Centrale Physique 1 PC 2016

Thème de l'épreuve L'effet dynamo, origine du champ géomagnétique ?
Principaux outils utilisés magnétostatique, électromagnétisme dans les milieux conducteurs, induction
Mots clefs effet dynamo, magnétohydrodynamique, dynamo de Bullard, bobines de Helmholtz

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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S*
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b

kyRe

S?vbB[m2 R

G2z2i /vMKQ- Q`B;BM2 /m +?KT ;ûQK;MûiB[m2 \
G2b 7Q`KmH2b 2i /QMMû2b MmKû`B[m2b miBH2b bQMi 7Qm`MB2b 2M }M /ûMQM+û- pMi H2b 
MM2t2bX
*2 bmD2i- +QKTQ`iMi i`QBb T`iB2b H`;2K2Mi BM/ûT2M/Mi2b- T`QTQb2 /ûim/B2` H2b 
+QMbû[m2M+2b /m KQmp2K2Mi
/mM ~mB/2 +QM/m+i2m` ûH2+i`B[m2 2M T`ûb2M+2 /2 +?KT K;MûiB[m2X *2ii2 ûim/2 
TQ`i2 MQiKK2Mi bm` H2z2i
/vMKQ- [mB 2bi H?vTQi?b2 H THmb +`û/B#H2 ¨ +2 DQm` TQm` 2tTHB[m2` H T`ûb2M+2 /m 
+?KT K;MûiB[m2 i2``2bi`2X
LQmb HHQMb /Mb mM T`2KB2` i2KTb 2z2+im2` mM2 K2bm`2 /m +?KT K;MûiB[m2 
i2``2bi`2X 1MbmBi2- MQmb /Bb+mi2@
`QMb /2b /Bzû`2Mi2b ?vTQi?b2b ?BbiQ`B[m2b 2tTHB[mMi H T`ûb2M+2 /m +?KT 
K;MûiB[m2 i2``2bi`2- TQm` #QmiB`
¨ H i?ûQ`B2 /2 H2z2i /vMKQ- [m2 MQmb /ûp2HQTT2`QMb /2 KMB`2 [mHBiiBp2 2i 
[mMiBiiBp2X lM2 i`QBbBK2
T`iB2 T2`K2ii` 2M}M /ûi#HB` H2b `2HiBQMb /Bi2b 7QM/K2MiH2b /2 H 
K;MûiQ?v/`Q/vMKB[m2 U2M /mi`2b
i2`K2b , H /vMKB[m2 /2b ~mB/2b K;MûiB[m2bV bQmb +2`iBM2b ?vTQi?b2b 
bBKTHB}+i`B+2b 2i /2M /Bb+mi2` H2 b2Mb
T?vbB[m2X

A lM2 K2bm`2 /m +?KT ;ûQK;MûiB[m2
.Mb +2ii2 T`2KB`2 T`iB2- MQmb MQmb BMiû`2bbQMb ¨ H K2bm`2 /2 H +QKTQbMi2 
?Q`BxQMiH2 /m +?KT K;MûiB[m2
i2``2bi`2- /2 MQ`K2  - ;`+2 ¨ mM /BbTQbBiB7 /2 ivT2  #Q#BM2b /2 >2HK?QHix  [mB 
T2mi i`2 `ûHBbû 7+BH2K2Mi
p2+ /m Kiû`B2H +Qm`MiX
AX 
lM2 bTB`2 /2 `vQM - /t2  2i bBimû2 2M    2bi T`+Qm`m2 T` mM +Qm`Mi ûH2+i`B[m2 
+QMiBMm
   /QMi HKTHBim/2
/BMi2MbBiû X 1HH2 +`û2 2M mM TQBMi  /#b+Bbb2  /2 bQM t2 mM +?KT K;MûiB[m2 
b2tT`BK2 T`

UAXRV

§ HB/2 /mM b+?ûK- T`û+Bb2` H /B`2+iBQM /2 +2 +?KT K;MûiB[m2 2i /Bb+mi2` /2 bQM 
b2MbX 1M /û/mB`2 mM2
  bB H bTB`2 2bi Q`B2Miû2 TQbBiBp2K2Mi T` `TTQ`i ¨ Ht2 /2 H bTB`2- HmB@KK2 
Q`B2Miû
2tT`2bbBQM p2+iQ`B2HH2 
T`  X
   +`ûû 2M mM TQBMi  /#b+Bbb2  /2 Ht2 +QKKmM
AX" 
.ûi2`KBM2` HQ`b H2 +?KT K;MûiB[m2 
¨ /2mt #Q#BM2b /ûTBbb2m` Mû;HB;2#H2- +QKT`2MMi +?+mM2  bTB`2b- T`+Qm`m2b T` /2b 
+Qm`Mib /2 KK2
b2Mb 2i /2 KK2 BMi2MbBiû 2i bBimû2b `2bT2+iBp2K2Mi 2M    2i   X 6B`2 mM b+?ûK 
`2T`ûb2MiMi H2
bvbiK2X
AX* 
   2M 7QM+iBQM /2 - 2M 7BbMi
AX*XRV h`+2` [mHBiiBp2K2Mi HKTHBim/2   /m +?KT 
TT`Bi`2 H +QMi`B#miBQM /2 +?[m2 #Q#BM2X PM /BbiBM;m2` /Bzû`2Mib +b b2HQM [m2  
2bi THmb ;`M/ Qm THmb
T2iBi [mmM2 pH2m` +`BiB[m2  U[mQM M2 +?2`+?2` Tb ¨ /ûi2`KBM2`VX Zm2H 2bi 
HBMiû`i T`iB[m2 /m +b    \
AX*XkV § T`iB` /2 Hûim/2 /2 H +Qm`#2   2i /2 HQ#b2`piBQM /2 b2b TQBMib 
/BM~2tBQM- DmbiB}2` bMb
m+mM +H+mH [m2- TQm` +2ii2 pH2m` T`iB+mHB`2  /2 - H 7QM+iBQM   TmBbb2 i`2 
+QMbB/û`û2 +QKK2
+QMbiMi2 ¨ HQ`/`2 j m pQBbBM;2 /2 yX PM M2 +?2`+?2` Tb ¨ +H+mH2`  - KBb 
mMB[m2K2Mi ¨ /û+`B`2 H2b
p`BiBQMb /2   m pQBbBM;2 /2 y TQm`    X
AX. 
PM TQbBiBQMM2 H2b #Q#BM2b /2 7ÏQM ¨ +2 [m2     X 1M   - QM TH+2 mM2 T2iBi2 
#QmbbQH2
+QMbiBimû2 /mM2 B;mBHH2 BKMiû2 bmb+2TiB#H2 /2 iQm`M2` HB#`2K2Mi miQm` /mM t2 
p2`iB+H TbbMi T` bQM
KBHB2mX G MQ`K2 /m KQK2Mi K;MûiB[m2 /2 +2ii2 B;mBHH2 2bi MQiû2  2i QM MQi2  bQM 
KQK2Mi /BM2`iB2 T`
`TTQ`i ¨ bQM t2 /2 `QiiBQMX
Gt2 /2b #Q#BM2b 2bi HB;Mû p2+ H2b HB;M2b /2 +?KT /2 H +QKTQbMi2 ?Q`BxQMiH2 /m 
+?KT K;MûiB[m2
i2``2bi`2 /2 i2HH2 bQ`i2 [m2M   - HKTHBim/2  /m +?KT K;MûiB[m2 iQiH bû+`Bi      
  X
 THQM;û /Mb mM +?KT K;MûiB[m2
G2 KQK2Mi  /m +QmTH2 bm#Bi T` mM /BTH2 K;MûiB[m2 /2 KQK2Mi 

2tiû`B2m` mMB7Q`K2  2bi /QMMû T`      X S`û+Bb2` H TQbBiBQM bi#H2 /2 HB;mBHH2X
AX1 
PM TT2HH2  H Tû`BQ/2 /2b T2iBi2b Qb+BHHiBQMb /2 HB;mBHH2 T` `TTQ`i ¨ b TQbBiBQM 
/û[mBHB#`2X
JQMi`2` [m2  T2mi b2tT`BK2` 2M 7QM+iBQM /2  -  2i  X PM DmbiB}2` H2b /Bzû`2Mi2b 
?vTQi?b2b bBKTHB}+i`B+2bX
AX6 
PM TT2HH2  H Tû`BQ/2 /2b T2iBi2b Qb+BHHiBQMb /2 HB;mBHH2 HQ`b[m2 H2 b2Mb /m 
+Qm`Mi /Mb H2b #Q#BM2b
2bi BMp2`bû T` `TTQ`i ¨ H [m2biBQM T`û+û/2Mi2X 1tT`BK2`  2M 7QM+iBQM /2   X 
S`û+Bb2` HBMiû`i /2 H
Kûi?Q/2X
kyRe@yk@k3 ky,ke,R3

S;2 RfRR

AA Lû+2bbBiû /mM Kû+MBbK2 /2Mi`2iB2M /m +?KT ;ûQK;MûiB[m2 ,
H2z2i /vMKQ
AAX 

GBKBi2b /2b 2tTHB+iBQMb ?BbiQ`B[m2b

AAXXRV .b H2 tpBB2 bB+H2- BH  ûiû BK;BMû [mmM2 bQ`i2 /2 bmT2` BKMi T2`KM2Mi 
bQBi m +2Mi`2 /2 H h2``2
2i +`û2 H2 +?KT ;ûQK;MûiB[m2X
§ HB/2 /2b /QMMû2b 2i /2b i2ti2b /2 HMM2t2 R- /QMM2` m KQBMb /2mt `;mK2Mib [mB 
T2`K2ii2Mi /2 `û7mi2`
+2ii2 ?vTQi?b2X
AAXXkV 1M RN9d- Si`B+F "H+F2ii UHm`ûi /m T`Bt LQ#2H /2 T?vbB[m2 2M RN93V 
T`QTQb2 [m2  iQmi +Q`Tb +ûH2bi2
TQbb/2 mM KQK2Mi K;MûiB[m2 T`QTQ`iBQMM2H ¨ bQM KQK2Mi +BMûiB[m2 X *2bi H2z2i 
"H+F2iiX
V Zm2HH2 2MiBiû +QMMBbb2x@pQmb [mB TQbb/2 mM2 i2HH2 T`QT`Bûiû \ .ûp2HQTT2` 2M 
[m2H[m2b HB;M2b H2 HB2M 2Mi`2
KQK2Mi +BMûiB[m2 2i KQK2Mi K;MûiB[m2 TQm` +2ii2 2MiBiûX S`û+Bb2` MQiKK2Mi H2 
7+i2m` /2 T`QTQ`iBQMMHBiûX
 /mM iQK2 /2 MmKû`Q iQKB[m2  iQm`MMi bm` HmB KK2 ¨ H pBi2bb2
#V .ûi2`KBM2` H2 KQK2Mi K;MûiB[m2 
M;mHB`2    /Mb H?vTQi?b2 Q b2b ûH2+i`QMb bQMi `ûT`iBb mMB7Q`KûK2Mi /Mb mM2 
#QmH2 /2 `vQM 
miQm` /m MQvm bmTTQbû TQM+im2HX

PM /QMM2  TJO  E  X

+V S2mi@QM TTHB[m2` +2 KQ/H2 ¨ H h2``2 \ S`û+Bb2` [m2H ûHûK2Mi /2 HMM2t2 R 
T2`K2i /2 `û7mi2` û;H2K2Mi
+2ii2 ?vTQi?b2X
"H+F2ii HmB@KK2 `û7mi b i?ûQ`B2 2M RN8yX
AAX"  G2z2i /vMKQ
Gû+?2+ /2b i?ûQ`B2b T`û+û/2Mi2b KM2 ¨ T2Mb2` [m2 H2 +?KT K;MûiB[m2 /2 H h2``2 
`ûbmHi2 /mM T`Q+2bbmb /2
`û;ûMû`iBQM +QMiBMm2HH2 bbQ+Bû ¨ /2b +Qm`Mib ûH2+i`B[m2bX G2 #mi /2 +2ii2 T`iB2 
2bi /2 /û+`B`2 H2z2i /vMKQ2z2i 2tTHB[mMi H2 +?KT K;MûiB[m2 i2``2bi`2 2i T`QTQbû 
/b RNRN T` CQb2T? G`KQ`X
G2 MQvm 2ti2`M2 /2 H h2``2 2bi ¨ H 7QBb KûiHHB[m2- /QM+ +QM/m+i2m` U/2 
+QM/m+iBpBiû ûH2+i`B[m2 V- 2i HB[mB/2X
BMbB +2 HB[mB/2 T2mi i`2 MBKû /2 KQmp2K2Mib , QM TT2HH2`   bQM +?KT /2 pBi2bb2 
T` `TTQ`i ¨ mM `û7û`2MiB2H
 HBû ¨ H h2``2 c BH T2mi i`2 H2 bB;2 /2 +Qm`Mib- /û+`Bib T` H /2MbBiû /2 +Qm`Mi 
X G +QMDQM+iBQM /2 +2b /2mt
T`QT`Bûiûb T2`K2i /2tTHB[m2` HQ`B;BM2 /m +?KT K;MûiB[m2 i2``2bi`2X
AAX"XRV lM2 T`iB+mH2  /2 +2 ~mB/2 +QM/m+i2m` b2 /ûTH+2 ¨ H pBi2bb2     /Mb H2 
`û7û`2MiB2H X .Mb bQM
`û7û`2MiB2H T`QT`2  U[mB 2bi T` /û}MBiBQM mM `û7û`2MiB2H b2 /ûTHÏMi ¨ H pBi2bb2 
       T` `TTQ`i ¨ V    X PM bmTTQb2 [m2
    2i K;MûiB[m2 
+2ii2 T`iB+mH2 /2 ~mB/2 2bi bQmKBb2 ¨ /2b +?KTb ûH2+i`B[m2 
/Mb H2 `û7û`2MiB2H  - H HQB /P?K HQ+H2 bTTHB[m2 ¨ H T`iB+mH2 /2 ~mB/2  - 
BKKQ#BH2 /Mb  - /2 bQ`i2 [m2

  X
    mt[m2Hb 2bi bQmKBb2
  2M 7QM+iBQM /2   2i /2b +?KTb ûH2+i`B[m2 
    2i K;MûiB[m2 
V 1tT`BK2` 
H T`iB+mH2 /2 ~mB/2  /Mb H2 `û7û`2MiB2H - /Mb H?vTQi?b2 /2 KQmp2K2Mib MQM 
`2HiBpBbi2b U  VX PM
TQm`` miBHBb2` HBMp`BM+2 /2 H 7Q`+2 /2 GQ`2Mix T` +?M;2K2Mi /2 `û7û`2MiB2HX
#V Zm2HH2 `2HiBQM 2tBbi2@i@BH 2Mi`2 
 2i H /2MbBiû /2 +Qm`Mi   K2bm`û2 /Mb - bB QM +QMbB/`2 [m2 H2 ~mB/2
M2bi Tb +?`;ûX
 
     X
+V 1M /û/mB`2 [m2 H `2HiBQM i`/mBbMi H HQB /P?K HQ+H2 /Mb  bû+`Bi ,     
  /Mb  BM/mBi /QM+ mM +?KT ûH2+i`B[m2 +QKTHûK2MiB`2 
 
      G2tBbi2M+2 /mM +?KT K;MûiB[m2 
TT2Hû +?KT ûH2+i`QKQi2m`X
.Mb H bmBi2 QM b2 TH+2` iQmDQm`b /Mb H2 `û7û`2MiB2H X
  X AH TT`Bi /QM+ 2M  mM +?KT
AAX"XkV G2 ~mB/2 +QM/m+i2m` 2bi bQmKBb ¨ mM +?KT K;MûiB[m2 2tiû`B2m` 
  BM/mBi T` H2 +?KT 
  X
      
ûH2+i`QKQi2m` 
V CmbiB}2`- ¨ HB/2 /mM2 û[miBQM /2 Jtr2HH- [m2 +2 +?KT ûH2+i`QKQi2m` 2bi ¨ bQM 
iQm` H bQm`+2 /mM
  X
+?KT K;MûiB[m2 BM/mBi 
#V 1M BMi`Q/mBbMi mM2 HQM;m2m` +`+iû`BbiB[m2  /2 Hû+QmH2K2Mi- mM2 pBi2bb2 
+`+iû`BbiB[m2  /2 Hû+QmH2K2Mi
2i 2M miBHBbMi H2b HQBb /2 HûH2+i`QK;MûiBbK2- KQMi`2` [m2 HKTHBim/2 /2 +2 +?KT 
2bi T`QTQ`iBQMM2HH2 ¨ +2HH2
  X PM MQi2`  H2 +Q2{+B2Mi /2 T`QTQ`iBQMMHBiûX
/2 
+V S`û+Bb2` H2tT`2bbBQM /2  2M 7QM+iBQM /2 -  2i /2      X Zm2 +`+iû`Bb2 +2 
+Q2{+B2Mi  \
*QKK2Mi2` H p`BiBQM /2  p2+ X
  bQMi i2HH2b [m2 
  b2 bmT2`TQb2
AAX"XjV .Mb H2 +b T`iB+mHB2` Q H2b ;ûQKûi`B2b /m +QM/m+i2m`- /2   2i /2 
  - BH 2bi TQbbB#H2 /û+`B`2
¨

Q  `2T`ûb2Mi2 mM 7+i2m` ;ûQKûi`B[m2 /BK2MbBQMMûX
kyRe@yk@k3 ky,ke,R3

S;2 kfRR

UAAXRV

  +`û2 /QM+ mM +?KT ûH2+i`QKQi2m` 
  X
  [mB 2M;2M/`2 ¨ bQM iQm` mM +?KT K;MûiB[m2 
V G2 +?KT 
  2M 7QM+iBQM /2 
  - TmBb /2 
  X
*H+mH2` H2 +?KT 
  2M 7QM+iBQM /2 
  #V 1M TQm`bmBpMi +2 `BbQMM2K2Mi- /ûi2`KBM2` H2tT`2bbBQM /m +?KT K;MûiB[m2 
iQiH 
 2i X
+V 1M bTTmvMi bm` mM2 MHQ;B2 p2+ H2 7QM+iBQMM2K2Mi /mM Hb2`- KQMi`2` [mBH 
2tBbi2 HQ`b mM2 +QM/BiBQM
/BMbi#BHBiû U/Bi2 BMbi#BHBiû /vMKQV 2i +QM+Hm`2 bm` H TQbbB#BHBiû /2tBbi2M+2 
/mM +?KT K;MûiB[m2 K+`Q@
b+QTB[m2 bTQMiMû /Mb mM +QM/m+i2m` 2M KQmp2K2Mi b2HQM mM2 +QM/BiBQM bm`  [m2 
HQM /Bb+mi2`X
AAX*  úim/2 /mM2 /vMKQ ¨ +Qm`Mi 2i KQmp2K2Mi +QMi`BMib , H /vMKQ /2 "mHH`/
AH b;Bi ¨ T`ûb2Mi /2 i`Qmp2` /2b bvbiK2b +QM+`2ib +T#H2b /2 /ûp2HQTT2` 
HBMbi#BHBiû /vMKQX GQ#i2MiBQM /m
#Qm+H;2 K;MûiB[m2 ûi#HB ¨ H [m2biBQM AAX"Xj 2bi bQmKBb2 ¨ /2b +QM/BiBQMb 
;ûQKûi`B[m2b bm` H2 +QM/m+i2m`
2i bm` H2b +Qm`Mib BM/mBib /Mb H2 +QM/m+i2m`X G /ûi2`KBMiBQM /mM bvbiK2 mt 
;ûQKûi`B2b 7pQ`#H2b m
/ûp2HQTT2K2Mi /2 HBMbi#BHBiû K;MûiB[m2 M2bi Tb mM2 i+?2 bBKTH2X AH M2tBbi2 Tb 
/2 +QM/BiBQM bm{bMi2
T2`K2iiMi /Q#i2MB` HBMbi#BHBiû K;MûiB[m2X AH 2tBbi2 2M `2pM+?2 /2b +QM/BiBQMb 
BM+QKTiB#H2b p2+ HmiQ
2Mi`2iB2M /mM +?KT K;MûiB[m2 T` 2z2i /vMKQ [mQM TT2HH2 +QM/BiBQMb  MiB@/vMKQ X 
1HH2b b2 `ûbmK2Mi
;ûMû`H2K2Mi BMbB , mM bvbiK2 /vMKQ TQbb/2 Mû+2bbB`2K2Mi mM 7B#H2 MQK#`2 
/ûHûK2Mib /2 bvKûi`B2X
aQBi mM2 `Qm2 /t2  - /2 KQK2Mi /BM2`iB2  T` `TTQ`i ¨ +2i t2- 2M `QiiBQM ¨ H 
pBi2bb2 
   THQM;û2
     X lM }H ûH2+i`B[m2- 2M +QMi+i T`7Bi 2Mi`2 H2ti`ûKBiû /2 H `Qm2 2i bQM
/Mb mM +?KT K;MûiB[m2 
t2- T2`K2i /2 +`û2` mM +B`+mBi 72`Kû TbbMi T` Ht2 /2 H `Qm2X PM T`QTQb2 H2b 
/2mt ;ûQKûi`B2b /2 H };m`2 R
TQm` H2 }HX
:ûQKûi`B2 "

:ûQKûi`B2 

6B;m`2 R

.vMKQ ¨ +Qm`Mi 2i KQmp2K2Mi +QMi`BMib

  +`ûû T`
AAX*XRV SQm` +?+mM2 /2b /2mt ;ûQKûi`B2b T`QTQbû2b- T`û+Bb2` H /B`2+iBQM /m +?KT 
K;MûiB[m2 
H2 +Qm`Mi ûH2+i`B[m2 BM/mBi /Mb H2 +B`+mBi }HB7Q`K2 U/BMi2MbBiû  VX 1M /û/mB`2 
[m2 b2mH2 H ;ûQKûi`B2 " 2bi
T`QTB+2 ¨ mM 2z2i /vMKQX
.Mb H bmBi2- QM ûim/B2 H ;ûQKûi`B2 "X PM p /Mb mM T`2KB2` i2KTb T`Q+û/2` T` 
Biû`iBQM /m T`Q+2bbmb
/BM/m+iBQM TQm` /ûi2`KBM2` H +QM/BiBQM /vMKQ /2 +2 /BbTQbBiB7X PM +QMbB/`2 /QM+ 
H2 HB2M bmBpMi 2Mi`2 H2b
/Bzû`2Mi2b ;`M/2m`b ,           
  +`ûû T` H bTB`2 +B`+mHB`2 T`+Qm`m2 T` H2 +Qm`Mi /BMi2MbBiû  - `ûbmHiMi
AAX*XkV PM bBMiû`2bb2 m +?KT 
  X PM MQi2  H2 `vQM /m /Bb[m2-  +2HmB /2 H bTB`2 2i  H
/2 HBM/m+iBQM /m2 m KQmp2K2Mi /m /Bb[m2 /Mb 
/BbiM+2 2Mi`2 H2 /Bb[m2 2i H bTB`2 b2HQM Ht2  X .Mb H?vTQi?b2 Q     - DmbiB}2` 
[m2 TQm` mM TQBMi
  TmBbb2 /û+`B`2 bQmb H 7Q`K2 bBKTHB}û2
 TT`i2MMi m /Bb[m2- H2 +?KT 

UAAXkV

AAX*XjV
  bm`
V PM TT2HH2  H2 +Q2{+B2Mi /2 Kmim2HH2 BM/m+iBQM 2Mi`2 H bTB`2 2i H2 /Bb[m2- i2H 
[m2 H2 ~mt /m +?KT 
H2 /Bb[m2- Q`B2Miû b2HQM  - bû+`Bp2

UAAXjV

1M +QMbB/û`Mi b2mH2K2Mi  - mM2 7Q`+2 ûH2+i`QKQi`B+2 /BM/m+iBQM- MQiû2  - TT`Bi 
2Mi`2 H2 +2Mi`2 /m /Bb[m2 2i
bQM 2ti`ûKBiû 2M +QMi+i p2+ H2 }HX *2ii2 7Q`+2 ûH2+i`QKQi`B+2  2bi û;H2 ¨ H 
+B`+mHiBQM /m +?KT ûH2+i`QKQi2m`
  - Q   /ûbB;M2 H pBi2bb2 /mM TQBMi /m /Bb[m2- 2i b2 +H+mH2 /QM+ T`

kyRe@yk@k3 ky,ke,R3

S;2 jfRR

   E    

UAAX9V

1tT`BK2`  2M 7QM+iBQM /2  2i  X PM MQi2  H `ûbBbiM+2 iQiH2 /m +B`+mBiX JQMi`2` 
[m2M `û;BK2 biiBQMMB`2

UAAX8V

#V 1M /û/mB`2 H +QM/BiBQM [mB T2`K2i /2 /ûK``2` H2z2i /vMKQ /Mb H2 /BbTQbBiB7 
UQM TQm`` miBHBb2` H2 `ûbmHii
/2 H [m2biBQM AAX"XjVX
.Mb H2b [m2biBQMb bmBpMi2b- QM bmTTQb2 [mBH M2tBbi2 THmb /2 +?KT K;MûiB[m2 
2tiû`B2m` mi`2 [m2 +2HmB
   X SHmii [m2 T` Biû`iBQM- QM `BbQMM2`
ûp2Mim2HH2K2Mi miQ@2Mi`2i2Mm T` H /vMKQ- +2bi@¨@/B`2 [m2 
    2tBbiMi /Mb H2 /Bb[m2X
bm` H2 +?KT iQiH 
  UQM
AAX*X9V .ûi2`KBM2` H2tT`2bbBQM /2 H 7Q`+2 ûH2+i`QKQi`B+2 iQiH2 /BM/m+iBQM   2M 
7QM+iBQM /m +?KT 
TQm`` 2z2+im2` mM2 MHQ;B2 p2+ HQ#i2MiBQM /2 H 7Q`KmH2 AAX9V TmBb 2M 7QM+iBQM /m 
+Qm`Mi BM/mBi iQiH   X
AAX*X8V PM TT2HH2  H2 +Q2{+B2Mi /miQ@BM/m+iBQM /2 H bTB`2X _2T`ûb2Mi2` H2 b+?ûK 
ûH2+i`B[m2 û[mBpH2Mi
m /BbTQbBiB7 2i 2M /û/mB`2 Hû[miBQM /Bzû`2MiB2HH2 `û;BbbMi HûpQHmiBQM /2   X 
_2i`Qmp2` H +QM/BiBQM ûi#HB2 ¨
H [m2biBQM AAX*Xj TQm` /ûK``2` H2z2i /vMKQX
AAX*XeV Zm2H 2z2i M Tb ûiû +QMbB/û`û /Mb H2b [m2biBQMb T`û+û/2Mi2b \

AAX*XdV 1M +QMbB/û`Mi [m2 H2 /Bb[m2 2bi 2Mi`BMû 2M `QiiBQM T` mM +QmTH2 KQi2m` 
+QMbiMi  2i [m2 b
pBi2bb2 M;mHB`2 /2 `QiiBQM /ûT2M/ /m i2KTb U    V- ûi#HB` Hû[miBQM 
/Bzû`2MiB2HH2 /Bi2  Kû+MB[m2 
/m bvbiK2 2i KQMi`2` [m2 H2b p`B#H2b   2i   bQMi `2HBû2b T` H2 bvbiK2 /û[miBQMb 
/Bzû`2MiB2HH2b MQM
HBMûB`2b
E

  E    

E

  E      

UAAXeV

AAX*X3V .ûi2`KBM2` H2b 2tT`2bbBQMb /2  2i  2M `û;BK2 biiBQMMB`2X

AAX*XNV § T`iB` /2b û[miBQMb AAXe- 7B`2 mM #BHM ûM2`;ûiB[m2 /2 H /vMKQ 2Mi`2 
H2b BMbiMib  2i  EX
S`û+Bb2` H bB;MB}+iBQM T?vbB[m2 /2b /Bzû`2Mib i2`K2b TT`BbbMi /Mb H2 #BHMX
AAX*XRyV Zm2 /2pB2Mi H2 #BHM ûM2`;ûiB[m2 2M `û;BK2 biiBQMMB`2 \ Zm2HH2 
T`QT`Bûiû 2bb2MiB2HH2 /2 H2z2i /vMKQ
2bi KBb2 2M pMi B+B \
AAX*XRRV .Bb+mi2` /2 H2tBbi2M+2 ûp2Mim2HH2 /2 THmbB2m`b bQHmiBQMb biiBQMMB`2b m 
bvbiK2 AAXe 2i /m HB2M p2+
H2b Q#b2`piBQMb +QM+2`MMi H2 +?KT K;MûiB[m2 i2``2bi`2X
AAX. 

G2tTû`B2M+2 oEak U1La GvQM- *+?M 2i *1 a+Hv- */`+?2V

G2b [m2biBQMb /2 +2ii2 T`iB2 bQMi iQmi2b 2M HB2M p2+ H`iB+H2 /2 HMM2t2 k ,  
G2tTû`B2M+2 oEak- Q#b2`piBQM
/mM2 /vMKQ im`#mH2Mi2 2i /2b `2Mp2`b2K2Mib 2``iB[m2b /m +?KT K;MûiB[m2 X
AAX.XRV CmbiB}2` HmiBHBbiBQM /m bQ/BmK +QKK2 ~mB/2X § [m2Hb T`Q#HK2b /2 
bû+m`Biû 7Bi `û7û`2M+2 H2 i2ti2
p2+ HmiBHBbiBQM /m bQ/BmK \
AAX.XkV Zm2HH2UbV +`+iû`BbiB[m2UbV /m +?KT K;MûiB[m2 i2``2bi`2 bQMi KBb2b 2M 
ûpB/2M+2 T` H2tTû`B2M+2
oEak \
AAX.XjV 1biBK2` HQ`/`2 /2 ;`M/2m` /m MQK#`2 /2 _2vMQH/b TQm` Hû+QmH2K2Mi 
/û+`BiX G2 +QKT`2` ¨ H pH2m`
/QMMû2 /Mb H2 i2ti2X
AAX.X9V JQMi`2` [m2 H2 MQK#`2 /2 _2vMQH/b K;MûiB[m2 /û}MB /Mb H2M+/`û 2M }M 
/`iB+H2 /2 HMM2t2 k 2bi
T`û+BbûK2Mi H2 7+i2m`  BMi`Q/mBi ¨ H [m2biBQM AAX"XkX

AAA _2HiBQMb 7QM/K2MiH2b /2 H K;MûiQ?v/`Q/vMKB[m2
LQmb MQmb BMiû`2bbQMb B+B m Kû+MBbK2 /BM/m+iBQM b2 T`Q/mBbMi /Mb mM ~mB/2 
+QM/m+i2m` Ui2H mM KûiH
HB[mB/2V /2 +QM/m+iBpBiû ûH2+i`B[m2  2i /2 T2`Kû#BHBiû K;MûiB[m2  X G2 ~mB/2 
2bi +QMbB/û`û +QKK2 M2riQMB2M
2i bQM û+QmH2K2Mi 2bi /û+`Bi T` H2 +?KT /2b pBi2bb2b   bmTTQbû MQM `2HiBpBbi2X 
LQmb MQmb T`QTQbQMb /ûi#HB`
H2b `2HiBQMb ûH2+i`QK;MûiB[m2b 7QM/K2MiH2b /2 H K;MûiQ?v/`Q/vMKB[m2 /Mb mM i2H 
KBHB2mX
AAAX  ú+`B`2 H2b û[miBQMb /2 Jtr2HH /Mb H2 KBHB2m T`QTQbû- 2M MQiMi  H /2MbBiû 
pQHmKB[m2 /2 +?`;2 2i
  H /2MbBiû pQHmKB[m2 /2 +Qm`MiX aBKTHB}2` Hû[miBQM /2 Jtr2HH@KT`2 2M KQMi`Mi- 
T` mM +H+mH /Q`/`2

2bi Mû;HB;2#H2 /2pMi H2b /2mt mi`2b
/2 ;`M/2m`- [m2 H +QMi`B#miBQM /m +Qm`Mi /2 /ûTH+2K2Mi   

i2`K2b /2 +2ii2 û[miBQM- /Mb H?vTQi?b2 /mM û+QmH2K2Mi MQM `2HiBpBbi2X
LQmb MQmb TH+2`QMb /ûbQ`KBb /Mb H2 +/`2 /2 +2ii2 TT`QtBKiBQMX
kyRe@yk@k3 ky,ke,R3

S;2 9fRR

AAAX"  PM `TT2HH2 [m2 H HQB /P?K HQ+H2 TQm` mM KBHB2m +QM/m+i2m` 2M KQmp2K2Mi- 
/2 pBi2bb2 - bû+`Bi

AAAX"XRV G +QMb2`piBQM /2 H +?`;2 ûH2+i`B[m2 2Mi`BM2 [m2 H2b /2MbBiûb /2 +?`;2  
2i /2 +Qm`Mi   bQMi

 X 1M /û/mB`2 H HQB /ûpQHmiBQM /2 H /2MbBiû /2 +?`;2 /Mb H2 KBHB2m
`2HBû2b T` Hû[miBQM HQ+H2 EJW  

+QM/m+i2m`X
AAAX"XkV S`û+Bb2` HûpQHmiBQM /2  TQm` mM +QM/m+i2m` m `2TQbX *H+mH2` H +QMbiMi2 
/2 i2KTb +`+iû`BbiB[m2
/2 +2ii2 ûpQHmiBQM TQm` H2 +mBp`2X *QKK2Mi2`X
AAAX"XjV SQm` mM +QM/m+i2m` 2M KQmp2K2Mi- /QMM2` H2tT`2bbBQM /2 H /2MbBiû /2 
+?`;2 2M `û;BK2 biiBQMMB`2
2i 2tTHB[m2` TQm`[mQB H T`ûb2M+2 /mM2 /2MbBiû pQHmKB[m2 /2 +?`;2 MQM MmHH2 2bi 
Mû+2bbB`2X
.QMM2` mM Q`/`2 /2 ;`M/2m` /2  TQm` H2tTû`B2M+2 oEak 2i +QKT`2` ¨ H /2MbBiû /2 
+?`;2b HB#`2b /Mb H2
bQ/BmKX
AAAX*  1tTHB+Bi2` H /Bp2`;2M+2 /2   2i 2M /û/mB`2- 2M `û;BK2 biiBQMMB`2- mM2 
û[miBQM HBMi H2 TQi2MiB2H
b+HB`2  2i H /2MbBiû pQHmKB[m2 /2 +?`;2  X
PM bmTTQb2` [m2 +2ii2 û[miBQM `2bi2 pH#H2 2M `û;BK2 MQM biiBQMMB`2X
  /Bi2 û[miBQM /BM/m+iBQM- bû+`Bi
AAAX.  JQMi`2` [m2 Hû[miBQM /Bzû`2MiB2HH2 `û;BbbMi HûpQHmiBQM /2   

 SPU    

  2bi H bQKK2 /2 /2mt i2`K2b , mM i2`K2 /BM/m+iBQM 2i mM i2`K2 /2
1M /û/mB`2 [m2 HûpQHmiBQM i2KTQ`2HH2 /2 
/BzmbBQM [m2 HQM +QKK2Mi2`X *QKK2Mi TQm``Bi@QM MQKK2`  \
AAAX1  PM +QMbB/`2 [m2 Hû+QmH2K2Mi +QM/m+i2m` Q++mT2 mM pQHmK2  /ûHBKBiû T` mM2 
bm`7+2  2i [m2M
  2bi MmHVX
/2?Q`b /2  - H2 ~mB/2 2bi m `2TQb U+2bi@¨@/B`2 [m¨ HBM}MB- 
PM +?2`+?2 ¨ BMi2`T`ûi2` ûM2`;ûiB[m2K2Mi Hû[miBQM /BM/m+iBQMX SQm` +2H- QM 
KmHiBTHB2 +2ii2 û[miBQM- m
b2Mb /m T`Q/mBi b+HB`2- T` mM2 ;`M/2m` #B2M +?QBbB2 pMi /2 bQKK2` bm` iQmi 
H2bT+2X JQMi`2` HQ`b [m2
H p`BiBQM i2KTQ`2HH2 /ûM2`;B2 K;MûiB[m2 7Bi BMi2`p2MB` H +QMi`B#miBQM /mM i2`K2 
/BM/m+iBQM [m2 HQM M2
+?2`+?2` Tb ¨ 2tTHB+Bi2` /pMi;2 2i /mM i2`K2 /BzmbB7 /QMi QM KQMi`2` [mBH 
+Q``2bTQM/ ¨ mM i2`K2 /2
T2`i2 T` 2z2i CQmH2 UQM H2tT`BK2` ¨ HB/2 /2   2i QM +QKK2Mi2` bQM bB;M2VX
  \ 1M
AAAX6  § [m2HH2 +QM/BiBQM Hû[miBQM /BM/m+iBQM /2pB2Mi@2HH2 mM2 û[miBQM /2 
/BzmbBQM TQm` H2 +?KT 

bmTTQbMi [mBH Mv  Tb /2 +?KT BKTQbû mt HBKBi2b- +QKK2Mi ûpQHm2 Mû+2bbB`2K2Mi  \ 
S`û+Bb2` H2 i2KTb
+`+iû`BbiB[m2 /2 +2ii2 ûpQHmiBQM 2i 2biBK2` bQM Q`/`2 /2 ;`M/2m` /Mb H2 +b /m 
MQvm i2``2bi`2 U+QM/m+iBpBiû
ûH2+i`B[m2 /m MQvm ,       4N VX *QM+Hm`2X
AAAX:  S` MHQ;B2 ¨ H Kû+MB[m2 /2b ~mB/2b- /û}MB` mM MQK#`2 +`+iû`BbiB[m2 /2 
HBM/m+iBQM K;MûiB[m2
/Mb mM ~mB/2 +QM/m+i2m`- MQiû  - +QKK2 ûiMi H2 `TTQ`i 2M Q`/`2 /2 ;`M/2m` /2 
/2mt i2`K2b Mi;QMBbi2b
/2 Hû[miBQM /BM/m+iBQMX *QKK2Mi2`X

.QMMû2b MmKû`B[m2b
S2`Kû#BHBiû K;MûiB[m2 /m pB/2

     )N

S2`KBiiBpBiû /m pB/2

      'N

*?`;2 ûHûK2MiB`2

      $

*QMbiMi2 /2b ;x T`7Bib

    +, NPM

*QMbiMi2 /pQ;/`Q

      NPM

*QMbiMi2 /2 "QHixKMM

      +,

*QM/m+iBpBiû /m +mBp`2 U¨ ky ê*V

      4N

*QM/m+iBpBiû /m bQ/BmK U¨ Ryy ê*V

      4N

oBb+QbBiû /vMKB[m2 /m bQ/BmK

     1BT

Jbb2 pQHmKB[m2 /m bQ/BmK

   LHN

Jbb2 KQHB`2 /m bQ/BmK

    H-

G2 ;mbb U:V 2bi mM2 mMBiû /2 +?KT K;MûiB[m2 i2HH2 [m2  (   5X

kyRe@yk@k3 ky,ke,R3

S;2 8fRR

6Q`KmHB`2
     m pQBbBM;2 /2   

   SPU

EJW   
SPU 

 EJW 

  EJW 

SPU 
HSBE 
HSBE 

    HSBE
   
SPU 

HSBE 

SPU 
SPU 
HSBE EJW 

SPU 
HSBE   

  E    
  EX
h?ûQ`K2 /2 aiQF2b ,  
SPU 

  EX
  E   
h?ûQ`K2 /2 :`22M@Pbi`Q;`/bFB Ui?ûQ`K2 /2 ~mt@/Bp2`;2M+2V ,  EJW 

JQK2Mi /BM2`iB2 /mM2 #QmH2 ?QKQ;M2 /2 Kbb2  2i /2 `vQM  T` `TTQ`i ¨ mM t2 TbbMi 
T` bQM +2Mi`2

r r r 6AL r r r

S;2 efRR

kyRe@yk@k3 ky,ke,R3

MM2t2 R  G2 MQvm i2``2bi`2 , mM BKMi T2`KM2Mi \
.T`b qBFBT2/B

LQvm i2``2bi`2
G2 MQvm 2ti2`M2 HB[mB/2 2bb2MiB2HH2K2Mi +QKTQbû /2 72` ¨ 3y@38W- THmb 2MpB`QM 
Ry@RkW
/mM ûHûK2Mi Hû;2` MQM 2M+Q`2 /ûi2`KBMû T`KB H2 bQm7`2- HQtv;M2 2i H2 bBHB+BmK- 
2i 2M}M /2
HQ`/`2 /2 8W /2 MB+F2HX a pBb+QbBiû 2bi 2biBKû2 ¨ /2 R ¨ Ryy 7QBb +2HH2 /2 H2m- 
b i2KTû`im`2
KQv2MM2 ii2BMi 9yyy ê* 2i b /2MbBiû RyX *2ii2 ûMQ`K2 [mMiBiû /2 KûiH 2M 7mbBQM 
2bi
#`bbû2 T` +QMp2+iBQM- 2bb2MiB2HH2K2Mi /2 Mim`2 i?2`KB[m2 U`27`QB/Bbb2K2Mi 
bû+mHB`2 /2 H
THMi2V- 2i TQm` mM2 THmb 7B#H2 T`iB2 /2 Mim`2 +QKTQbBiBQMM2HH2 UbûT`iBQM- 
/ûKBtiBQM
/2b T?b2bVX
G2 MQvm BMi2`M2 bQHB/2 Uû;H2K2Mi TT2Hû  ;`BM2 V 2bb2MiB2HH2K2Mi KûiHHB[m2 
UHHB;2 /2
72` 2i /2 MB+F2H T`BM+BTH2K2Mi- 2M T`QTQ`iBQMb 2MpB`QM 3yW@kyWV +QMbiBimû T` 
+`BbiHHBbiBQM
T`Q;`2bbBp2 /m MQvm 2ti2`M2X G T`2bbBQM- [mB 2bi /2 j-8 KBHHBQMb /2 #`b Uj8y 
:SV- H2
KBMiB2Mi /Mb mM ûii bQHB/2 KH;`û mM2 i2KTû`im`2 bmTû`B2m`2 ¨ eyyy ê* 2i mM2 
/2MbBiû
/2MpB`QM RjX

BKMi T2`KM2Mi
lM BKMi T2`KM2Mi Qm BKMi /Mb H2 HM;;2 +Qm`Mi- 2bi mM Q#D2i 7#`B[mû /Mb mM
Kiû`Bm K;MûiB[m2 /m`- +2bi@¨@/B`2 /QMi H2 +?KT `ûKM2Mi 2i H2t+BiiBQM +Q2`+BiBp2 
bQMi
;`M/bX *2H HmB /QMM2 /2b T`QT`Bûiûb T`iB+mHB`2b HBû2b ¨ H2tBbi2M+2 /m +?KT 
K;MûiB[m2+QKK2 +2HH2 /2t2`+2` mM2 7Q`+2 /ii`+iBQM bm` iQmi Kiû`Bm 
72``QK;MûiB[m2X G2b TH2b
K;MûiB[m2b bQMi MQKKûb  MQ`/  2i  bm/  2M 7QM+iBQM /2b TH2b ;ûQ;`T?B[m2b 
i2``2bi`2
p2`b H2b[m2Hb BHb bQMi iiB`ûbX *QKK2 H2b TH2b K;MûiB[m2b /2 TQH`Biû QTTQbûb 
biiB`2Mi
Kmim2HH2K2Mi- QM 2M /û/mBi [m2 H2b TH2b ;ûQ;`T?B[m2b i2``2bi`2b QMi mM2 TQH`Biû 
K;Mû@
iB[m2 2M `ûHBiû QTTQbû2 ¨ H2m` TQH`Biû ;ûQ;`T?B[m2 , H2 TH2 LQ`/ ;ûQ;`T?B[m2 
i2``2bi`2
2bi mM TH2 bm/ K;MûiB[m2- 2i BMp2`b2K2MiX hQmi #``2m BKMiû bQ`B2Mi2 Mim`2HH2K2Mi
/Mb H /B`2+iBQM MQ`/@bm/ bmBpMi H2b HB;M2b /m +?KT K;MûiB[m2 i2``2bi`2- TQm` 
T2m [mQM
HmB HBbb2 mM t2 /2 `QiiBQM HB#`2 /2 iQmi2b +QMi`BMi2bX *2ii2 T`QT`Bûiû 2bi 
miBHBbû2 /Mb H
7#`B+iBQM /2b #QmbbQH2bX G2b BKMib T2`KM2Mib +QMiB2MM2Mi T`2b[m2 iQmDQm`b /2b 
iQK2b
/m KQBMb mM /2b ûHûK2Mib +?BKB[m2b bmBpMib , 72`- +Q#Hi Qm MB+F2H- Qm /2 H 
7KBHH2 /2b
HMi?MB/2b Ui2``2b ``2bVX

h2KTû`im`2 /2 *m`B2
G i2KTû`im`2 /2 *m`B2 2bi H i2KTû`im`2 TQm` H[m2HH2 mM Kiû`Bm T2`/ bQM BKMi@
iBQM- 2i +2 /û}MBiBp2K2Mi UH2 Kiû`Bm M2 `2i`Qmp2` Tb bQM BKMiiBQM /Q`B;BM2 T`b
`27`QB/Bbb2K2MiV- KBb MûMKQBMb /2 7ÏQM `ûp2`bB#H2 UmM2 7QBb `27`QB/B- H2 Kiû`Bm 
`2i`Qmp2
b2b T`QT`Bûiûb 72``QK;MûiB[m2b 2i TQm`` ¨ MQmp2m i`2 K;MûiBbûVX G2 i#H2m +B 
/2bbQmb
/QMM2 H2b +`+iû`BbiB[m2b /2b T`BM+BTmt Kiû`Bmt bmb+2TiB#H2b /2 `ûHBb2` mM BKMi ,
Jiû`Bmt

kyRe@yk@k3 ky,ke,R3

h2KTû`im`2 /2 *m`B2

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H2b xQM2b bQK#`2b +Q``2bTQM/2Mi
¨ H TQH`Biû +im2HH2

MM2t2 k  G2tTû`B2Mp2 oEak
`iB+H2 T`m /Mb _2~2ib /2 H T?vbB[m2- MmKû`Q j- K`b kyyd- T;2b R9 ¨ ReX
?iiT ,ff/tX/QBXQ`;fRyXRy8Rf`27/TfkyydyjN
lM2 Hû;2M/2  ûiû DQmiû2 /Mb H2b };m`2b k 2i j TQm` THB2` mM2 `2T`Q/m+iBQM /2 
+2i `iB+H2 2M MQB` 2i #HM+

L'expérience VKS2
Observation d'une dynamo turbulente et des
renversements erratiques du champ magnétique
Collaboration VKS : CEA ­ ENS Lyon ­ ENS Paris ­ CNRS
francois.daviaud@cea.fr, pinton@ens-lyon.fr, fauve@lps.ens.fr

Nous présentons la première mise en évidence
de la génération spontanée
d'un champ magnétique
sans excitation extérieure
(effet dynamo) par un
écoulement turbulent
de sodium liquide.
Nous rapportons, de plus,
la première observation
de renversements
erratiques du champ
magnétique créé par la
dynamo, qui évoquent
les renversements
spontanés du champ
magnétique terrestre.

14

Reflets de la Physique!n°3
Article disponible sur le site http://www.refletsdelaphysique.fr ou 
http://dx.doi.org/10.1051/refdp/2007039

Figure 1. Schéma de l'expérience VKS2.

Dans le cadre de la collaboration VKS (CEA
­ ENS Lyon ­ ENS Paris ­ CNRS), nous avons
réalisé au CEA Cadarache (DEN/DTN) une
expérience dans laquelle un écoulement tourbillonnaire, dit de von Karman, est 
produit par
le mouvement de deux turbines tournant en
sens inverse dans un cylindre rempli de sodium
liquide. L'écoulement est pleinement turbulent
avec un nombre de Reynolds (voir encadré p. 16)

cinétique Re comparable à celui des grandes souffleries aérodynamiques, et il 
permet d'atteindre
des nombres de Reynolds magnétiques Rm de
l'ordre de 50. Les dimensions, les conditions aux
limites et la forme des turbines ont fait l'objet de
nombreuses études théoriques, numériques et
expérimentales (en eau, en gallium et en
sodium) [1, 2, 3]. La cuve actuelle fait 600 mm
de long pour un diamètre de 600 mm et un
volume de sodium d'environ 150 litres. Elle
comprend une couche de sodium au repos qui
entoure l'écoulement, un anneau permettant
de stabiliser la couche de cisaillement dans le
plan médian et des disques en fer pur (fig. 1).
Les mesures de champ magnétique sont réalisées
à l'aide de sondes immergées dans l'écoulement.
Dans ces expériences, l'apparition de l'effet
dynamo a été marquée par l'apparition spontanée
d'un champ magnétique auto-entretenu par le
mouvement du fluide, pour une vitesse de
rotation des disques supérieure à une vitesse
critique (de l'ordre de 1000 tours/minute correspondant à Rm  30, cf. fig. 2b) 
[4]. Environ 50%
au-dessus du seuil, l'amplitude de ce champ est
de l'ordre de 50 Gauss à la frontière de l'écoulement (environ 100 fois la 
valeur du champ
terrestre) et il présente de très fortes fluctuations
(fig. 2a). Lorsqu'il est produit, l'effet dynamo est
également marqué par une surconsommation
d'environ 15%, mesurée au niveau de l'alimentation des moteurs, 30% au-dessus 
du seuil
d'instabilité. L'évolution de l'amplitude de
l'énergie magnétique locale en fonction de
Rm correspond à une bifurcation légèrement
imparfaite autour de Rm = 30 et est en
bon accord avec une loi d'échelle proposée
précédemment pour les grands nombres de
Reynolds [5]. Il reste encore à établir dans
quelle mesure les fluctuations turbulentes
favorisent ou inhibent la dynamo, mais ce
résultat montre que les dynamos fluides
continuent à opérer en présence de turbulence
forte.

Bibliographie
[1] R.Volk, et al., Phys. Fluids
18, 085105 (2006).
[2] F. Ravelet, et al.,
Phys. Fluids 17, 117104 (2005).
[3] M. Bourgoin et al.,
Phys. Fluids 14, 2046 (2002).
[4] R. Monchaux et al.,
"Generation of a magnetic field
dynamo action in a turbulent
flow of liquid sodium",
Phys. Rev. Lett. 98, 044502
(2007).
[5] F. Pétrélis et S. Fauve,
Eur. Phys. J. B 22, 273 (2001)
[6] M. Berhanu et al.,
"Magnetic field reversals
in an experimental turbulent
dynamo", Europhys. Lett. 77 (2007),
sous presse.
[7] C. Letellier, Bulletin SFP
154, 10 (mai 2006).

Avancées de la recherche

Quelle est l'origine du champ magnétique
des objets astrophysiques qui nous entourent :
planètes, étoiles, galaxies...? Dans le cas du
Soleil, Larmor propose en 1919 que ce champ
est engendré par effet dynamo (voir encadré p.
16), c'est-à-dire par la création spontanée d'un
champ magnétique dans un fluide conducteur
en mouvement. Quant au champ magnétique
terrestre, il est très probablement créé par le
mouvement du fer liquide du noyau. Cet effet
est l'analogue des dynamos industrielles
(Siemens, 1867) et les équations qui régissent ce
phénomène sont connues : équations de
Maxwell et loi d'Ohm, équation de NavierStokes. Cependant, si l'on peut mener à 
bien
des calculs analytiques dans le cas d'écoulements
simples et indépendants du temps, la prédiction
théorique s'avère difficile pour les milieux
naturels dans lesquels les mouvements se développent librement et les fluides 
sont très turbulents. Les simulations numériques ne permettent pas non plus 
d'atteindre ­ et ce pour longtemps encore ! ­ les gammes de paramètres des
dynamos naturelles, contrairement aux expériences qui en sont plus proches. Les 
premières
dynamos induites par des écoulements de sodium
dans des géométries contraintes reproduisant des
solutions analytiques modèles ont été observées
en 2000 à Riga et à Karlsruhe. Depuis, plusieurs
équipes aux USA, en Russie et en France tentent
d'obtenir une dynamo à partir d'écoulements
moins contraints, plus proches des systèmes
naturels et susceptibles d'engendrer des régimes
dynamos plus riches.

Pour en savoir plus
H.K. Moffatt, Magnetic Field
generation in electrically conducting
fluids, Cambridge University Press,
U.K. (1978).
R. Moreau,
Magnetohydrodynamics, Kluwer
Academic Publishers (1990).
F. Daviaud pour l'équipe VKS,
« Expérience VKS : vers la
dynamo turbulente ? », Bulletin
SFP 135, 24 (juillet-août 2002).

Liste des participants
à l'expérience VKS2 :
M. Berhanu, M. Bourgoin,
A. Chiffaudel, F. Daviaud,
B. Dubruille, S. Fauve, C. Gasquet,
L. Marié, R. Monchaux, N. Mordant,
M. Moulin, P. Odier, F. Pétréli,
J.-F. Pinton, F. Ravelet, R. Volk.

Figure 2. (a) Évolution temporelle des
trois composantes du champ magnétique
lorsque la vitesse de rotation F = /2
est augmentée au-dessus du seuil
(contra-rotation exacte). La composante la plus élevée, By , est tangente
au cylindre à l'emplacement de la
mesure (voir fig. 1) ; (b) évolution des
valeurs moyennes des trois composantes
du champ magnétique en fonction du
nombre de Reynolds magnétique Rm.
L'ajustement linéaire de By (droite
rouge) définit la valeur seuil de Rm :
Rmc ~ 31.

Reflets de la Physique!n°3

15

Figure 3 : Évolution
temporelle présentant
les inversions erratiques
du champ magnétique
lorsque les deux turbines
ne tournent pas à la
même vitesse (F1  F2).
By est en rouge, Bx en
bleu et Bz en vert.

Les écoulements qui sont à l'origine des
dynamos naturelles sont pour la plupart en
rotation globale importante, à cause du mouvement d'ensemble de la planète ou 
de l'étoile.
Dans nos expériences, on peut imposer une
rotation de ce type en faisant tourner une turbine
plus rapidement que l'autre. Nous avons alors
découvert que le champ magnétique créé par
l'effet dynamo, au lieu d'être statistiquement
stationnaire comme lorsque les turbines tournent
à la même vitesse, évolue au cours du temps
avec des renversements erratiques de sa direction
(fig. 3) [6]. Ce comportement, avec inversions
aléatoires du champ et excursions, est très similaire
à ce que l'on sait de l'évolution du champ

terrestre au cours des âges. Les observations
paléomagnétiques montrent en effet une
alternance d'orientations Nord-Sud et Sud-Nord
qui marquent les renversements du champ
magnétique terrestre. Comme dans l'expérience
en sodium, le temps mis pour un retournement
(quelques milliers d'années pour la Terre, quelques
secondes ici) est très court devant la durée
moyenne d'une plage de champ magnétique
de polarité donnée (quelques centaines de milliers
d'années pour la Terre, quelques centaines de
secondes ici).
Ce résultat de l'expérience VKS2 montre
que certaines caractéristiques de la dynamo
terrestre peuvent être reproduites et étudiées
« au laboratoire » dans des situations bien
contrôlées. De plus, la richesse des régimes
observés dans l'expérience laisse entrevoir la
possibilité de comprendre pourquoi des dynamos
très différentes sont souvent observées pour des
objets naturels a priori similaires : la Terre a un
champ magnétique, Vénus n'en a pas ; notre
Soleil a un cycle d'activité magnétique périodique
de 22 ans [7], très particulier dans la diversité
des comportements stellaires.
Les perspectives de l'expérience VKS2
concernent maintenant la recherche des ingrédients nécessaires dans 
l'expérience à l'effet
dynamo, l'étude quantitative de la bifurcation
et l'exploration des dynamiques complexes
observées dans le cas où les turbines ne tournent
pas à la même vitesse. 

Nombres de Reynolds
Le nombre de Reynolds cinétique (nombre sans dimension) est défini par : Re = 
UL/, où U et L correspondent respectivement à une
vitesse et une taille caractéristiques de l'écoulement, et  à la viscosité 
cinématique. Il caractérise l'importance relative du transport de
quantité de mouvement d'une part, par advection1 par le champ de vitesse U et, 
d'autre part, par diffusion visqueuse. En général, le fluide
devient turbulent au-delà d'un nombre de Reynolds critique (Rec ~ 3000 pour 
l'écoulement de von Karman). Dans l'expérience VKS2, Re est
de l'ordre de 106 à 107 à comparer à 108 pour le noyau de fer liquide dans la 
Terre et 103 - 104 dans les simulations numériques.
Le nombre de Reynolds magnétique est : Rm= µUL, où µ correspond à la 
perméabilité magnétique et  à la conductivité électrique
du fluide. Il traduit l'importance de l'advection du champ magnétique par 
rapport à la diffusion. On choisit le sodium malgré les problèmes
de sécurité qu'il pose, car c'est le meilleur fluide conducteur de 
l'électricité autour de 100-150°C. Dans l'expérience VKS2, Rm augmente
avec U et donc avec la vitesse de rotation des turbines, jusqu'à atteindre une 
valeur de l'ordre de 50 à comparer à 102 pour le noyau liquide
dans la Terre.
1. Advection est le terme utilisé couramment pour parler « d'entraînement » et 
pour le distinguer de la convection d'origine thermique.

Induction unipolaire et effet dynamo
(a) La rotation à vitesse angulaire  d'un disque conducteur soumis à un
champ magnétique B0 engendre une force électromotrice proportionnelle à  et
B0 entre A et P. Si l'on ferme le circuit à l'aide de balais, un courant I 
circule donc
dans la résistance.
(b) La difficulté rencontrée par Siemens et Wheatstone, qui utilisaient des 
dispositifs beaucoup plus compliqués que celui de la figure, consistait à 
engendrer
un courant sans appliquer un champ magnétique externe B0. L'idée est de choisir
la géométrie du circuit électrique afin d'utiliser le courant induit pour 
engendrer
le champ magnétique B nécessaire. On est ainsi conduit à un problème typique
d'instabilité : une perturbation de champ engendre un courant qui à son tour
amplifie le champ si le sens de rotation est choisi convenablement en fonction 
de
l'induction mutuelle entre le circuit et le disque et si ce dernier tourne 
suffisamment
vite pour compenser les pertes par effet Joule.

16

Reflets de la Physique!n°3

-a-b-

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Cyril Jean (ENS Ulm) ; il a été relu par Tom Morel
(Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE).

Le problème étudie les conséquences du mouvement d'un fluide conducteur 
électrique en présence de champ magnétique. Il se focalise sur l'effet dynamo 
et tente
d'expliquer l'origine du champ magnétique terrestre.
· La première partie, de magnétostatique, présente le dispositif de type « 
bobines
de Helmholtz » qui permet de mesurer le champ magnétique terrestre. Les
propriétés du dispositif sont discutées à partir du champ magnétique produit
par une spire sur son axe, puis on explique comment l'utilisation d'un dipôle
magnétique couplé avec les « bobines de Helmholtz » permet une mesure du
champ géomagnétique.
· La deuxième partie est dédiée à l'effet dynamo. Elle commence par évoquer
les différentes hypothèses qui ont été avancées au fil des siècles, pour tenter
d'expliquer l'origine du champ magnétique terrestre. On étudie par exemple le
moment magnétique induit par la rotation d'un objet chargé. Ces hypothèses
sont discutées à l'aide d'un document d'information sur le noyau terrestre et
les matériaux magnétiques. La deuxième sous-partie introduit l'effet dynamo
et le nombre de Reynolds magnétique en étudiant la création de champs 
magnétiques induits lorsqu'une particule de fluide chargée électriquement est en
mouvement. La troisième sous-partie présente la dynamo de Bullard, un système 
expérimental modèle tentant de reproduire certaines caractéristiques du
champ géomagnétique. On établit le système d'équations différentielles couplant
le mouvement mécanique de la dynamo et le champ magnétique induit. On discute 
ensuite les caractéristiques du champ magnétique terrestre reproduites par
ce modèle expérimental. La dernière sous-partie est consacrée à la discussion
du document de l'annexe 2 qui présente un autre modèle expérimental de l'effet
dynamo, l'expérience VKS2.
· La dernière partie est consacrée à l'équation fondamentale de la 
magnétohydrodynamique. Les équations de Maxwell dans un milieu conducteur, la 
loi d'Ohm
locale ainsi que la loi de conservation de la charge électrique sont utilisées 
pour
obtenir l'équation d'évolution du champ magnétique, ou équation d'induction,
dans un fluide en mouvement. On réalise ensuite une interprétation énergétique
de l'équation d'induction et on discute du cas limite de diffusion. On termine
en introduisant un nombre caractéristique de l'induction magnétique dans un
fluide conducteur qui fait écho au nombre de Reynolds magnétique introduit
dans la partie précédente.
C'est un sujet long et presque exclusivement consacré à l'électromagnétisme, ce
qui peut être déstabilisant. Le thème est attractif et correspond à une 
thématique
de recherche actuelle et complexe. L'ensemble est peu calculatoire, à 
l'exception de
la dernière partie, et de nombreuses questions exigent un traitement qualitatif 
du
problème.

Indications
Partie I
-

I.A B est un pseudo-vecteur. Pour trouver la direction du champ au point M,
il faut trouver des plans de symétrie de la distribution de courant auxquels
appartient M.
I.C.2 Les points d'inflexion sont des points pour lesquels la dérivé première 
présente un extremum, c'est-à-dire que la dérivé seconde de la fonction 
s'annule.
I.E Appliquer le théorème du moment cinétique à l'aiguille écartée d'un petit
angle  de l'axe d'équilibre.
Partie II
II.A.2.b Découper la boule en spires élémentaires puis sommer les moments 
magnétiques élémentaires.
II.A.2.c Dans le cadre de ce modèle, qu'est-ce qui peut provoquer des 
changements
de sens du champ magnétique ?
II.B.2.b La dimension d'un rotationnel est l'inverse d'une longueur.
II.B.3.b Une infinité de champs induits est générée. Il faut donc sommer ces 
champs.
-

II.C.3.a Calculer le flux du champ magnétique uniforme B1 sur le disque puis 
utiliser
la loi d'Ohm électrique.
II.C.5 Appliquer la loi des mailles au circuit équivalent.
II.C.7 Utiliser le théorème du moment cinétique et un couplage électromécanique
parfait entre le disque et le circuit.
II.C.9 Multiplier, respectivement par  et i, les première et deuxième lignes de
l'équation II.6 donnée dans l'énoncé pour faire apparaître des termes 
quadratiques en  et en i.
Partie III
III.B.1 Utiliser la loi d'Ohm locale puis la loi de Maxwell-Gauss.
III.B.2 Comparer le temps caractéristique de l'évolution de la densité de 
charge à
un temps caractéristique de l'expérience comme la période de rotation des
turbines par exemple.
III.D Appliquer le rotationnel à l'équation de Maxwell-Ampère.

-
III.E Multiplier l'équation d'induction par B /µ0 .
III.G Comparer l'expression trouvée au nombre de Reynolds magnétique introduit 
dans l'annexe 2.

L'effet dynamo,
origine du champ géomagnétique ?
I. Une mesure du champ géomagnétique
I.A Tout plan orthogonal au plan de la spire et contenant
le point M est un plan d'antisymétrie de la distribution de

-
courant. Comme le champ magnétique B spire est un pseudo
-
vecteur, B spire appartient à l'intersection de tous ces plans et
est donc dirigé selon le vecteur -
u
x . Par ailleurs, comme la spire
est orientée positivement par rapport à -
u
x (en suivant la règle

-
-

de la main droite), B
est selon +u . Finalement,

·
O

-

B spire (x)
·
x
M

x

spire

-

µ0 I
B spire =
2R

I

 x 2 -3/2
-
1+
u
x
R

-
I.B Par translation du centre de chaque bobine de +
- e/2 ex et par linéarité des équa
-
tions de Maxwell, le champ magnétique B bobines (x) créé en un point M 
d'abscisse x
de l'axe commun aux deux bobines est

2 !-3/2

2 !-3/2

-
x - e/2
x + e/2
µ0 NI 
-
B bobines(x) =
1+
+ 1+
u
x
2R
R
R
I

I
·
e
-
2

·
O

·
e
2

x

Ces deux bobines constituent un dispositif de « bobines de Helmholtz ».
I.C.1 Dans le cas où la séparation e entre les deux bobines est supérieure à la 
distance critique e0 , le champ magnétique total présente deux maxima distincts 
autour
de x = -e/2 et x = e/2 ainsi qu'un minimum local en x = 0.

-

-
B bobines
B bobines
µ0 NI
2R

-

e
2

0
e > e0

µ0 NI
2R

e
2

x

0
e e
-
2 2
e < e0

x

Dans l'autre cas, lorsque la séparation entre les deux bobines est inférieure à 
la
distance critique e0 , le champ magnétique total ne présente plus qu'un maximum 
en
x = 0.
En passant d'un minimum local à un maximum local en x = 0 lorsque la séparation 
entre les bobines diminue, on passe par un cas critique où la courbe est
plate : le champ magnétique est alors localement uniforme entre les deux 
bobines.
Pour e = e0 , le champ magnétique est localement uniforme entre les deux
bobines.
Lorsque les courants dans les deux bobines ont des sens opposés (dispositif
« anti-Helmholtz »), le champ magnétique autour du centre du dispositif a une
dépendance linéaire en x. On obtient un piège magnétique qui a notamment
permis certaines des premières expériences de piégeages d'atomes au milieu
des années 1980.
I.C.2 La fonction Bspire est paire et présente un maximum en x = 0. Comme la
dérivée d'une fonction paire est impaire, on sait que la dérivée B spire de 
Bspire est
telle que, pour tout x,
B spire (x) = -B spire (-x)
De plus, la dérivée seconde B spire de Bspire est paire. B spire s'annule en 
deux points
symétriques qui correspondent aux pentes minimales et maximales de la courbe 
représentative de Bspire . On pose e0 la distance telle que pour e = e0 , B 
spire s'annule
en x = +
- e0 /2. On a donc
B spire (-e0 /2) = B spire (e0 /2) = 0
Par ailleurs, la dérivée troisième B spire de Bspire est impaire. On considère 
donc
deux bobines placées en x = -e0 /2 et x = e0 /2 qui produisent respectivement un
champ B-e0 /2 et Be0 /2 . Le développement limité à l'ordre 3 de ces deux champs
autour de zéro s'écrit

2
3

+ B
+ O(4 )
B-e0 /2 () = B-e0 /2 (0) + B-e0 /2 (0)  + B-e0 /2 (0)
-e0 /2 (0)
2
6
3
2

 Be /2 () = Be /2 (0) + B (0)  + B (0)  + B (0)  + O(4 )
0
0
e0 /2
e0 /2
e0 /2
2
6

avec B-e0 /2 (0) = -Be0 /2 (0), B
(0)
=
-B
(0)
et
B
(0)
= B-e0 /2 (0) = 0.
-e0 /2
e0 /2
e0 /2
Le champ résultant d'un dispositif de Helmholtz, Bbobines() = Be0 /2 () + B-e0 
/2 ()
vaut donc
Bbobines () = Be0 /2 (0) + B-e0 /2 (0) + O(4 )
La fonction Bbobines est donc constante à l'ordre 3 au voisinage de 0 pour
une séparation particulière e = e0 .
y
I.D On applique le théorème du moment cinétique à l'aiguille aimantée dans le 
référentiel galiléen terrestre. En sup
-
M
posant que la liaison pivot selon z est parfaite, l'aiguille ai-
 -
 -

+
mantée n'est soumise qu'au couple magnétique  = M  B .

On a
z
x

-
 -

=-
B
J -
u
M B
z
 -
-

-
L'aiguille magnétique occupe une position d'équilibre lorsque M  B = 0 . Les

-

-
positions d'équilibre sont donc telles que M et B sont colinéaires. Considérons 
que