Centrale Physique 1 PC 2009

Thème de l'épreuve Détection pyroélectrique d'interférences d'ondes thermiques
Principaux outils utilisés diffusion thermique, électrocinétique, ondes
Mots clefs ondes thermiques, équation de la chaleur, pyroélectricité, analogie électrocinétique - diffusion thermique, effusivité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2009

Épreuve :

PHYSIQUE I

Filière

PC

PHYSIQUE I

Filière PC

PHYSIQUE I
Calculatrices autorisées.

Détection pyroélectrique d'interférences d'ondes thermiques
Aucune connaissance concernant les ondes thermiques n'est nécessaire à la 
résolution du problème.
Les résultats utiles sont établis en cours d'épreuve.
Des expériences récentes d'interférométrie d'ondes thermiques ont permis 
d'étudier de manière fine les
propriétés thermiques des gaz. Le but de ce problème est d'analyser de façon 
détaillée une telle expérience.
La Partie I concerne l'étude de la diffusion thermique en régime stationnaire, 
puis en régime sinusoïdal forcé. Le concept d'onde thermique est alors 
introduit. La Partie II propose une étude expérimentale de l'équation de 
diffusion à partir d'un modèle électrocinétique discret. Les capteurs
pyroélectriques étudiés dans la Partie III sont des détecteurs très sensibles, 
développés depuis une
trentaine d'années. Ils constituent une pièce maîtresse dans toutes les 
expériences faisant intervenir
des flux lumineux modulés. La Partie IV précise enfin le protocole expérimental 
de l'expérience
d'interférométrie multiple d'ondes thermiques (Thermal Waves Interferometry).

Partie I - Étude de la diffusion thermique
On cherche à étudier le
Refroidissement
par circulation
phénomène de diffusion
Isolant
Capteurs de
d'eau
thermique dans une
thermique
Résistance
température
Barre de cuivre
chauffante
barre cylindrique de
cuivre, de diamètre
d = 15, 0 mm et de conL z
ductivité thermique h . U
À cet effet, on creuse
z
une cavité à l'extrémité
z
Figure 1
0
de la barre pour y placer
une résistance chauffante R ch = 8, 00 1 . Cette résistance est alimentée par un
générateur délivrant une tension continue U 0 = 6, 00 V . Afin de rendre les 
pertes thermiques par la face latérale du cylindre négligeables, le barreau de 
cuivre
est isolé latéralement par une matière plastique de conductivité thermique 
suffisamment faible par rapport à celle du cuivre. La mesure de température se 
fait
par l'intermédiaire de petits capteurs logés dans des puits creusés latéralement
en divers points du cylindre conducteur. Un dispositif de refroidissement par 
circulation d'eau est placé à l'autre extrémité de la barre de telle sorte que 
la température du cuivre y soit égale à 20, 0° C .
0

2

1

Concours Centrale-Supélec 2009

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PHYSIQUE I

Filière PC

Filière PC
I.A - Étude du régime stationnaire
On se place tout d'abord en régime stationnaire et on suppose que la 
température, considérée uniforme dans une section droite de la barre, ne dépend 
que de
la position z .
I.A.1)
Quel est a priori la direction et le sens du vecteur gradT ? Rappeler la
loi de Fourier donnant l'expression du vecteur densité de courant thermique j Q 
.
Préciser la signification des différents termes ainsi que leur dimension 
respective.
I.A.2)
Exprimer la puissance fournie par l'alimentation continue à la résistance 
chauffante. En supposant que cette puissance est intégralement transférée à la 
barre située dans la partie z > 0 , exprimer j Q ( z = 0 ) en fonction de R ch ,
U 0 et d .
Évolution de la température dans la barre
I.A.3)
Montrer que j Q est uniforme dans la barre. En déduire l'équation 
différentielle vérifiée par la température T ( z ) .
I.A.4)
Exprimer littéralement T ( z ) en fonction des données ci-dessus et de
T ( L ) . Les deux capteurs de température placés en z 1 = 8 cm et z 2 = 16 cm 
indiquent T p1 = 46, 4° C et T p2 = 41, 4° C . Donner l'expression de la 
conductivité
thermique du cuivre h et calculer sa valeur numérique.
I.A.5)
Le refroidissement à l'extrémité de la barre est assuré par une circulation 
d'eau de débit volumique d v . En négligeant les fuites thermiques latérales,
exprimer grâce à un raisonnement simple la variation de température de l'eau
lors de la traversée du système de refroidissement. On pourra introduire la
masse volumique et la capacité thermique massique de l'eau.
I.B - Équation d'évolution de la température en régime variable
Le générateur délivre maintenant une tension U ( t ) , ce qui entraîne une 
variation temporelle de la température en chaque point du barreau. Néanmoins, on
conserve l'hypothèse d'uniformité de la température dans une section droite de
la barre, ce qui permet d'écrire la température en un point sous la forme T ( 
z, t ) .
Analyse qualitative
I.B.1)
D'une manière générale, le phénomène de diffusion thermique ne peut
faire intervenir que les caractéristiques pertinentes du matériau, à savoir la

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2/13

PHYSIQUE I

Filière PC

conductivité thermique h , la capacité thermique massique à pression constante
­1
­1
­3
c p = 380 J u kg u K
et la masse volumique l = 8870 kg u m . Montrer à l'aide
d'une analyse dimensionnelle, qu'il est possible de construire un coefficient de
2 ­1
diffusion D exprimé en m s à partir de ces trois grandeurs.
I.B.2)
Le coefficient de diffusion D peut s'exprimer directement en fonction
de la résistance thermique linéique r th (résistance thermique par unité de 
longueur de la barre) et de la capacité thermique linéique c th . Exprimer r th 
et c th
et donner l'expression de D faisant intervenir ces deux grandeurs. Pour le 
cui­4 2
­1
vre, la valeur numérique du coefficient de diffusion D est D = 1, 19 u 10 m u s 
.
I.B.3)
Quel est l'ordre de grandeur 6t , de la durée nécessaire pour qu'une
modification brutale de la température en un point d'abscisse z 1 atteigne un
point d'abscisse z 2 = z 1 + 6z ? La barre de cuivre utilisée a une longueur
L = 0, 5 m . Donner une estimation de la durée du régime transitoire précédant
le régime stationnaire étudié au paragraphe I.A. Quelles conséquences pratiques 
peut-on en déduire ?
Équation de la chaleur
I.B.4)
Établir l'équation de diffusion thermique, dite « équation de la
chaleur », à partir d'un bilan énergétique effectué pour la portion de barre 
comprise entre z et z + dz .
I.B.5)
Pourquoi peut-on dire que le phénomène de diffusion thermique est
irréversible ?
I.C - « Ondes thermiques »
Dans cette partie, la tension délivrée par le générateur est sinusoïdale :
U ( t ) = U 0 2 cos ( 1t ) . Dans ce cas, en régime périodique établi, la 
réponse de chaque capteur oscille autour d'une valeur moyenne spécifique à 
chacun d'entre
eux : T ( z, t ) = T p ( z ) + e m ( z ) cos ( tt + ( z ) ) .
Par exemple, la figure 2 représente les graphes des fonctions T ( z 1, t ) et T 
( z 2, t )
avec z 1 = 8 cm et z 2 = 16 cm .
I.C.1)
Mesurer sur cette figure les amplitudes e m ( z 1 ) et e m ( z 2 ) ainsi que le
déphasage ( z 2 ) ­ ( z 1 ) exprimé en radians.
I.C.2)
Mettre la puissance électrique dissipée dans la résistance chauffante
sous la forme p ( t ) = P 0 + P 0 cos ( tt ) en explicitant P 0 en fonction de 
U 0 et R ch .
Relier t et 1 . Quelle est la fréquence de la tension aux bornes du générateur
dans l'expérience dont les résultats sont présentés en figure 2 ?
I.C.3)
Justifier que e ( z, t ) = e m ( z ) cos ( tt + ( z ) ) vérifie l'équation 
différentielle de la diffusion thermique.
Afin de déterminer les fonctions e m ( z ) et ( z ) , on utilise la 
représentation complexe pour e ( z, t ) en posant e ( z, t ) = A exp ( j ( tt ­ 
K z ) ) .

Concours Centrale-Supélec 2009

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PHYSIQUE I

Filière PC

Écrire l'équation vérifiée par le nombre complexe K et montrer qu'il peut se
mettre sous la forme
1­ j
K = ¡ ----------- avec ¡ = ± 1 .
b

Exprimer b en fonction de h , l , c p , t puis de r th , c th , t .
I.C.4)
Préciser la valeur de ¡ sachant que la barre de cuivre peut être considérée 
comme semi-infinie pour le signal sinusoïdal. En déduire les expressions
de e m ( z ) et ( z ) . Une longueur de 50 cm vous semble-t-elle suffisante 
pour que
cette approximation soit valable ?
I.C.5)
Déterminer à partir des résultats expérimentaux de la figure 2, la
valeur numérique de b de deux manières différentes.
I.C.6)
On utilise souvent le terme « ondes thermiques » à propos de ce type
d'expérience. Quels adjectifs utiliseriez-vous pour caractériser cette « onde » 
?
Evolution des températures en deux points de la barre
50

48

Température en °C

46

44

42

40

38
0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Temps en s

Figure 2 : températures en deux points de la barre

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PHYSIQUE I

Filière PC

Partie II - Analogie électrocinétique et discrétisation de
l'équation de diffusion
Les ondes thermiques abordées dans la section I.C peuvent être étudiées 
expérimentalement sur un modèle électrocinétique discret, facilement réalisable
dans le laboratoire de votre lycée. On considère tout d'abord une chaîne infinie
de cellules, associant chacune un conducteur ohmique de résistance R et un 
condensateur de capacité C . Cette ligne est alimentée par un générateur idéal 
de
tension sinusoïdale de force électromotrice e ( t ) = U 0 costt . En régime 
sinusoïdal forcé, la tension aux bornes du nième condensateur est de la forme
u n ( t ) = U n cos ( tt + n ) , représentée en notation complexe par u n .

u0

u1

un

un

1

un+1

un + 2

Figure 3
II.A - Chaîne de cellules RC en régime sinusoïdal forcé
II.A.1) Établir la relation de récurrence liant les amplitudes complexes u n des
diverses tensions aux bornes des condensateurs. On pourra utiliser la loi des
noeuds exprimée à l'aide des tensions.
n

II.A.2) On cherche une solution de la forme u n = k u 0 .
Montrer que de telles solutions existent si k vérifie une condition à 
expliciter.
II.A.3) On
se
place
dans
l'hypothèse
RCt « 1 .
Montrer
que
k · 1 ± ( 1 + j ) RCt / 2 au deuxième ordre près en RCt .
II.A.4) Interpréter physiquement le caractère complexe de k . Déterminer k
au même ordre d'approximation que précédemment. Lever alors l'indétermination 
de signe dans l'expression de k .
II.B - Choix du nombre de cellules
II.B.1) Comme RCt « 1 , k est proche de l'unité. Montrer que l'amplitude U n
de u n ( t ) présente alors une décroissance quasi exponentielle du type
U n / U 0 · exp ( ­ n / n 0 ) . Exprimer n 0 .
II.B.2) En pratique, on peut se contenter d'un nombre fini de cellules 
électrocinétiques. Combien de cellules faut-il prendre, à R , C et f fixés, 
pour que l'on
puisse considérer la chaîne ci-dessus comme infinie ?

Concours Centrale-Supélec 2009

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PHYSIQUE I

Filière PC

II.C - Validation expérimentale
Le tableau ci-dessous consigne des résultats expérimentaux à R et C fixés. On
s
cherche à savoir si ces données sont modélisables sous la forme n 0exp = A f :
Fréquence f

200

350

500

650

n 0exp

4,0

3,0

2,5

2,2

II.C.1) À l'aide d'une représentation graphique simple, montrer que le modèle
proposé est en accord avec les données expérimentales. Estimer la valeur de s .
Comparer aux résultats de la question II.B.1.
II.C.2) Sachant que R = 1, 0 k1 , calculer la valeur numérique de la capacité
des condensateurs utilisés.
II.D - Discrétisation de l'équation de diffusion
Les condensateurs sont repérés par leur position x n = na où a est la taille
caractéristique d'une cellule. On introduit une fonction u ( x, t ) , des 
variables x
et t , telle que la tension u n ( t ) (non nécessairement sinusoïdale) aux 
bornes du
nième condensateur se note u n ( t ) = u ( na, t ) = u ( x n, t ) .
II.D.1) On suppose que la variation spatiale de la fonction u ( x, t ) est 
petite sur
une échelle de distance de l'ordre de a . Montrer alors que u ( x, t ) vérifie 
l'équation différentielle
2

,
1 , u
----- u ( x, t ) = ----- --------2- .
,t
rc ,x

Préciser l'expression du produit rc en fonction de R , C et a , ainsi que son 
unité.
II.D.2) On désire construire une analogie entre la diffusion thermique dans la
barre isolée latéralement (étudiée dans la Partie I ) et la propagation de 
signaux
électriques dans la chaîne de composants électriques abordée dans cette seconde
partie du problème. Reproduire et compléter sur votre copie le tableau 
ci-dessous qui regroupe les grandeurs physiques analogues.
Thermique

T ( x, t ) ­ T 0

lc p
un + 1 ­ un
-------------------------R

Électrocinétique

rc

b
R

2

II.D.3) Soit la grandeur ( u n + 1 ­ u n ) / ( RT ) , où T désigne la 
température de la
pièce où a lieu l'expérience. Cette grandeur possède-t-elle un équivalent dans 
le
cas de l'expérience thermique ? Quel rapprochement peut-on faire avec la 
question I.B.5 ?
II.D.4) Proposer, sans justification, un schéma du montage à réaliser pour
simuler les phénomènes thermiques dans une barre présentant des pertes ther-

Concours Centrale-Supélec 2009

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PHYSIQUE I

Filière PC

miques par la surface latérale. La température extérieure est identique à la
température à l'extrémité du barreau.

Partie III - Étude d'un détecteur pyroélectrique
Des matériaux cristallins non centro-symétriques présentent une polarisation
volumique spontanée P ( T ) variant fortement avec la température. Cet effet
pyroélectrique est particulièrement important dans LiNbO 3 ou LiTaO 3 . Bien
que l'effet pyroélectrique soit connu depuis les travaux de Brewster en 1824, il
n'a été exploité qu'à partir de 1970 pour développer des capteurs très sensibles
et très robustes de flux lumineux modulé, utilisables à la température
ambiante. L'effet pyroélectrique d'un matériau est caractérisé par son 
coefficient
pyroélectrique p liant la variation de polarisation à la variation de 
température.
Par exemple, pour un cristal polarisé suivant l'axe Ox , on a en première
approximation P x ( T ) = P x ( T 1 ) + p ( T ­ T 1 ) .
Nous proposons d'analyser le fonctionnement d'un capteur pyroélectrique formé
d'un fin film de LiTaO 3 , métallisé sur les deux faces afin d'assurer les 
contacts
électriques. Les valeurs numériques utilisées dans ce problème correspondent
aux données indiquées par le fabricant de ce composant optoélectronique.
III.A - Existence d'un courant en régime thermique variable
­5
­2
­1
Pour LiTaO 3 , le paramètre pyroélectrique p vaut p = 17 u 10 C u m u K .
,T
Établir la relation générale i = Sp ------- liant l'intensité du courant 
traversant le
,t
film cristallin de surface utile S , placé perpendiculairement à l'axe Ox , à 
l'évolution temporelle de la température du matériau.
III.B - Évolution de la température du film de tantalate de lithium
LiTaO 3 en régime forcé
Film cristallin
Le film cristallin, d'épaisseur e = 25+m et
Capteur
2
Thermostat
Support
Fluxlumineux
lumineux
T (t)
de surface S = 4 mm , est fixé sur un sup- Flux
pyroélectrique
T
\
(
t
)
1
T
(t)
T(t)
l
port dont la température est maintenue à
la valeur T 1 . Les échanges énergétiques
par conduction thermique entre le film de
­4
­1
capacité thermique C T = 3, 1 u 10 J u K
et le support sont modélisés par une résistance
thermique
de
valeur
RT
­1
R T = 512 K u W . Le cristal est éclairé par
Conducteur
un laser modulé, délivrant une puissance
Figure 4
thermique
lumineuse (appelée flux lumineux) \ l ( t )
de la forme \ l ( t ) = \ 0 + \ m cos ( tt ) avec
\ m = 1+W . La fréquence de modulation est en général de l'ordre de 1Hz . Tout
le flux est absorbé par le capteur pyroélectrique.
0

Concours Centrale-Supélec 2009

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PHYSIQUE I

Filière PC

III.B.1) On suppose que la température dans le film cristallin est uniforme. On
la note T ( t ) . Montrer que cela nécessite que l'épaisseur du film soit faible
devant une longueur caractéristique à déterminer.
Cette hypothèse est-elle validée, sachant que la conductivité thermique du 
cristal est voisine de 100 SI ?
III.B.2) En exploitant l'unité de la résistance thermique, écrire la relation
entre la différence de température T ( t ) ­ T 1 et la puissance thermique 
cédée par
le film au support.
III.B.3) Montrer que la température T ( t ) vérifie l'équation différentielle :
dT T ­ T 1
+ ----------------- = A + B cos ( tt ) .
oT
dt

Exprimer les constantes A , B et o T .
III.B.4) Lorsque le flux lumineux n'est pas modulé \ l = \ 0 et la température
du cristal prend la valeur T = T 0 . Exprimer T 0 en fonction de T 1 , \ 0 et R 
T .
III.B.5) On pose dans la suite e ( t ) = T ( t ) ­ T 0 et on revient à un flux 
modulé
sinusoïdalement de composante alternative \ a ( t ) = \ m cos ( tt ) . Montrer 
en utilisant la représentation complexe associée à ces fonctions sinusoïdales 
que
\a RT
e = ----------------------- .
jto T + 1

III.B.6) On prend une fréquence de modulation égale à 1 Hz . Calculer les
valeurs numériques de l'amplitude des oscillations de température et du
déphasage entre e ( t ) et \ a ( t ) .
III.C - Conversion pyroélectrique
III.C.1) Relier en notation complexe l'intensité i du courant électrique 
traversant le film au flux \ a .
III.C.2) En déduire l'amplitude des oscillations de courant dans le cristal 
pyroélectrique pour une fréquence de modulation de 1 Hz , sachant que
­5
­2
­1
p = 17 u 10 C u m u K pour LiTaO 3 . Commentaires.
III.D - Conversion courant tension
Lorsque le film de tantalate de
Figure 5
Lithium est soumis à un flux lumineux modulé sinusoïdalement en
intensité, il se comporte comme un
générateur idéal de courant i ( t )
i(t)
associé à un condensateur de capacité C e . Un conducteur ohmique de
résistance
très
élevée

Concours Centrale-Supélec 2009

- '
+
Ce

Re

Montage
de sortie

u(t)

8/13

PHYSIQUE I

Filière PC

9

R e = 24 u 10 1 est associé en parallèle au film pyroélectrique. Un montage de

sortie construit autour d'un amplificateur opérationnel idéal complète 
l'ensemble.
III.D.1) Quelle est la fonction du montage de sortie ? Sa présence est-elle
nécessaire ? Peut-on utiliser dans cette expérience un amplificateur 
opérationnel du type de ceux utilisés en travaux pratiques ?
u
III.D.2) Établir l'expression du rapport --- en fonction de R e , C e et t .
i
III.D.3) En déduire u / \ a et donner l'expression littérale de l'amplitude de 
la
tension de sortie dans les conditions expérimentales définies précédemment.
III.E - Fonction de transfert du détecteur
Le détecteur pyroélectrique délivre en sortie une tension u image du flux 
lumineux incident \ en entrée (ou du moins de la composante modulée de ce flux).
On définit la fonction de transfert de ce filtre par H = u / \ a .
Le fabricant de ce composant optoélectronique fournit le diagramme de réponse
du capteur donné figure 6.
III.E.1) Montrer que H ( jt ) peut se mettre sous la forme suivante :
oT
R e pS
u
1
H = ------- = --------------- ---------------------- 
-------------------------------------------------------------------------jto e 
o T
CT ( oT + oe ) £
\a
1
- + 1 + ----------------------¥¦
¤ ----------------------------jt ( o T + o e )
( oT + oe )

III.E.2) Quelle est la nature de ce filtre ?
III.E.3) Mettre H sous la forme canonique
Hm
H = ---------------------------------------------.
f f 0¥ ¥
£ 1 + jQ £ ---­ ----¤
¤ f 0 f ¦¦

Expliciter les expressions littérales de H m , Q et de f 0 .
III.E.4) Exploitation du diagramme de réponse donné par le constructeur.
a) Préciser l'unité de cette fonction de transfert H . Pour quelle fréquence
obtient-on une réponse maximale du capteur d'après le diagramme ? Donner la
valeur numérique de l'amplitude de la tension de sortie pour cette fréquence.
b) Estimer le facteur de qualité Q exp de ce capteur à partir du graphe donné 
par
le constructeur. Justifier votre réponse par un schéma.
c) Comparer Q exp au facteur de qualité Q th calculé à partir des valeurs des
temps caractéristiques o e = 1, 49 s et o T = 0, 159 s .
La figure 6 donne :

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PHYSIQUE I

Filière PC

· en ordonnée logarithmique : H = u / \ a pour une amplitude du flux lumineux 
égal à F 1 = 1+W .
· en abscisse logarithmique : fréquence de modulation du flux lumineux en
Hz ;
10000

1000

100
0,001

0,01

0,1

1

10

100

Figure 6: réponse du capteur pyroélectrique

Partie IV - Interférences d'ondes thermiques
Un dispositif d'interférométrie thermique comporte trois parties.
Cavité
thermique

LASER

Système
optique

Fréquences
Électronique de résonance
de traitement
de la cavité

Modulateur

Al Détecteur

Figure 7

Concours Centrale-Supélec 2009

10/13

PHYSIQUE I

Filière PC

Un modulateur fait varier périodiquement la puissance du faisceau lumineux,
préalablement élargi, émis par un laser hélium-néon. Cette onde lumineuse
éclaire ensuite la face noircie d'un film d'aluminium d'épaisseur 20+m , ce qui
provoque une modulation de la température de ce film. L'onde thermique qui en
résulte se propage vers le détecteur pyroélectrique à travers une zone remplie
du gaz que l'on souhaite étudier. Cette cavité thermique est le siège 
d'interférences multiples d'ondes thermiques suite aux réflexions sur la 
feuille d'aluminium
et le film du détecteur. La réponse du système est l'image de la température sur
la surface de détection. Un traitement de cette réponse à l'aide d'un montage
électronique permet de déterminer les fréquences de résonances thermiques.
Par la suite, on note l la distance entre le film métallique et le détecteur 
pyroélectrique.
IV.A - Élargissement du faisceau laser
IV.A.1) Pourquoi la face avant du film d'aluminium est-elle noircie ?
IV.A.2) Afin d'éclairer la plus grande surface possible du film métallique, il 
est
nécessaire d'élargir le faisceau laser. Le dispositif optique utilisé comporte 
deux
lentilles minces convergentes espacées de 12 cm . Le diamètre du faisceau 
parallèle en entrée est de 5 mm tandis que celui du faisceau parallèle de 
sortie vaut
25 mm . Faire un schéma indiquant la marche des rayons lumineux à travers ce
système et calculer les valeurs numériques des deux distances focales.
IV.B - Réflexion d'ondes thermiques à
l'interface de deux milieux
h 1 l 1 c p1
h 2 l 2 c p2
À l'interface de deux matériaux présentant des
paramètres thermiques différents, des phénomènes de réflexion et de 
transmission d'ondes
Milieu 1
Milieu 2
thermiques peuvent se produire. Nous nous
limiterons à une analyse monodimensionnelle
z
0
largement suffisante dans nos conditions expéFigure 8
rimentales. Dans ce contexte, nous considérons
trois ondes e i ( z, t ) , e r ( z, t ) et e t ( z, t ) respectivement 
incidente, réfléchie et transmise. En l'absence d'ondes thermiques, la 
température sera supposée uniforme.
IV.B.1) Quelle relation lie les fonctions e i ( z = 0, t ) , e r ( z = 0, t ) 
et e t ( z = 0, t ) ?
IV.B.2) Traduire la conservation de l'énergie au niveau de l'interface. En
déduire une relation entre les trois dérivées spatiales prises en z = 0 .
IV.B.3) On suppose maintenant que l'onde thermique incidente est de la
forme :
z
z
e i ( z, t ) = A i exp £ ­ -----¥ cos £ tt ­ ----- +
¤
¤ b 1¦
b1

Concours Centrale-Supélec 2009

¥ , avec A > 0
i

i¦

11/13

PHYSIQUE I

Filière PC

On admet que les expressions des ondes réfléchies et transmises correspondantes 
s'écrivent :
z
b1

z
· e r ( z, t ) = A r exp £¤ + -----¥¦ cos £¤ tt + ----+
z
z¥
· e t ( z, t ) = A t exp £¤ ­ ----¦ cos £¤ tt ­ ----- +
b2

¥ pour l'onde réfléchie, avec A positif.
r

r¦

b1

b2

¥ pour l'onde transmise, avec A positif.
t

t¦

Justifier la forme des expressions données ci-dessus.
IV.B.4) Pourquoi peut-on utiliser la représentation complexe des fonctions
sinusoïdales dans le cas du phénomène étudié ici ?
Dans ce contexte, on notera :
e i ( z, t ) = A i exp ( j ( tt ­ k 1 z + i ) ) = A i exp ( ­ jk 1 z )exp ( jtt 
) ;
e r ( z, t ) = A r exp ( + jk 1 z )exp ( jtt ) ; e t ( z, t ) = A t exp ( ­ jk 
2 z )exp ( jtt ) .

IV.B.5) Écrire deux relations liant les amplitudes complexes A i , A r et A t en
utilisant les paramètres h 1 , b 1 , h 2 et b 2 .
IV.B.6) On introduit les coefficients de réflexion et de transmission en 
amplitude r = A r / A i et t = A t / A i .
Déterminer les expressions littérales de ces coefficients en fonction de h 1 , 
b 1 , h 2
et b 2 puis en fonction des effusivités e 1 = h 1 l 1 c p1 et e 2 = h 2 l 2 c 
p2 .
IV.B.7) Commenter physiquement les cas limites e 1 « e 2 et e 1 » e 2 .
IV.C - Traitement de la réponse du détecteur
En régime sinusoïdal forcé, la réponse du détecteur est de la forme
u s ( l, t, t ) = f ( l, t ) costt + g ( l, t ) sintt et le modulateur délivre 
par ailleurs une
tension u mod ( t ) = U mod costt . Les données pertinentes concernant le gaz 
étudié
sont obtenues à partir de la fonction g ( l, t ) que l'on détermine à l'aide du 
montage électronique ci-dessous.
Sortie
du
détecteur

Figure 9
u
us

détec

Sortie
du
modulateur

R1

R1

Multiplieur
Filtre
à définir

mod
uumod

R2

udeph

umult

u filt

C2

Concours Centrale-Supélec 2009

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PHYSIQUE I

Filière PC

IV.C.1) Montrer que le bloc (entouré en pointillés) construit autour de 
l'amplificateur opérationnel fonctionnant en régime linéaire permet de déphaser 
le
signal u mod ( t ) . Montrer que u deph ( t ) et u mod ( t ) sont en quadrature 
de phase à
condition d'imposer une relation, supposée vérifiée par la suite, liant R 2 , C 
2 et
t.
IV.C.2) Le multiplieur est un composant analogique dont la tension de sortie
­1
u mult ( t ) est égale à u mult ( t ) = kv × u s ( t ) × u deph ( t ) avec kv = 
0, 1 V . Exprimer
u mult ( t ) et montrer que sa moyenne temporelle est de la forme
< u mult ( t ) > = Cte × g ( l, t ) .
IV.C.3) La fréquence de modulation du flux lumineux de chauffage est comprise 
entre 10 Hz et 1 kHz . Proposer un montage et des valeurs réalistes de 
composants, afin que le filtre situé en sortie du multiplieur délivre une 
tension de
sortie u filt proportionnelle à g ( l, t ) .
IV.D - Balayage en fréquence
On fait varier très lentement la fréquence de modulation du flux lumineux pour
l = 2, 00 mm . Les quatre premières fréquences de résonance de la cavité valent
f 1 = 17, 4 Hz , f 2 = 70, 0 Hz , f 3 = 157 Hz et f 4 = 280 Hz .
IV.D.1) Montrer que les fréquences de résonance f n s'expriment aisément en
fonction de n .
IV.D.2) Comment peut-on définir une longueur d'onde thermique R ther, n 
associée à l'onde étudiée ? Déterminer la dépendance de R ther, n en fonction 
de n .
IV.D.3) Pouvez-vous proposer une analogie avec d'autres types d'ondes ?
IV.D.4) Quelle information peut-on tirer de ce protocole expérimental au sujet
du gaz étudié ?
··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2009

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Langlois (Enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Jérôme Ropert (Professeur en CPGE), Sébastien Dusuel 
(Professeur
en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite d'une méthode de mesure des propriétés thermiques d'un matériau 
:
l'interférométrie d'ondes thermiques. Il est constitué de quatre parties.
· Dans la première, on étudie l'équation de la chaleur à une dimension,
tout d'abord en régime permanent. En la résolvant ensuite en régime sinusoïdal
forcé, on introduit la notion d'ondes thermiques.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la propagation d'une onde 
électrocinétique dans une chaîne de cellules RC. On développe ensuite une 
analogie
entre ce système et les ondes thermiques étudiées précédemment.
· La troisième partie aborde la conversion d'un signal thermique en signal 
électrique à travers l'étude d'un détecteur pyroélectrique associé à un 
convertisseur
courant-tension.
· Enfin, dans la dernière partie, on étudie le comportement d'une onde 
thermique au passage d'une interface entre deux milieux. On applique ceci aux
interférences d'ondes thermiques dans une cavité remplie d'un gaz et à leur
utilisation comme méthode de mesure.
Le sujet est très long et fait appel à de nombreuses parties du programme :
il nécessite de bien maîtriser les cours de thermodynamique, de diffusion 
thermique,
d'électrocinétique (notamment les filtres) et de manière générale la physique 
des
ondes. En outre, il fait aussi intervenir plus brièvement des notions d'autres 
domaines comme l'optique géométrique. Il contient beaucoup de questions proches 
du
cours, mais aborde parfois aussi des thèmes classiques sous des angles 
inhabituels.
De plus, il comporte de nombreuses questions qualitatives nécessitant du recul 
et un
bon sens physique.

Indications
Partie I
I.A.5 Exprimer l'énergie transmise au barreau de cuivre pendant un temps t.
Appliquer le premier principe de la thermodynamique au volume d'eau
V = dv t, en négligeant le travail des forces de pression.
I.B.2 Calculer la capacité thermique globale de la barre, puis la rapporter à
sa longueur. Procéder de même pour la résistance thermique qui vérifie
T(0) - T(L) = Rth P.
I.B.5 L'équation décrivant un phénomène irréversible n'est pas invariante par
renversement du temps.
I.C.1 Pour identifier les deux profils, utiliser le fait que la température 
moyenne
est plus élevée en z1 qu'en z2 .
I.C.4 La barre peut être considérée comme infinie si l'amplitude de l'onde 
thermique est négligeable en z = L.
I.C.5 Utiliser l'information concernant l'amplitude des signaux et leur 
déphasage.
Partie II
II.A.1 Utiliser la loi des noeuds en tension, ou le théorème de Millman, pour 
déterminer un en fonction de un+1 et un-1 .
II.D.2 Dans le tableau de l'énoncé, lire T(z, t) - Tp (z) à la place de T(x, t) 
- T0 ,
remplacer R par R/a, et  cp par  cp d2 /4.
II.D.3 La grandeur considérée a la dimension de la dérivée par rapport au temps
d'une entropie. Faire le bilan de l'entropie échangée et de l'entropie créée
par un tronçon de barre de cuivre.
Partie III
III.A La variation de polarisation génère une densité de courant électrique

-
P

-
 =
t
III.B.1 Calculer la longueur sur laquelle l'onde thermique s'atténue. Attention 
à
l'unité de CT pour calculer la diffusivité thermique du film cristallin !
Partie IV
IV.C.1 Écrire le théorème de Millman à l'entrée + et à l'entrée - de 
l'amplificateur
opérationnel.
IV.C.3 Utiliser un filtre passe-bas pour éliminer la composante continue d'un 
signal.

Conseils du Jury
Le rapport mentionne que « les aspects expérimentaux occupaient une large place
dans le problème, en accord avec l'esprit de la filière PC », et qu'« il était 
nécessaire
d'avoir de bonnes connaissances, et de savoir les adapter pour mener à bien 
cette
étude originale. Cela nécessitait des qualités de réflexion et d'adaptation, 
qualités
essentielles au métier d'ingénieur. »
Si le barème était à peu près équilibré entre les quatre parties, les candidats 
ont
passé beaucoup plus de temps sur la partie I, et le jury regrette que la partie 
IV n'ait
pas pu être plus traitée à cause de la longueur du sujet, alors qu'elle 
constituait « une
belle étude originale et intéressante. » Le rapport note toutefois que « 
l'aspect varié
du sujet avec de nombreuses questions largement indépendantes a permis à tous 
les
candidats de pouvoir valoriser leurs connaissances dans l'un au moins des 
domaines
abordés. »
Le rapport du jury insiste également sur plusieurs points :
· Ce n'est pas parce que l'expression à démontrer est donnée par l'énoncé qu'il
faut « mener des raisonnements totalement aberrants » ou changer les signes
des expressions en cours de calcul pour la trouver à tout prix. « Cette attitude
est lourdement sanctionnée. »
· « Les candidats devraient réfléchir à tous les phénomènes de transport 
rencontrés dans le cadre du programme, et à la signification du vecteur densité 
de
courant associé. » Dans la partie II, « si les questions d'électrocinétique ont
été relativement bien traitées, l'analogie avec la diffusion thermique n'a pas 
été
vue, même par les très bons candidats. »
· Les questions de cours, en particulier, doivent faire l'objet de beaucoup de
rigueur dans la rédaction.
Enfin, le jury déplore que « les mesures graphiques aient été rarement traitées,
les applications numériques rarement faites, et souvent fausses, ou données 
avec trop
de chiffres significatifs. » La lecture du graphique en échelle logarithmique 
(figure 6)
a également posé beaucoup de difficultés.

I. Étude de la diffusion thermique
I.A

Étude du régime stationnaire

I.A.1 La barre de cuivre est chauffée en z = 0 et refroidie en z = L. La 
tempéra--
 est
ture T ne dépendant que de z, le vecteur gradient thermique grad T = dT/dz -
u
z
orienté dans le sens des z décroissants. La loi de Fourier s'écrit
--

-
Q = - grad T
· Le flux thermique à travers la section S du barreau, d'aire S =  d2 /4, étant
ZZ

-

-
P=
Q · d S = S jQ
S

[P]
M

la densité de courant thermique est une puissance surfacique : [-
Q ] = 2 = 3 ;
L
T
--

· le gradient de température a pour dimension [grad T] = ;
L
[P]
ML
= 3 .
· enfin  est la conductivité thermique du matériau : [] =
L
T 

On peut également s'aider d'un raisonnement en termes d'unités : -
Q s'ex-2 --
-1
-1
-1
prime en W.m , grad T en K.m et  en W.m .K . Toutefois, comme
le souligne le rapport, il faut veiller à ne pas confondre les notions de 
dimension et d'unité de mesure.
I.A.2 La résistance chauffante fournit au barreau de cuivre, par effet Joule, 
une
puissance
U0 2
P ch =
Rch
Cette puissance étant intégralement transmise au barreau, P = P ch et le flux
thermique surfacique en z = 0 est
-

Q (z = 0) =

2
P -
 = 4 U0 -

u
u
z
z
 d2 /4
 d2 Rch

I.A.3 Le régime étant stationnaire et les parois latérales du barreau isolées, 
l'énergie dans un tronçon de la barre compris entre les surfaces d'abscisses z 
et z + dz
est conservée. En l'absence de source thermique interne au barreau, et de 
travail
mécanique, il en découle l'égalité des flux thermiques
S jQ (z) = S jQ (z + dz)
soit

djQ
=0
dz

Le flux thermique surfacique est donc uniforme. D'après la loi de Fourier 
introduite
à la question I.A.1, il vient
d2 T
=0
dz 2