Centrale Physique 1 PC 2012

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EÜNEÜUHS EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2012

Physique du golf

Ce sujet est composé de trois parties indépendantes.

On notera X et X les dérivées temporelles première et seconde d'une fonction X 
(t) quelconque.

I Le swing

L'objectif du golf est de parvenir, en un nombre de coups le plus faible 
possible, a envoyer la balle dans chacun
des 18 trous du parcours, en la frappant a l'aide d'un instrument appelé << club >> : le geste effectué par le joueur
avec le club pour frapper la balle est appelé << swing ». On étudie dans cette partie la mécanique du swing, pour mettre en évidence à la fois la cinématique et les efforts mis en jeu. I.A -- Caractéristiques du club Un club de golf est schématiquement composé de deux parties, rigidement liées entre elles : le manche et la tête de club. Le joueur tient le club avec ses mains par l'extrémité A A du manche, et la tête de club est fixée à l'autre extrémité B et entre en contact avec la balle lors de l'impact (voir figure 1). Attention, dans tout l'énoncé, le mot << club >>
représentera l'ensemble {manche et tête de club}.

Manche
Le manche est une tige rectiligne sans épaisseur de longueur AB = LC et le club 
possède
un centre de masse GC qu'on considérera situé sur le manche, avec AGC = hc, une 
masse
totale mC et un moment d'inertie total JC par rapport a un axe perpendiculaire 
passant
par A. Il faut bien noter que la tête de club est prise en compte dans GC, mC 
et JC. ' B TAt

e e

On cherche dans cette partie I.A à déterminer expérimentalement AGC = hc et JC.
I.A.1) Expliquer brièvement, en s'appuyant sur un ou deux schéma(s) simple(s) 
et Figure 1

clair(s), pourquoi, en tendant son index à l'horizontale et en s'arrangeant 
pour poser
le club en équilibre dessus à l'horizontale, on détermine la position de GC.

I.A.2) Afin de mesurer JC, on réalise à l'aide du club un pendule simple, en 
suspen--
dant l'extrémité supérieure du manche (point A) a un axe horizontal (Az) fixe, 
par
une liaison pivot sans frottement. On repère l'écart du club avec la verticale 
par l'angle
go (voir figure 2).

&) À l'aide du théorème du moment cinétique et en négligeant les frottements de 
l'air,
établir l'équation différentielle du mouvement.

b) On mesure la période des petites oscillations : T 0 = 2,3 s. Exprimer JC en 
fonction
de mc, g, hc et T0. Application numérique avec mC = 0,32 kg, g = 9,8 m - s_2 et
hc = 80 cm (données typiques pour un club de type << driver >>, utilisé pour 
frapper les
coups les plus longs). Figure 2

I.B -- Modèle du pendule double
On introduit ici le modèle qui sera utilisé dans toute la suite de cette partie 
I.

Le club a déjà été décrit en I.A. D'autre part, on admet (théorème de Huygens) 
que le moment d'inertie du club
par rapport a (Gcz), noté J£, s'exprime simplement a partir de son moment 
d'inertie JC par rapport a (Az) :
J£ = JC -- szî.

Pour décrire le swing de golf, il faut prendre en compte le mouvement du club. 
.. mais aussi celui du golfeur !
Le modèle le plus simple, de type << pendule double », consiste à considérer que les bras du golfeur sont en rotation autour d'un axe fixe. On assimile de manière simplifiée l'association des deux bras à une tige unique OA, rectiligne homogène, de longueur OA = L5, de masse mb et de moment d'inertie Jb par rapport à l'axe (Oz) (voir figure 3). L'axe (Oz) est fixe et on travaille dans toute la suite de la partie I dans le référentiel terrestre considéré galiléen, auquel on associe le repère orthonormé (O, 112... Üy, 1ÏZ). La tige OA (<< les bras») pivote dans le plan vertical (æOy), autour de (Oz) fixe: on repère son écart par rapport a la verticale (Om) par l'angle 9. 30 avril 2012 09:49 Page 1/6 EC) BY-NC-SA Le club se déplace dans le même plan vertical : on note 90 l'angle entre le club et la verticale. Grâce à l'articulation au niveau des poignets, modélisée ici comme une simple liaison pivot au niveau de l'axe (Az), cet angle est a priori indépendant de 9. On définit enfin un angle fi = 90 -- 9. Lors d'un swing complet, le golfeur commence par faire pivoter les bras et le club vers le haut, jusqu'à parvenir a une situation de torsion extrême où il ne peut plus tourner ses bras davantage. . . puis il fait redescendre les bras et le club rapidement afin que la tête de club frappe la balle avec une vitesse élevée. On s'intéressera ici uniquement a cette phase de descente. La descente a lieu entre l'instant défini comme t = O, et l'instant t = 7' où la tête de club B frappe la balle. Avant l'impact, la balle repose sur le sol a la verticale du point 0, mais la balle n'interviendra pas du tout dans toute cette partie I ! Données: hc = 80 cm; LC = 1,1 m; mC = 0,32 kg; Lb = 0,65 m; JC calculé en I.A.2. I.B.1) À l'aide d'un schéma simple, dégager le sens physique de l'angle fi. sol balle I.B.2) À t = 0 (position de torsion maximale du golfeur), on considérera Figure 3 pour toute la suite que 9(0) = W et 90(0) = 37r/2. À t = 7' (impact avec la balle), 9(7) = 90(7) = 0. Faire un schéma de ces deux positions, en précisant a chaque fois la valeur de B . I.C -- Eæpressions des grandeurs cinétiques (résultante cinétique, énergie cinétique, moment cinétique ) I.C.1) En s'appuyant sur la figure 3, donner les coordonnées ægc et yGC du centre de masse GC du club a un instant quelconque, dans le repère (O, 1ÏOE, %, ÜZ) en fonction de L5, hc, 9 et (0. En déduire, dans ce même repère, la résultante cinétique (ou << quantité de mouvement >>) fic du club.

I.C.2) Donner l'énergie cinétique Ecb des bras (c'est--à--dire de la tige OA), 
en fonction de Jb et 9. Déterminer
soigneusement l'énergie cinétique ECC du club et en déduire que l'énergie 
cinétique de l'ensemble {bras et club}
se met sous la forme :

1 - 1 .
c = 5C92 + 5ng2 + E9gbcosfi

où C , D et E sont trois constantes positives à exprimer en fonction de Jb, JC, 
mc, L5 et hc.
I.C.3) Expliquer en deux lignes ce qu'il faudrait faire pour exprimer le moment 
cinétique 0C/(Oz) du club par

rapport a (Oz). Le calcul n'est pas demandé et on admet que le moment cinétique 
O'(Oz) de l'ensemble {bras et
club} par rapport à l'axe (Oz) se met sous la forme

Ü(Oz) = C9 + ng + E(Û + 90) COSB

avec C , D et E identiques à I.C.2. Pour la suite, il est conseillé d'utiliser 
cette expression en gardant C , D et
E (sans les remplacer par leurs expressions).

I.D -- Application : dynamique du swing

Dans cette partie LD, on considérera les efforts et les accélérations assez 
importants pour pouvoir négliger la
pesanteur et les frottements de l'air.

I.B.1) L'action du reste du corps sur les bras, au niveau de l'articulation en 
0, se réduit à une force inconnue
appliquée en O et a un couple Db = Fbu'z que l'on considérera comme indépendant 
du temps. Quel est le signe de
D, ? En considérant l'ensemble {bras et club}, établir une première équation 
différentielle, faisant notamment
apparaitre 9, 90 et leurs dérivées ainsi que B,.

I. D. 2) Afin de déterminer plus complètement les efforts fournis par le 
golfeur, il faut s'intéresser à l'action
des bras sur le club, au niveau de la liaison en A: on considérera que les 
actions des bras sur le club se réduisent
à une force de résultante Fb_>c-- -- F u... + F yuy et a un couple Fb_>c-- -- 
I' CuZ.

a ) Écrire les expressions de E,, et Fy en fonction de la dérivée temporelle de 
17EUR (défini en 1.0.1) : on demande

juste une écriture de la forme E,, = d - -) et Fy = %(- - ), sans calcul des 
dérivées.

Æ<' b) À l'aide du théorème du moment cinétique, déterminer l'expression de FC en fonction de FOE, Fy, hc, J£ (moment d'inertie du club par rapport a (Gcz)), go et gb. 30 avril 2012 09:49 Page 2/6 EC) BY-NC-SA I.D.3) Première phase de la descente Dans la première phase, on constate expérimentalement que le golfeur bloque ses poignets, de telle sorte que l'angle fi(t) reste constant, égal a sa valeur initiale fi(0). A t = 0, on rappelle que 9(0) = 7r, g0(0) = 37r/2 et les bras et le club sont immobiles. &) Quelle est alors durant cette phase la relation entre 9 et gb ? Résoudre alors l'équation du I.D.1 en exprimant 9(t) en fonction de C, D et D,. b) A l'aide des trois équations établies en I.D.2, on montre alors (calcul non demandé !) que durant cette phase DF EF2 b + b = 752 C+D (C+D)2 Fc En déduire qu'il existe un instant to où le couple exercé par les bras sur le club s'annule et déterminer l'angle 9(t0) correspondant, en fonction de D et E. Application numérique pour 9(t0). I.D.4) Deuxième phase de la descente Pour t > to et jusqu'au moment de l'impact avec la balle à t = 7', un bon 
joueur n'exerce quasiment plus aucun
couple sur le club, c'est--à--dire qu'il << libère >> ses poignets et on peut 
donc considérer que FC = 0 (la liaison
bras -- club au niveau de l'axe (Az) devient un pivot parfait). Attention, le 
couple Pb reste non nul et toujours
indépendant du temps.

@) Pourquoi, de t = 0 jusqu'à t = '7', le travail des forces intérieures au 
système {bras et club} est--il nul ?
b) Que vaut le travail du couple Db pendant cette même durée, en fonction de D, 
?

c) A t = 7', des mesures montrent que l9(7)l << lgb(7)l. Les constantes C , D et E étant de valeurs assez proches, déduire des questions I.D.4.a et I.D.4.b l'expression approchée de gb(7) en fonction de D, et JC. d) En déduire l'expression approchée de la vitesse de la tête de club (assimilée ici a la vitesse du point B) au moment de l'impact, la calculer numériquement (avec (Fbl = 1,0 >< 102 N - m) et commenter. II Le vol de la balle La tête de club est en réalité assimilable à une surface plane dont l'inclinaison avec la verticale varie en fonction du type de club. L'impact de cette surface avec la balle est un phénomène très violent et très bref. Typiquement, lors d'un coup frappé avec un club de type << driver >> (vitesse de la tête de 
club d'environ 50 m - s_1), la balle
passe d'une vitesse initiale nulle a environ 70 m-s_1 a la fin du contact avec 
la tête, qui dure 0,50 ms. Cependant
l'inclinaison de la tête de club entraîne un glissement de la balle le long de 
celle--ci pendant l'impact, ce qui
conduit a une mise en rotation de la balle. Ainsi une balle frappée avec un << driver >> quitte le sol en effectuant
de l'ordre de 60 rotations par seconde. Dans le cas d'un coup sans aucun << effet >> l'axe de rotation de la balle
est horizontal et perpendiculaire à sa vitesse a la sortie du club.

On s'intéresse dans cette partie à l'effet de la rotation de la balle sur sa 
trajectoire aérienne. Pour cela, on
effectue un changement de référentiel en se plaçant dans un référentiel où le 
centre de la balle est immobile et
l'air en écoulement. On considérera ce référentiel galiléen pour l'étude de 
l'écoulement de l'air.

L'air est en écoulement parfait, stationnaire, irrotationne1, homogène et 
incompressible et on notera p sa masse
volumique. On néglige la gravité.

Afin de mettre en évidence l'importance de la rotation, on s'intéresse à un 
modèle d'écoulement autour d'un
cylindre de longueur infinie, de rayon R, animé d'un mouvement de rotation 
autour de son axe (Oz) fixe, avec

un vecteur--rotation Q = QQÏZ dans le référentiel R(O, ÜOE, %, ÜZ) galiléen.

Loin du cylindre, en amont de celui--ci, l'écoulement a une vitesse uniforme,
50 = --U0ÜOE, avec vo constante et positive. On repère un point M de l'espace
par ses coordonnées cylindriques (739,2) d'axe (02).

II .A -- De quelles variables (7°, 9, z et t) le champ de vitesse 5 dépend--il ?

II .B -- Quelles sont les deux conditions aux limites vérifiées par 5 ?

%
On définit le potentiel des vitesses go associé à l'écoulement par 27 = gradg0
et on admet que

90039) = (-Uo?" -- %) COS 9 + R2QH

où 19 est une constante qui sera définie dans la suite. Figure 4

II .C -- Justifier l'introduction du potentiel des vitesses 90.
II .D -- Donner les expressions des composantes du champ de vitesse UT et 219.

II .E -- Vérifier les conditions aux limites et en déduire p en fonction de R 
et UD.

30 avril 2012 09:49 Page 3/6 EC) BY-NC-SA

II .F -- En déduire le champ de pression P(7" = R,9) a la surface du cylindre, 
en fonction de p, R, (2, vo, 9 et
P0 (valeur de la pression loin du cylindre, considérée uniforme).

II .G -- En déduire, a l'aide d'un schéma clair et d'arguments de symétrie, que 
la résultante Ë'p des forces de
pression a une composante nulle selon ü'OE.

II .H -- En raisonnant sur une portion de cylindre de hauteur h, déterminer la 
force de pression Ë'p selon %

et mettre finalement 1313 sous la forme [:'p = 0450 /\ Ô en exprimant la 
constante 04 en fonction des données. On
pourra utiliser Ê" sin3 9d9 = 0 et Ê" sin2 9d9 = 7r.

II .I -- Applications

On admet que le résultat ci--dessus se transpose a une balle de golf, à 
condition de prendre pour le coefficient 04
une valeur appropriée.

II.I.1) Commenter la direction et le sens de la force Ë'p selon que le golfeur 
a correctement frappé la balle
(Q > O). .. ou a totalement raté son coup (Q < 0). II.I.2) Calculer la norme de cette force au départ d'un coup de << driver >> : 
Q = 3,8 >< 102 rad - s_1, vo = 70 m - s_1 et oz % 1,5 >< 10_5 (SI). Commenter, sachant que la balle a une masse Mb = 46 g. II.I.3) Que risque le golfeur si, a cause d'un swing imparfait, le vecteur--rotation n'est pas tout a fait porté par 21}; ? II.I.4) Quel phénomène négligé ici faudrait--il prendre en compte pour une description complète des forces subies par la balle ? Quelle est sa conséquence sur la vitesse et la rotation de la balle au cours de son vol ? III Étude des vibrations de la tête de club Afin d'améliorer le matériel, les fabricants travaillent en particulier sur le comportement mécanique de la tête de club, afin notamment d'assurer une bonne résistance du matériau aux efforts et d'optimiser le transfert d'énergie vers la balle lors de l'impact. Sous la violence du choc, la surface de la tête de club se déforme en réalité légèrement (phénomène négligé dans toutes les autres parties du sujet) et subit une série de vibrations. On étudie dans cette partie un dispositif de vibrométrie laser qui permet de remonter à la vitesse d'un point de la surface et aussi a son sens de déplacement. L'ensemble du dispositif est placé dans l'air, assimilé au vide. On note 50 la permittivité électrique du vide, et c la vitesse de la lumière dans le vide. III .A -- On considère l'interféromètre de Michelson représenté figure 5, où M représente un miroir plan fixe et 5 la surface de l'objet que l'on cherche à étudier, considérée plane et qui réfléchit la lumière comme un miroir. Initialement, M et S sont perpendiculaires aux axes des deux bras de l'interféromètre et l'interféromètre est réglé au contact optique, puis la surface S se déplace d'une distance algébrique d suivant l'axe (Oz) (d > 0 si 5
se déplace dans le sens des 2 croissants). La lame séparatrice est une lame 
semi--réfléchissante idéale considérée
sans épaisseur.

MMM

séparatrice

S

': photodiode

Figure 5

III.A.1) Définir le contact optique.

III.A.2) En considérant que le laser émet un faisceau parallèle dirigé selon 
les 2 croissants, justifier brièvement
que l'intensité lumineuse reçue par la photodiode peut se mettre sous la forme 
1 = Ig(1 + cos go) et exprimer 90
en fonction de d et À (longueur d'onde du laser), en prenant comme convention 
g0 > 0 si d > O.

III.A.3) Peut--on ainsi accéder au sens de déplacement de la surface S ?

Afin d'améliorer la mesure, on considère dans la suite le dispositif de la 
figure 6. Le laser émet une onde
plane progressive monochromatique (OPPM), de pulsation w (et de longueur d'onde 
À), de section 8, polarisée
rectilignement et la lame demi--onde placée en entrée (notée À/ 2) permet de 
régler la direction de polarisation.
On se place en coordonnées cartésiennes (O, 112... 1%, fig), avec les axes 
orientés sur la figure.

30 avril 2012 09:49 Page 4/6 EC) BY-NC-SA

A/4 ::
À/2 À/4

H H
@ UGS... H

oe :: À/4 « n°3 »

N

Ü photodiode 2
CSP2

': photodiode 1

Figure 6
III .B -- Après traversée de la lame demi-onde, le champ électrique peut 
s'écrire :
ËZ = EO cos(wt -- kz) cos 0421}; + EO cos(wt -- kz) sin Od'lÏy

où EO est l'amplitude initiale du champ électrique.

III.B.1) Quelle est la polarisation de cette onde ? La représenter sur un 
schéma en précisant les axes.

III.B.2) Déterminer le champ magnétique ËZ associé à ËZ. Après avoir rappelé la 
définition du vecteur de

Poynting ÎÏ et sa signification physique, déterminer la puissance moyenne PZ 
transportée par cette onde en
fonction de 50, 0, E0 et 8 (section du faisceau).

III. C -- L'onde arrive ensuite sur un cube séparateur de polarisation (noté 
CSP1 sur la figure). Le CSP1 n'ab--
sorbe pas d'énergie et sépare le faisceau incident en deux faisceaux polarisés 
rectilignement orthogonalement :
il se comporte comme un polariseur parfait (ou << polaroÏd » parfait), mais avec une direction de polarisation parallèle au plan d'incidence pour le faisceau transmis et une direction de polarisation perpendiculaire pour le faisceau réfléchi (et cela quelle que soit la face d'entrée). Ainsi, l'onde transmise par le CSP1 (le faisceau sonde, en direction de la surface étudiée S ) est polarisée selon ü'OE et possède une amplitude EO cos 04 alors que l'onde réfléchie par le CSP1 (le faisceau de référence, en direction du miroir fixe M) est polarisée selon 1% et possède une amplitude EO sin oz. III.C.1) Montrer que la puissance moyenne transmise, après traversée du CSP1, dans le faisceau de sonde (en direction de la surface S ) est Psonde = PZ cos2 04. Quelle loi retrouve--t--on ? III.C.2) En déduire la puissance moyenne réfléchie dans le faisceau de référence (en direction du miroir M), notée Pref. Pour toute la suite, on se placera dans le cas particulier 04 = 45°. Introduction aux questions III.D à III.F On étudie dans les questions HID a III.F l'effet de la traversée d'une lame quart d'onde (notée À/4 sur le schéma du dispositif), puis de la réflexion sur un miroir, puis de la traversée dans l'autre sens de la lame quart d'onde. Pour cela, on fait temporairement abstraction du montage complet et on s'intéresse au cas d'une OPPM incidente se propageant dans le vide dans le sens des 2' croissants, polarisée rectilignement et dont la direction de polarisation fait un angle fi avec l'axe (Oæ' ) (voir figure 7). 30 avril 2012 09:49 Page 5/6 EC) BY-NC-SA III .D -- L'OPPM définie ci--dessus traverse une lame quart d'onde, d'axe rapide (Ooe' ) et d'axe lent (Oy' ) yl III.D.1) Avant la lame, on écrit la composante sur (Ooe' ) du champ électrique incident >,
sous la forme : E...,z = EO cos(wt -- kz') cos 5. Donner alors sa composante 
E,,yz sur (Oy').

III.D.2) Rappeler le déphasage introduit par la lame À/ 4 entre les composantes 
suivant
(Ooe' ) et (Oy' ) Préciser quelle composante prend du retard par rapport a 
l'autre.

III.D.3) En déduire la polarisation de l'onde après traversée de la lame dans 
le cas général
(5 quelconque).

Figure 7

III.D.4) En déduire que si 5 = 45°, ce qu'on supposera pour la suite, on 
obtient une onde
polarisée circulairement en sortie, et déterminer si elle est droite ou gauche.

III .E -- L'onde déterminée en III.D.4 rencontre ensuite un miroir métallique 
parfait en z' = 0. En écrivant &

priori la forme de l'OPPM réfléchie par le miroir, déduire de la relation de 
passage sur Ê qu'il s'agit toujours
d'une polarisation circulaire. Est-elle droite ou gauche ?

III .F -- L'onde déterminée en III.E retraverse ensuite, en sens inverse, la 
lame quart d'onde définie en III.D.
Déterminer son état de polarisation après cette nouvelle traversée: conclure 
sur l'effet du montage {À/ 4 +
miroir}.

III .G -- On reprend le montage entier. Sachant que la lame quart d'onde placée 
dans le faisceau référence a
ses lignes neutres a 45° de % et ÜZ et que celle placée dans le faisceau sonde 
a ses lignes neutres a 45° de il}; et
ü'y, déduire des questions III.D a III.F les directions de polarisation des 
faisceaux sonde et référence juste avant
qu'ils ne retraversent le OSP1.

Grâce au OSP1, ces deux faisceaux ressortent donc tous les deux dans la même 
direction de propagation, en
direction de la troisième lame quart d'onde.

III.H -- Les deux champs qui ont retraversé le OSP1 ayant des polarisations 
orthogonales, il ne peut pas y
avoir d'interférences entre eux. On utilise alors une nouvelle lame À/ 4 (notée 
À / 4 << n°3 » sur le schéma) dont les lignes neutres sont a 45° des axes ?Ïy et il}. Sans aucun calcul supplémentaire, que peut--on dire des états de polarisation des deux faisceaux après traversée de cette lame ? Dans la zone entre cette lame À/ 4 << n°3 >> et le OSP2 on admet que les champs 
électriques associés aux deux
faisceaux s'écrivent :

--.\

E E --» --E E
Eref = --0 sin(wt + koe)ûy + --0 cos(wt + kæ)ûz et Esonde = --0 sin(wt + k'æ -- 
go)uy + --0 cos(wt + kîæ -- g0)ûz

\/Ë >, on trouve typiquement que les vibrations persistent pendant 
environ 2 ms, que la fréquence propre
de vibration la plus basse est voisine de 3,5 kHz, qu'il y a une vingtaine de 
fréquences propres entre 3,5 et 20
kHz et on peut visualiser les noeuds et les ventres des différents modes 
propres de vibration.

III.K.1) Quelle est la manifestation physique très facilement perceptible de 
ces vibrations ?

III.K.2) Qu'est--ce qu'un noeud ou un ventre de vibration ? Expliquer 
brièvement pourquoi un golfeur peut se
rendre compte << à l'oreille » qu'il n'a pas tapé sa balle parfaitement au centre de la surface de la tête de club ? III.K.3) Lorsqu'on enregistre le bruit de l'impact, on se rend compte qu'il comporte aussi des fréquences inférieures à 3,5 kHz : d'où peuvent-elles venir ? oooFINooo 30 avril 2012 09:49 Page 6/6 EC) BY-NC-SA