Centrale Physique 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Un parc d'attraction, c'est avant tout (de la) physique !
Principaux outils utilisés électromagnétisme, électrocinétique, optique ondulatoire, mécanique, bilans thermiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

Ph '
( ys | q u e 1 :
" PC Q

4 heures Calculatrices autorisées N

Un parc d'attraction, c'est
avant tout (de la ) physique !

Les manèges des parcs d'attraction ont pour but de procurer au visiteur le 
maximum de sensations. Ils peuvent
aussi être l'occasion de stimuler sa réflexion et son sens physique. Ainsi, 
nous nous proposons d'aborder tour
à tour le freinage des wagonnets d'un grand huit, la mesure des pulsations 
cardiaques de ses passagers et,
finalement, de nous perdre dans la 3D de l'holographie.

I Freinage du train

La plupart des montagnes russes dans les parcs d'attraction disposent d'un 
freinage magnétique. Nous proposons,
dans cette partie, un modèle simple permettant d'en expliquer le principe.

I.A -- Préliminaires

Soient {RD et 9%, deux référentiels galiléen_s, % est en translation rectiligne 
uniforme à la vite_sse 17 par rapport à
9î0 ('U << 0). On notera respectivement E0 et E, les champs électriques dans 9% 
et 9% et B0 et B les champs
magnétiques.

I.A.1) Donner l'expression des champs électrique ÊO et magnétique ËO en 
fonction d'un couple de potentiels
électromagnétiques X et V.

Que deviennent ces expressions lorsque Ëo est indépendant du temps ?

Cette hypothèse sera conservée tout au long du problème.

I.A.2) Donner les relations liant E,, E,, Ë et D.

I.A.3) Considérons un conducteur ohmique de conductivité a immobile dans 9% et 
localement neutre en tout
point.

a ) En notant j' le vecteur densité de courant au sein du matériau, rappeler la 
loi d'Ohm locale.

b ) On note p f et p... respectivement les densités volumiques des charges 
fixes dans 9% et mobiles à la vitesse Ü...
dans 9%. Quelle relation peut--on écrire entre pm et pf ?

c ) Donner l'expression du vecteur densité de courant î dans SR et, en 
utilisant la loi de composition des vitesses,
celle de je dans 9î0 en fonction des densités volumiques de charges et des 
vitesses définies précédemment. Que
peut-on en conclure ?

On admet que tous les résultats établis dans le préliminaire restent valables 
dans tout le problème.

LB -- Un dispositif de freinage magnétique est constitué de deux parties, l'une 
fixée au wagon, l'autre fixée
au niveau des rails. Sous chaque wagon, est placée une plaque fabriquée dans un 
matériau non magnétique et
conducteur ohmique (typiquement du cuivre) de conductivité électrique 0 (voir 
figure 1).

$

Z®

Figure 1

On note D, L et 6 respectivement les dimensions de la plaque selon les axes x, 
y et 2. Le wagon se déplace en
translation selon l'axe y et sa vitesse est i} = vê'y. Le référentiel æo est le 
référentiel terrestre, % est le référentiel
lié au wagon.

Lorsque le wagon arrive en gare, la plaque passe dans l'entrefer d'un aimant 
fixé au niveau des rails qui crée un
champ magnétique supposé uniforme E, = Boê'z. On fait l'hypothèse que seule la 
partie grisée P0 de la plaque
(voir figure 2) est soumise au champ magnétique ËO. On note respectivement d et 
l , ses dimensions selon les
axes m et y. Dans toute la suite du problème, on suppose que l > d >> 6.

Figure 2

I.B.1) Expliquer qualitativement comment un tel dispositif permet de freiner le 
wagon.

I.B.2) On se place dans le référentiel % lié au wagon.

On suppose, dans un premier temps, que le champ magnétique créé par les 
courants induits au sein de la
plaque est négligeable devant BO : Boêz. Cette hypothèse sera discutée a la 
question I.B.5. Ainsi seul le champ
magnétique B0 sera donc pris en compte.

La détermination du vecteur densité de courant î au sein de la plaque, 
particulièrement dans la partie de la
plaque qui n'est pas soumise au champ magnétique, est complexe. Nous allons, 
dans un premier temps, considérer
exclusivement la partie P0 de la plaque soumise a 30 On suppose que le vecteur 
densité de courant î y est
uniforme et porté par l'axe oe.

&) Si ] est l'intensité totale traversant la partie P0 de la plaque, donner 
l'expression de j en fonction de I et
des caractéristiques de P0.

b} Intégrer l'expression de Ê obtenue a la question I.A.2, de façon a faire 
apparaître la circulation de ÊO entre
les plans oe : --d/2 et oe : +d/2 (voir figure 2).

Soit U : V(d/2) -- V(--d/2), la différence du potentiel V entre les plans 55 : 
--d/2 et a: : +d/2. Déduire des
résultats précédents la relation r] = --U + e,, où 7" et 6,- sont des grandeurs 
a déterminer en fonction des données
du problème.

Que représente 7" ? Que représente 6, ? Faire un schéma électrique équivalent 
de P0 faisant apparaître 7", e,, I
et U , les grandeurs e,, I et U étant correctement orientées les unes par 
rapport aux autres.

c} On modélise la résistance du reste de la plaque par une résistance R 
constante

de façon a ce que le circuit électrique équivalent de l'ensemble de la plaque 
soit ,. 6,-
celui de la figure 3. ©
Reproduire la figure 3 sur la copie et placer les grandeurs e,, I et U 
correctement R
orientées.

Vous semble--t--il possible d'exprimer simplement R en fonction des 
caractéristiques Figure 3

de la plaque ? Justifier la réponse.

, o o o o o o . {r. ; o .
E11m1ner R de l'express1on de I en introduisant la grandeur sans dimens1on oz : 
î' Dedu1re une express1on
7"

de 1 ne faisant intervenir que les données du problème et oz.
I.B.3) On s'intéresse au mouvement du wagon, de masse m, dans 9%, le 
référentiel lié aux rails. Le dépla--

cement du wagon sur les rails se fait sans frottement. À partir des résultats 
précédents, montrer que le wagon
subit une force de freinage dont on donnera l'expression.

En appliquant le théorème de la résultante dynamique au wagon, déterminer 
l'expression d'un temps caracté--
ristique de freinage.

Quel est l'inconvénient majeur du freinage magnétique par rapport a un freinage 
par friction ? Quels sont en
revanche les principaux avantages du freinage magnétique ?

I.B.4) Même s'il rend bien compte du principe du freinage magnétique, le modèle 
proposé est simpliste.
Quelles hypothèses sont peu réalistes physiquement ?

I.B.5) On souhaite discuter dans cette question de la validité de l'hypothèse 
faite dans la question I.B.2, a
savoir que le champ magnétique créé par les courants induits au sein de la 
plaque est négligeable devant Ë0-

L'épaisseur e de la plaque étant très faible devant ses autres dimensions, on 
considère la plaque comme une
surface infiniment mince et infiniment étendue dans les directions $ et y. Dans 
le cadre de ce modèle, la plaque
porte alors un vecteur densité de courant surfacique js. Quelle est 
l'expression de js en fonction de j déterminé
précédemment ?

En utilisant les symétries et invariances du problème, déterminer l'expression 
du champ magnétique ËS créé
par cette répartition surfacique de courant. A quelle condition sur la vitesse 
0, ce champ est--il négligeable par
rapport a B() ?

On donne la perméabilité magnétique du vide 110 = 471 >< 10_7 H-m_1.

2014-03-18 10:44:09 Page 2/8 OE:C BY--NC-SA

La plaque est constituée d'un alliage contenant environ 90% de cuivre et de 10% 
de zinc, de conductivité
0 = 5 >< 107 S-m_1, son épaisseur 6 est de l'ordre du millimètre et 04 = 1/3. 
L'hypothèse est--elle valide pour une
vitesse du train 0 % 10 m-s_1 ?

I.B.6) Même si l'échauffement de la plaque est limité, il existe.
&) Expliquer pourquoi il y a échauffement.

() En considérant ue toute l'éner ie cinéti ue du train est dissi ée sous forme 
de chaleur au sein de N = 18
01

plaques fixées sous les wagons du train, exprimer et calculer l'élévation de 
température, supposée uniforme dans

les plaques, en fonction des données :

masse du train M = 7000 kg

vitesse du train 0 = 12 ms--1

dimension de chaque plaque 6 = 6 mm, L = 0,8 m, D = 0,2 m
masse volumique des plaques p = 8,7 >< 103 kg-m_3

capacité calorifique massique des plaques 0 = 385 J -kg_1-K_1

c} Avant un nouveau départ du train, il faut s'assurer que le frein a 
suffisamment refroidi. Expérimentalement,
on trouve, qu'après l'arrêt du train, la température T de la plaque diminue 
d'environ 0,1 K par seconde. Quel
est l'ordre de grandeur de la durée d'attente nécessaire entre deux voyages ?

d} On souhaite tester l'hypothèse d'un refroidissement par transfert de type 
conducto--convectif entre l'air
ambiant a la température Text et les deux plus grandes surfaces de la plaque. 
On rappelle que ce type de
transfert thermique est correctement modélisé par la loi de Newton : la 
puissance algébrique surfacique reçue
par une surface unité de la plaque a la température T est égale à p : h(Text -- 
T). On donne le coefficient de
transfert conducto--convectif h = 17 VV-m_2-K_1 pour un transfert entre l'air 
au repos et le cuivre.

Déterminer l'équation différentielle dont T la température de la plaque, 
toujours supposée uniforme, est solution.

En déduire un temps caractéristique de refroidissement par transfert 
conducto--convectif. Le calculer.

Que faut--il penser de l'hypothèse d'un refroidissement exclusivement par 
transfert de type conducto--conveetif
avec l'air ? Proposer d'autres causes possibles.

Il Mesure de la fréquence cardiaque

Certains manèges proposent aux passagers d'évaluer leur « peur >> en mesurant 
leur rythme cardiaque. Le rythme
cardiaque varie d'environ 60 battements par minute pour un sujet au repos 
jusqu'à 200 battements lors d'un
effort physique intense ou d'une forte émotion. La contraction d'un muscle, le 
coeur en particulier, crée un
signal électrique. La détermination du rythme cardiaque sur les manèges passe 
par la mesure de la différence de
potentiel électrique entre les deux mains du passager. Sur le garde corps du 
manège, sont fixées deux électrodes
où le passager pose ses deux mains. La différence de potentiel est de l'ordre 
de quelques dizaines de mV. Le
rapport signal sur bruit est en général plutôt faible. Il est donc nécessaire 
de mettre en forme le signal avant
de pouvoir extraire la fréquence cardiaque. Cette partie se propose d'étudier 
les différentes étapes de mise en
forme du signal. Après amplification (non étudiée), le signal est soumis a deux 
opérations de filtrage.

Pour tout signal sinusoïdal u(t), la grandeur complexe associée sera notée @. 
Tous les amplificateurs opérationnels
sont supposés idéaux.

II.A -- Premier filtrage

Le signal amplifié est appliqué en entrée d'un filtre dont la structure est 
donnée figure 4.

R2 R2

A
0-- --o
01 Cl
H B ::
EUR1(t) 31(t)

R1

Figure4

2014-03-18 10:44:09 Page 3/8 OE=C BY-NC-SA

On donne les valeurs des composants : R = R1 : R2/2 : 16 M) et C : Cl : C'2/2 : 
0,1 pF.

1
2RC '
II.A.1) En étudiant de façon qualitative le comportement basses et hautes 
fréquences, justifier qu'il est légitime
de dire que le filtre de la figure 4 est un filtre réjecteur.

Ce filtre est un filtre réjecteur : il ne transmet pas les signaux dont la 
pulsation est voisine de wo :

II.A.2) Calculer la valeur de la fréquence fo associée à wo. Pourquoi ce filtre 
est--il important dans le cas
présent ?

II.B -- Deuxième filtrage : filtre passe-bande
La fréquence des battements cardiaques étant comprise dans un intervalle 
relativement restreint et de façon

a s'affranchir au maximum de parasites hautes et très basses fréquences, on 
applique un filtre passe--bande au
signal obtenu en sortie du filtre précédent. La structure du circuit utilisé 
est donnée figure 5.

03
l

î--l |

D

62 @) R3

Figure 5

II.B.1) Comment faut--il relier le circuit précédemment étudié et le circuit de 
la figure 5 pour que le signal
31(t) obtenu en sortie du filtre réjecteur ne soit pas perturbé par l'ajout du 
montage de la figure 5 ?

II.B.2) Justifier de façon qualitative que l'amplificateur opérationnel 
fonctionne en régime linéaire. Montrer
de façon qualitative que ce circuit présente bien un caractère passe--bande.

II.B.3) On souhaite que la fréquence de coupure basse soit égale à 0,5 Hz et la 
haute égale à 150 Hz. Ces
valeurs sont--elles compatibles avec les fréquences cardiaques humaines ?

II.B.4) En évaluant successivement les quotients KD/e2, KE/KD et â2/KE, montrer 
que la fonction de trans--
fert fi2 : â2 /Ê2 s'exprime comme le produit de trois fonctions de transfert 
très simples. On précisera le rôle de
chacune d'entre elles.

II.B.5) Proposer pour R3, R4, C3 et C4 des valeurs permettant de réaliser le 
filtrage souhaité. Les valeurs
proposées devront être compatibles avec les composants couramment utilisés en 
travaux pratiques.

II.B.6) En plus de la fonction filtrage, le filtre proposé possède un deuxième 
avantage. Lequel ?
II. C -- Après amplification et filtrages, l'allure du signal obtenu est donnée 
figure 6.

un battement cardiaque

e. & _ _

Figure 6

Le signal électrique ec(t) émis au cours d'un battement cardiaque est complexe. 
En effet, la figure 6 montre
trois phases distinctes : la première (01) correspond à l'action des 
oreillettes, alors que les deux autres phases
(V2 et V3) correspondent à l'action des ventricules. Pour rendre la mesure de 
la fréquence cardiaque possible a
l'aide d'un compteur numérique (non étudié), le signal électrique du coeur est 
transformé en un signal créneau
d'amplitude donnée, où seul le signal de la phase V2 est sélectionné. 
Cependant, malgré les opérations de mise
en forme, le signal de la phase V2 reste complexe, comme le met en évidence la 
figure 7 qui représente le détail
d'un battement cardiaque.

II.C.1) Le signal électrique 6305) correspondant aux battements cardiaques est 
appliqué sur l'entrée + de
l'amplificateur opérationnel du montage de la figure 8. La tension V0 est une 
tension continue et positive.

Expliquer le fonctionnement de ce dispositif. Que va être la réponse de ce 
circuit à un signal du type de celui
de la figure 7 ? Ce circuit est--il adapté a la détermination de la fréquence 
cardiaque ? Justifier la réponse (on
pourra s'aider d'un schéma).

2014--03--18 10:44:09 Page 4/8 OE:C BY--NC-SA

'|lÿ

Figure 8

II.C.2) En réalité, le circuit utilisé est donné figure 9. La tension V0 est 
une tension continue et positive.
On considère dans un premier temps un signal d'entrée sinusoïdal e4(t) : E0 
cos(wt).

Justifier qualitativement que l'amplificateur opérationnel ne peut pas 
fonctionner en régime linéaire.

64(Ü .-- _ Ï34(t)

;

Figure 9

5
l|-->

On souhaite que S4(t) : +Vsat, Vsat étant la tension de saturation de 
l'amplificateur opérationnel. Montrer que
e4(t) doit être supérieure a une tension U1 dont on donnera l'expression en 
fonction de V0, Vat et des résistances

S
du circuit.

On souhaite maintenant que 34(t) : -- sat. Montrer que e4(t) doit être 
inférieure a une tension U2 dont on

donnera l'expression en fonction de V0, Vsat et des résistances du circuit.

Pour quelle valeur de e4(t) se fait le basculement de 34(t) : +Vsat a 34(t) : 
--V ? Même question pour le

sat
basculement de 34(t) : --Vsat a 34(t) : +Vsat.
Donner la condition pour que U 1 soit positive.

Dans ce cas et en supposant que EO > U2, représenter sur un même graphe les 
fonctions e4(t) et 34(t) en fonction
du temps, en faisant apparaître les tensions EO, U 1, U2 et Vsat. Comment 
s'appelle un tel montage ?

II.C.3) Le signal d'entrée e4(t) est a présent le signal cardiaque ec(t) 
représenté sur les figures 6 et 7. Repré--
senter sur une même figure l'allure du signal cardiaque et celle du signal 
34(t) que l'on souhaite obtenir par
le filtre. À quelles conditions sur U1 et U2 la fréquence du signal 34(t) 
obtenu correspond--elle effectivement à
la fréquence du rythme cardiaque? Quel est l'intérêt du circuit effectivement 
utilisé par rapport a celui de la
figure 8 ?

II .D -- Le dispositif utilisé dans le manège pour la mesure du rythme 
cardiaque peut--il être utilisé en milieu
médical ? Qu'est--ce qui peut fausser la mesure du rythme cardiaque ?

III Holographie

Pour faire patienter les passagers des manèges dans les files d'attente qui 
peuvent souvent être longues, sont
proposés des spectacles lumineux avec entre autres des images en 3 dimensions 
fabriquées à l'aide d'hologramme.
L'holographie, contrairement a la photographie, permet de conserver, lors de 
l'enregistrement de l'image d'un
objet, la phase introduite par cet objet. On peut donc, par la suite, obtenir 
une image « tridimensionnelle >> de
cet objet. Nous nous proposons dans cette partie de présenter le principe de 
l'holographie et d'étudier, dans un
second temps, la possibilité de restituer des images tridimensionnelles en 
couleur.

2014-03-18 10:44:09 Page 5/8 OE=C BY-NC-SA

III.A -- Principe de l'holographie

Une source laser (LT) émet une onde plane progressive monochromatique de 
longueur d'onde dans le vide "0
(figure 10).

Lame séparatrice

A \ Objet

\

' M
Plaque
photographique

Laser > Z

Miroir

%

Figure 10

Cette onde se propage dans l'air dont l'indice sera pris égal à 1. Une lame 
séparatrice semi--réfléchissante (Sp)
permet d'obtenir deux ondes de même amplitude. L'onde transmise par la 
séparatrice (Sp) traverse un objet
(Ob) supposé parfaitement transparent. L'objet a pour seul effet d'introduire 
un déphasage supplémentaire de
sorte que la grandeur lumineuse complexe associée à l'onde issue de l'objet 
(Ob) et reçue par un point M d'une
plaque photographique (Pp) soit de la forme :

--+

40,04) = 40 exp (j (... -- î--Ïüob- OM --90(M))) = 40 exp 0 (out -- soob(M)))

où üob est le vecteur unitaire caractérisant la propagation de l'onde 
traversant l'objet.

Dans toute la suite du problème, pour simplifier l'étude, on fera l'hypothèse 
que la différence de phase introduite
par l'objet est indépendante de M : g0(M ) = (00. Le plan d'incidence est le 
plan 3302: et l'onde issue de l'objet
arrive sur la plaque photographique (Pp) sous incidence normale. Elle sera 
appelée « onde objet >>.

L'onde réfléchie par la séparatrice (Sp) subit une réflexion sur un miroir (M 
7") de façon a arriver sur la plaque
photographique (Pp) sous un angle d'incidence oz (figure 10). Cette onde sera 
appelée « onde de référence ». Sa
grandeur lumineuse associée est de la forme :

. 2 4 --+ .
gref(M) : AO EURXp (] (Cdt _ À_Ïuref' OM)) : AO EURXp (] (Cdt_ firef(M)))

où ü,.ef est le vecteur unitaire caractérisant la propagation de l'onde de 
référence.
III.A.1) &) Donner les coordonnées des vecteurs fäob et üref.

b) Citer un objet qui introduit une différence de phase g00 uniforme sur tout 
l'objet, lorsqu'il est traversé par
une onde plane progressive harmonique.

c) Justifier que l'intensité lumineuse reçue par un point M de la plaque est de 
la forme :
[(M) : IO(1 + cos A90(M))

où Ag0(M ) : goob(M ) -- g0,.e f(M ) est le déphasage entre l'onde qui a 
traversé l'objet et l'onde de référence.
d) Exprimer Ag0(M ) en fonction de $, po et des données du problème.

III.A.2) Une fois développée, la plaque photographique possède une 
transmittance en amplitude (ou facteur de
transparence) de la forme t(M ) = a + b cos Ag0(M ) où a et b sont des 
constantes. On a obtenu un hologramme.

Représenter l'allure de t(M ) en fonction de 33. Quel nom pourrait--on donner a 
cet hologramme ? Quelle grandeur
le caractérise ?

III.A.3) L'hologramme (H [) est éclairé sous une incidence oz identique a celle 
de l'onde de référence utilisée
pour l'enregistrement et avec le laser (LT) ayant servi a l'enregistrement de 
l'hologramme (figure 11).

On observe la figure de diffraction obtenue a l'infini dans une direction 9. On 
note Z et L les dimensions
respectives de l'hologramme dans les directions 055 et Oy. On fait l'hypothèse 
que L >> /\0-

&) Pourquoi est--il légitime de limiter l'étude au plan 3602: ?
b) Énoncer le principe de Huygens--Fresnel et en déduire l'expression intégrale 
de l'amplitude complexe q0dü.(Û)

de l'onde diffractée dans la direction 9. La calculer en faisant apparaître la 
somme de trois termes. Que représente
le terme dans lequel apparaît le facteur exp(--jgoo) ?

2014-03-18 10:44:09 Page 6/8 OE=C BY-NC-SA

Hologramme

Figure 11

Que va voir un observateur accommodant a l'infini et regardant dans une 
direction 9 quelconque (figure 11) ?
c) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse diffractée IOd,-Jc(9) oc 
q0dif(9)quü(9)* en faisant l'hypothèse
[ >> ÀO / sin oz. Représenter IOd,f(9) en fonction de sin 9.

III.A.4) L'hologramme (H [) enregistré précédemment, de même transmittance t(M 
), est maintenant éclairé
sous la même incidence oz que précédemment avec un laser émettant une onde de 
longueur d'onde À1 > ÀO.

&) Établir l'expression de l'amplitude complexe q1dif(9) de l'onde diffractée 
dans la direction 9.

b) En déduire l'expression de l'intensité lumineuse diffractée 11d,f(9) en 
conservant l'hypothèse [ >> À1 / sin 04.

c) Représenter 11 d, f(9) sur le même schéma que IOd,f(9). Faire clairement 
apparaître les différences entre les
deux intensités.

III.A.5) L'hologramme est maintenant éclairé sous la même incidence oz par un 
faisceau parallèle de lumière
blanche.

&) Déduire de ce qui précède ce que l'observateur de la figure 11 voit dans la 
direction 9 = 0, toujours sans
accommoder.

b} Peut--on observer des images en couleur avec ce type d'hologramme ?

III.B -- Holagramme épais

La partie précédente a permis d'expliquer qu'il est possible de restituer 
l'onde objet grâce a la diffraction de
l'onde de référence par l'hologramme. Dans cette partie, nous allons nous 
intéresser aux directions privilégiées
qui permettent l'observation d'une onde diffractée d'intensité conséquente. 
Ainsi, pour simplifier l'étude, l'holo--
gramme sera considéré comme un réseau de pas a et de transmittance égale a 1. 
Pour toute l'étude, on se place
dans les conditions de Fraunhofer. L'hologramme est éclairé par une lumière 
monochromatique de longueur
d'onde dans le vide À0. Le réseau est placé dans un milieu d'indice n.

III.B.1) Dans un premier temps, le réseau est constitué d'une surface plane 
opaque percée de fentes très longues
dans la direction Oy et très fines dans la direction 0513 (figure 12).

Figure 12

Le pas est noté &. Soient 72 l'angle d'incidence du faisceau incident et 9 la 
direction d'observation choisie.

&) Calculer Ag0OE : 90oe1 -- g0oe2 la différence de phase entre les ondes 
passant par les deux ouvertures consécutives
1 et 2 (figure 12).

b} À quelle condition sur Ag0oe observe--t--on un maximum d'intensité lumineuse 
dans la direction 9 ? On notera
poe l'ordre de diffraction.

III.B.2) Un hologramme est en fait constitué d'une couche de gélatine 
d'épaisseur d selon l'axe Oz. Pour
s'affranchir de tout problème de réfraction entre le milieu extérieur et la 
gélatine, l'indice de la gélatine ng
sera pris égal a 71, indice du milieu extérieur : n = n. La gélatine est une 
émulsion de grains d'une dizaine de
nanomètres. Il est donc légitime de considérer que l'onde incidente peut être 
diffractée en n'importe quel point
P du milieu (figure 13).

2014-03-18 10:44:09 Page 7/8 OE=C BY-NC-SA

gélatine

71 /P

_)

d
Figure 13

&) Déterminer la différence de phase Ag0Z : g0Z1 -- g0Z2 entre l'onde 1 passant 
par O et l'onde 2 passant par P
de coordonnée z sur l'axe 02: (figure 13).

b} En considérant qu'un élément de réseau, de longueur dz centré autour du 
point P, difiracte, dans la direction
9, une onde dont la grandeur lumineuse est : dA(P) : A0 exp(jAgoz) dz, donner 
l'expression de la grandeur
lumineuse totale difiractée par l'épaisseur d du réseau.

0) L'épaisseur d est typiquement de l'ordre de 100 pm. La longueur d'onde ÀO 
étant située dans le visible,
montrer qu'il n'existe que deux directions 9 pour lesquelles l'intensité 
lumineuse difiractée prend des valeurs
notables.

d} Une seule de ces deux valeurs a de l'intérêt en holographie. Préciser de 
laquelle il s'agit.
On conservera cette valeur pour toute la suite.

III.B.3) Un réseau est considéré comme épais si seul l'ordre de diffraction poe 
: --1 conduit a une intensité
difiractée notable. En prenant en compte les résultats des questions III.B.1 et 
III.B.27 montrer qu'il n'existe
qu'une seule valeur possible pour l'angle d'incidence 72 qui permette d'obtenir 
une onde difiractée d'intensité
lumineuse notable. C'est la loi de Bragg.

III.B.4) Le pas du réseau est choisi de façon a ce que la loi de Bragg soit 
vérifiée pour une longueur d'onde
/\0 et un angle d'incidence 730 donnés. On éclaire ce réseau avec un faisceau 
parallèle de lumière blanche sous le
même angle d'incidence 710. Qu'observe--t--on ?

III.B.5) Sur le même principe que celui présenté figure 10, on réalise, sous le 
même angle d'incidence 730,
l'enregistrement d'un hologramme épais en utilisant non pas un mais trois 
lasers: un laser a argon dont on
sélectionne la longueur d'onde À1 : 476 nm, un laser Nd--YAG doublé en 
fréquence (À2 : 532 nm) et un laser a
krypton (À3 = 647 nm).

&) Pourquoi avoir choisi ces trois longueurs d'onde ?

b} Pourquoi obtient--on trois figures d'interférence distinctes dans l'émulsion 
de gélatine ?

c} Les conditions opératoires sont telles que les pas des trois réseaux 
vérifient la loi de Bragg. Qu'observe--t--on
si on éclaire, sous l'angle d'incidence 720, l'hologramme développé en lumière 
blanche ?

Depuis la découverte de l'holographie en 1947 par Gabor (Prix Nobel 1971), les 
techniques d'enregistrement
avec le développement de lasers à différentes longueurs d'onde et l'élaboration 
d'émulsions de grains très fins
permettent l'obtention d'images holographiques en couleur de qualité 
exceptionnelle.

oooFINooo

2014--03--18 10:44:09 Page 8/8 OE=C BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Bruno Salque (ENS Lyon) ; il a été relu par Jérôme 
Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Julien Dumont (Professeur en
CPGE).

Ce sujet invite à réfléchir sur les mécanismes physiques à la base des 
technologies utilisées dans une fête foraine. Ses questions sont conformes aux 
nouveaux
programmes, dont il respecte également l'esprit puisqu'il faut poser des 
hypothèses,
les vérifier et questionner les résultats obtenus. Les trois parties sont 
totalement
indépendantes.
· Dans la première partie, on étudie les différentes étapes du freinage 
magnétique.
Chacune est décortiquée : on commence par l'induction, on poursuit par la
mécanique et on termine par la dissipation d'énergie. Ne nécessitant pas de
calculs trop lourds, cette partie est la plus variée du problème.
· Dans la deuxième partie, on est invité à construire pas à pas un appareil de
mesure du rythme cardiaque en étudiant plusieurs modules d'amplification et
de filtrage et en les agençant pour obtenir l'appareil voulu. Les calculs de 
cette
partie sont nombreux, mais classiques.
· Enfin, la dernière partie consiste à comprendre l'holographie, sur plaque 
mince
puis épaisse. Elle est beaucoup plus calculatoire que les deux précédentes, tout
en restant proche du cours.
Ce problème de difficulté raisonnable permet de tester ses connaissances sur le
phénomène d'induction, le filtrage analogique et l'optique ondulatoire. Il 
utilise des
notions des cours de magnétisme, mécanique, optique, thermique et électronique.

Indications
Première partie
I.A.3.b Penser à la neutralité électrique.

-
I.B.2.b Utiliser les relations précédentes : la loi d'Ohm et l'écriture de E .
  -
-

I.B.3 Utiliser l'expression volumique de la force de Laplace d F = -
  B d .
I.B.5 Utiliser le théorème de Maxwell-Ampère. Ne pas oublier l'argument de 
symétrie permettant de relier les champs au-dessus et en dessous de la nappe.
I.B.6.b Utiliser l'expression de l'énergie cinétique et l'analyse 
dimensionnelle pour
trouver l'énergie dissipée.
Deuxième partie
II.A.1 Utiliser les comportements équivalents d'un condensateur à basses et 
hautes
fréquences.
II.B.4 Faire appel à la formule du diviseur de tension.
II.B.5 L'énoncé suggère de choisir des valeurs usuelles des différents 
composants
que l'on pourrait rencontrer en séance de TP.
II.C.2 Faire attention à la borne à laquelle est reliée la rétroaction.
Troisième partie
III.A.1.d Utiliser le théorème de Malus.
III.A.3.b Calculer d'abord l'intégrale de ei K x . Ne pas oublier de mettre en 
facteur
l'angle moitié pour faire apparaître un cosinus ou un sinus.
III.A.3.c Négliger les termes en sinus cardinal dont les arguments sont 
différents.
III.A.4.a Attention : la transmittance est établie par rapport à 0 mais la 
longueur
d'onde du laser est désormais 1 .
III.B.2.a Appliquer le théorème de Malus.
III.B.2.d L'un des deux angles d'observation de l'hologramme est éblouissant.

I Freinage du train
I.A.1 Le cours d'électromagnétisme dit que

-
--
-

A
E 0 = - grad V -
t

-

- -
B 0 = rot A

et

-

-
Si B 0 est indépendant du temps, alors A l'est également. Ces expressions 
deviennent
--
-

E 0 = - grad V

et

-

- -
B 0 = rot A

I.A.2 Comme la translation rectiligne uniforme du référentiel R par rapport à R0

se fait à la vitesse non relativiste -
v , on a
(-
 -

-

E = E0 + -
v  B0
 -
-

B = B0

I.A.3.a La loi d'Ohm s'écrit

- =  -

E

I.A.3.b La neutralité locale du conducteur ohmique impose
tot = f + m = 0

I.A.3.c Le vecteur densité de courant -
 correspond au déplacement des charges
dans R. Par définition,

-
 = m -
v
m

Dans R , les charges contribuant à  voyagent à une vitesse globale -
v . D'après la
0

f

formule de composition des vitesses fournie,

 + -
-

-
 0 = m -
v
m+ v
f v

= (m + f ) -
v + m -
v
m

Grâce à la question précédente, remplaçons f par -m dans l'expression :
-

 0 = m -
v
m
Il apparaît que dans un conducteur neutre, le vecteur densité de courant est 
invariant
par changement de référentiel galiléen et
- = -

0

On travaille ici dans l'ARQS (Approximation des Régimes Quasi Stationnaires) 
magnétique car v  c et c/  j.

I.B.1 Dans un premier temps, le mouvement du conducteur dans un champ 
magnétique fixe génère des courants de Foucault dans la plaque par induction de 
Lorentz.
Visualisons la situation dans la section P0 .
z
x
z
x
·
-

B0
e
d/2
y
y

-
d/2
B
Dans la partie de la plaque traversée par un champ magnétique, ces courants 
donnent
lieu à une force de Laplace s'opposant au mouvement. Enfin, les courants 
provoquent
un échauffement par effet Joule. Ce montage conduit globalement à une conversion
de l'énergie cinétique initiale en énergie thermique.
I.B.2.a L'intensité totale mesurée I est générée par le déplacement 
microscopique
de charges dans le conducteur. Intégrons donc sur une surface de P0 orientée 
paral

lèlement à -
 selon -
ex . Par définition de l'intensité,
Z e Z /2

-

-
I=
 dS
0 -/2
·
·
·

-
ez
Or j est uniforme sur une section de P0 ,
e

-

-
·
·
·
·
I = ej
e
y

-

ex

Inversons cette relation :
- = I 

-
ex
e

-
Le choix de l'orientation de d S fixe le sens positif de I.

-
I.B.2.b Écrivons la circulation de E entre -d/2 et d/2 :
Z d/2
Z d/2

-

-
 
-

E · dx -
ex =
E0 + -
v  B 0 · dx -
ex
-d/2

-d/2

Utilisons la loi d'Ohm trouvée précédemment :
Z d/2
Z d/2
Z d/2

-
 
-
1-

-

-

-

 · dx ex =
E 0 · dx ex +
v  B 0 · dx -
ex
-d/2 
-d/2
-d/2

D'après la question I.B.2.a, -
 = (I/e ) -
ex , d'où
Z d/2
Z d/2
Z d/2

-
1 I

-

dx =
E 0 · dx -
ex +
v B0 dx 
ey  -
ez · -
ex
-d/2  e 
-d/2
-d/2
De même, la question I.A.1 permet d'écrire
Z d/2
Z d/2
Z d/2
1 I
V
dx =
-
dx +
v B0 dx
x
-d/2  e 
-d/2
-d/2

Intégrons :

d 1
I = V (-d/2) - V (d/2) + v B0 d
e