?
:;

57
N

O

55
m

s':
à

.0
oe ..
--{oo«oloolä|oocuiooobo;ir{ioo;|n|ro|oon_o_}_g_1_æ=bl--

Figure 4

.
9
m

.
.0
m

Partie III - Étude théorique des ondes de surface

On décrit le mouvement de l'interface par sa cote h(x, t) et le mouvement du
liquide par le champ des vitesses 3 (M , t) tels que :

h(x, t) : thin(Qt)cos(Kx) ;

_)

Z(M, t) : grad$(x, z, t) ;
hMQ
Q)(x, z, t) = T - f(z)cos(Qt)cos(Kx) .

Le champ de pression est uniforme égal à p0 dans l'air; il est de la forme
p(x, z, t) dans le liquide. Le récipient est suffisamment profond pour qu'on
puisse le supposer infini, de telle sorte que le liquide occupe au repos le 
demi-
espace 2 S 0 . Les champs h(x, t) , (b(x, z, t) et leurs dérivées partielles 
sont traités
comme des infiniment petits de même ordre et on se limite à l'ordre 1 en ces 
infi-
niment petits.

III.A - On suppose l'écoulement incompressible.
III.A.1) Déterminer l'équation aux dérivées partielles dont est solution «13 .

Concours Centrale-Supélec 2000 7/8

PHYSIQUE II Filière PC

III.A.2) En déduire que f(z) est solution d'une équation différentielle
homogène du deuxième ordre à coefficients constants. Déterminer f (2) à une
constante multiplicative près.

III.A.3) Justifier l'hypothèse (H) de la question LB).
III.B -

III.B.1) Justifier brièvement la condition aux limites à la surface libre de 
cote
h(x, t) :

aq; _ ah

ë _ Σ

III.B.2) En admettant qu'on peut évaluer ôOE/ôz en 2 = 0 au lieu de z : h(x, t) 
,
en déduire l'expression de f (2) en fonction de K et z .

III.C - Les forces de tension superficielles ne s'exercent qu'à la surface du
liquide. En utilisant l'équation d'Euler au sein du liquide et en négligeant la
pesanteur (cf. LB), montrer que la fonction

8
p + ua--'Î = C --> --> -->
de : --Ady t(x) et de+dx : Ady t(x +dx)

où A est le coefficient de te_nsion superfi-
cielle supposé constant et t la tangente
orientée au profil 2 = h(x, t) (cf. figure 5).
On limite les calculs à l'ordre un en dx et
à l'ordre un en h M/ A .

élément de surface

2 -->
dF

x+dx

\

III.D.1) Établir l'expression de p -- po a

F' 5
l'interface en fonction de A et 82h/ôx2. 1gure

III.D.2) En admettant qu'on peut écrire y
la relation de la question précédente en

z = 0 au lieu de z : h(x, t) , en déduire la relation de dispersion, liant K , 
Q, u
et A . Vérifier la cohérence avec les résultats de LG) et II.E.8).

x x+dx

ooo FIN 000

Concours Centrale-Supélec 2000 8/8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 2 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Franck
Stauffer (ENS Lyon) et Patrick Charmont (ENS Lyon).

Ce sujet aborde de manière théorique et expérimentale le problème des ondes de
surface d'un liquide. Il se décompose en trois parties qui développent à chaque 
fois
un des aspects d'une étude générale. Sauf dans les dernières questions, il est 
très peu
calculatoire, et ne nécessite pas de connaissance importante en mécanique des 
fluides.
Il demande plutôt de la part du candidat une certaine aptitude à raisonner avec 
des
ordres de grandeur et la capacité de les déduire à partir de données générales. 
Il faut
également maîtriser les bases de l'optique ondulatoire et de l'hydrodynamique.
La première partie permet de se familiariser avec le problème. Au cours de 
calculs
relativement simples, on obtient des valeurs numériques et des ordres de 
grandeurs
qui fixeront les limites du modèle.
La seconde partie est la plus longue. On y décrit un processus expérimental 
permettant de valider la relation de dispersion obtenue par une analyse 
dimensionelle
dans la partie précédente. Elle fait intervenir principalement des outils 
d'optique.
La troisième partie est consacrée à l'étude théorique de ces ondes. Elle est 
relativement courte, mais chaque question impose de bien réfléchir aux données 
du
problème avant de se lancer dans les calculs.

Indications

I.B Considérer la seule masse de fluide à être affectée par le mouvement et 
évaluer
son énergie potentielle de pesanteur.
I.C Il faudra exprimer la dimension de l'énergie en fonction de celle des autres
unités. On pourra, si l'on ne s'en souvient pas, utiliser une expression de
l'énergie potentielle de pesanteur.
I.D.1 Les parois sont impérméables, ce qui impose une condition sur la vitesse 
du
fluide aux parois.
I.D.3 Procéder comme à la question I.B.
I.D.4 Pour obtenir une idée du libre parcours moyen dans un liquide, considérer
qu'une telle phase est dense.
II.B.3 Faire un développement limité de la relation donnée à la question II.B.2.
 -
-

II.C.1 Pour obtenir l'expression en k - k0 , raisonner en terme de projection. 
Par la
suite, il sera judicieux d'utiliser les coordonnées cartésiennes pour expliciter
l'expression de la différence de marche.
II.C.4 Développer la fonction sinus en exponentielles pour obtenir une somme de
deux ondes. Exprimer k en fonction de 0 et  dans l'un des deux cas pour
obtenir l'erreur relative.
II.D.1 Considérer que l'on développe le carré d'une somme de deux termes, l'un
d'ordre 0 et l'autre d'ordre 1.
II.D.3 Quel aurait-été l'ordre en hM /0 si l'on avait omis l'onde de référence ?
II.D.4 Raisonner sur le contraste.
II.E.2 Une condition pour détecter le signal est que l'onde de référence soit 
présente
dans la direction d'observation.
II.F La plupart des mouvements amortis sont en e-t/ où  est un temps 
caractéristique de l'amortissement.
III.A.1 Utiliser la propriété d'incompressibilité du fluide.
III.A.3 Utiliser la forme de f (z).
--
III.C Essayer de faire apparaître une relation du type grad C = 0.
III.D.1 Commencer par calculer l'expression de la normale et de la tangente à la
surface en fonction de h(x, t), puis écrire la relation fondamentale de la 
dynamique projetée sur Oz.

Partie I

Préliminaires : quelques ordres de grandeurs

I.A Si l'on considère l'eau comme totalement réfléchissante et au repos, sa 
surface
agit comme un miroir et l'on récupère de la lumière dans la direction i = -. 
Ceci
n'est plus vrai dans notre cas, car la surface n'est pas plane ; on a toujours 
dans le
plan d'incidence l'égalité des angles pour les rayons incident et réfléchi, 
mais comptés
à partir de la normale et ici, la normale à la surface n'est plus verticale :

normale

i

'

rayon
lumineux

On a bien  =  si l'on compte les angles à partir de la normale.
I.B Pour l'interface, le fluide en mouvement est contenu dans un volume de 
l'ordre
de S, et se déplace sur une distance de l'ordre de . L'énergie potentielle de 
pesanteur du fluide s'écrit donc
E z = µ S 2 g
On peut évaluer l'importance relative des forces de pesanteur en comparant cette
énergie avec celle des forces de tension superficielle :
Ez
µ S 2 g
=
 10-4
Ep
AS
Au vu de la petitesse du rapport, on estime que la forme et le mouvement de 
l'interface sont gouvernés par la tension de surface, et l'on pourra négliger 
les forces de
pesanteur.
I.C Dans cette analyse dimensionnelle, on note respectivement T, M, L, J les 
dimensions d'un temps, d'une masse, d'une longueur et d'une énergie.
[]2 = [A] [µ] [K]
T-2 = (J L-2 ) (M L-3 ) L-
T-2 = J L(-2-3-) M
Mais comme on peut le déduire de l'équation vue plus haut Ez = mgz : J = ML2 
T-2 ,
d'où
T-2 = T-2 L-3- M+
On déduit alors facilement  = 1,  = -1,  = 3, soit
s
A K3
 =
µ
  521 000 rad.s-1
ce qui donne une période de

T=

2
 1, 21 .10-5 s

I.D.1 Il n'y a pas de flux à travers les bords du récipient (paroi 
imperméable), donc
la composante orthogonale de la vitesse aux bords est nulle.

­ Pour y  {0, L}, vy =
= 0 conduit à 0 = 0 (c'est une conséquence de
y
l'invariance selon y).
­ Pour x  {0, L}, il vient

= 0 = -hm  f (z) cos(t) sin(Kx)
x
quel que soit t. Ce qui conduit à sin(KL) = 0 et
vx =

L=

m
K

avec m  N

I.D.2 L'équation de la surface libre s'écrit h(x, t) = hM sin(2t/T) cos(x/L) 
pour
m = 1 et h(x, t) = hM sin(2t/T) cos(2x/L) pour m = 2.
m =1

m =1

z
T/4

h

m =2
x

O

m =2
3T/4
L

Ces ondes sont stationnaires, alors que celles de la question I.C étaient 
progressives
(c'est-à-dire de la forme f (x - ct) + g(x + ct)).
On peut toujours exprimer les ondes stationnaires comme une combinaison
linéaire d'ondes propagatives. Sur notre exemple, en utilisant les formules de
trigonométrie élémentaire, on a :
h(x, t) = hM /2 (sin(t + Kx) + sin(t - Kx))
On convient d'appeler stationnaires les solutions de la forme f (x)g(t).
I.D.3 Le volume de liquide en mouvement est de l'ordre de L2  (il est dit que
l'essentiel du mouvement du liquide est localisé sur une épaisseur  ; les 
autres parties
du fluide auront une vitesse nulle et une énergie cinétique nulle également). 
On devra
donc considérer la masse µ L2  de liquide. La vitesse d'une particule de fluide 
est,
selon la forme du gradient des vitesses donné, de l'ordre de hM .
On a alors (à un préfacteur numérique près, sans intérêt pour les ordres de 
grandeurs)
Ec  µ L2  h2M 2