Centrale Physique 1 PC 2013

Thème de l'épreuve Rayonnement synchrotron
Principaux outils utilisés particules dans des champs électromagnétiques, dipôle oscillant, électrostatique
Mots clefs synchrotron

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(, '» P hysiq ue 1 EUR")
EUR, ( FI
_/ PC @
communs EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Rayonnement synchrotron

Ce problème a pour but d'étudier le rayonnement émis par des particules 
élémentaires chargées dans un accélé--
rateur synchrotron. La première partie propose de déterminer l'expression de la 
puissance rayonnée (formule de
Larmor) en admettant l'expression du champ (magnétique) rayonné. La deuxième 
partie étudie une méthode
d'accélération des particules, avant leur injection dans l'anneau de stockage, 
ainsi que l'influence du rayonnement
sur cette accélération. Les troisième et quatrième parties étudient a 
proprement parler le rayonnement synchro--
tron émis par les particules dans l'anneau de stockage le long duquel elles 
sont guidées par un champ magnétique.
Enfin, la cinquième partie s'intéresse a un élément d'insertion courant sur les 
synchrotrons de génération récente
appelé onduleur et destiné a obtenir un rayonnement plus intense et plus 
concentré en fréquence.

Bien qu'il soit question dans ce probléme de particules allant a des vitesses 
proches de la vitesse de la lumière
(particules relativistes voire ultra--relativistes), il est demandé d'utiliser 
les lois de la mécanique classique (non
relativiste). Chaque fois que cela est nécessaire, l'énoncé indiquera la 
correction qu'il convient d'appliquer au
résultat obtenu pour tenir compte des effets relativistes. De plus, on 
négligera systématiquement le poids des
particules devant les autres forces.

Un tableau de données numériques est donné en fin d'énoncé.

I Rayonnement d'une particule chargée accélérée

On considère une particule ponctuelle de charge q en mouvement au voisinage 
d'un point fixe 0 choisi comme
origine du repère de coordonnées cartésiennes (O, @, ë'y, @) lié au référentiel 
R..., du laboratoire. Cette particule
possède une accélération (i dans Rlab et de ce fait rayonne un champ 
électromagnétique a longue distance. On
cherche a déterminer la puissance totale 79 rayonnée par cette particule dans 
tout l'espace.

-->
LA -- On considère un point M repéré en coordonnées sphériques par 77 : OM : 
ré} se trouvant a une
grande distance de O et de la charge. Cette particule rayonne en M un champ 
électromagnétique dont le champ
magnétique B (M , t) est donné par :

"' q _,

B(M,t) : _47r60c3r erAä'(t--r/c)

I.A.1) Commenter la dépendance en t-- r / c de l'accélération intervenant dans 
le champ magnétique rayonné
en M a l'instant t.

I.A.2) Sachant que l'onde rayonnée en M a localement la structure d'une onde 
plane se propageant dans la
direction ë}, déterminer l'expression du champ électrique É (M , t) de cette 
onde. On pourra mettre le résultat
sous la forme d'un double produit vectoriel.

I .B -- On considère dans cette question et la suivante que l'accélération (i 
de la particule est a tout instant
parallèle a (Oz) et on note 9 l'angle entre (i et EUR}.

--»

Déterminer le vecteur de Poynting H(M,t) associé a l'onde rayonnée par la 
particule chargée accélérée, en
l'exprimant en fonction de a2(t -- r / c) et 9.

Que représente--t--il physiquement ? Dans quelle direction, par rapport a 
l'accélération d' de la particule, s'effectue
préférentiellement ce rayonnement ?

Préciser l'état de polarisation de l'onde émise.

I.C -- Montrer que la puissance rayonnée dans tout l'espace par la particule 
chargée accélérée est donnée
par la formule de Larmor :

2

P(r,t) : q-- 2(t--r/c)

&
67T6003

'" 4
On rappelle que / sin39d9 : ä'
0

2013--04--30 21:49:52 Page 1/7 GC) BY-NC-SA

II Injecteur
II .A -- On considère un plan infini (yOz) portant une densité superficielle de 
charge uniforme --o.

II.A.1) Déterminer, grâce au théorème de Gauss, le champ électrostatique Ë créé 
dans tout l'espace par
cette surface plane chargée. Montrer que le champ électrostatique obtenu 
vérifie bien les relations de passage
attendues a la traversée du plan.

II.A.2) On ajoute un second plan, parallèle au premier en :E = d, portant une 
densité superficielle de charge
uniforme opposée 0. Déterminer le champ électrostatique Ë total créé par ces 
deux plans dans tout l'espace.
II.B -- Pour faire circuler des électrons dans l'anneau de stockage d'un 
synchrotron, où ils seront guidés le
long d'orbites circulaires grâce a un champ magnétique, il faut préalablement 
les accélérer.

On considère une cavité accélératrice linéaire formée de deux plaques fines et 
conductrices de grandes di--
mensions transversales en :E = 0 et en :E = d, auxquelles on applique une 
différence de potentiel constante

U : V(d) -- V(O) > 0 de telle sorte que règne dans l'espace entre les plaques 
un champ électrostatique uni--
forme :

--' --» m --»
EO : --EOeoe : ----ozeoe
6

où m est la masse de l'électron, e la chargé élémentaire (Qélectron : --e) et 
oz une constante caractérisant
l'intensité du champ électrique appliqué

En notant --0 et a les densités superficielles de charge qui apparaissent 
respectivement sur les plaques conduc--
trices en :E = 0 et :E = d , déterminer a en fonction de 60, U et d . En 
déduire l'expression de oz en fonction de e,

m, Uet d.

II. C' -- Les plaques sont percées le long de l'axe (035) afin de permettre aux 
électrons d'entrer (en :E = O) et
de sortir (en :E = d) de la cavité accélératrice.

--»

EO
%
170
%
0 d 515
Oavité
Figure 1

Soit 170 = @@ é}; la vitesse initiale de l'électron a l'entrée de la cavité, a 
t = 0. Déterminer, en négligeant le
rayonnement d'énergie électromagnétique par l'électron accéléré, le temps T que 
met l'électron a traverser la
cavité ainsi que sa vitesse de sortie 171. On donnera les résultats en fonction 
de vo, oz et d.

II .D -- Le rayonnement d'énergie électromagnétique dû a l'accélération de 
l'électron modifie son mouvement
dans la cavité : il met un temps T ' pour franchir la cavité et ressort avec 
une vitesse 171, .
On voudrait déterminer Üf-- Pour cela, compte tenu du faible effet lié au 
rayonnement, on fait les hypothèses

suivantes.
-- On utilise la formule de Larmor pour évaluer la puissance rayonnée par 
l'électron :

EUR2 2 2 EUR2
=m7a avec 7'=--3
67rmeoc

----a
67T6003

en prenant pour l'accélération & celle obtenue en négligeant l'effet dû au 
rayonnement (c'est--à--dire celle
correspondant a la situation de la question précédente).

-- On considère qu'au premier ordre dans l'évaluation de 171, on peut assimiler 
le temps que met l'électron a
traverser la cavité a T ; on posera donc T' : T.

Effectuer un bilan énergétique entre l'entrée et la sortie de l'électron, afin 
de déterminer 171, . On écrira le résultat

sous la forme :

T
'Uîfi'Ul--ÇU--l

Exprimer la constante C' en fonction de oz et 7' et donner la dimension de 7'.

2013--04--30 21:49:52 Page 2/7 @C) BY-NC-SA

|_l

III Anneau de stockage

III .A -- L'électron est ensuite injecté (au point 0) dans une région où seul 
règne un champ magnétique statique
et uniforme Ë0 : BO EUR}.

À 75 = 0 (nouvelle origine des temps) sa vitesse 171, , notée ici "Db, est 
perpendiculaire au champ magnétique, donc
dans le plan (oeOy), et fait un angle de 7T/4 avec l'axe (0515) conformément a 
la figure 2.

z
Ëo
170
7T/4
96
Figure 2

III.A.1) Montrer, en utilisant le théorème de l'énergie cinétique, que si l'on 
néglige le rayonnement de l'électron,
son énergie cinétique 50 est constante.

III.A.2) En négligeant tout phénomène lié au rayonnement de l'électron, 
déterminer, en fonction de @@ et
w = @ BO / m, les coordonnées oe(t), y(t) et z(t) de l'électron au cours du 
temps.

III.A.3) Montrer que la trajectoire est circulaire et reste dans le plan (oeOy) 
et déterminer les coordonnées du
centre C du cercle décrit par l'électron ainsi que son rayon R0 en fonction de 
@@ et w.

III .B -- Du fait du rayonnement émis par l'électron accéléré par le champ 
magnétique ËO son énergie cinétique
décroît au cours du temps. Cet effet étant faible, on peut dans la formule de 
Larmor pour la puissance rayonnée
77 donnée aux questions I.C et HD remplacer l'accélération & de l'électron par 
celle obtenue en ne tenant compte
que de l'action du champ magnétique.

Déterminer en fonction de e B 6 c m et 5 la uissance 79 ra onnée ar l'électron. 
En déduire l'ex ression
7 7 07 07 7 C7

de l'énergie cinétique de l'électron au cours du temps et déterminer 
l'expression du temps caractéristique 7" de
décroissance de cette énergie.

III .C -- On considère un électron d'un faisceau synchrotron magnétiquement 
guidé le long d'une trajectoire
circulaire de rayon RO (il ne passe plus dans une cavité accélératrice). Sur un 
tour, l'énergie 65 perdue par cet
électron est faible et la norme @ de sa vitesse quasi--constante.

Exprimer, en fonction de v et R0, la norme & de l'accélération de l'électron 
puis déterminer l'énergie 65 rayonnée
par l'électron sur un tour.

III .D -- On veut évaluer l'énergie perdue par rayonnement d'un électron, sur 
un tour, dans le cas du synchro--
tron a électrons SOLEIL de Saclay de rayon RO : 56 m, utilisé (entre autre) 
comme source intense de rayons X
a des fins de recherche notamment dans les domaines de la matière condensée et 
de la biophysique (grâce a la
diffraction des rayons X le synchrotron joue le rôle d'un véritable << 
nanoscope >> capable de sonder la structure
de cellules organiques où de systèmes inorganiques més0scopiques).

Pour cela on doit tenir compte du fait que la vitesse d'un électron du faisceau 
est ultra--relativiste ce qui modifie
le calcul de la puissance rayonnée. Dans le cas d'une orbite circulaire, 
l'expression de l'énergie 65 rayonnée par
un électron sur un tour reste simple : on trouve le résultat de la question 
précédente multiplié par le coefficient
y4, où y est le facteur de Lorentz1 :

1
"__.Üa/CQ

III.D.1) Pour un faisceau d'électrons ultra--relativistes dont la vitesse vaut 
99,9999983 % de la vitesse de la
lumière, circulant dans le synchrotron SOLEIL, calculer y.

III.D.2) Calculer l'énergie 65 (en keV) perdue par tour et par électron.
III.D.3) Calculer le temps T 0 mis par un électron pour effectuer un tour 
complet de l'anneau de stockage.

En déduire le temps 710% au bout duquel le faisceau aura perdu 10% de son 
énergie sachant que son énergie
nominale est de 2,75 CeV. Commenter.

Hendrik Antoon Lorentz, physicien néerlandais co--lauréat du prix Nobel de 
physique en 1902 avec Peter Zeeman.

2013--04--30 21:49:52 Page 3/7 @C) BY-NC-SA

IV Spectre du rayonnement émis

I V.A -- La directivité du rayonnement émis est considérablement augmentée 
compte tenu d'effets relativistes.
L'électron ultra--relativiste (que l'on suppose seul pour simplifier) en orbite 
circulaire rayonne tangentiellement
a sa vitesse dans un cône de demi angle au sommet 1/v. On obtient de fait un 
rayonnement très collimaté.
IV.A.1) On place un détecteur à grande distance du synchrotron SOLEIL (dans ce 
qu'on appelle une << ligne
de lumière >>). Justifier de manière qualitative l'observation par le détecteur 
d'une série périodique d'impulsions
lumineuses. Quelle est la période de répétition de ces impulsions ?

IV.A.2) On veut déterminer la durée 675 d'une impulsion lumineuse reçue par le 
détecteur dans le cas de
l'électron de la question précédente (on suppose que sa vitesse @ est maintenue 
constante et égale à 99,9999983%
de la vitesse de la lumière).

On note C le centre de l'anneau du synchrotron. Le rayonnement qui constitue le 
début de l'impulsion perçue
par le détecteur est émis au point A et celui qui constitue la fin de la même 
impulsion est émis au point B.

On note @ l'angle entre (CA) et (CB), conformément a la figure 3.

A B

................................ > Vers le détecteur

Figure 3

Exprimer @ en fonction de v.

IV.A.3) Exprimer en fonction de RO, @ et v le temps At mis par l'électron pour 
parcourir la distance AB. En
déduire la distance ôoe parcourue par le début de l'impulsion émise en A 
pendant cette durée puis la longueur
5EUR de l'impulsion qui va atteindre le détecteur.

IV.A.4) Exprimer la norme @ de la vitesse de l'électron en fonction de v et en 
donner une expression approchée
linéarisée en 1/v2 compte tenu du fait que l'on a v >> 1.

IV.A.5) En déduire finalement que la durée de l'impulsion détectée, 
compte--tenu des approximation proposées,
s'écrit :
4 1 R
675 = -- --3 --°
3 v 0
Effectuer l'application numérique.
On rappelle que, au voisinage de zéro, sinoe % oe -- oe3/6 + . . ..

I V.B -- La puissance reçue au cours du temps par un détecteur dans une ligne 
de lumière donnée a par
conséquent l'allure donnée figure 4.

79 : TO

Figure 4

Il en résulte que le spectre en fréquence de la puissance reçue est 
approximativement limitée par deux fréquences
de coupure :

-- la fréquence inférieure V0 ;

-- la fréquence supérieure VC.

La puissance reçue par unité de fréquence, P,, = --, a l'allure donnée figure 5.

du

2013--04--30 21:49:52 Page 4/7 @C) BY-NC-SA

V0 VC &
Figure 5

IV.B.1) Déterminer VO et VO et effectuer les applications numériques pour les 
longueurs d'onde correspondantes
AG et ÀC pour le faisceau de la question IV.A circulant dans le synchrotron 
SOLEIL.

IV.B.2) Commenter les résultats obtenus quant au spectre du rayonnement 
synchrotron.

V Onduleurs et Wigg1ers

V.A -- De nombreuses applications du rayonnement synchrotron (comme par exemple 
le traitement de tu--
meurs cérébrales par irradiation synchrotron a l'ESRF de Grenoble) nécessitent 
d'affiner le spectre émis par les
électrons du synchrotron et d'avoir un rayonnement plus intense. Pour cela, on 
les injecte dans une structure
magnétique périodique appelée onduleur ou Wiggler représentée figure 6 (on 
verra en fin de problème ce qui
distingue ces deux dispositifs d' insertion).

y \aimant

Figure 6

L'électron se déplace suivant l'axe (Oz) a la vitesse 170 : @@ EUR}, et pénètre 
dans l'onduleur (en 0, a l'instant
t = 0) où des aimants permanents sont disposés de façon a ce que le champ 
magnétique subi par cet électron
soit approximativement de la forme :

Ë : BO cos(k0 z) @ (V.1)

avec kg : 27T/Àg où AG est la périodicité spatiale du champ.
V.A.l) Représenter schématiquement l'onduleur de la figure 6 en précisant la 
polarité des différents aimants

(on indiquera l'enchaînement des pôles Nord et Sud de chaque aimant de part et 
d'autre des pointillés, avec les
lettres N et S) permettant l'obtention d'un tel champ.

V.A.2) Montrer que le champ donné par la formule V.1 est forcément une 
approximation car incompatible
avec une des équations de Maxwell.

V.B -- On rappelle que l'électron pénètre dans l'onduleur en 0 a l'instant t = 
0 avec la vitesse 170 : 0052. En
considérant cet électron comme non relativiste, écrire les équations de son 
mouvement.

Résoudre ces équations en donnant les expressions approchées de oe(t), y(t) et 
z(t) obtenues en négligeant les
oscillations de l'électron dans la direction (Oz), ce qui revient a poser 17 : 
170 dans la force de Lorentz subie par
l'électron.

V.C -- Donner, en fonction de @, UD, 60, BO, c et m, l'expression de la 
puissance moyenne {P) rayonnée par
l'électron sur une période d'oscillation.

V.D -- Dans cette question et la suivante on considère l'électron 
ultra--relativiste de la question IV.A.
L'électron dans l'onduleur se comporte comme une véritable antenne ayant la 
vitesse 170. En oscillant, il émet une
onde électromagnétique qui se propage dans la direction 52 et qui a pour 
longueur d'onde celle de l'onduleur,
À0, dans son référentiel en mouvement par rapport au référentiel du laboratoire 
Rlab a la vitesse 170. Pour
l'observateur fixe dans R1ab, du fait de l'effet Doppler, la longueur d'onde 
perçue A,. est différente et vaut, pour
un électron ultra--relativiste :

où y est le facteur de Lorentz introduit a la question HID.

2013--04--30 21:49:52 Page 5/7 @C) BY-NC-SA

Quelle doit être la périodicité spatiale À0 de l'onduleur pour obtenir un 
rayonnement X d'une longueur d'onde
de un nanomètre ?

V.E -- Dans le cas d'un électron ultra--relativiste (vo : c) la puissance 
moyenne rayonnée obtenue a la
question V.O est multipliée par y2.

On considère un onduleur (ou Wiggler) pour lequel BO : 2,5 T et À0 : 6 cm.

Sachant que l'énergie d'un photon de fréquence V est 5, : hV où h est la 
constante de Planck, déterminer le
nombre N, de photons émis par l'électron lorsque ce dernier traverse une 
période magnétique.

V.F -- Comme cela a été vu a la question IV.A, le rayonnement d'une particule 
chargée ultra--relativiste est
extrêmement collimaté et la particule rayonne essentiellement tangentiellement 
a son vecteur vitesse, dans un
cône étroit de demi angle au sommet AH : 1/y.

On caractérise les onduleurs et les Wigglers par le paramètre K :

_ EURBoÀ0 N EURBoÀ0
_ 27Tva _ 27rmc

On note \IJO la déviation angulaire maximale de l'électron par rapport a sa 
direction avant EUR}; (sur la figure
les ondulations et l'ouverture angulaire du rayonnement ont été 
considérablement exagérées ; en pratique on a
\110 << 1 et A9 << 1).

OEJ\

'Ïfo

\
\
\
\
\
\
\
\

/
/
/
\
/
\Z/
\
\

Figure 7

Deux cas de figure se présentent, qui distinguent les onduleurs des Wigglers.

Pour les onduleurs : \IJO << AH. Le faisceau a un déplacement négligeable 
devant sa propre largeur angulaire et
le rayonnement détecté par un observateur éloigné dans la direction 52 est 
alors une superposition pratiquement
cohérente des contributions fournies par toutes les ondulations de la 
trajectoire des électrons. Le rayonnement
est reçu en continu et pratiquement monochromatique.

Pour les Wigglers : \IJO >> AH. L'observateur détecte alors une succession 
d'éclairs de fréquence V0 = c/ ÀO. Le
spectre d'un Wiggler est alors lisse et semblable a celui du rayonnement 
synchrotron. Si la structure du Wiggler
comporte N périodes, l'intensité du rayonnement est N fois celle produite par 
un seul passage de l'électron
dans l'anneau de stockage équivalent.

Sachant que l'équation de la trajectoire d'un électron relativiste se déduit de 
celle obtenue en VB pour un
électron non relativiste en remplaçant m par mn, déterminer si l'élément 
d'insertion considéré a la question V.E
est un onduleur ou un Wiggler.

Dans la suite on considère un onduleur. Les réponses demandées aua: deua: 
dernières questions qui suivent ne
sont que qualitatives et ne doivent contenir aucun calcul.

V.G -- Le rayonnement émis par l'électron traversant l'onduleur correspond a 
celui d'un oscillateur harmo--
nique effectuant des oscillations transverses suivant EUR}, et translaté a une 
vitesse proche de la vitesse de la
lumière suivant ê'Z (on parle parfois << d'antenne relativiste >> pour décrire 
la source de cette radiation). Oe
rayonnement présente donc de grandes similitudes avec celui du dipôle oscillant 
classique, fixe dans le référentiel
du laboratoire. Dans la direction @, le rayonnement émis est intense et 
polarisé rectilignement (cf question LB)
colinéairement aux oscillations transverses de l'électron (c'est--à--dire 
suivant 5513).

Comment pourrait--on modifier l'onduleur (en modifiant sa géométrie et/ou en 
ajoutant des aimants) afin d'obte--
nir un rayonnement polarisé circulairement dans le plan (oeOy) ? On pourra 
préciser son argumentation a l'aide
d'un schéma.

V.H -- Pour un grand nombre N de périodes magnétiques l'onduleur génère un 
rayonnement pratiquement
monochromatique a la fréquence V... comme cela a été vu précédemment. En 
pratique, le rayonnement émis
possède un spectre avec effectivement un pic fondamental très intense et très 
monochromatique a la fréquence
V.,. mais aussi un certain nombre d'autres pics a des fréquences multiples de 
V... appelés harmoniques secondaires.

2013--04--30 21:49:52 Page 6/7 @C) BY-NC-SA

Sachant ue l'on obtient un cham ma néti ue ériodi ue mais as ri oureusement 
sinusoïdal dans l'onduleur
7
pourriez--vous expliquer la présence de ces autres pics dans le spectre 
d'émission de l'électron ?

Valeurs numériques

Vitesse de la lumière dans le vide 0 = 299 792 458 rn -- s--1
Perméabilité magnétique du vide ;... = 477 >< 10_7 H - rn--1
Perméabilité diélectrique du vide 60 = 8,854 >< 10_12 F - rn--1
Constante de Planck h = 6,626 >< 10_34 J -- s
Charge élémentaire e = 1,602 >< 10--19 C
Masse de l'électron m = 9,109 >< 10_31 kg

oooFINooo

2013--04--30 21:49:52 Page 7/7 @C) BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Anne Mounier (ENS Lyon) ; il a été relu par Benoît
Lobry (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm).

Le sujet porte sur l'étude du rayonnement émis par des électrons dans un 
accélérateur synchrotron.
· Dans une première partie, on s'intéresse à la puissance rayonnée par une 
charge
accélérée. Cette partie s'approche de l'étude du rayonnement dipolaire.
· La deuxième partie s'attache à un élément crucial du synchrotron, l'injecteur
dans lequel les électrons sont accélérés par un champ électrostatique. Elle 
permet de tester ses connaissances en électrostatique et sur l'étude du 
mouvement
d'une particule chargée dans un champ électrostatique.
· La troisième partie, consacrée à l'étude de l'anneau de stockage du 
synchrotron, qui peut être considéré comme la piste de fond des électrons, 
complète la
précédente en étudiant cette fois-ci le mouvement d'une particule chargée dans
un champ magnétostatique. Elle permet également d'introduire le caractère 
relativiste des phénomènes, même si aucune connaissance de relativité restreinte
n'est bien sûr nécessaire pour résoudre le problème.
· Par la suite, dans la quatrième partie, on étudie plus précisément le 
rayonnement synchrotron et son spectre.
· Enfin, dans la dernière partie du problème, on considère des dispositifs 
magnétiques particuliers qui permettent de rendre le rayonnement synchrotron 
plus
intense. Après une nouvelle étude sur le mouvement de particules chargées dans
un champ magnétostatique, on développe des questions plus qualitatives.
Ce problème d'une difficulté raisonnable permet de vérifier ses compétences dans
plusieurs domaines de l'électromagnétisme. Il traite ainsi principalement du 
mouvement de particules chargées dans un champ électromagnétique, mais 
également de
rayonnement dipolaire, d'électrostatique et de magnétostatique.

Indications
Partie I
I.B Utiliser le développement d'un double produit vectoriel
-
 
-

-
-

-

-
a  b -
c = 
a ·-
c b - 
a · b -
c
Partie II
II.A.1 Étudier d'abord les invariances et les symétries du problème pour 
réduire les

-
dépendances spatiales de E et déterminer sa direction.
II.A.2 Utiliser le théorème de superposition.
II.C.1 Déterminer tout d'abord x(t), puis utiliser la condition limite sur la 
taille de
la cavité accélératrice x(t = T) = d.
Partie III
III.A.2 Poser le changement de variables u = x + iy.
III.B Exprimer l'accélération en fonction de la vitesse v0 et du rayon du 
cercle R0 .
Partie IV
IV.A.3 Il est possible de considérer en première approximation que l'arc de 
cercle AB
est rectiligne, ce qui simplifie la détermination de la longueur de l'impulsion.
IV.A.5 Attention à bien effectuer les développements limités au même ordre !
Partie V
V.C La moyenne temporelle cos2 t sur une période vaut 1/2.
V.E Exprimer de deux manières différentes l'énergie rayonnée pendant une 
période d'oscillation magnétique.
V.F Déterminer 0 en calculant la pente maximale de x(z), puis comparer sa
valeur à celle de .
V.G Une polarisation circulaire peut se décomposer en la somme de deux 
polarisations rectilignes.

Rayonnement synchrotron
I. Rayonnement d'une particule chargée accélérée
I.A.1 Le rayonnement électromagnétique se propage dans le vide à la célérité c. 
La
propagation de la source située en O au point M dure r/c. Par conséquent, le 
champ

-
B (r, t) dépend des caractéristiques de la source à l'instant t - r/c, que l'on 
nomme
instant retardé.
I.A.2 L'onde rayonnée s'apparente localement à une onde plane se propageant dans
 -
-

le vide selon -
e . De plus, (-
e , E , B ) forme un trièdre orthogonal direct. La relation
r

r

de structure de l'onde s'écrit donc :

-

 -
-
er  E
B =
c

-
Reprenons l'expression de B
-

E (M, t) =

-

-
E = cB  -
er

soit

-q

(-
er  -
a (t - r/c))  -
er
4 0 rc2

I.B Repartons de l'expression générale du vecteur de Poynting
 -
-

-
EB
=
µ0
et utilisons le développement d'un double produit vectoriel qui s'exprime pour 
tous
 
-

vecteurs -
a , b et -
c
-
 
-

-
-

-

-
a  b -
c = 
a ·-
c b - 
a · b -
c

-
On obtient alors, en se souvenant que le champ B est orthogonal à la direction 
de

propagation -
er

-
 -
 
-
  -
 cB2 -
c  -

 =
B·B -
er - B · -
er B =
er
µ0
µ0

Or en notant  l'angle entre -
a et -
e , l'amplitude du champ magnétique s'écrit
r

B=

Finalement,

q a(t - r/c)
sin 
4 0 c3 r

- -

q 2 a2 (t - r/c)

 (
r , t) =
sin2  -
er
16 2 c3 r2 0

Le vecteur de Poynting représente la densité surfacique de puissance du champ
électromagnétique. Le rayonnement s'effectue préférentiellement dans la 
direction où la norme de ce vecteur est maximum, ce qui correspond ici à
 = /2, c'est-à-dire dans le plan (xOy) perpendiculaire à la direction de 
l'accélération. Enfin, la direction du champ électrique reste constante au 
cours du temps.

-
L'onde est donc polarisée rectilignement suivant la direction de E qui vaut

(-
e -
e )-
e =-
e - cos  -
e
r

z

r

z

r

La réponse sur la polarisation de l'onde est donnée à la fin de l'énoncé, à la
question V.G. C'est pourquoi il est important de lire les énoncés en entier.
I.C La puissance rayonnée par la particule chargée s'obtient en intégrant le 
vecteur
de Poynting, qui s'exprime en W.m-2 , sur la surface S d'une sphère de rayon r
ZZ
 -
-

P(r, t) =
 · dS
=

Z

S

Z

2

(r, t)r2 sin  d d

=0 =0
2 2

P(r, t) =

q a (t - r/c)
8 c3 0

Z

sin3  d

0

Utilisons la valeur de l'intégrale donnée pour retrouver la formule de Larmor
P(r, t) =

q2
a2 (t - r/c)
6 0 c3

II. Injecteur
II.A.1 Tout d'abord, la source, c'est-à-dire le plan chargé (yOz), est 
invariante par

toute translation suivant les vecteurs -
ey et -
ez , donc le champ électromagnétique ne
dépend que de la variable spatiale x.
Ensuite, considérons les plans passant par un point M quelconque de l'espace. 
Les

-

plans (M, -
ex , -
ey ) et (M, -
ex , -
ez ) sont des plans de symétries de la source. Or E est un
vecteur polaire, donc il est contenu dans ces plans : le champ est suivant la 
direction

-
ex . Finalement,

-

E (M) = E(x) -
ex
Considérons une portion de cylindre
, d'axe (Ox), fermée par des chapeaux plans d'aire S situés en x = x1
et x = x2 , avec x1 < x2 , et notons

Qint la charge contenue à l'intérieur de d-
S1
cette surface fermée. Cette géométrie
est représentée sur la figure suivante,
avec dans ce cas x1 < 0 et x2 > 0. Le
théorème de Gauss s'écrit :
ZZ
 -
-
 Q
E . d S = int
0

ZZ
ZZ
ZZ
 -
-

-

-
Or
E · dS =
E (x1 ) · d S +

S1

S2

y

-
dSlat

x1

x2

-
dS2
x

z
plan chargé
-

-

E (x2 ) · d S +

ZZ

Slat

= -E(x1 )S + E(x2 )S + 0

-

-
E (x) · d S