Centrale Physique 1 PC 2007

Thème de l'épreuve Étude de certains phénomènes colorés
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux, mécanique du point, optique ondulatoire, dipôle oscillant
Mots clefs absorption, réseau, lame mince, spectre lumineux, bleu du ciel, indice optique, irisation, plume de paon

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2007

Épreuve :

PHYSIQUE I

Filière

PC

PHYSIQUE ! Filière PC

PHYSIQUE l

Le problème étudie l'interprétation de certains phénomènes colorés de la vie 
quotidienne.

L'usage de tout type de machine à calculer est autorisé mais inutile pour cette 
épreuve. Les
applications numériques ne portent que sur des ordres de grandeur aisément 
détermina-
bles « a la main ». Les différentes parties sont largement indépendantes. Tout 
résultat
fourni par l'énoncé pourra être utilisé dans la suite sans justification.

Données : on note j le nombre de partie imaginaire positive et de carré --1 .
Masse du proton : 1, 7 - 10_27 kg Charge de l'électron : -- e = --1, 6 - 10_19 C

Célérité de la lumière dans

8 --1
le vide: 3 10 m S

Masse de l'électron : 9, 1 - 10_31 kg

Perméabilité magnétique du vide : u0 : 4u10_7(SI)

Formulaire : pour deux grandeurs a et ?) variant sinusoïdalement en fonction
du temps avec une pulsation commune 0) ,

a(x, y, z, t) : Re(al(x, y, z)e"oe') et b(x, y, z, t) : Re(bl(x, y, z)e'°") ,
la moyenne temporelle de leur produit est

{ab} : %Re(a1 - b1*) , où Z"< désigne le conjugué de Z.

Partie I - Couleurs « par transparence »

I.A - Le spectre lumineux humainement visible

I.A.1) Entre quelles longueurs d'ondes se situe le spectre des ondes lumineu-
ses humainement visibles ?

I.A.2) Donner un ordre de grandeur des fréquences correspondant aux cou-
leurs rouge et violette.

On s'intéresse dans la suite de cette partie à la propagation d'ondes electroma-
gnétiques dans un milieu diélectrique non magnétique, linéaire, homogène, iso--
tr0pe, en l'absence de charges et de courants libres.

Concours Centrale-Supé/ec 2007 1/12

PHYSIQUE ! Filière PC

Filière PC

I.B - Détermination de la permittivité diélectrique relative complexe gr
du milieu dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié

Lorsqu'une onde lumineuse se propage dans un milieu diélectrique, son champ
électromagnétique interagit avec les électrons (de charge --e , de masse m) des
atomes du milieu. L'étude de cette interaction permet de caractériser le milieu
diélectrique par la constante macroscopique gr. Le noyau d'un atome, supposé
fixe, est situé au point 0 . La position d'Ëlectron de cet atome, situé au point
M , est repérée par le vecteur position OM : r. Les interactions électrostati--
ques exercées sur l'électron par les agtres charges de l'atome se réduisent à 
une
force de rappel élastique notée --moeä r.

I.B.1) Quelle est la dimension de la grandeur oe0 '? Que représente-t-elle '? Le
déplacement de l'électron est cqntrarié par des forces de friction : leur 
résul--
tante, qui s'oppose à la vitesse v : dr /dt de l'électron, est notée --my v (où 
y
est une constante positive).

I.B.2) Écrire l'équation du mouvement de l'électron lorsqu'il est de plus sou-
mis au champ électromagnétique extérieur.

I.B.3)

a) Comparer la taille d'un atome aux longueurs d'ondes du spectre visible.
Quelle hypothèse peut--on faire alors quant au champ électromagnétique de
l'onde lumineuse à l'échelle de l'atome ?

b) Pourquoi peut-on négliger l'influence du champ magnétique de l'onde
lumineuse ?

\

c) Pourquoi est-il possible de limiter notre étude a un champ électrique
monochromatique ?

(1) Est-il légitime de se borner à l'étude d'un champ électrique à polarisation
rectiligne ? On a désormais recours à la notation complexe et on écrit le champ
électrique E : Eee]... , où EO est un vecteur constant et uniforme et m une 
pul--
sation du domaine du visible.

I.B.4) On étudie le mouvement de l'électron en régime permanent.
a) Qualifier d'un adjectif le régime d'oscillations.

b) Donner l'expression de la position î" de l'électron.

I.B.5)

Concours Centrale-Supé/ec 2007 2/12

PHYSIQUE ! Filière PC

a) Déterminer l'expression du moment ?? du dipôle électrique constitué par
l'électron et un proton du noyau. On appefie n la densité volumique d'électrons
du milieu sensibles à l'onde lumineuse. Tous ces électrons sont caractérisés par
les mêmes constantes (00 et y .

b) Exprimer le vecteur--polarisation ?, densité volumique des moments dipo-
laires 2 ,en fonction de

à
0), 80, oe...y,l_fÎ et (op : ./ne2/(eom).

I.B.6) On souhaite évaluer l'ordre de grandeur de (op .

a) En supposant que le milieu est dense et que chaque atome possède un seul
électron sensible au champ électromagnétique extérieur, donner un ordre de
grandeur numérique de la densité n d'électrons, puis de la pulsation (op .

b) À l'aide des données fournies en début d'énoncé, justifier a posteriori 
l'hypo--
thèse d'immobilité des noyaux des atomes.

I.B.7) On rappelle que dans un milieu diélectrique linéaire, homogène, iso--
%
trope, £ s'exprime par :

+ + +

È : 80(ër--1)1Ë : 80XeE°
où gr est la permittivité diélectrique relative du milieu ; g,. et >_çe sont a 
priori
complexes.
a) Quel nom donne-t-on à la grandeur >_çe '? Préciser sa dimension.

b) Quelle valeur, exprimée en fonction de y et (00 , faut-il donner à la 
constante
Q pour pouvoir écrire

. >_> ?

(1) Pour l'aigue--marine, oe0 z 4, 5 - 1014 rad -- s_1 . Quelle est sa couleur 
« par
transparence >> ?

I.E.3)

a) L'eau possède-t--elle des valeurs de 000 dans le visible ?

b) L'eau d'une piscine chauffe au soleil, pourquoi ?

I.E.4) Une application à la mesure en chimie

Certaines solutions aqueuses sont colorées. Comment varie la norme de la
valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting moyen  t12 :
nl + 112
r _ n1--n2 )
12 --
nl + n2

Concours Centrale-Supé/ec 2007 8/12

PHYSIQUE ! Filière PC

III.A - En lumière monochromatique
L'onde incidente est une onde plane monochromatique de longueur d'onde dans
le vide >».

III.A.1)

En incidence normale, évaluer numériquement le rapport lE1/EO| des amplitu-
des des rayons (1) et (O).

III.A.2) Évaluer de même |E2/Eol» lE2/El| et lE3/E21. Justifier qu'on peut
désormais se limiter aux rayons réfléchis (1) et (2) uniquement.

On fait l'hypothèse que les rapports d'amplitudes précédents restent inchangés
quels que soient les angles d'incidence et les polarisations des ondes considé-
rées.

III.A.3)

a) Ecrire l'intensité lumineuse réfléchie sous la forme

I : 10{1+Ccos(â--Ïô)]

où C est un coefficient que l'on déterminera en fonction de lE2 /E1l et 6 la 
diffé-
rence de marche entre les rayons (1) et (2). Évaluer numériquement C. Que
dire de la visibilité des franges ? Tracer l'allure de la courbe I (ô)/ I .

b) Établir l'expression

/ 2
ô=2ne 1--Ê1-Ï-l--Ï+}â.
n

2.
c) Pour la valeur de n considérée, la valeur de f (i) = /1 -- Sii; décroît de 1 
à
n2

environ 0,75 lorsque i varie de 0 a at/ 2 .
Esquisser l'allure de la courbe f (i )) pour ce domaine de variation.

d) Pour 6 : À/ 10 , la fonction

. _ 43me 1 sin2i
g(z)- }» _?

décroît de 4OJt à 3071: lorsque i varie de 0 à at/2.
Tracer l'allure de la courbe I (i)/ I 0 pour ce domaine de variation.

III.B - Irisations
La couche d'huile est éclairée en lumière blanche.

III.B.1) Expliquer la présence d'irisations.

III.B.2) Comment s'y prendre concrètement pour observer les différentes tein--
tes à la surface de la couche d'huile '?

Concours Centrale-Supé/ec 2007 9/12

PHYSIQUE ! Filière PC

III.B.3) Donner un ordre de grandeur de la valeur maximale de l'épaisseur
d'huile permettant l'observation des différentes teintes colorées. Comment
nomme-t--on la couleur observée si l'épaisseur d'huile devient supérieure à 
cette
valeur seuil ?

Partie IV - Couleurs par diffraction

On envisage un
réseau par transmis--
sion constitué d'une
surface plane ne lais- @
sant pas passer la
lumière et percée de
N fentes parallèles
de largeur e et de

/ '\ Z .
longueur L reguhe-- -- ---------- > L
rement espacées.
Elles forment ainsi

un motif répété Vue de profil
périodiquement
(période a ). On considère que L » e et que L est très grand devant les 
longueurs
d'onde ?» du domaine visible. L'indice de l'air est pris égal à 1.

A
l

;--

V

A
.D--
V

\\\\\\\\\» «<
° \\\\\\\\\

IV.A - Seuls des faisceaux lumineux parallèles sont envisagés. La direction de
la lumière incidente est contenue dans le plan ( yOz) . Pourquoi peut-
on considérer que la direction de la lumière diffractée est également contenue
dans ce plan ?

IV.B -

IV.B.1) On note g0(i, EUR),e, >») l'amplitude diffractée par la première fente 
(0)
dans la direction 6 . Justifier que l'amplitude diffractée dans la même 
direction
par la fente suivante (1) ne diffère de c_zO que par l'ajout d'une phase 
supplémen-
taire cp que l'on déterminera en fonction de i, 6 , a et À la longueur d'onde de
la lumière incidente.

IV.B.2) On admet que l'amplitude diffractée par le réseau peut s'écrire comme
le produit de l'amplitude diffractée par un unique motif (la fente (0) par exem-
ple) et d'un terme d'interférence a N ondes, noté % (N , cp) indépendant de la
nature des motifs. Montrer que l'intensité diffractéfilans la direction 9 par 
les
N fentes peut s'écrire sous la forme lC--'02lI (N , cp). Exprimer I (N , cp) en 
fonction
de % (N , cp) . A quelle(s) condition(s) portant sur e peut--on considérer c_zO
comÊe indépendante de 6 et de i ? On se placera désormais dans ce cas.

Concours Centrale-Supé/ec 2007 10/12

PHYSIQUE ! Filière PC

IV.B.3) On donne
l'allure de la courbe
I(N,cp) en fonction
du déphasage cp :
figure ci--contre.

1/1 1l1

max

Pour quelles valeurs ... ... .... A.. >
de EUR) l'intensité dif- --4fl3 --2fi 0 \2OE 211: 4113 cP
fractée est--elle N
maximale lorsque

N devient grand ?

IV.C - La surface d'un
disque compact est modé-
lisée par un ensemble de
miroirs parallèles identi-
ques aux fentes
précédentes :

IV.C.1) Montrer que le
résultat précédent reste
valable à condition de
remplacer cp par une
phase cp'(i, 6', a, >») à
déterminer. Pour un dis-
que compact a = 1, 6 um. Le disque est désormais éclairé en incidence normale.

IV.C.2) Proposer un dispositif expérimental permettant d'observer la lumière
diffractée dans les conditions décrites précédemment.

IV.C.3) Y a-t--il mélange des ordres en lumière blanche ?

IV.C.4) Peut-on voir son propre reflet dans un disque compact comme dans un
miroir ? Les couleurs sont-elles modifiées ?

IV.D - Les barbules des plumes de paon contiennent des bâtonnets de mélanine
(pigment brun foncé qui donne sa coloration à la peau) opaques noyés dans de
la kératine (protéine fibreuse transparente d'indice n = 1, 5 ).

Chaque bâtonnet constitue un obstacle qui diffracte la lumière (comme les
miroirs précédents). Les bâtonnets sont régulièrement répartis dans la kératine
au niveau des noeuds d'un réseau cubique simple (N x bâtonnets dans la direc-
tion x , N y bâtonnets dans la direction y, NZ bâtonnets dans la direction 2 ).
Comme précédemment, seuls les rayons contenus dans le plan ( yOz) sont pris
en compte. On suppose l'amplitude diffractée indépendante de Nx : tout se
passe comme si les bâtonnets avaient une longueur L dans la direction x très

Concours Centrale-Supé/ec 2007 11/12

PHYSIQUE I Filière PC
supérieure à a et ?» . On note c_z1 l'amplitude (supposée constante) diffractée 
par
un unique bâtonnet.

On s'intéresse à la lumière diffractée par chaque bâtonnet dans la direction
r' = -- r de la réflexion spéculaire.

IV.D.1) Soit cpy le déphasage entre les ondes diffractées par deux bâtonnets
plus proches voisins dans la direction y et de même coordonnée z : bâtonnets
(i, j ) et (i + 1, j) . De même, cpz est le déphasage entre les ondes 
diffractées par
deux bâtonnets plus proches voisins dans la direction 2 et de même coordonnée
y : bâtonnets (i, j) et (i, j + 1). En utilisant le résultat donné a la question

IV.B.2, montrer que l'intensité diffractée est proportionnelle à

\@1'\1(Ny,cpy) -I

numerique. . . (O, 0). (07.1) (O., N2_ 1)

IV.D.5) On se place en incidence

normale i = 0. Que valent alors

cpx et cpy ? En observant les taches colorées des plumes de paon on peut voir un
centre bleu-noir (bâtonnets distants de O, 16 um) entouré d'une tache ovale tur-
quoise (bâtonnets séparés de O, 17 um) ceinte d'une couronne extérieure brun--
rouge (bâtonnets séparés de 0,21 um ). Interpréter ces différentes teintes.

ooo FIN ooo

Concours Centrale-Supé/ec 2007 12/12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) ; il a été relu par
Corentin Coulais (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose d'étudier l'interprétation de certains phénomènes colorés de la
vie quotidienne. Il se compose de quatre parties très largement indépendantes.
· La première partie, de loin la plus longue, étudie l'influence de 
l'absorption sur
la couleur des diélectriques, en se basant sur le modèle de l'électron 
élastiquement lié. Une bonne maîtrise des calculs est nécessaire pour pouvoir 
interpréter
correctement les situations proposées en fin de partie.
· Dans la deuxième partie, on étudie le problème de la diffusion de la lumière
par un dipôle oscillant, qui conduit à l'interprétation classique du bleu du 
ciel.
La dernière question fait appel à des notions hors programme (diffusion de Mie).
· La troisième partie traite du problème des couleurs observées à la surface 
d'une
goutte d'huile flottant sur l'eau. C'est une application presque directe du 
cours,
aussi cette partie est-elle la moins délicate de l'ensemble du problème.
· Enfin, la dernière partie traite des couleurs obtenues lors de la diffraction 
par
un réseau. Si son début est relativement classique, sa fin est assez difficile 
mais
elle permet de comprendre l'origine des couleurs du paon.
Ce problème est, comme à l'accoutumée pour le concours Centrale, 
particulièrement long. Il aborde un grand nombre de points du programme de PC : 
électromagnétisme dans les milieux, rayonnement du dipôle oscillant, 
interférences et diffraction.
La variété des situations présentées permet de faire le lien entre des modèles 
parfois
abstraits et des situations rencontrées dans la vie courante, ce qui en fait un 
problème
de révision intéressant. Il reste cependant très proche du cours pour la 
quasi-totalité
des questions.

Indications
Partie I
I.B.2 Négliger la pesanteur devant les autres forces.
I.B.3.b Estimer le rapport entre les deux termes de la force de Lorentz, en 
supposant que l'onde incidente est plane.
I.B.6.a Comme milieu dense, on peut considérer par exemple l'eau liquide à 
pression et température ambiante.
I.C.4 Chercher une relation entre B0 et E0 en insérant la solution proposée pour
le champ dans l'équation de Maxwell-Faraday.
I.D.2.a La puissance volumique moyenne cédée par le champ aux charges s'écrit

-

-
1

Pmilieu = h-
 pol · E i = Re (-
 pol · E )
2
I.E.1.c Comment se simplifie l'expression de l'indice complexe si r est 
négligeable ?
I.E.2.a Simplifier l'égalité r - j r = (n - j n )2 en supposant n  1.
I.E.4 Le milieu étudié étant peu concentré, on peut faire l'hypothèse r  1.
Les sources de lumière utilisées ici ont une grande largeur spectrale : on
ne se limite pas uniquement à la longueur d'onde d'absorption.
Partie II
II.A.2 Quelle est la relation entre le champ électrique et le champ magnétique ?
II.B.3 Comparer la concentration des centres diffuseurs dans la fumée de 
cigarette
et dans l'air. La fumée expirée contient, tout comme le brouillard, des
gouttelettes d'eau de taille supérieure à la longueur d'onde. Peut-on dès
lors appliquer les résultats des questions précédentes ?
Partie III
III.A.3.b Ne pas oublier le déphasage de  à l'interface huile/eau, l'huile 
étant plus
réfringente que l'eau.
III.A.3.d Utiliser e = 10  au lieu de e = /10.
III.B.3 Comparer le déphasage relatif entre les deux extrémités du spectre 
visible.
Partie IV
IV.D.1 Évaluer d'abord l'amplitude diffractée par un plan, puis celle 
diffractée de
plan à plan.
IV.D.2 Penser à prendre en compte l'indice du milieu dans le calcul de la 
différence
de marche entre deux plans.
IV.D.3 La condition de diffraction doit être satisfaite à la fois pour y et z .

I. Couleurs « par transparence »
I.A

Le spectre lumineux humainement visible

I.A.1 Le spectre des ondes lumineuses humainement visibles va de 400 nm (violet)
à 800 nm (rouge) environ.
Ces valeurs ne sont qu'un ordre de grandeur, chaque oeil ayant sa sensibilité
propre, qui est maximale vers 550 nm, soit pour la couleur jaune-vert.
I.A.2 La longueur d'onde (ici dans le vide) est reliée à la fréquence par la 
relation
c
avec
c = 3.108 m.s-1
=

On en déduit l'ordre de grandeur de la fréquence pour les couleurs rouge et 
violette.
Couleur rouge :
 r  4.1014 Hz
Couleur violette :  v  8.1014 Hz
Pour évaluer un ordre de grandeur, il n'est pas nécessaire de tenir compte
d'un éventuel indice du milieu.

I.B

Détermination de la permittivité diélectrique relative complexe r
du milieu dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié

I.B.1 La force de rappel élastique subie par l'électron du fait des 
interactions avec
les autres charges s'écrit

-
 2

-
[F]

2-
F = -m 0 r
donc, dimensionnellement
0 =

[m -
r]
D'après le principe fondamental de la dynamique
 2  M.L.T-2

-
[ F ] = M.L.T-2
donc
0 =
M.L
On en conclut
[0 ] = T-1
0 a la dimension d'une pulsation.
Elle représente la pulsation des oscillations libres de l'électron autour de sa 
position
d'équilibre.

On peut justifier la dépendance linéaire en -
r de la force de rappel entre
les différentes charges, en supposant que l'électron ne s'éloigne pas trop de sa
position d'équilibre. La force d'interaction des autres charges sur l'électron
étant d'origine électrostatique, elle dérive d'une énergie potentielle. À 
l'ordre
le plus bas autour de la position d'équilibre, l'énergie potentielle 
d'interaction
est quadratique et donc la force dont elle dérive est linéaire.

L'appellation force de friction pour le terme -m  -
v est un abus de
langage : l'origine de cette force n'est pas un frottement subi par l'électron
mais le rayonnement électromagnétique engendré par son mouvement, qui lui

fait perdre de l'énergie. Le choix d'une dépendance en -
v pour cette force est
purement phénoménologique.
I.B.2 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron, évoluant
dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. On néglige l'effet de la 
gravité
devant les autres forces en présence. L'électron est alors soumis
-

· à la force de rappel Fr = -m 0 2 -
r ;

-

· à la force de frottement F = -m  -
v ;
f

· à la force de Lorentz due à l'interaction avec le champ électromagnétique exté
-
  -
-

rieur Fl = -e ( E + -
v  B ).
L'équation du mouvement de l'électron s'écrit donc

 d-
-

-
d2 -
r
d-
r
r

2-
m
= -m 0 r - m 
-e E +
B
dt2
dt
dt
Pour un champ électrique appliqué relativement faible de 1 V.m-1
mg
1.10-30 × 10

 5.10-11  1
eE
1,6.10-19 × 1
Le poids de l'électron est donc toujours négligeable.
I.B.3.a La taille typique d'un atome a pour ordre de grandeur d  10-10 m, 
c'està-dire, pour les longueurs d'onde du spectre visible,
d
Le champ vu par l'atome apparaît donc uniforme. On peut donc en négliger la 
dépendance spatiale.
I.B.3.b Comparons l'ordre de grandeur des deux termes composant la force de
Lorentz, l'onde lumineuse incidente étant assimilée à une onde plane.

-

-

-

-
k-
v  Bk
kBk
v
kEk
v -
car
kBk =

-
  c
c
kEk
kEk
Soit une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se pro
-
pageant dans le vide de vecteur d'onde k réel. L'équation de Maxwell­
Faraday s'écrit, en notation complexe,
 -
-

-
j k  E = j B
 -
-
 -

Dans le vide, la base ( k , E , B ) est directe. Il en résulte

-

k -
1 -
kBk = kEk = kEk

c