Centrale Physique 1 PC 2010

Thème de l'épreuve Vibrations musicales
Principaux outils utilisés ondes, mécanique des fluides, mécanique du point

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2010

Épreuve :

PHYSIQUE I

Filière

PC

PHYSIQUE I

Filière PC

PHYSIQUE I
Calculatrices autorisées.

Vibrations musicales
Ce problème aborde les vibrations mécaniques sources de l'émission sonore de
certains instruments de musique. La première partie concerne essentiellement
les claviers à percussion alors que la seconde, largement indépendante de la 
précédente, présente une étude du fonctionnement des instruments à anche libre.
Dans tout le problème, on néglige l'influence des forces de pesanteur.
Valeurs numériques et notations
­3

Masse volumique de l'air

 a = 1, 29 kg  m

Vitesse du son dans l'air

c = 345 m  s

Viscosité dynamique de l'air

 = 1, 85  10

Masse volumique de l'eau

 e = 1, 00  10 kg  m

Viscosité dynamique de l'eau

 e = 1, 0  10

Masse volumique de l'acier

 = 7, 80  10 kg  m

Module d'Young de l'acier

E = 19, 5  10

Masse volumique du bronze

 = 8, 7  10 kg  m

Module d'Young du bronze

E = 1, 1  10

Masse volumique du bois de palissandre

 = 740 kg  m

Module d'Young du bois de palissandre

E = 1, 2  10

­1
­5

Pa  s

3

­3

Pa  s

3

10

10

­3

Pa

3

11

­3

­3

Pa
­3

Pa

Les vecteurs sont notés en caractères gras.

Concours Centrale-Supélec 2010

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PHYSIQUE I

Filière PC

Filière PC
Partie I - Claviers à percussion
Nous étudions dans cette partie certains instruments à percussion tels que le
xylophone, le marimba ou le glockenspiel. Ils sont formés de lames 
parallélépipédiques de bois ou de métal. Chacune d'elles produit, lorsqu'on la 
frappe avec
une baguette, un son de hauteur déterminée.
I.A - Vibrations longitudinales d'une lame parallélépipédique
On envisage pour l'instant
L
y
les vibrations longitudinales
h
d'une lame de longueur L
b
(figure 1). La matière située
x
au repos dans le plan d'abs- z
cisse x se met en mouvex x + dx
ment suite à une excitation.
Figure 1 - Vibrations longitudinales d'une lame
Elle occupe à l'instant t le
parallélépipédique
plan d'abscisse x +  ( x, t ) et
est soumise, de la part de la
matière située à sa droite, à une force F = F ( x, t )u x . On note  la masse 
volumique et E le module d'Young du matériau dont on rappelle la définition : 
pour
porter de l 0 à l 0 + l la longueur d'une tige de section S , il faut exercer 
sur ses
extrémités une force égale à ESl / l 0 .
I.A.1)
a) Exprimer F ( x, t ) en fonction d'une dérivée partielle de  ( x, t ) .
b) Montrer que  ( x, t ) obéit à l'équation de d'Alembert et exprimer la 
célérité c l
des ondes longitudinales.
I.A.2)
Rechercher des solutions sinusoïdales de la forme  ( x, t ) = f ( x ) g ( t ) en
explicitant les fonctions f et g . On introduira une pulsation temporelle  et 
une
pulsation spatiale k .
I.A.3)
Les deux extrémités de la lame n'étant soumises à aucune force, montrer que 
seules certaines valeurs particulières, indexées par un entier n , sont
accessibles à k . Exprimer les fréquences propres f n de la lame.
I.A.4)
Une lame de glockenspiel en acier de longueur L = 24, 3 cm émet un
son de fréquence égale à 785 Hz .

Concours Centrale-Supélec 2010

2/16

Montrer qu'il ne peut pas résulter de l'excitation d'une onde longitudinale.

LB - Vibrations transversales

Dans les questions qui suivent on analyse les petits mouvements transversaux
de la lame (partie gauche de la figure 2). Les points situés au repos dans le 
plan
médian de la lame, à l'abscisse x et à l'ordonnée y = 0 , se trouvent à 
l'instant t
du mouvement à l'ordonnée y(x, t) . Dans le plan (Oxy) , ils sont alors 
représen-

tés par une courbe formant avec l'horizontale un angle local

2

(X(X, t) &» â-ï « 1 et de courbure C(x, t) »=« Ë--Ë . On rappelle que C : È : 
Ë_Ë ,
x

R désignant le rayon de courbure et dL la longueur infinitésimale d'un élément
de courbe.

Figure 2 -
Mouvements transversaux d'une lame

Pour établir l'équation du mouvement, on adopte une double décomposition en
éléments infinitésimaux (partie droite de la figure 2). D'une part, on analyse 
le
mouvement et les déformations d'une portion de lame occupant les abscisses
[x, x + dx] et dont les faces forment entre elles l'angle doc . D'autre part, 
cet élé-
ment peut être considéré comme un assemblage de couches d'ordonnées
y(x, t) + u et d'épaisseur du , avec u EUR [--b/2, [9/2] .

I.B.1) En flexion, certaines couches se trouvent étirées et d'autres compri-
mées. On admet que la couche repérée par u = 0 conserve au cours du mouve-
ment une longueur dx inchangée alors que les autres voient leur longueur
passer de dx au repos à dL' ;: dx . Exprimer

dL' --dx

en fonction de u et C.
dx

I.B.2)

a) Quelle est l'aire dS de la section transversale de la couche d'épaisseur du ?
En déduire la force dF que cette couche étirée subit puis celle dF' qu'elle 
exerce
réciproquement sur la matière située à sa gauche.

PHYSIQUE I

Filière PC

b) Vérifier la nullité de la résultante de ces forces sur la section entière de 
la
lame.
c) Calculer le moment M ( x ) par rapport à l'axe ( A, u z ) des forces 
exercées par
le tronçon de longueur dx sur la matière située à sa gauche. A désigne le point
d'abscisse x tel que u = 0 .
I.B.3)
Au travers d'une section de la lame s'exercent aussi des efforts
transversaux : la partie de lame occupant les abscisses supérieures à x exerce
sur celle se trouvant à sa gauche des efforts de résultante T  T ( x, t )u y . 
En
admettant la relation
M
---------  ­ T ( x, t ) ,
x

en déduire l'équation des mouvements transversaux sous la forme :
2 2

4
2
 y cl b  y
--------2- + ----------- --------4- = 0 .
12 x
t

I.B.4)

On

envisage

maintenant

des

solutions

telles

que

y ( x, t ) = f ( x ) cos ( t +  ) . Préciser l'équation différentielle dont f ( 
x ) est solution.

I.B.5)
La fonction f s'exprime à l'aide de quatre constantes A , B , C et D
sous la forme f ( x ) = A cos ( kx ) + B sin ( kx ) + C ch ( kx ) + D sh ( kx ) 
. Donner, en la justifiant, la relation entre  et k .
I.B.6)
Dans cette question, les deux extrémités de la barre, d'abscisses x = 0
et x = L , sont liées à des supports fixes par des charnières assurant des 
liaisons
de type pivot parfait d'axes parallèles à u z . En déduire en fonction d'un 
entier
n les valeurs k n permises pour k puis les fréquences propres f n .
I.B.7)
Pour vibrer correctement, les lames des instruments de percussion
reposent sans fixation rigide sur un support. Leurs extrémités ne sont donc 
soumises à aucune contrainte assujettissant leur position. Exprimer ces 
conditions
en faisant intervenir deux des quatre grandeurs T , M , y et  introduites plus
haut. En déduire quatre équations portant sur A , B , C et D . Leur résolution,
non demandée, conduit aux fréquences propres
b
2
f n = -------------------2-c l u n avec u 1 = 3, 01 u 2 = 5, 00 u n  2n + 1 .
16 3L

I.B.8)

Expérimentalement on a mesuré f 2 / f 1 = 2, 71 , f 3 / f 1 = 5, 15 ,
f 4 / f 1 = 8, 43 pour une lame de glockenspiel. Commenter ces valeurs. Calculer
numériquement f 1 pour une lame d'épaisseur b = 9, 15 mm et de longueur
L = 24, 3 cm correspondant à la note la plus grave de l'instrument.

I.B.9)
Les lames d'un marimba basse sont constituées de bois palissandre
d'épaisseur b = 2, 31 cm . Quelle valeur faut-il donner à L pour atteindre
f 1 = 65 Hz ?

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PHYSIQUE I

Filière PC

I.B.10) Pour accorder un marimba, on entaille la partie inférieure de la lame
de manière à lui donner la forme d'une voûte (figure 3). Qualitativement, cela 
at-il pour effet d'augmenter ou de diminuer la valeur de L nécessaire pour 
obtenir une fréquence donnée ? Le facteur de l'instrument ajuste aussi cette 
voûte
de manière à obtenir f 2 / f 1  4 , ce qui produit un son plus harmonieux. 
Pourquoi
ce second point est-il inutile sur un glockenspiel ?

tube résonateur

I.C - Accord des résonateurs
Pour améliorer le rayonnement du son par le
y
marimba, on place sous chaque lame un tube
L
résonateur (figure 3). Ce cylindrique creux de
diamètre D , d'axe ( Oy ) , présente une extrémité
ouverte au voisinage de la lame (en y = 0 ) alors
que l'autre, en y = ­ H , est rigidement fermée.
y = 0
On
note
en
représentation
complexe
jt
p ( y = 0, t ) = p 0 e
la pression de l'onde acoustique produite en y = 0 par la vibration de la
lame.
H
I.C.1)
On recherche la pression acoustique
dans
le
tuyau
sous
la
forme
j ( t ­ ky )
j ( t + ky )
.
p ( y, t ) = Ae
+B
a) Rappeler sans démonstration la relation de
dispersion des ondes acoustiques dans l'air.
y = ­H
b) Écrire, dans le cadre de l'approximation
acoustique, l'équation d'Euler reliant le champ
D
des vitesses au gradient de pression.
c) En déduire l'expression de la vitesse acousti- Figure 3 - Lame de marimba
présentant une voûte et
que v ( y, t ) en fonction des données de l'énoncé. munie d'un tube résonateur
I.C.2)
Exprimer les constantes A et B en
fonction des données du problème.
I.C.3)
Quelle est la plus petite valeur de H correspondant à une résonance
du tuyau pour une fréquence f donnée ? Faire l'application numérique pour
f = f 1 = 65 Hz . Y-a-t-il résonance de l'harmonique de rang 2 accordée sur
f 2  4f 1 ?
I.C.4)
Sur les marimbas de concert, la valeur de H peut être modifiée en
déplaçant un bouchon rigide à l'intérieur du tube résonateur. Quel est l'intérêt
d'un tel dispositif ?

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PHYSIQUE I Filière PC

I.D - Vibration d'une cymbale

Les cymbales sont des plateaux circulaires en métal que l'on frappe pour obtenir
un son. Contrairement aux lames de clavier étudiées dans les questions précé-
dentes, elles ne produisent pas un son de hauteur bien définie. Bien qu'une cym-
bale possède une forme incurvée, nous les assimilerons à de fines plaques planes
circulaires de rayon R et d'épaisseur b contenues au repos dans le plan (0x2) .
Dans ce cadre, les vibrations transversales consécutives à l'excitation de la 
sur-
face par un choc obéissent à une équation voisine de celle de la question I.B.8

2 2 2 4 4 4

ü+----ÜÉ----(ü+ü+z--Êzvlî = 0 avec 0 = 0,34.

ôt2 12(1--02) 8x4 624 ôx ôz

I.D.1) On envisage la propagation d'une onde plane progressive du type
y(x, z, t) : yOexp{ i[oet --k - (xux + zuz)]} .

::

(\1

f

'2

3

S
9 %

oo

xo
24 8101214161820 @
<|- 0 comme la
source de la question précédente à deux nuances
près : d'une part il absorbe un débit linéique infinitésimal dD , d'autre part 
son diamètre  est

réputé nul. En déduire le potentiel d ( y, z ) en un
Figure 7 - Source de fluide
point M ( y, z ) du demi-espace amont ( y > 0 ) .
invariante par translation
II.B.3) Le liquide entrant dans l'élément de largeur du de l'interstice est 
évacué dans le jet vers les y < 0 . En déduire l'expression de dD .
II.B.4) Exprimer le potentiel  ( y, z ) pour y > 0 sous la forme d'une intégrale
sur u . Le calculer explicitement pour y = 0 + et z > e .

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PHYSIQUE I

Filière PC

II.B.5) Calculer la vitesse aux points M ( 0 +, z ) , situés au contact de 
l'anche
( z > e ).
II.B.6) Pour y = 0 et 0 < z < e , la pression vaut P a . À l'aide d'une 
relation de
Bernoulli, exprimer le champ de pression P sur la face supérieure de l'anche, en
y = 0+ .
II.B.7) La pression dans la zone de fluide mort au-dessous de l'anche vaut P a .
Soit F a = F a u y la force exercée par l'air sur la lame. Écrire cette force 
sous la
forme :
1
2
F a = ­ ---  a LhV ( 1 ­ A 1 )
2
où A 1 est une grandeur sans dimension dépendant de e et de h dont on donnera
l'expression intégrale.
De quelle façon varie F a quand e augmente ?
II.B.8) Déterminer à l'ordre le plus bas l'expression du potentiel  ( r ) , pour
r =

2

2

y +z »e

II.C - Écoulement en régime variable
On note dans la suite Q = VeL le débit et q = Ve le débit linéique traversant la
rigole. On envisage, en vue de l'étude du mouvement de l'anche libre, des 
situations où l'ouverture e dépend du temps. Il en résulte des variations 
temporelles
de V = V ( t ) , q = q ( t ) et  =  ( y, z, t ) . L'expression du potentiel des 
vitesses
trouvé dans la partie II.A s'applique encore.On admet le résultat suivant :
V
q ( t ) Ve ( t )
 ( 0, z, t )
------------------------- = ------------ ­ ---------------- [ 1 + ln z ­ e ] + 
------ [ ( z ­ e ) ln z ­ e ­ z ln z ] .

t

II.C.1) On traite l'air comme un fluide parfait incompressible et on néglige
l'influence de la pesanteur. Montrer que :
2

P
 v
C ( t ) = ------ + ----- + ---- est une grandeur uniforme dans l'écoulement.
t 2 

II.C.2) Soit A le point de coordonnées ( 0, e / 2 ) situé au milieu de 
l'interstice.
On admet que P ( A ) = P a . En déduire l'expression de C ( t ) .
II.C.3) Soit P 0 la pression en un point B situé loin en amont, tel que
2
2
r 0 = x + y » e . Que peut-on dire de la vitesse en B ? On pourra utiliser le
résultat de la question II.B.8.
En déduire l'équation différentielle gouvernant l'évolution du débit q dans
l'interstice :
P0 ­ Pa 1 2
1
V ( t )e ( t )
­ --- V ( t ) + -----------------------q ( t ) = -------------- 
------------------K 0(t)
2
a

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PHYSIQUE I

Filière PC

où K 0 ( t ) dépend de r 0 et e ( t ) . Dans la suite r 0 et P 0 sont supposés 
fixés et
numériquement connus.
II.C.4) On admet l'expression de la force F a = F a u y exercée par l'air en
régime instationnaire :
1
2
F a ( t ) = ­ ---  a LhV ( 1 ­ A 1 ( t ) ) +  a Lh 2 A 2 ( t )V ( t ) ­  a Lh A 
3 ( t )q ( t )
2
où A 1 , A 2 , A 3 sont des grandeurs sans dimension dépendant de e ( t ) et de 
h .
Expliquer en quelques lignes l'origine des deux nouveaux termes par rapport à
l'expression de la question II.B.7.
II.D - Paramètres du modèle à un degré de liberté
L'anche, de longueur L , de largeur h et d'épaisseur b , oscille selon un mode
transversal de vibration défini par y ( x, t ) = f ( x ) g ( t ) ; ses 
différents points présentent des amplitudes de vibration distinctes. Pour 
étudier simplement le mouvement, on néglige cet aspect au travers d'un modèle 
simplifié à un seul degré
de liberté (figure 8).
Figure 8 Anche réelle (partie gauche) et modèle
à un seul degré de liberté (partie droite)

K

c

uy
y ( L, t )

anche effective

ux

L
Y (t)

Les hypothèses en sont les suivantes :
· Le mouvement de l'anche réelle est modélisé par la translation selon u y
d'une anche effective plane de mêmes longueur L et largeur h . Son déplacement 
s'identifie à celui de l'extrémité de l'anche réelle ; son ordonnée Y ( t ) est
donc définie par Y ( t ) = y ( L, t ) = f ( L ) g ( t ) . On note M sa masse 
effective, différente de celle de l'anche réelle.
· L'élasticité de l'anche réelle équivaut à une force de rappel exercée par un
ressort vertical de raideur K agissant sur l'anche effective.
· Les phénomènes dissipatifs se traduisent par une force de frottement visqueux 
F d = ­ cY ( t )u y .
· Au repos, l'anche effective se trouve à l'ordonnée Y 0 > 0 traduisant la 
courbure vers l'amont de l'anche réelle en l'absence d'écoulement.

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PHYSIQUE [ Filière PC

Le but de cette partie est d'obtenir les valeurs numériques des grandeurs M , K
et c intervenant dans le modéle.

II.D.1) Exprimer sous forme intégrale, en faisant intervenir le champ de
vitesse ôy(x, t)/ôt , l'énergie cinétique EC de la lame réelle en vibration.

°...
v--1

@
v--<_ .....................................................................
o

_. _______ ______ . _______ : ______ . _______ . ______ _oe_

CD
_0_
0

0,08

0,07

0,06

0,05

l
0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

Figure 9 - Déplacement mesuré pour l'extrémité de l'anche

II.D.2) Pour simplifier les calculs littéraux, on évalue l'amplitude f(x), dont
l'expression exacte a été abordée dans les questions I.B.5 et II.A.1 par le 
poly-
nôme

2 3 4
f(x)e%f(D (%_%+Ë)

En déduire l'expression de EC en fonction de ;" (L), g'(t) et de la masse m de
l'anche réelle. On donne :
1 2 3 4 2
fO(6u --4u +u ) du =104/45.
II.D.3) La masse M de l'anche effective est définie par EC : %MY'(t)2. En

déduire l'expression de M et la calculer numériquement pour une anche d'acier
de dimension L = 31,63 mm, h = 3,40 mm, 19 = 0,26 mm.

Concours Centrale-Supé/ec 2010 13/16

PHYSIQUE [ Filière PC

II.D.4) Dans l'air au repos, on ne considère pas les forces de pression. Écrire
l'équation du mouvement de l'anche effective en Y(t) .

II.D.5) L'anche réelle est écartée de sa position d'équilibre puis abandonnée
sans vitesse initiale. Un capteur permet de suivre l'évolution de y(L,t). Le
résultat est représenté sur la figure 9 avec deux échelles de temps distinctes. 
En
déduire les valeurs numériques de K et c .

ILE - Mouvement de l'anche effective dans l'écoulement

Le mouvement de l'anche effective sous l'effet de l'écoulement est étudié avec 
les
hypothèses suivantes (figure 10).

0 Son déplacement Y(t) demeure suffisamment faible pour appliquer les résul-
tats des parties II.B et ILO.

0 On assimile à cha-
que instant la lar- y ' '
geur variable e(t) c |Î|
intervenant dans
II.B a la plus petite
distance de la lame Y(t)
au châssis. |

\\\\\\\\ \o . ».

Châssis

\ Figure 10 -
Mouvement de l'anche effective

0 On note a : 0,2mm1
la valeur minimale \
de e correspondant : \
à l'excès de largeur \ \\\
de la rigole par rap-
port a l'anche.

II.E.1) Exprimer e(t) en distinguant deux situations selon le signe de Y.
II.E.2) Écrire l'équation du mouvement de l'anche.

II.E.3) Dans cette question, il s'agit de prouver que le modèle permet effecti-
vement de déterminer l'évolution du système couplé de l'anche et du fluide.
On le réduit aux trois inconnues Y(t) , Y'(t) et Q(t) . Leurs valeurs numériques
Y(t0) , Y'(t0) et Q(to) à un instant particulier du mouvement sont
supposées connues. Montrer précisément qu'on peut obtenir les valeurs de leurs
dérivées premières au même instant, i.e Y'(t0), Y"(t0) et Q'(t0) .

II.E.4) D'après la question précédente, la résolution du problème se ramène à
celle d'un système différentiel du type 9--['(t) : F('J--[ ) où 9--[ est un 
vecteur à
trois composantes. Expliquer en quelques lignes quel type d'approche vous uti-
liseriez pour le résoudre avec un logiciel mathématique.

Concours Centrale-Supé/ec 2010 14/16

PHYSIQUE I

Filière PC

II.F - Commentaire des résultats
Le modèle théorique développé ici montre que l'anche, initialement au repos, se
met progressivement en mouvement sous l'effet de l'écoulement d'air. En régime
permanent, toutes les variables présentent un comportement périodique. La
figure 11 permet de confronter les prédictions du modèle théorique (courbes de
gauche) et des résultats expérimentaux (courbes de droite) pour une anche 
produisant dans l'instrument des sons de fréquence égale à 795 Hz , 
caractérisée par
­5
M = 1, 13  10 kg ,
Y 0 = 0, 2 mm ,
L = 22, 9 mm
et
K = 285, 2 N  m ­ 1 ,
a = 0, 14 mm . Les grandeurs représentées sont :
· le déplacement Y ( t ) de l'anche ;
· la pression aérodynamique P aéro dans l'écoulement au voisinage de l'anche,
déduite de P ( 0, z ) ;
· le débit dans l'orifice Q ( t ) ;
· la pression acoustique p ac ( t ) correspondant au son produit à quelques 
décimètres. Sa détermination ne sera pas abordée ici.
Par translation suivant l'axe des abscisses, on a supprimé le décalage de p ac
associé au temps de propagation de l'onde acoustique.
II.F.1) Commenter la valeur de la fréquence des signaux.
II.F.2) Mettre en relation les variations du débit, de la pression 
aérodynamique et de la pression acoustique avec la « fermeture » et « 
l'ouverture » de la
rigole par l'anche.
II.F.3) Comparer les résultats expérimentaux à ceux du modèle. En proposer
des améliorations.

Concours Centrale-Supélec 2010

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PHYSIQUE I

Filière PC

Position de l'anche Y (trait plein) et variations du débit Q (pointillés, 
unités arbitraires)
Y(m)
-3

Y( unité arbitraire)

2,0×10

-3

1,0×10

0,0
0,8

0,801

0,802

0,803
0

0,001

0,002

0,003

-3

-1,0×10

-3

-2,0×10

t(s)

t(s)

Pression aérodynamique près de l'anche

Pression aérodynamique mesurée près de l'anche

Paero (Pa)

Paero (Pa)

100,0

50,0

50,0

0,0
0,0
0,8

0
0,801

0,802

0,001

-50,0

-50,0

0,002

0,003

0,803

t(s)

t(s)

Pression acoustique

Pression acoustique mesurée

Pac (unité arbitraire)

Pac (Pa)

20,0

10,0

0,0
0,8

0,801

0,802

0

0,001

0,002

0,003

0,803

-10,0

t(s)

t(s)

Figure 11

··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2010

16/16

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) ; il a 
été
relu par Wahb Ettoumi (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet original propose de s'intéresser à l'émission de sons par deux familles
d'instruments rarement étudiées : les claviers à percussion (famille du 
xylophone) et
les instruments à anche libre (famille de l'accordéon).
· La première partie porte sur les claviers à percussion. Dans les premières 
sousparties, on envisage successivement les modes de vibration longitudinaux et
transversaux d'une barre parallélépipédique, avec construction des spectres 
associés en fonction des conditions aux limites. La troisième sous-partie est 
consacrée à l'ajout d'un tube résonateur sous la barre précédente, en vue 
d'améliorer
l'émission du son. Enfin, une dernière sous-partie réinvestit les résultats sur 
les
modes transversaux dans l'étude rapide d'une cymbale.
Cette première partie repose essentiellement sur l'obtention d'équations d'onde
par décomposition en éléments infinitésimaux, et sur leur résolution. Notons
également l'exploitation de résultats expérimentaux dans l'étude de la cymbale,
qui nécessite une bonne compréhension de la notion de vitesse de phase et du
phénomène de dispersion.
· La seconde partie est consacrée à l'étude d'un écoulement d'air autour d'une
anche libre. Une première sous-partie délimite le problème par le biais des
nombres de Reynolds et de Strouhal. Les deux sous-parties suivantes sont 
dédiées à l'étude d'un écoulement parfait autour de l'anche, d'abord en régime
stationnaire, puis en régime variable. Dans les sous-parties D et E, c'est la
dynamique de l'anche qui est envisagée. Enfin, la dernière sous-partie propose
l'interprétation des résultats de simulations numériques et leur confrontation
aux résultats expérimentaux. Cette partie, très centrée sur les écoulements 
potentiels, nécessite d'être à l'aise avec le théorème de Bernoulli et ses 
différentes
constructions, afin de pouvoir le retrouver et l'adapter à de nouvelles 
situations.
Elle suppose également une certaine aisance avec les oscillateurs amortis, pour
de ne pas perdre de temps à retrouver des résultats usuels. Enfin, elle fait 
tout
du long appel à un sens physique aiguisé, tant pour discuter les hypothèses que
pour interpréter les résultats.
Faisant très peu appel explicitement au cours, ce problème est un véritable 
exercice de raisonnement, mobilisant beaucoup de connaissances supposées 
usuelles sans
qu'elles soient retrouvées ou redémontrées. Il s'adresse en priorité aux 
étudiants voulant approfondir leur maîtrise de l'étude des ondes et des 
écoulements potentiels.

Indications
Partie I
I.A.1.a Considérer la portion de lame délimitée par x et x + dx.

-
I.A.3 L'absence de force exercée sur les extrémités implique que F (x, t) s'y 
annule.
I.B.1 La relation dL = R d n'est vraie que pour la portion non déformée de la
lame (u = 0). Que devient-elle pour u non nul (avec dL ) ?
I.B.2.a La couche d'épaisseur du a le module d'Young E.
I.B.6 Des liaisons pivots parfaites garantissent
M(0, t) = 0 = M(L, t)
I.B.10 Noter que le rapport 4 produit un son plus harmonieux.
I.C.3 Il y a résonance lorsque l'un des coefficients (au moins) devient très 
grand.
I.C.4 La vitesse du son dans l'air dépend de la température.
I.D.3 Quelles ondes se propagent le plus vite ?
Partie II
II.A.2 Utiliser Bernoulli entre le soufflet et la rigole.
-- 

II.A.4.a Le terme  -
v · grad -
v traduit le transport d'impulsion dans le fluide le long
d'une ligne de courant.
II.A.4.c D'après l'énoncé, la fréquence du son ne dépend pas de la vitesse 
d'écoulement dans la rigole.
II.C.1 Pour un écoulement irrotationnel,
-- -
-- v 2
-

v · grad 
v = grad
2
II.C.4 Il ne faut pas chercher à interpréter physiquement chacun des termes, 
mais
expliquer en quoi les différences entre les régimes envisagés dans les 
sousparties II.B et II.C justifient l'apparition de ces nouveaux termes.
II.E.1 Pour Y > 0, e est la distance au coin du châssis ; pour Y < 0, e est la
distance au bord du châssis.
II.E.3 Vérifier que toutes les grandeurs intervenant dans les relations des 
questions
II.E.2 et II.C.3 sont connues ou calculables à t0 .
II.F.2 La pression aérodynamique est directement proportionnelle à Fa .
Regarder comment varie V lors de l'ouverture et de la fermeture.

Vibrations musicales
I. Claviers à percussion
I.A

Vibrations longitudinales d'une lame parallélépipédique

I.A.1.a La matière située au repos dans le plan d'abscisse x occupe à l'instant 
t le
plan d'abscisse x+(x, t). De même, la matière initialement située dans le plan 
x+dx
se trouve à l'instant t dans le plan d'abscisse x + dx + (x + dx, t). Ainsi, la 
portion
de lame initialement comprise entre les plans d'abscisse x et x + dx, de 
longueur au
repos 0 = dx, a la longueur
0 +  = x + dx + (x + dx, t) - x - (x, t) = dx + (x + dx, t) - (x, t)
à l'instant t, soit une variation de longueur
 = dx

(x, t)
x

-

-
Le système est soumis aux forces F (x + dx, t) à droite et - F (x, t) à gauche.
La somme de ces forces est responsable du déplacement du système en vertu du
principe fondamental de la dynamique, tandis que
1
(F(x, t) + F(x + dx, t))  F(x, t)
2
est responsable de sa compression. On en déduit :
F(x, t) = E S

= ES
(x, t)
0
x

Le jury regrette que l'expression de F(x), bien que le plus souvent juste, soit
« parachutée ». La définition du module d'Young étant donnée dans l'énoncé,
il faut proposer un raisonnement se basant sur cette définition pour arriver
à l'expression de la force.
I.A.1.b Reprenons la portion de lame de la question précédente sur laquelle s'ap
-

-
plique F (x + dx, t) à droite et - F (x, t) à gauche. Le principe fondamental 
de la
dynamique appliqué dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen donne
--
d2 OG
-

m
= F(x + dx, t) -
u
x - F(x, t) ux
dt2
où m =  S dx est la masse du système, G son centre d'inertie et O l'origine du 
repère.
Le système étant homogène, à l'ordre le plus bas en dx, on a
-- 1
OG = (x + (x, t) + x + dx + (x + dx, t)) -
ux  (x + (x, t)) -
u
x
2
d'où

 S dx

2 -
F -
u
ux
x = dx
t2
x

En utilisant le résultat de la question précédente, on en déduit alors
S

2
2
= ES 2
2
t
x

1 2
2
=
2
2
c t
x2

et donc

avec

c =

r

E

I.A.2 Posons (x, t) = f (x) g(t). L'équation de d'Alembert en  devient
f (x) g  (t) = c 2 f  (x) g(t)
f  (x)
g  (t)
= c 2
g(t)
f (x)

soit

f  et g  désignant les dérivées secondes de f et g par rapport à leur unique 
variable.
Le membre de gauche de cette équation ne dépend que de t, tandis que le membre
de droite ne dépend que de x. Ces variables étant indépendantes, on en déduit 
qu'il
existe une constante réelle K telle que
g  (t)
f  (x)
= K = c 2
g(t)
f (x)
L'équation différentielle sur g s'écrit
g  (t) = K g(t)
Une telle équation n'admet de solution oscillante que pour K négatif. On pose 
donc
K = - 2 avec  une pulsation temporelle strictement positive. On a alors
g(t) = g0 cos( (t - t0 ))
où g0 et t0 sont des constantes. L'équation différentielle sur f se réécrit
2
f (x)
c 2
En introduisant la pulsation spatiale k = /c , il vient
f  (x) = -

f (x) = f0 cos(k (x - x0 ))
avec f0 et x0 des constantes. On obtient finalement, en posant 0 = f0 g0 ,
(x, t) = 0 cos( (t - t0 )) cos(k (x - x0 ))
Attention, les équations différentielles étant du second ordre, l'expression
finale doit faire apparaître deux constantes d'intégration pour f et deux
pour g. Tout au plus est-il possible de réduire ce nombre de quatre à trois
après réunion des deux fonctions comme nous l'avons fait. Le jury s'étonne
que plus d'un tiers des candidats ne donne qu'une partie des constantes
d'intégrations.
I.A.3 Les extrémités de la lame n'étant soumises à aucune force, on doit avoir
F(0, t) = 0 = F(L, t)
On en déduit

(

0 cos(kx0 ) = 0
0 cos(k (L - x0 )) = 0