CCP Physique 2 PC 2013

Thème de l'épreuve Thermique d'un réacteur à eau pressurisée, convertisseur tension-fréquence
Principaux outils utilisés thermodynamique, électronique
Mots clefs diffusion thermique, réacteur nucléaire, amplificateur opérationnel, filtre actif, diode

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2013 PCP2008

ni. CONCOURS COMMUNS

-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants et ont sensiblement le même poids.

Problème A : thermique dans un réacteur à eau pressurisée

Les réacteurs nucléaires à eau pressurisée (REP) exploitent l'énergie libérée 
par la fission de
noyaux d'uranium 235 provoquée par des flux de neutrons pour chauffer l'eau 
d'un premier circuit
appelé circuit primaire. Ce dernier va transférer son énergie thermique, via un 
échangeur appelé
générateur de vapeur, à un deuxième circuit appelé circuit secondaire. L'eau du 
circuit secondaire
subit un cycle thermodynamique qui permet la production d'énergie électrique 
via la mise en
rotation d'une turbine reliée à un alternateur.

Ce problème a pour objectif d'étudier les aspects thermiques du combustible 
nucléaire, siège des
réactions de fission. Le combustible nucléaire est confiné dans des gaines 
métalliques cylindriques
formant ainsi ce qu'on appelle des << crayons combustibles >>. Ces derniers 
sont regroupés en une
structure d'allure cylindrique. Cet ensemble de crayons combustibles est appelé 
<< coeur >> du
réacteur.

Dans une première partie, nous allons définir différentes grandeurs utiles à 
l'étude de la thermique
d'un crayon combustible. La deuxième partie présente l'équation de la chaleur 
dans le cas simple du
milieu à une dimension avant de l'appliquer, dans la troisième partie, à la 
géométrie cylindrique du
crayon combustible. Une quatrième partie permettra la détermination du profil 
axial de température
dans le combustible.

1/12

A1- Position du problème

Afin d'évaluer les performances thermiques d'un réacteur nucléaire, différentes 
grandeurs sont
utilisées, en voici leur définition :

- La puissance produite par les réactions de fission au sein du combustible est 
appelée
puissance thermique, elle est notée P....

- La puissance thermique volumique @ est la puissance thermique produite par 
unité de
volume de combustible.

- La puissance thermique surfacique ç05 est la puissance thermique échangée par 
unité de
surface.

- La puissance électrique Pe de la centrale est reliée à la puissance thermique 
à travers le
rendement global de la centrale.

Nous allons étudier un REP d'une puissance électrique Pe de l 450 MW dont le 
rendement global

77 = ? est de 34 %. Il possède N = 54 120 crayons combustibles de hauteur H = 
4,3 m (dont un est
th

schématisé en figure 1). Le rayon extérieur de la gaine rg est de 4,5 mm et le 
rayon du combustible
rc = 4,0 mm. L'épaisseur de la gaine e est de 0,5 mm.

Gaine : Combustible ? '
++++4++++

Figure 1 : description d'un crayon combustible

A1.1- Donner l'expression littérale de la puissance thermique volumique moyenne 
ç0_V produite
dans le combustible d'un crayon combustible. On notera qu'il n'y a aucune 
réaction nucléaire de

fission au sein de la gaine Calculer ç0_V en W/cm3 .

A1.2- Donner, pour un crayon, l'expression littérale de la puissance thermique 
surfacique moyenne

ç0_S en périphérie du combustible, soit pour r = rc. Calculer ç0_S en W/cm2 .

A1.3- La fission d'un noyau d'uranium 235 génère environ une énergie Ef de 200 
MeV.
Déterminer le nombre de fissions Nf réalisées si ce réacteur fonctionne à 100 % 
de puissance
pendant un an. Rappel : 1 MeV = 1,6.10'13 ].

2/12

A2- Equation de la chaleur dans un milieu à une dimension

Pour établir l'équation de la chaleur dans un milieu à une dimension, nous 
allons considérer un
corps solide homogène de masse volumique p, de conductivité thermique  et de 
capacité thermique
massique EUR, dont la température T ne dépend que de l'abseisse x et du temps 
t. Nous supposerons
que p, Â etc sont indépendantes de la température.

A2.1- On considère l'élément de volume cl V, de masse dm, compris entre les 
abseisses x et x+dx, de
section S (figure 2). Donner la relation entre la variation de son énergie 
interne dU et la variation de
sa température dT , en faisant intervenir son épaisseur dx. On supposera que 
l'énergie interne et la
température sont homogènes dans l'élément de volume cl V.

dV S
v
. ÆÆ/
:} ' ?
_______ ------)--.- ___ ___-____-___-
("s(xaï) z' % (x+dx,t)
x x+dx Âxex

Figure 2 : transfert thermique à travers le volume cl V

A2.2- En supposant qu'il n'y a pas d'échange d'énergie autre que par conduction 
selon la direction
x et en s'appuyant sur le premier principe de la thermodynamique, exprimer la 
variation d'énergie
interne dU de l'élément de volume cl V entre deux instants proches [ et t+dt, 
en fonction des

puissances thermiques surfaciques % (x,t) et {05 (x + dx,t) , de la section S 
et de dt. On considèrera

% (x,t) et {05 (x + dx, [) constantes pendant la durée dt.

A2.3- Comment est modifié ce bilan si l'élément de volume cl V est le siège de 
réactions nucléaires
de fission qui produisent une puissance thermique volumique % (x, t) ?

A2.4- L'évolution de la puissance surfacique ç05 le long de l'abseisse x est 
telle que:

$S(x+dx,t)--%(x,t)=%-dx. Déduire alors, des étapes précédentes, l'expression de 
la

açÛs

x

variation de température dT de l'élément de volume cl V en fonction de et de % 
(x, t).

A2.5- Rappeler l'expression générale de la loi de Fourier qui rend compte du 
phénomène de

. . , . . . BT . . .
conducüon therm1que. En dedu1re l'express1on de % (x,t) en fonct10n de -- s1 on 
cons1dere que
x

l'échange par conduction se fait uniquement selon l'axe x.

A2.6- En déduire l'équation aux dérivées partielles selon les variables x et [ 
vérifiée par la
température T. Cette équation est appelée équation de la chaleur.
Remarque: la variation de température dT pendant une durée dt s'effectuant à 
une abseisse x

. T
donnée, on pourra écr1re dT = %-- - dt .

[

3/12

A3- Profil radial de la température du crayon combustible

L'expression générale de l'équation de la chaleur, obtenue en A2.6 à une 
dimension, s'écrit :

T .
p - c - %-- : % + /1- AT, où AT représente le laplaoeen de la température T.
[

Dans la suite du problème, on se placera en régime permanent. De plus, on 
supposera que les
transferts thermiques dans le crayon combustible se font uniquement par 
conduction et ce, de façon
radiale. L'axe du crayon combustible sera l'axe 02 comme indiqué dans la figure 
3. Par ailleurs, la

puissance volumique dans le combustible à une cote z donnée, % (z) , sera 
considérée comme

constante et on prendra % (z) =ç0_V=365 W/cm' . Enfin, les conductivités 
thermiques du

combustible et de la gaine sont respectivement : Âc = 3,65 W.m".K'1 et Âg = 
12,3 W.m".K".

+ Axe 2
Z = +H/2
ñ*++ _ _ _ Z = 0
++;ËÎÊÎ
Z = -H/2

Figure 3 : repère et dimensions du crayon combustible

A3.1- En remarquant que le système possède une symétrie de révolution autour de 
l'axe Oz,
exprimer l'équation de la chaleur en géométrie cylindrique à une cote z donnée.
En coordonnées cylindriques, l'opérateur laplacien AT a pour expression :
1 a M 1 82T a'r
AT=----- r--- + 2 2 --2.
r dr dr r 89 82

A3.2- En déduire, en régime permanent, l'expression de l'évolution selon r de 
la température dans
le combustible T (r), àla cote z donnée, en fonction de la température au 
centre T (r = O) = T 0-

Exprimer alors l'écart de température moyen AT

comb

= TO --Tc (avec T (r = rc") = T c ) entre le centre
et la périphérie du combustible en fonction de la puissance volumique àla cote 
2.
Calculer ATC = TO -- Tc.

amb

4/12

A3.3- Expression de l'évolution de la température dans la gaine T (r).

A3.3.1- En utilisant l'équation de la chaleur, donner l'expression, en régime 
permanent, de
l'évolution de la température dans la gaine T (r) a la cote z donnée en 
fonction de la température de
la paroi interne de la gaine T (r = rc+) = T g et de la température de la paroi 
externe de la gaine

T (r = rg) = T p.

A3.3.2- L'expression obtenue en A3.3.1 ne donne pas accès à l'écart de 
température moyen
AT gaine =Tg --Tp entre la périphérie du combustible et la périphérie de la 
gaine a la cote 2. Pour

l'obtenir, vous suivrez la démarche suivante. Dans un premier temps, vous 
exprimerez la relation
qui existe entre le flux surfacique dans la gaine % (r) en fonction du flux 
volumique dans le

combustible % (z), de la distance r et du rayon du cylindre de combustible de 
l'élément

combustible rc. Puis, dans un deuxième temps, vous utiliserez ce résultat avec 
la loi de Fourier pour
obtenir l'expression de l'évolution de la température dans la gaine T (r) en 
fonction de % (z) et de
la température de la paroi interne de la gaine T (r = rc+) = T g. Enfin, vous 
exprimerez l'écart de
température AT gaine = T g -- T p entre l'intérieur et la périphérie de la 
gaine a la cote z en fonction de la
puissance volumique % (z) . Calculer AT = T g -- T p .

gaine

A3.4- Il existe un contact thermique imparfait entre le combustible et la 
gaine. Aussi, la température
en périphérie du combustible T 0 n'est pas celle de la paroi interne de la 
gaine T g. Ce phénomène se
modélise par l'introduction d'une résistance thermique de contact, notée R... = 
l K.W".cm2, tel que :

Ê--Tg=RÏh-æs(r=rc). Exprimer l'écart de température AT =Tc--Tg en fonction de la

contact
puissance volumique % (z) . Calculer AT = Tc -- T g .

contact

A3.5- De la même façon, le transfert thermique entre la paroi extérieure de la 
gaine et le fluide
caloporteur (le fluide du circuit primaire) impose un écart de température. Ce 
dernier est donné par

la loi de Newton: çaS(r = rg) = oz-(Tp (z)--T]. (z)) où Tf(z)=î} et Tp(z)=Tp 
sont respectivement les
températures du fluide primaire et de la paroi externe de la gaine àla cote z. 
Le coefficient a, appelé
coefficient de convection, est constant tout le long du crayon combustible.

Exprimer AT = T p -- T f en fonction de la puissance volumique % (z) , du 
coefficient de

COHV

convection ades rayons rc et rg. Calculer AT = T p -- T f , sachant que a = 
3,25 W.cm'2.K'l.

COHV

A3.6- Montrer que, a la cote z donnée, l'écart de température moyen AT =TO --Tf 
entre le

crayon

centre du combustible et le fluide primaire peut s'écrire sous la forme : AT = 
A - % (2) où A est

crayon

une constante que vous préciserez. Calculer/l et AT

crayon '
A3.7- Représenter, schématiquement, le profil de température dans le crayon 
combustible.
A4- Profil axial de température d'un crayon combustible

Le nombre de fissions dans le combustible n'est pas identique en tout point de 
ce dernier. Ainsi, la
puissance volumique dépend de la cote z et on modélise cette dépendance par la 
relation :

% (z) =%-çaî-cos (%) où ç0_V est la puissance thermique volumique moyenne de 
365 W/cm3 .

En conséquence, la température T 0 n'est pas constante mais dépend de la cote 2.

5/12

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Q...N

Problème B : convertisseur tension--fréquence
L'objectif de ce problème est d'étudier un exemple de réalisation de 
convertisseur tension
fréquence. Il s'agit d'un circuit dont la tension de sortie est proportionnelle 
à la fréquence de la

tension d'entrée.

Pour ce problème, les amplificateurs opérationnels sont idéaux et alimentés 
entre +Vcc et -Vcc.
Leurs tensions de saturation haute et basse seront respectivement + Vcc et -Vcc.

B1- Réalisation d'un multivibrateur monostable à base d'amplificateurs 
opérationnels

B1.1- Comparateur simple seuil

7777

Figure 6 : comparateur simple seuil

B1.1.1- Expliquer le fonctionnement du montage de la figure 6.

B1.1.2- Tracer sa caractéristique VS en fonction de 8 = V+ - V..

B1.2- Comparateur à deux seuils

V+ R1

7777

Figure 7 : comparateur a deux seuils

B1.2.1- Rappeler le fonctionnement du montage de la figure 7. Définir notamment 
les seuils bas Vb
et haut Vh.

B1.2.2- Tracer la caractéristique VS en fonction de V6, en précisant la courbe 
parcourue selon que Ve
croît ou décroît.

8/12

B1.3- Multivibrateur monostable à amplificateurs opérationnels (ADP)

Un multivibrateur monostable est un oscillateur dont la sortie possède deux 
niveaux, un niveau
<< haut >> correspondant à un << 1 logique >> et un niveau << bas >> 
correspondant à un << 0 logique >>. La
particularité de ce circuit est qu'un niveau est stable alors que l'autre est 
instable. Ainsi, après
application d'un signal de commande, la sortie du système passe de l'état 
stable à l'état instable
pendant une durée Tpuis revient à son état stable initial.

R
A _ .
A
V, +
C .
l | M
VC C RZ
D î7 ---- A | | T A
__ _-- C ' VA
R1
V, W
7/777

Figure 8 : multivibrateur monostable à AOP

La diode D est supposée parfaite, sa tension seuil est nulle.

B1.3.1- La tension de commande V6 est nulle depuis longtemps, la tension de 
sortie VA est dans un
état stable et vaut VA = + Vcc. En vous appuyant sur un schéma équivalent du 
circuit de la figure 8,
justifier l'état passant de la diode D.

B1.3.2- Quelles sont les valeurs des tensions aux bornes des condensateurs '?

B1.3.3- A t = 0 s, l'injection d'un échelon de tension de commande Ve (t = W) = 
E va permettre le
changement d'état de la sortie (VA = - cc) et le blocage de la diode D.

B1.3.3.1- Quelles sont les valeurs des tensions aux bornes des condensateurs 
immédiatement après
l'injection de cet échelon de tension '?

B1.3.3.2- A quelle condition sur E, cet échelon de tension permettra le 
changement d'état de la
sortie '?

B1.3.3.3- Montrer que la tension aux homes du condensateur C, Vc(t), est régie 
par une équation
différentielle du premier ordre. Donner l'expression de la loi d'évolution, en 
fonction du temps et

de la tension Vc(t).

B1.3.3.4- Justifier alors l'état bloqué de la diode.

9/12

B1.3.3.5- Montrer, a partir de la loi des noeuds au point M, que la tension aux 
bornes du
condensateur C', Vc'(t), est régie par une équation différentielle du premier 
ordre. Donner
l'expression de la loi d'évolution, en fonction du temps et de la tension 
Vc'(t).

C'-R,-R,

Remarque : on introduira la constante de temps T' =
R ] + R,

B1.3.3.6- En déduire la loi d'évolution, en fonction du temps, de la tension 
aux bornes de la
résistance R; : V+(t).

B1.3.3.7- En étudiant les valeurs finales Vcoe et V... des tensions Vc(t) et 
V+(t), montrer que la
tension de sortie VA va rebasculer vers son état initial VA = + Vcc.

B1.3.3.8- On considère que la constante de temps de charge du condensateur C' 
est très faible
comparée à celle du condensateur C.

B1.3.3.8.a- Comparer alors les vitesses de charge de ces condensateurs.

B1.3.3.8.b- Montrer alors que l'expression simplifiée de la tension 8(t) est :
R __t
8(t) z VCC - 2 --eRC .
R ] + R,

B1.3.3.8.c- En déduire l'instant [ où la tension de sortie VA rebascule vers 
son état initial.

B2- Circuit de mise en forme

B2.1- Donner l'expression de la tension VB du montage de la figure 9, en 
fonction de VA et des
résistances R3 et R4. Que devient cette expression dans le cas où R4 =R3 '?

R4

VA VB

7777

Figure 9 : circuit inverseur

10/12

B2.2- Dans le montage de la figure 10, la tension VA(t) est un signal 
rectangulaire compris entre
+VCC et --VCC, de période T, dont la durée de l'état bas est T. La diode D' est 
supposée parfaite, sa
tension seuil est nulle. Tracer, sur deux périodes, les chronogrammes des 
tension VB et VD.

V A A
+ VCC

0 T-T T ZT ;
--VCC ................. _ ----------------- _ ------------------

R3
R3 _ Rs
_|_ A
VA )
VB D VD

77777

Figure 10 : circuit de mise en forme et chrono gramme

B2.3- Calculer la valeur moyenne de la tension VD en fonction de la fréquence f 
= l/T.

B2.4- On désire obtenir, à partir de la tension VD, une tension VS 
proportionnelle àla fréquence

f = l/T , tel que : V5 = k.f. En faisant appel à la décomposition en série de 
Fourier de la tension VD,
définir le type de filtrage à utiliser. Préciser alors l'expression de k. 
Comment choisir la fréquence
de coupure de ce filtre (figure 11) ?

VD Vs

Filtre à préciser

Figure 11 : utilisation d'un filtre à préciser

11/12

B3- Etude du filtre

Le filtre utilisé est représenté figure 12. C5

R5 R6 _|--

VD C6

Î/7
Figure 12 : filtre

;

'a)
B3.1- Mettre la fonction de transfert fi ( jw) = -- J_ ) sous la forme suivante 
:
D ](0

Y

H
raw-m"
w0 Q w0

B3.2- Préciser les expressions de HO , (00 et Q en fonction de R5, R6, C5, C6.

©

Æ(jw) =

B3.3- De quel filtre s'agit-il ? Justifier votre réponse.

B3.4- Déterminer Q tel que le module élevé au carré soit de la forme :

|H(jw)|2 -%-
1221 "

B3.5- Donner alors l'expression de la phase Q( jw) de E ( jw).

Fin de l'énoncé

12/12

IMPRIMERIE NATIONALE -- 131166 -- D'aprèsdocumentsf0urnis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PC 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Nicolas
Bruot (ENS Cachan) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE).

Ce sujet est composé de deux parties indépendantes. La première porte sur la
diffusion thermique en géométrie cylindrique. La seconde propose d'étudier des 
montages à amplificateurs opérationnels tantôt en fonctionnement saturé, tantôt 
en fonctionnement linéaire.
· La première partie débute par quelques estimations chiffrées reposant sur des
calculs élémentaires. On établit ensuite l'équation de la chaleur dans une 
géométrie unidimensionnelle. Puis, après avoir admis sa généralisation à trois 
dimensions, on l'utilise pour déterminer le profil radial de température en 
régime
permanent dans un cylindre constitué d'un milieu créateur d'énergie thermique,
enveloppé d'une gaine protectrice (l'ensemble étant plongé dans une piscine
d'eau). L'étude du profil de température le long de l'axe du cylindre conclut
cette partie.
· C'est l'électronique qui est au coeur de la seconde partie. Deux montages 
comparateur à AO sont d'abord étudiés. Sur le second, on connecte une boucle de
rétroaction négative afin de construire un multivibrateur monostable comportant 
une diode. Le caractère « monostable » de ce circuit est expliqué. On abandonne 
alors partiellement les AO en fonctionnement saturé pour se concentrer
sur des montages en régime linéaire : un inverseur, puis un filtre passe-bas 
actif
du second ordre. Cerise sur le gâteau : ces montages sont assemblés pour 
réaliser
une mesure de fréquence. On réalise ainsi un convertisseur tension-fréquence !
Cet énoncé est très fidèle à l'esprit des sujets du Concours Commun 
Polytechniques, bien que les notations soient parfois un peu déroutantes. Il 
constitue un bon
exercice d'entraînement à ces épreuves mais également un excellent sujet de 
révision
d'électronique ou des méthodes de résolution des problèmes de diffusion 
thermique.

Indications
Partie A
A.1.1 Le volume total de combustible est
N × H rc 2
et d'après l'énoncé, Pth = Pe /.
A.1.2 Utiliser que Pth = Pe / et que la surface totale du combustible en contact
avec le bain d'eau du circuit primaire est NH 2rc .
A.1.3 Écrire de deux manières l'énergie totale générée par la fission pendant
une année.
A.2.3 Attention aux dimensions de S et V .
A.3.2 Prendre la dérivée seconde de T par rapport à z égale à 0. r = 0 
appartient au domaine d'intégration. Quelle conséquence cela a-t-il sur T(r) ?
Utiliser ensuite que T(0) = T0 .
A.4.1 Montrer que L (z) = V (z) rc 2 .
A.4.5 Utiliser les expressions de L obtenues aux questions A.4.1 et A.4.4.
A.4.7 Réécrire la combinaison linéaire de cosinus et sinus dans T0 sous la forme
d'un cosinus et d'une phase. z max est la valeur de z qui annule l'argument
de ce cosinus.
Partie B
B.1.2.1 Supposer que l'amplificateur opérationnel est en saturation positive. En
déduire l'expression de V+ . L'AO est en saturation positive seulement
si V+ > V- ; en déduire l'expression de Vh . Procéder de même avec la
saturation négative pour déterminer Vb .
B.2.3 Par définition de la valeur moyenne de VD ,
Z
1 T
VD (t) dt
VD =
T 0
Décomposer cette intégrale en deux contributions.
B.2.4 On cherche à enregistrer la valeur moyenne VD du signal qui correspond
à la composante à fréquence nulle.
B.3.1 Appliquer la loi des noeuds aux noeuds situés à chaque borne de R6 .
B.3.4 Calculer explicitement le module de
 l'expression de H obtenue à la question B.3.1. En déduire que Q = 1/ 2.

A. Thermique dans un réacteur à eau pressurisée
A.1

Position du problème

A.1.1 D'après l'énoncé,

Pth =

Pe

Or, la puissance thermique totale est le produit de la puissance thermique 
volumique
moyenne V multipliée par le volume total de combustible N×H rc 2 . Par 
conséquent,
Pe
= V NH rc 2

d'où

V =

Pe
= 3,6.102 W.cm-3
NH rc 2 

A.1.2 En régime stationnaire, toute l'énergie libérée par la fission est 
évacuée par
la surface des crayons. La puissance thermique totale est le produit de la 
puissance
thermique surfacique moyenne S multipliée par la surface totale du combustible 
en
contact avec le bain d'eau du circuit primaire N × 2rc H. Ainsi,
Pe
= S 2N Hrc

donc

S =

Pe
= 73 W.cm-2
2N Hrc 

A.1.3 L'énergie totale générée par la fission pendant une année (dont la durée 
est
notée Tan ) est
Nf Ef =

Alors,

Nf =

Pe
× Tan

Pe Tan
= 4,2.1027
 Ef

soit une dizaine de milliers de moles !
L'expression « 100% de puissance » peut être déroutante. Il faut bien voir
que le rendement d'une centrale nucléaire ne doit jamais dépasser une valeur
seuil (fixée ici à 0,34). En effet, augmenter le rendement conduirait à une
augmentation de température du coeur (pour le comprendre, on peut penser
au rendement de Carnot qui est d'autant plus élevé que l'écart en température 
entre les sources chaude et froide est important) et à un risque de
dégradation des crayons. Par « 100% », il faut comprendre que l'on suppose
que la centrale fonctionne avec le rendement 0,34 pendant une année. Ce
n'est jamais le cas en pratique, EDF adapte sa production à la demande ou
peut décider d'arrêter un réacteur pendant quelques mois, pour effectuer des
travaux d'entretien.

A.2

Équation de la chaleur dans un milieu à une dimension

A.2.1 D'après le cours de thermodynamique, pour une phase condensée,
dU = dm cdT = c Sdx dT
A.2.2 La variation d'énergie interne de la tranche durant dt est égale à la 
différence
entre l'énergie entrant dans la tranche par la face située à l'abscisse x et 
l'énergie
sortant par celle située en x + dx,
dU = (S (x, t) - S (x + dx, t)) S dt
La notation adoptée est déroutante. Il faut bien comprendre que
-
 =  -
u
th

S

x

c'est-à-dire que S est un flux surfacique.
A.2.3 Il faut ajouter le terme de création volumique V (x, t) dt multiplié par 
le
volume Sdx de la tranche. Soit
dU = (S (x, t) - S (x + dx, t) + V (x, t)dx) S dt
A.2.4 Utilisons le développement proposé par l'énoncé pour réécrire l'expression
de dU obtenue à la question précédente,

S
+ V (x, t) Sdx dt
dU = -
x
Or d'après la question A.2.1,
d'où

dU = c Sdx dT

1
dT =
c

S
V (x, t) -
dt
x

--
A.2.5 La loi de Fourier s'écrit -

th = - grad T
où -

th est le vecteur flux surfacique d'énergie thermique. Cette relation s'écrit 
ici
S (x, t) = -

T
x

A.2.6 D'après la question A.2.4 et l'énoncé,

T
1
S
=
V (x, t) -
t
c
x
Injectons le résultat de la question précédente pour obtenir
c

T
2T
= V (x, t) +  2
t
x