Centrale Physique 1 PC 2005

Thème de l'épreuve Étude d'un capteur interférométrique de déplacement ou de déformation
Principaux outils utilisés ondes électromagnétiques dans les diélectriques, interférences

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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On-- _m..@_=u , _ u _ . , . _ ...DÛ_OE>In_ 5>=Êaw

m8w umä%OE .. &OEÈmU &:880

Étude d'un capteur interférométrique de déplacement au de

déformation

Les capteurs interférométriques sont utilisés dans des domaines très variés, 
tels que la détection de flux de radia-
tion, le suivi d'objets en déplacement et leur positionnement, le contrôle de 
la qualité de surfaces d'objets, etc.... Ce
problème étudie un capteur interférométrique de déplacement ou de déformation, 
basé sur la modulation d'un
réseau d'interférences créé par une lame d'air comprise entre deux lames de 
verre.

Partie I - Présentation du dispositif
Le capteur est schématisé sur la figure 1 :

Il est constitué de deux
lames de verre rectangu-
laires (10cm >< 120m ), de
2mm d'épaisseur, qui peu-
vent former un coin d'air
ou être disposées parallè--
lement. Sa structure com-
porte les éléments
principaux suivants :

° le bâti principal qui
sert de base rigide à

l'ensemble des compo--
sauts,

0 la table de translation

Figure 1 : principaux éléments du capteur
interférométrique

lame de verre
de lecture L1

lame de verre
d'entrée L2

équerre E2

équerre E1

table de translation horizontale

bâti principal

horizontale. Elle assure le contrôle de l'épaisseur de la cavité qui peut être
ajustée entre Omm (les deux lames sont en contact) et 66mm ,

une équerre (El) verticale, solidaire de la table de translation. Elle est évi--
dée en son centre pour laisser passer le faisceau laser de lecture. Elle sup--
porte la lame de verre dite de « lecture » qui pourra donc être translatée.

une équerre (EZ) verticale, fixe, dont le plan est perpendiculaire à l'axe de
translation horizontal del' équerre (E 1) . Elle est évidée en son centre 
(l'inté-
rêt de ce trou apparaîtra dans la partie ILE). Elle supporte la lame de verre
dite « d'entrée » qui peut être orientée grâce à un dispositif précis et sans 
jeu.

En éclairant le capteur par un faisceau lumineux cohérent continu (laser
He--Ne ), parallèle ou divergent, on observe des franges d'interférence 
rectilignes

ou circulaires dont les propriétés sont définies par l'épaisseur optique de la
cavité formée par les deux lames. Toute déformation ou déplacement de l'une ou
l'autre des deux lames introduit un changement dans l'épaisseur de la cavité
d'air qui se traduit par la modification spatiale du réseau de franges 
d'interfé-
rences. Celui-ci est enregistré périodiquement par une caméra CCD numérique
associée à un système d'acquisition et de traitement d'images. Le suivi du mou--
vement de ces franges permet l'analyse temporelle de la réponse du capteur.

Les différents éléments qui constituent ce dispositif expérimental sont :
° le capteur interférométrique qui est disposé sur une table anti-vibration,

° le laser continu He--Ne (laser de lecture, de longueur d'onde dans le vide
>» = 632 nm et de puissance P = 6 mW ) qui illumine l'interféromètre et crée le
réseau de franges,

° l'optique d'adaptation, constituée de lentilles, pour éclairer le plus 
uniformé-
ment possible, la cavité sur une surface d'environ 7 cm2 ,

0 une lame semi--réfléchissante qui permet d'observer les interférences,

. l'ensemble
de détec-
tion cons-
titué d'une
caméra
CCD et de
son sys-
tème
d'acquisi-
tion asso-
cié. Figure 2 :le dispositif expérimehta

lame séparatrice

optique d'adaptation

caméra CCD ,

I.A - Coefficients de réflexion et de transmission

On considère deux milieux diélectriques, linéaires, homogènes, isotropes et
transparents (les indices optiques n1 et n2 sont donc réels) séparés par une 
sur--

face que l'on peut confondre localement avec son plan tangent d'équation z 0 .
Une onde électromagnétique (Êi, Ë5) plane, progressive, monochromatique et

polarisée rectilignement se propage dans le milieu (1) dans une direction' ez.

Cette onde arrive à l'interface séparant le milieu (1) du milieu (2) et donne
naissance :

0 à une onde plane réfléchie de même pulsation (Êr. Êr) ,

\ _ A _ --> --)
0 et a une onde plane transm1se de meme pulsatmn (E... I_3tr) .

"> . . .. "> ""> joet
Pour tout champ de vecteur X var1ant s1nusmdalement, on posera X = X Oe

LA 1) Rappeler, en tenant compte de l'absence de charges et de courants
libres, la relation de passage sur le dioptre z = 0 vérifiée par les champs E. 
En
déduire une relation entre Eoi , Êg,-- et Eau--.

I.A.2) En procédant de. même, donner une relation entre Êoi , Êm-- et Êon.
. _ --> -> --> _ --> --> --> ,
Rappeler les express1ons de Bi , Br et Btr en fonctmn de Et , Er , Etr , ez , 
n1 , n2
et c vitesse de propagation de la lumière dans le vide et en déduire une 
relation
---> ---> -->
entre an, E0r, Een--, n1 et n,.

I.A.3) Déduire des questions précédentes les coefficients de réflexion et de
transmission en amplitude :

E E
--Or
'-- l

LB - On suppose que les lames de l'interféromètre sont taillées dans du verre
d'indice n = 1,5 et que l'indice de l'air est "0 = 1, 0 . Déterminer les 
coefficients
de réflexion r1 : fair--> verre et r2 : "verre __ air a1ns1 que les 
coeffic1ents de trans-

mission t1-- : t et t2 : tverre __ air. Quelle est la conséquence du signe de
?
r
1 .

atr "' verre

Dans la suite du problème on utilisera ces coefficients de réflexion et de 
transmis-
sion pour le signal lumineux noté 8.

I. C - Rapport des amplitudes

Les différents rayons réfléchis sont repérés Figure 3: rayons réfléchis sur

de la façon suivante (figure 3): l'interféromètre b1 c1 % c,
° 0 pour le premier rayon réfléchi ; ray... incident 0 81 32 33

° a,, a2, a3,..., aN,... pour les autres
rayons ne franchissant pas la première
lame de verre (N entier strictement

_ positif) ;

' b1 , b2 , b3 ,... , bN,... pour les rayons se
pénétrant pas dans la deuxième lame
de verre (N entier strictement positif) ;

0 c1 , c2 , c3 , , c N , pour les rayons se réfléchissant sur la face 
inférieure de
la deuxième lame de verre (N entier strictement positif) ;

Remarques:

- il existe d' autres types de rayons dont on ne tiendra pas compte dans ce
problème ; .

- on admet que les coefficients calculés à la question IA.3 restent valables 
pour
des rayons faiblement inclinés.

I.C.1) Déterminer le rapport des amplitudes SO/Sincident en fonction de r] .

I.C.2) Déterminer l'expression de sa N-/s en fonction de tl , .t2 , r2 et

incident '
(2N -- l) .
I.C.3) Déterminer l'expression de sbN/sinc,dent, en fonction de t1 , t2, r1 et
(2N -- l).

I.C.4) Déterminer l'expression de se N--/s en fonction de t1 , t2 , r2 et

(2N--1).

I.C.5) Quels rayons doit--on alors considérer dans l'étude des interférences
par réflexion et pourquoi (on justifiera en s 'aidant des applications
numériques) ? Comment peut-on modifier les lames de verre pour ne pouvoir
considérer que les rayons a1 et b ?

incident '

Dans la suite du problème .

0 on admet que seuls les rayons a1 (noté 1) et b1 (noté 2) interférent etqu'ils 
ont
la même amplitude,

0 on ne tient pas compte des changements de phase par réflexion.

Partie II - Utilisation en lame à faces parallèles

II.A - Interférences produites par une lame d'air

II.A.1) Modélisation de l'interféromêtreQ _
i | ' Figure 4 : modélisation de l'interféromètre

rayon
incident

.............. _ , rayon
incident

Dans la suite du problème on modélise l'interféromètre par une lame d'air située
entre deux lames infiniment minCes L1 et L2 semi--réfléchissantes, parallèles et
distantes de e (figure 4).

Justifier brièvement cette modélisation. Déterminer en fonction de n , e et i , 
la
différence de marche 62,1 que présente, dans un plan perpendiculaire aux
rayons 1 et 2 , le rayon réfléchi 2 par rapport au rayon réfléchi 1 .

Dans la suite du problème on ne fera plus apparaître l'indice n car n = 1, 0 .

II.A.2) Cas d'une source ponctuelle à distance finie.

L'interféromètre est éclairé par» une e
source ponctuelle 'monochromatique
de longueur d'onde ?» , placée en S sur
l'axe le àunedistance 018 = d de la
lame. On observe les interférences,par
réflexion, sur un écran E placé à une
distance D de 01 . On suppose qu'un
écran opaque P supprime la lumière
directe de S sur E. lame L2 _ ' lame L

' a) Montrer que le dispositif est alors Fi 5: lame d'air et Source P0nctuelle
équivalent à deux sources ponctuellesà iStanoe fime
placées en S1 et S.,. Déterminer les longueurs S 0 et S20 .On pose a = SZS.

Donner l'expression de a. Quelle distance DT sépare l'écran du milieu de
[S 321 ?

b) Qu' observe t-on sur l'écran. " Justifier sans calcul. Les interférences 
obtenues
par ce dispositif sont--elles localisées ?

c) Soit M un point de l'écran situé à une distance p du point 0 . Déterminer, en
fonction de a , k , DT et p , l'expression du déphasage % /1(p) en M de l'onde
issue de 82 par rapport à celle issue de S1 . On donnera le résultat sous la 
forme
d'un développement limité d'ordre 2 en p (M reste au voisinage du point 0 ).

d) Soit I0 l'intensité lumineuse du faisceau issu de la source S (et donc de 82 
)

Etablir l'expression de l'intensité I (p) d'un point M de l'écran en fonction 
de I 0 ,

e) Donner l'expression de l'ordre d'interférence po au centre de la figure. On
suppose que le centre de la figure correspond à un maximum de luminosité. Que
peut--on en conclure sur po. ? On numérote les franges lumineuses à partir de 0
par l'entier K (valeur nulle au centre). Exprimer le rayon p K du K anneau

lumineux en fonction de DT , K et pc. En déduire l'expression de p K + 1/ p K en
fonction de K.

D Application numérique ': on mesure sur l'écran p1 : 6, 6m . En déduire _p2 et
p3 . Sachant que X = 632nm , D = 80cm et d = 20cm , calculer e.

Que pensez vous de la précision de la mesure de e ?

g) Qu'observe t-on sur l'écran si l'on augmente progressivement la taille de la
source S ? Proposer une explication qualitative du phénomène.

II.A.3) Cas d' une source étendue à distance finie.

L'interféromètre est éclairé par une source étendue monochromatique de lon-
gueur d'onde À .

a) Soit un point de la source émettant un
rayon lumineux sous une incidence i. Rap- source étendue
peler l'expression, en fonction de i et e , de
la différence de marche 62 /1 que présentent,
dans un plan perpendiculaire aux rayons 1
et 2 , le rayon réfléchi 2 par rapport au
rayon réfléchi ] . "

rayon
incident

b) La différence de marche précédente ne J , lame L2
, ,. . . . Figure 6. lame d air et source
depend que de lmc1dence l et pas du pomt étendue à distance finie
de la source. Que peut-on en conclure sur la
localisation des franges d'interférences. ? La largeur de la source 
intervient-elle

sur le contraste ? Que détermine t-elle?

c) Donner l'expression de l'intensité I (l) obtenue à l'infini dans la 
direction i en
fonction de e , i et I () l'intensité lumineuse que l'on aurait sur l'écran si 
seule la
lame L1 était présente.

II.A.4) Observation avec une caméra CCD.

L'interféromètre, CAMERA CCD
model1se, par une laserHe_Ne I-- ---- -- -- ÏÆ&ZaiBÏÏ --:
lame d a1r, est = au capteur CCD

éclairé par le
laser de lecture.
Grâce àla lame
semi-réfléchis--
sante et à la
caméra CCD On
enregistre la . .
rence. La caméra
est réglée, dans _ _

un premier Figure 7. enreg1strement de la figure d'interférence

temps, pour que le

plan d'observation (capteur CCD) soit confondu avec le plan focal image de
l'objectif de la caméra assimilé à une lentille convergente de focale f" = 
50... .

a) Soit M un point du capteur CCD . On pose p : FM . Déterminer, en fonction
de p , e et [' l'expression dela différence de marche 62 /1 entre les rayons
réfléchis de type _ 2 et 1 convergeant en M (on effectuera, en les justifiant, 
les
approximations usuelles). Faire un schéma des lames (L1 , L2 et semi-transpa-
rente), de l'objectif et du capteur CCD en indiquant précisément les angles.

b) Donner l'expression de l'ordre d'interférence p0 au centre de la figure. On
suppose que le centre de la figure correspond à un maximum de luminosité. On
numérote les franges lumineuses à partir de F par l'entier K (valeur nulle au
centre). Exprimer le rayon p K du K 1ème anneau lumineux en fonction de f' , K
et Po . :"

c) On assimile le capteur CCD à un carré formé de pixels carrés jointifs. Soit 1
la longueur du côté d'un pixel. Les diamètres des anneaux sont déterminés en
analysant le profil suivant un axe horizontal passant par le centre du système
de franges. Soit N K le nombre de pixels correspondant au diamètre dK du K 1ème

anneau. Déterminer l'expression de l'épaisseur e de la cavité en fonction de f" 
,
>. , K , N K , et l .

d) Application numérique: }" : 50mm et l : 23um. Pour K = 1, on mesure
N1 : 28 pixels. Calculer e.

e) La détermination précédente de e repose donc sur la mesure de N 1 . Estimer
l'incertitude absolue sur N 1 et en déduire un encadrement de e . Conclure.
On souhaite diminuer l'incertitude relative sur la mesure de e .

1ère méthode : "

0 On suppose, uniquement dans cette question, que l'objectif de la caméra est
interchangeable (ou possède un réglage permettant de choisir différentes foca--
les). Que pr0posez-vous pour augmenter la précision de la mesure de e ?

2ème méthode :

g) En supposant que le laser et son optique d'adaptation peuvent--être assimilés
à une sOurce ponctuelle, que peut-on dire sur la localisation des franges ? À
quelle distance D de la lame doit--on placer un écran pour observer des anneaux
4 fois plus grands que dans le plan focal de l'objectif de la caméra ?

h) On suppose que la distance objectif-capteur CCD peut varier entre f et 2 f' .
On souhaite former une image-réelle d'un objet réel. On suppose que la distance
objet-objectif peut prendre toutes les valeurs possibles. Quelle distance 
objectif-
capteur CCD doit--on choisir pour obtenir la plus grande image posSible ? Quelle
doit-être alors la distance objet--objectif ? Quel est alors le grandissement de
l'objectif ? '

i) En déduire la distance (lame de l'interféromètre) - (objectif de la caméra)

pour obtenir sur le capteur CCD des anneaux 4 fois plus grands que ceux obser--
vés à la question II.A.4--a dans le plan focal image de l'objectif.

Dans la suite du problème, le système est réglé de façon à obtenir" ce 
grandisse-
ment de 4. On pourra, pour simplifier les raisonnements et les schémas, supposer
que l'observation est réalisée à l'infini avec 'un objectif de distance focale

feq = 4f -- ,
ILB - Méthode de suivi de franges circulaires.

D'après la section II.A, l'observation des franges d'interférences renseigne sur
l'épaisseur optique de la cavité formée par les deux lames. La figure 
d'interfé--
rence est enregistrée périodiquement par une caméra CCD numérique associée
à un système d'acquisition et de traitement d'images.

La déformation de la cavité optique est obtenue par l'action d'un deuxième fais-
ceau laser (longueur d'onde - 800nm ) sur la lame de verre d'entrée revêtue 
d'une
couche de gélatine, d'une épaisseur de 6um environ, qui absorbe l'énergie lumi-
neuse d'excitation déposée. L'échaufl'ement local qui en résulte provoque une
déformation mécanique et donc une variation de l'épaisseur de la cavité.

La méthode proposée est basée sur le calcul de la variation de l'épaisseur de la
lame d'air en fonction de la variation du rayon d'une frange circulaire.

II.B.1) On considère une frange brillante donnée. Comment varie le rayon de
cet anneau lorsq'ue l'épaisseur de la lame d'air diminue ? Déterminer l'expres-
sion approchée de Ae / e (variation relative de l'épaisseur de la lame) en 
fonction

de p , Ap et f'eq . On donnera le résultat sous la forme d'un développement 
limité
à l'ordre 1 en p .

' Mise en oeuvre --

expérimentale : ' profil B
° on enregistre l'inter-- -- \

férogramme à un ins-- profil A _

tant t1 . Grâce à cette
image, dite de réfé-
rence, on trace un
profil des niveaux de
gris le long d'une
droite horizontale

. passant par le centre
de la figure.

0 On détermine alors le.
rayon d'une frange
brillante donnée à
,. . . -4o so au 100 120 140 160 130 zo
lmstant t1 ' Numéro du 5er

o
1:
x
=
a
\ o
2
z

Figure 8 : enregistrement du déplacement '
des franges circulaires

0 on procède de même à un instant t2 et on détermine le nouveau rayon de la
- même frange brillante.

. gràce àla relation entre Ae /e et Ap/p, on peut en déduire la variation rela--
tive de l'épaisseur de la lame.

II.B.2) La figure 8 résume les résultats obtenus à l'aide de cette méthode. Les
profils diamétraux correspondent, respectivement, à l'image de référence et à la
première image après le début de l'excitation.

On cherche à identifier le profil de l'image de référence.

a) Chaque profil devrait admettre un axe de symétrie vertical. Pourquoi ? Citer
une des causes possibles de cette absence de symétrie. Malgré l'absence de
symétrie, comment peut--on repérer les pics correspondants au premier
anneau?

b) On rappelle que là
cavité Optique est
excitée par l'action
d'un deuxième fais-
ceau laser sur la lame
de verre d'entrée.
Quelle est, selon vous,
la conséquence de
l'action du laser __ sur
cette lame ? Com--
ment varie alors
l'épaisseur-- de la
cavité optique ?

c) En déduire le pro--
fil de l'image de réfé--
rence (A ou B ).
Justifier.

II.B.3) Donner une

estimation du rayon , ' _ 1oeo mo

' ' Tem - s en millisecondes
du prem1er anneau, , _ _ _ , _ , _ _
avant - et après Figure 9 . variation de ] épaisseur de la cav1té opt1que

, _ , en fonction du temps
exc1tat1on . "1, avan, et

rl, après ' ,
Application numérique : largeur d'un pixel : l = 23 nm.

II.B.4) En utilisant les questions II.A.4-c et II.B.1, déterminer une expression
de la variation d'épaisseur Ae de la lame en fonction de "1, avant , "1, après 
et >. .

Application numérique: >... = 632m_n ;largeur d'un pier : l : '23um.

II.B.5) En répétant cette opération pour tous les instants d'échantülonnage,
on peut tracer la courbe de variation de l'épaisseur de la cavité optique en 
fonc-
tion du temps (figure 9). Déterminer la durée T de l'excitation. Grâce à un 
logi--
ciel informatique, la réponse a été modéli8ée par un système linéaire d'ordre 1
(courbe en traits pointillés). Déterminer le temps caractéristique r associé àla
réponse de la lame (on précisera la méthode utilisée).

Partie III - Utilisation en coin d'air

On rappelle qu'on ne tient pas compte des changements de phase par réflexion.
On se propose d'améliorer la méthode précédente. Pour cela on règle 
l'interféro--
mètre en coin d'air.

HLA - Interférences produites par un coin d'air

III.A.1) On éclaire un coin d'air sous incidence rayfln
quasi normale. Reproduire et compléter la . incident
figure 10 en traçant les rayons lumineux inter--
férant. En déduire la surface de localisation des .
interférences dans le cas d'une source ponc--
tuelle, puis étendue.

On utilise de nouveau le montage de la partie
II. A. 4 (figure 7). L'interféromètre forme un coin Figure 10- inærférométre 
réglé
d'air et le laser de lecture fournit un éclairage en coin d'air

sous incidence quasi normale. On suppose que

les franges sont visibles (entre autres) sur la lame d'entrée. La caméra est 
réglée
pour former l'image d'une partie de cette lame d'entrée sur le capteur CCD. Le
grandissement est égal à 1 en valeur absolue. On adopte donc les mêmes coor--
données sur la lame d'entrée et sur le capteur CCD.

III. A. 2) Soient (x, y) les coordonnées d'un point M du capteur (et donc de la
lame d'entrée). Donner l'expression de la différence de marche 62,1 en fonction
de e(x, y) . En déduire l'expression de l'intensité 1 (x, y) au point M en 
fonCtion
de e(x, y) , ). et IO intensité maximale.

III.A.3) Déterminer, en fonction de k , 1 (x, y) , I 0 et d'un entier m , 
l'expression
des épaisseurs e(x, y) possibles pour un point M (x, y) où l'intensité est I 
(x, y) .
111. B- Méthode de suivi des niveaux de gris

Pour chaque point M (x, y) de la lame d'entrée, la détermination expérimentale
des variations de e(x, y) comporte deux étapes:

. l'extraction du signal interférométrique . on exploite les images enregistrées
périodiquement pour suivre l'évolution du niveau de gris d'un pixel de la
figure d'interférence. On obtient ainsi une courbe discrétisée qui représente

la variation de l'intensité du, pixel sélectionné en fonction du temps.
(figure 11)

. "l'île traitement du signal interférométrique : on convertit l'intensité 
enregistrée
en déplacement.

III.B.1) Décrire qualitativement le mouvement de la lame avant, pendant et
après l'excitation.

Déduire de la figurell le mouvement des franges au point M considéré (on pré-
cisera en particulier le nombre de franges défilant dans chaque phase).

En déduire les
instants tdébut et
tfi_n de début et
fin d'excitation

de la lame. ' ' .

III.B.2) Pour

simplifier, on
supp0se que le
point étudié _ cor--
respond à une
intensité nulle
lorsque la lame
est au repos.

a) Montrer que, .
pour o 800 1200 1000 mon 2400
t E [t 400ms] _ 7 Temps en müisecondæ

début' _ , ' gare: vanatmn . e 1ntens1t . u p1xe s - ectmnn en
le deplacement fonction du temps -
de la lame est
donné par :

_è._1_ ' M- _
Ae--'4 harccos( Io l) l].

b) Déterminer l'expression de Ae pour t E [400ms,500ms].

III.B.3) Déterminer l'expression de Ae pour t E [tdébut,tfin] ; on pourra intro-
duire un entier N 1 correspondant au nombre de franges ayant déjà défilé depuis
le début de l'excitation et distinguer deux cas : I est localement une fonction
croissante, ou décroissante, du temps.

III.B.4) Reprendre la question précédente pour t > tñn ; on pourra introduire
deux entiers : N "... , valeur maximum de N 1 , et N 2 correspondant au nombre
de franges ayant déjà: défilé depuis la fin de l'excitation. On distinguera deux
cas : I est localement une fonction croissante, ou décroissante, du temps.

IIÏ.B.5) Grâce aux expressions précédentes, on peut tracer la variation de
l'épaisseur de la cavité en fonction du temps. Le tracé ci-contre (figure 12) 
donne
le déplacement de la lame en fonction du temps.

Déterminer graphiquement
le déplacement maximal
_ dmax de la lame au point M
considéré. Quelle relation
peut--on écrire entre dmax et
-Aemax. Valider les expres--
sions précédentes de Ae en
déterminant graphiquement
grâce à la figure 11 une
deuxième valeur de dmax .

Cette méthode donne les
variations d'épaisseur pour
les différents points de la
lame à différents instants. Il
est alors possible de créer
une animation de la défor-
_mation.

La figure 13
représente, à un
instant donné,
l'aspect de la
déformation '
locale de la lame
suite à une excita-
tion ponctuelle et
centrée.

400 800 1200 1800 2000 2400
Temps en millisecondes

Figure 12 ': déplacement de la lame en
fonction "du temps

Figure 13 : déformation locale de la lame

Partie IV - Méthode de décalagede phase « Phase Shifting »

La méthode de « Phase Shifting » (PSI) est une méthode d'analyse et de traite-
ment d'un nombre élevé de données, en l'occurrence ici, les images obtenues par
le capteur de la caméra CCD. Il existe plusieurs systèmes de traitement, celui

décrit ici est l'algorithme de Hariharan.

On reprend l'expérience décrite au III.B, le but étant d'obtenir une mesure
locale de la phase (x, y) d'interférence. Au cours de l'expérience cette 
phase
varie lentement au cours du temps. La caméra CCD enregistre F interféro-
grammes par seconde. Entre deux acquisitions succeSsives la phase varie donc
de Ad) . La fréquence d'acquisition F étant assez élevée on peut considérer que,
sur un court intervalle de temps, la phase varie linéairement dans le temps et
donc que A' est constant sur une courte durée.

IV.A- En supposant que la lame d'entrée L2 se déplace a la vitesse moyenne 0 ,

déterminer l'expression de ACI). Faire l'application numérique avec v : lum s 1 
,

F= 50Hz etk= 632nm.

IV.B - Si on note a l'accélération de la lame, évaluer l'erreur relative que 
l'on
commet en considérant A(I> constant entre deux acquisitions successives, on
exprimera le résultat en fonction de a , v et F. Évaluer numériquement cette
erreur relative dans le cas où le déplacement de la lame est régi par un système
du premier ordre de constante de temps 17 : 400ms .

Pour mesurer la phase à l'instant t l'algorithme de Hariharan, prend en compte
les intensités mesurées aux instants t -- 2T , t --- T , t, t + T et t + 2T . 
On peut les
noter : '

I 1»(x,y) = I_0(x,y)[l +V(x,y)COS(®(x,y)f 2A)l,

Iz(an) = Io(x,y)[l + V(x,y)c08(®(x,y)--A®)l,
I3(x,y) ; Io(x,y)[l +V(x,y)COS(OE(x,y))l, ,
I4(x, y) = Io(x,y)[l +V(x,y)COS(®(x,y)+/m)l,
IS(x, y) : IO(x, y)[1 + V(x, y)cos(d>(x, y) + 2A)] .

IV.C- Comment interpréter le fait que I() eSt une fonction des coordonnées du

point de mesure. '7 Quelle est la signification du terme V(x, y) dans ces
expressions. "

IV.D- Exprimer, en fonction de MD le rapport

IS(x,y)_ I 1(x:y)

R : I4(x, y)-- --Iz(x,y)

IV.E - Exprimer, en fonction de (x, y) et Ad) , le rapport
Is(x, y)+I (x,y )-- 213,(x y)

R2: I,(x y)-- I,(x, y) et donc de
e(x, y) ,

IV.G - Quels sont les avantages du « Phase Shifting » par rapport aux méthodes
de mesure du II.B et III.B ?

À titre documentaire, une application de la méthode PSI est donnée ci-dessous
(figure 14) :

Figure 14 : méthode PSI

ooo FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique 1 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Florian Iglésias (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE)

Cette épreuve se compose de quatre parties pratiquement indépendantes qui
mènent l'étude d'un capteur interférométrique de déplacement.
· La première partie est, de loin, la plus facile. Elle porte sur l'analyse 
d'une
lame à faces parallèles et fait appel aux notions de base sur la réflexion et
la réfraction d'ondes électromagnétiques à l'interface entre deux diélectriques 
;
on y étudie les réflexions multiples à l'intérieur d'une lame à faces 
parallèles.
· Dans la deuxième partie, on se concentre sur les interférences à deux ondes
provoquées par une lame d'air. Les cas d'une source ponctuelle et d'une source
large sont abordés en premier lieu. La fin de la partie est bien plus originale 
et
nécessite une analyse assez fine de graphiques expérimentaux.
· On poursuit dans la troisième partie en s'intéressant à un coin d'air. 
L'étude de
données expérimentales qui y est proposée n'est pas triviale et reste originale.
· La quatrième partie aborde une autre méthode d'analyse optique de la cavité
constituée par le coin d'air étudié précédemment. La résolution y est plus 
facile,
mais assez calculatoire.
Ce sujet est typique de la filière PC au concours Centrale-Supélec : il est long
mais de difficulté croissante, il est également très original car tiré d'un 
article de
recherche récent. S'il est peu calculatoire, ce problème nécessite de la 
réflexion et du
sens physique.
Pour vraiment réussir une telle épreuve, il faut non seulement très bien 
connaître
son cours, en particulier celui sur les interférences, mais aussi savoir 
analyser des résultats expérimentaux. Il est alors indispensable de passer du 
temps sur les questions
difficiles afin de bien comprendre l'énoncé et d'avancer dans le problème.

Indications

Partie I
I.C.2 Regarder soigneusement le trajet parcouru par le rayon considéré en tenant
compte des différentes réflexions et traversées des interfaces.
Partie II
II.A.2.c Calculer la différence de marche S2 M-S1 M puis effectuer un 
développement

. Terminer le calcul en remarquant que a  D.
limité en
+
DT - a/2
II.A.2.e Remarquer que pour un anneau K quelconque, l'ordre d'interférence est
p = p0 - K.
II.A.4.e Utiliser les différentielles logarithmiques pour évaluer l'incertitude.
II.A.4.h Utiliser les formules de grandissement avec origine au foyer. On peut 
les
retrouver à l'aide d'une construction géométrique.
II.A.4.i Utiliser les questions II.4.g et II.4.h.
II.B.2.1 Utiliser la question II.A.3 pour déterminer la relation  en fonction 
de e
qu'il faut ensuite différentier. Constater que p0 /p  1.
II.B.2.a Certains pics du profil A sont situés « après » ceux du profil B alors 
que
d'autres sont situés « avant ».
Partie III
III.A.3 Il faut utiliser l'équivalence
cos x = y  x = +
- Arccos y + 2m

avec

mZ

Cette remarque est essentielle pour la suite.
III.B.1 La variation d'épaisseur est d'abord rapide puis se ralentit, ce qui 
fait varier
la période des oscillations lors de la phase d'excitation. La même chose se
produit pendant la relaxation.
III.B.2.b L'épaisseur diminue ainsi que I(x, y). En déduire la solution qui 
convient
pour e(x, y).
III.B.3 Utiliser la continuité de e pour trouver l'entier m caractérisant la 
solution.
III.B.4 Reprendre les raisonnements précédents en remarquant que e augmente.
Bien comprendre ce qui se passe en tfin .
Partie IV
IV.B Effectuer un développement de Taylor à l'ordre 2 de (t + t).
IV.D Utiliser les relations trigonométriques pour simplifier le rapport et 
éliminer
les termes en .

I. Présentation du dispositif
I.A.1 La relation de passage qui exprime la continuité du champ électrique à la
traversée d'une interface entre deux milieux 1 et 2, s'écrit pour la composante 
tangentielle

-

-

-
E T2 - E T1 = 0

L'onde est plane, progressive et se propage selon -
e . Le champ électrique est alors
z

transverse, c'est-à-dire perpendiculaire à la direction de propagation ; il est 
donc
tangent à l'interface z = 0. La relation de passage s'écrit alors
-

-

-
E i + E r = E tr
Pour une onde plane progressive, monochromatique et polarisée rectilignement se

propageant selon -
ez , le champ électrique s'écrit

-

-
E i = E 0i ej(t-kz)
-

-
E r = E 0r ej(t+kz)

puisque l'onde réfléchie se propage selon --
ez . De plus,

-

-
E tr = E 0tr ej(t-kz)
De même

La relation de passage écrite en z = 0 donne
-

-

-
E 0i + E 0r = E 0tr
I.A.2 La relation de passage qui exprime la continuité du champ magnétique à
la traversée d'une interface entre deux milieux 1 et 2, s'écrit pour la 
composante
tangentielle

-

-

S  -
n 12
B T2 - B T1 = µ0 -

-

où  est le vecteur densité de courant surfacique et -
n
, le vecteur unitaire normal
S

12

à l'interface. En l'absence de courant surfacique,

-

-

-
B T2 - B T1 = 0
On obtient donc comme dans la question précédente
-

-

-
B 0i + B 0r = B 0tr

Rappelons qu'il existe deux autres relations de passage impliquant les com
-

-
posantes normales de E et B . La relation de passage à l'interface entre

-
deux diélectriques concernant la composante normale de E n'est pas au
programme de la filière PC. Pour le champ magnétique cette relation est

-

-

-

-

-

-
B N2 - B N1 = 0 . Elle est trivialement vérifiée puisque B N2 = B N1 = 0 .

Pour une onde plane et progressive se propageant dans un milieu diélectrique

transparent d'indice n selon la direction de propagation -
u , la relation de structure
qui exprime le champ magnétique est
 n -
-

-
u  E)
B = (
c
On a donc, en représentation complexe,

-
-

n1 -
(
ez  E i )
Bi =
c

L'onde réfléchie se propageant suivant --
ez , il vient
-

n1  -
B r = - (-
ez  E r )
c

-

-
n2 
B tr =
(-
ez  E tr )
c

et

En écrivant la relation de passage en z = 0, on obtient

-

-

-
n1 -
n2 -

ez  ( E 0i - E 0r ) =
ez  E 0tr
c
c
-

Comme le champ électrique est orthogonal à e , cela implique
z

-

-

-
n1 ( E 0i - E 0r ) = n2 E 0tr
I.A.3 Les questions I.A.1 et I.A.2 permettent d'écrire les relations
et

1 + r12 = t12
soit

n1 (1 - r12 ) = n2 t12

n1 (1 - r12 ) = n2 (1 + r12 )

d'où

r12 =

Or

t12 =

Il vient finalement

n1 - n2
n1 + n2

n1
(1 - r12 )
n2

t12 =

2n1
n1 + n2

I.B L'application numérique donne alors
r1 =

t1 =

n0 - n
= -0, 2
n0 + n
2n0
= 0, 8
n0 + n

et

et

r2 =

t2 =

n - n0
= 0, 2
n0 + n

2n
= 1, 2
n0 + n

On remarque que r1 est négatif. On en conclut que la réflexion d'une onde 
électromagnétique sur une interface air/verre s'accompagne d'un déphasage de .
I.C.1 Par définition de r1 ,

s0
= r1
sincident